Войти
В математике, считается, что математический объект удовлетворяет свойству локально, если свойство удовлетворяется в некоторых ограниченных, непосредственных частях объекта (например, в некоторых достаточно малых или сколь угодно малых окрестностях точек).
Возможно, самый известный пример идеи локальности заключается в концепции локального минимума (или локального максимума ), который является точкой в функции функциональное значение которого является наименьшим (соответственно наибольшим) в пределах непосредственной окрестности точек. Это должно контрастировать с идеей глобального минимума (или глобального максимума), который соответствует минимуму (соответственно максимуму) функции во всей ее области.
A Иногда говорят, что топологическое пространство проявляет свойство локально, если свойство проявляется «около» каждой точки одним из следующих способов:
Здесь обратите внимание, что условие (2) по большей части сильнее, чем условие (1), и следует проявлять особую осторожность, чтобы различать их. Например, некоторые вариации в определении локально компактного могут возникнуть в результате различного выбора этих условий.
Учитывая некоторое понятие эквивалентности (например, гомеоморфизм, диффеоморфизм, изометрия ) между топологическими пространствами, два пространства называются локально эквивалентными, если каждая точка первого пространства имеет окрестность, которая является эквивалентно окрестности второго пространства.
Например, круг и линия - очень разные объекты. Нельзя растянуть круг, чтобы он выглядел как линия, или сжать линию, чтобы она соответствовала кругу без промежутков или перекрытий. Однако небольшой кусок круга можно растянуть и расплющить, чтобы он выглядел как маленький кусочек линии. По этой причине можно сказать, что круг и прямая локально эквивалентны.
Аналогично, сфера и плоскость локально эквивалентны. Достаточно маленький наблюдатель, стоящий на поверхности сферы (например, человек и Земля), нашел бы ее неотличимой от плоскости.
Для бесконечной группы "малой окрестностью" считается конечно порожденная подгруппа. Бесконечная группа называется локально P, если каждая конечно порожденная подгруппа является P. Например, группа локально конечна, если каждая конечно порожденная подгруппа конечна, а группа локально разрешима, если каждая конечно порожденная подгруппа разрешима.
Для конечных групп под "малой окрестностью" понимается подгруппа, определенная в терминах простое число p, обычно локальные подгруппы, нормализаторы нетривиальных p-подгрупп. В этом случае свойство называется локальным, если оно может быть обнаружено из локальных подгрупп. Глобальные и локальные свойства сформировали значительную часть ранних работ по классификации конечных простых групп, которые проводились в 1960-х годах.
Для коммутативных колец идеи алгебраической геометрии делают естественным принятие «малой окрестности» кольца в качестве локализации в простом идеале. В этом случае свойство называется локальным, если его можно обнаружить из локальных колец. Например, быть плоским модулем над коммутативным кольцом - это локальное свойство, а быть свободным модулем - нет. Для получения дополнительной информации см. Локализация модуля.
