Многопараметрическое исчисление

редактировать

Многовариантное исчисление (также известное как многомерное исчисление) - это расширение исчисления с одной переменной до исчисления с функциями нескольких переменных : дифференцирование и интегрирование функций, включающих несколько переменных, а не только одну.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Типовые операции
    • 1.1 Пределы и преемственность
      • 1.1.1 Непрерывность функционального состава
      • 1.1.2 Свойства непрерывных функций
    • 1.2 Частичная дифференциация
    • 1.3 Множественная интеграция
    • 1.4 Основная теорема многомерного исчисления
  • 2 Приложения и использование
  • 3 См. Также
  • 4 ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Типичные операции

Пределы и преемственность

Изучение пределов и непрерывности в исчислении многих переменных дает множество противоречивых результатов, которые не демонстрируются функциями одной переменной. Например, есть скалярные функции двух переменных с точками в их области определения, которые дают разные пределы при приближении к ним по разным путям. Например, функция

ж ( Икс , у ) знак равно Икс 2 у Икс 4 + у 2 {\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}}}
График функции f ( x, y) = ( x ⁴y) / ( x 4 + y 2)

стремится к нулю всякий раз, когда приближается к точке по линиям, проходящим через начало координат (). Однако при приближении к началу координат по параболе значение функции имеет предел. Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные предельные значения, общего предела здесь не существует. ( 0 , 0 ) {\ displaystyle (0,0)} у знак равно k Икс {\ displaystyle y = kx} у знак равно ± Икс 2 {\ displaystyle y = \ pm x ^ {2}} ± 1 / 2 {\ displaystyle \ pm 1/2}

Непрерывность в каждом аргументе, недостаточная для многомерной непрерывности, также можно увидеть из следующего примера. В частности, для вещественнозначной функции с двумя действительными параметрами, непрерывность in для фиксированного и непрерывность in для фиксированного не означает непрерывность. ж ( Икс , у ) {\ displaystyle f (x, y)} ж {\ displaystyle f} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} ж {\ displaystyle f} у {\ displaystyle y} Икс {\ displaystyle x} ж {\ displaystyle f}

Рассмотреть возможность

ж ( Икс , у ) знак равно { у Икс - у если 0 у lt; Икс 1 Икс у - Икс если 0 Икс lt; у 1 1 - Икс если 0 lt; Икс знак равно у 0 где-либо еще . {\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} {\ frac {y} {x}} - y amp; {\ text {if}} \ quad 0 \ leq y lt;x \ leq 1 \\ {\ frac {x} {y}} - x amp; {\ text {if}} \ quad 0 \ leq x lt;y \ leq 1 \\ 1-x amp; {\ text {if}} \ quad 0 lt;x = y \\ 0 amp; {\ text {везде}}. \ end {case}}}

Легко проверить, что эта функция по определению равна нулю на границе и вне четырехугольника. Кроме того, функция, определенная для постоянная и и пути ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) {\ Displaystyle (0,1) \ раз (0,1)} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y} 0 а 1 {\ displaystyle 0 \ leq a \ leq 1}

грамм а ( Икс ) знак равно ж ( Икс , а ) {\ displaystyle g_ {a} (x) = f (x, a) \ quad} а также час а ( у ) знак равно ж ( а , у ) {\ displaystyle \ quad h_ {a} (y) = f (a, y) \ quad}

непрерывны. Конкретно,

грамм 0 ( Икс ) знак равно ж ( Икс , 0 ) знак равно час 0 ( 0 , у ) знак равно ж ( 0 , у ) знак равно 0 {\ displaystyle g_ {0} (x) = f (x, 0) = h_ {0} (0, y) = f (0, y) = 0}для всех x и y.

Однако последовательность (для естественного) сходится к, делая функцию прерывистой в. Приближение к началу координат не параллельно осям - и - обнаруживает этот разрыв. ж ( 1 п , 1 п ) {\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {n}}, {\ tfrac {1} {n}} \ right)} п {\ displaystyle n} Lim п ж ( 1 п , 1 п ) знак равно 1 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f \ left ({\ tfrac {1} {n}}, {\ tfrac {1} {n}} \ right) = 1} ( 0 , 0 ) {\ displaystyle (0,0)} Икс {\ displaystyle x} у {\ displaystyle y}

Непрерывность функционального состава

Если является непрерывным в точке и является непрерывной функцией одной переменной в точке, то составная функция, определяемая с помощью, является непрерывной в точке ж ( Икс , у ) {\ displaystyle f (x, y)} ( а , б ) , {\ Displaystyle (а, б),} грамм {\ displaystyle g} ж ( а , б ) , {\ displaystyle f (a, b),} час знак равно грамм ж {\ displaystyle h = g \ circ f} час ( Икс , у ) знак равно грамм ( ж ( Икс , у ) ) {\ Displaystyle ч (х, у) = г (е (х, у))} ( а , б ) . {\ displaystyle (a, b).}

Например, и exp ( Икс - у ) {\ Displaystyle \ ехр (ху)} пер ( 1 + Икс у - 4 Икс + 10 у ) . {\ Displaystyle \ ln (1 + ху-4х + 10у).}

Свойства непрерывных функций

Если и оба непрерывны в то ж ( Икс , у ) {\ displaystyle f (x, y)} грамм ( Икс , у ) {\ Displaystyle г (х, у)} ( а , б ) {\ Displaystyle (а, б)}

(i) непрерывны в ж ( Икс , у ) ± грамм ( Икс , у ) {\ Displaystyle е (х, у) \ пм г (х, у)} ( а , б ) . {\ displaystyle (a, b).}

(ii) непрерывна в точке для любой постоянной c. c ж ( Икс , у ) {\ Displaystyle cf (х, у)} ( а , б ) {\ Displaystyle (а, б)}

(iii) непрерывна в точке ж ( Икс , у ) {\ displaystyle f (x, y)} . {\ displaystyle.} грамм ( Икс , у ) {\ Displaystyle г (х, у)} ( а , б ) . {\ displaystyle (a, b).}

(iv) непрерывна в точке, если ж ( Икс , у ) грамм ( Икс , у ) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {е (х, у)} {г (х, у)}}} ( а , б ) , {\ Displaystyle (а, б),} грамм ( а , б ) 0. {\ displaystyle g (a, b) \ neq 0.}

(v) непрерывна в ж ( Икс , у ) {\ Displaystyle \ мид е (х, у) \ мид} ( а , б ) . {\ displaystyle (a, b).}

Частичная дифференциация

Основная статья: Неполная производная

Частная производная обобщает понятие производной на более высокие измерения. Частная производная функции многих переменных - это производная по одной переменной, при этом все остальные переменные остаются постоянными.

Частные производные можно комбинировать интересными способами для создания более сложных выражений производной. В векторном исчислении, то дель оператор () используется для определения понятия градиента, дивергенции и ротора в терминах частных производных. Матрица частных производных, матрица Якоби, может использоваться для представления производной функции между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом, производную можно понимать как линейное преобразование, которое напрямую изменяется от точки к точке в области определения функции. {\ displaystyle \ nabla}

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называются уравнениями в частных производных или PDE. Эти уравнения, как правило, труднее решить, чем обыкновенные дифференциальные уравнения, которые содержат производные только по одной переменной.

Множественная интеграция

Основная статья: Кратный интеграл

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла до функций любого числа переменных. Двойные и тройные интегралы могут использоваться для вычисления площадей и объемов областей на плоскости и в пространстве. Теорема Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть оценен как повторяющийся интеграл или повторяющийся интеграл, если подынтегральное выражение непрерывно во всей области интегрирования.

Интегральная поверхность и интегральная линия используются для интеграции более изогнутые коллекторов, таких как поверхности и кривые.

Основная теорема многомерного исчисления

В исчислении с одной переменной основная теорема исчисления устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в многомерном исчислении воплощается в интегральных теоремах векторного исчисления:

При более продвинутом изучении многомерного исчисления видно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса, которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям.

Приложения и использование

Методы многомерного исчисления используются для изучения многих интересных объектов материального мира. Особенно,

Тип функций Применимые методы
Кривые Оскулирующий круг.svg ж : р р п {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}} для п gt; 1 {\ displaystyle ngt; 1} Длины кривых, линейные интегралы и кривизна.
Поверхности Helicoid.svg ж : р 2 р п {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {n}} для п gt; 2 {\ displaystyle ngt; 2} Площади поверхностей, поверхностные интегралы, поток через поверхности и кривизна.
Скалярные поля Surface-plot.png ж : р п р {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}} Максимумы и минимумы, множители Лагранжа, производные по направлениям, множества уровней.
Векторные поля Векторное field.svg ж : р м р п {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}} Любые операции векторного исчисления, включая градиент, дивергенцию и завиток.

Многовариантное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем, имеющих несколько степеней свободы. Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, а многомерное исчисление предоставляет инструменты для описания динамики системы.

Многофакторное исчисление используются в контроле оптимального из непрерывного времени динамических систем. Он используется в регрессионном анализе для вывода формул для оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных.

Многовариантное исчисление используется во многих областях естественных и социальных наук и инженерии для моделирования и изучения многомерных систем, которые демонстрируют детерминированное поведение. В экономике, например, выбор потребителя в отношении разнообразных товаров и выбор производителя в отношении различных ресурсов для использования и результатов для производства моделируются с помощью многомерного исчисления. Количественные аналитики в области финансов также часто используют многомерный расчет для прогнозирования будущих тенденций на фондовом рынке.

Недетерминированные или стохастические системы можно изучать с помощью другого вида математики, например, стохастического исчисления.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-03-29 03:06:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте