Правило интеграла Лейбница

Дифференцирование по формуле знака интеграла

В исчислении, правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла, названного в честь Готфрида Лейбница, утверждает, что для интеграла вида

$\int \; a\; (x)\; b\; (x)\; f\; (x,\; t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt,\}$

где , производная этого интеграла можно выразить как

$ddx\; (\int \; a\; (x)\; b\; (x)\; f\; (x,\; t)\; dt)\; =\; f\; (x,\; b\; (x))\; \cdot \; ddxb\; (x)\; -\; f\; (x,\; a\; (x))\; \cdot \; ddxa\; (Икс)\; +\; \int \; a\; (Икс)\; б\; (Икс)\; \partial \; \partial \; xf\; (x,\; t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{\; b\; (x)\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; =\; f\; \{\backslash \; big\; (\}\; x,\; b\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; b\; (x)\; -f\; \{\backslash \; big\; (\}\; x,\; a\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; a\; (x)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt,\}$

где частная производная указывает, что внутри интеграла только из менение f (x, t) с x равно при взятии производной. Обратите внимание, что если $a\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x)\}$и $b\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x)\}$являются константами, а не функции из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, у нас есть частный случай Лейбница:

$ddx\; (\int \; abf\; (x,\; t)\; dt)\; =\; \int \; ab\; \partial \; \partial \; xf\; (x,\; t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt.\}$

Кроме того, если $a\; (x)\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x)\; =\; a\}$и $b\; (x)\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x)\; =\; x\}$, что также является распространенной ситуацией (например, в доказательстве формулы многократного интегрирования Коши) имеем:

$ddx\; (\int \; axf\; (x,\; t)\; dt)\; =\; f\; (x,\; x)\; +\; \int \; ax\; \partial \; \partial \; xf\; (x,\; t)\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{x\}\; f\; (x,\; t)\; dt\; \backslash \; right)\; =\; f\; \{\backslash \; big\; (\}\; x,\; x\; \{\backslash \; big)\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; f\; (x,\; t)\; dt,\}$

Таким образом, при определенных условиях можно поменять местами интегральные и частные производные операторы. Этот важный результат особенно полезен при дифференцировании интегральных преобразований. Примером такой функции является функция, генерирующая момент в теории вероятности, разновидность преобразования Лапласа, которая может быть дифференцирована для генерации моментов из случайной величины. Применяется ли интегральное правило Лейбница, по сути, это вопрос об изменении пределов.

• 1 Общая форма: дифференциация под знаком интеграла
• 2 Трехмерный случай, зависящий от времени
• 3 Высшее
• 4 Утверждение теории меры
• 5 Доказательства
  • 5.1 Доказательство основной формы
    • 5.1.1 Другое доказательство с использованием теоремы об ограниченной сходимости
  • 5.2 Форма объем пределов
  • 5.3 Общая форма с переменными пределами
  • 5.4 Альтернативное доказательство общей с переменными пределами с использованием цепочки
  • 5.5 Трехмерная, зависящая от времени форма
  • 5.6 Альтернативная деривация
• 6 Примеры
  • 6.1 Пример 1: Фиксированные пределы
  • 6.2 Пример 2: Пределы объем
• 7 Приложения
  • 7.1 Вычисление интегралов
    • 7.1.1 Пример 3
    • 7.1.2 Пример 4
    • 7.1.3 Пример 5
    • 7.1.4 Пример 6
    • 7.1. 5 Другие проблемы, которые необходимо решить
  • 7.2 Бесконечные серии
• 8 В популярной культуре
• 9 См. Также
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература
• 12 Внешние ссылки

Теорема. Пусть f (x, t) - такая функция, что и f (x, t), и ее частная производная f x (x, t) непрерывны по t и x в некоторой области (x, t) -плоскости, включая a (x) ≤ t ≤ b (x), x 0 ≤ x ≤ x 1. Также предположим, что обе функции a (x) и b (x) непрерывны и обе имеют непрерывные производные для x 0 ≤ x ≤ x 1. Тогда для x 0 ≤ x ≤ x 1,

$ddx\; (\int \; a\; (x)\; b\; (x)\; f\; (x,\; t)\; dt)\; =\; f\; (x,\; b\; (x))\; \cdot \; ddxb\; (х)\; -\; f\; (x,\; a\; (x))\; \cdot \; ddxa\; (x)\; +\; \int \; a\; (x)\; b\; (x)\; \partial \; \partial \; xf\; (x,\; t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; =\; f\; \{\backslash \; big\; (\; \}\; x,\; b\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; b\; (x)\; -f\; \{\backslash \; big\; (\}\; x,\; a\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; a\; (x)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt.\}$

Эта формула представляет собой общую интегральную систему Лейбница и может быть получена с помощью фундаментальной теоремы исчисления. (Первая) основнаяорема исчисления - это просто частный случай приведенной выше формулы, где a (x) = a, константа, b (x) = x и f (x, t) = f (t).

Если и верхний, и нижние пределы приняты как константы, то формула принимает формула оператора :

$I\; t\; \partial \; x\; =\; \partial \; x\; I\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\; \}\}\; \_\; \{t\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \_\; \{t\}\}$

где $\partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\}$- частная производная по $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $I\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\}\}\; \_\; \{t\; \}\}$- интегральный оператор относительно $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$в фиксированном интервале. То есть, это связано с симметрией второе производных, но включает интегралы, а также производные. Этот случай также известен как правило интеграла Лейбница.

Следующие три основные теоремы о замене пределов по существу эквивалентны:

• замена производной и интеграла (дифференцирование под знаком интеграла; т. Е. Правило интеграла Лейбница);
• изменение порядка частных производных;
• изменение порядка интегрирования (интегрирование под интеграла; т. Е. теорема Фубини ).

Рисунок 1: Векторное поле F(r, t), определенное во всем область и поверхность Σ, ограниченная кривая ∂Σ, движущейся со скоростью v, по которой интегрировано поле.

Интегральное правило Лейбница для двумерной поверхности, движущейся в трехмерном пространстве:

$ddt\; \iint \; \Sigma \; (t)\; F\; (r,\; t)\; \cdot \; d\; A\; =\; \iint \; \Sigma \; (t)\; (F\; t\; (r,\; t)\; +\; [\nabla \; \cdot \; F\; (r,\; t)]\; v)\; \cdot \; d\; A\; -\; \oint \; \partial \; \Sigma \; (t)\; \; [v\; \times \; F\; (r,\; t)]\; \cdot \; ds,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dt\}\}\; \backslash \; iint\; \_\; \{\backslash \; Sigma\; (t)\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; iint\; \_\; \{\backslash \; Sigma\; (t)\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{t\}\; (\backslash \; ma\; thbf\; \{r\},\; t)\; +\; \backslash \; left\; [\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; right]\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; -\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Sigma\; (t)\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; right]\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\},\}$

где:

F(r, t) - векторное поле в пространственной позиции r в момент времени t,

Σ - поверхность, ограниченная замкнутой кривой ∂Σ,

dA- элемент поверхности Σ,

ds- элемент кривой ∂Σ,

v- скорость движения области Σ,

∇⋅ - вектор расходимости,

× - перекрестное произведени е ,

Двойные интегралы - это поверхностные интегралы по поверхности Σ, а линейный интеграл проходит над ограничивающей кривой ∂Σ.

Правило интеграла Лейбница может быть расширено до многом интегралов. В двух и трех измерениях это правило более известно из области гидродинамики как теорема переноса Рейнольдса :

$ddt\; \int \; D\; (t)\; F\; (x\; \to ,\; t)\; d\; V\; =\; \int \; D\; (t)\; \partial \; \partial \; T\; F\; (Икс\; \to ,\; T)\; d\; V\; +\; \int \; \partial \; D\; (T)\; F\; (x\; \to ,\; t)\; v\; \to \; б\; \cdot \; d\; \Sigma ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{D\; (t)\}\; F\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\},\; t)\; \backslash ,\; dV\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{D\; (t)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; F\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\},\; t)\; \backslash ,\; dV\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; D\; (t)\}\; F\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\},\; t)\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{\; v\}\}\}\; \_\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; Sigma\},\}$

где $F\; (x\; \to ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\},\; t)\}$- скалярная функция, D (t) и ∂D (t) обозначают изменяющуюся во времени связную область R и ее границу, соответственно, $v\; \to \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{v\}\}\}\; \_\; \{b\}\}$- эйлерова скорость границы (см. лагранжевые и эйлеровы координаты ), а d Σ= ndS - это единичный нормальный компонент поверхности элемента.

Общее утверждение интегрального пра вила Лейбница требует, чтобы заимствования из дифференциальной геометрии, в частности дифференциальных форм, внешних производных, клиновых продуктов и внутренних продуктов. С помощью этих инструментов интеграла Лейбница в измерениях будет

$ddt\; \int \; \Omega \; (t)\; \omega \; =\; \int \; \Omega \; (t)\; iv\; \to \; (dx\; \omega )\; +\; \int \; \partial \; \Omega \; (t)\; iv\; \to \; \omega \; +\; \int \; \Omega \; (t)\; \omega \; \dot{},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\; (t)\}\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\; (t)\}\; я\; \_\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{v\}\}\; \}\; (d\_\; \{x\}\; \backslash \; omega)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Omega\; (t)\}\; i\; \_\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{v\}\}\}\; \backslash \; omega\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\; (t)\}\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; omega\}\},\}$

где Ω (t) - изменяющаяся военная форма времени области интеграции, ω - p-форма времени интегрирования, $v\; \to \; =\; \partial \; x\; \to \; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{\; v\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$- Новое поле скорости, $iv\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \_\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{v\}\}\}\}$обозначает предмет интерьера с $v\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{v\}\}\}\}$, d x ω - внешняя производная от ω только по пространственным переменным и $\omega \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; omega\}\}\}$- это производная по времени от ω.

Однако все эти тождества могут быть выведены из самого утверждения о производных Ли:

$d\; d\; t\; |\; T\; знак\; равно\; 0\; \int \; им\; \psi \; T\; (\Omega )\; \omega \; знак\; равно\; \int \; \Omega \; L\; \Psi \; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\{\backslash \; text\; \{im\}\}\; \_\; \{\backslash \; psi\; \_\; \{t\}\}\; (\backslash \; Omega)\}\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{\; \backslash \; Psi\}\; \backslash \; omega,\}$

Здесь Окружающее многообразие, на котором живет другая форма $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, включает в себя как пространство, так и время.

$\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- это область интегрирования (подмногообразие) в данный момент (она не зависит от $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, поскольку его параметризация как подмногообразия определяет его положение во времени),

$L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$является производной Ли,

$\Psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\}$- векторное поле пространства-времени, полученное путем добавления унитарного вектора полю времени к чисто пространственному вектору $v\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; textbf\; \{v\}\}\}\}$из предыдущая формул (например, $\Psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\}$- пространственно-временная скорость $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$),

$\psi \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{t\}\; \}$- это диффеоморфизм из однопараметрической группы, созданной потоком из $\Psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\}$и

$im\; \psi \; T\; (\Omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{im\}\}\; \_\; \{\backslash \; psi\; \_\; \{t\}\}\; (\backslash \; Omega)\}$равно изображение из $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$u Помимо такого диффеоморфизма.

Что-то примечательное в этой форме то, что она может объяснить случай, когда $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$меняет свою форму и размер со временем, поскольку такие деформации полностью определены $\Psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\}$.

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет открытым подмножеством $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\; \}\}$и $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$быть мерой пространства. Предположим, что $f:\; X\; \times \; \Omega \; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$удовлетворяет следующие условия:

1. $f\; (x,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; \backslash \; omega)\}$- интегрируемая по Лебегу функция от $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$для каждого $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$.
2. Для почти все $\omega \; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$, производная $fx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\}\}$существует для всех $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$.
3. Существует интегрируемая функция $\theta :\; \Omega \; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Omega\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$такое, что $|\; f\; x\; (x,\; \omega )\; |\; \le \; \theta \; (\omega )\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; е\_\; \{х\}\; (х,\; \backslash \; omega)\; |\; \backslash \; Leq\; \backslash \; theta\; (\backslash \; omega)\}$для всех $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$и почти каждый $\omega \; \in \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \backslash \; in\; \backslash \; Omega\}$.

Тогда по теореме о доминирующей сходимости для всех $x\; \in \; X\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; \backslash \; в\; X\}$,

$ddx\; \int \; \Omega \; е\; (х,\; \omega )\; d\; знак\; равно\; \int \; \Omega \; fx\; (x,\; \omega )\; d\; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; f\; (x,\; \backslash \; omega)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; \backslash \; omega)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega.\}$

Доказательство основ формы

Сначала мы докажем случай постоянных пределов интегрирования a и b.

Мы используем теорему Фубини, чтобы изменить порядок интегрирования. Для любых x и h, таких что h>0 и оба x и x + h находятся в пределах [x 0,x1], мы имеем:

$\int \; xx\; +\; h\; \int \; abfx\; (x,\; t)\; dtdx\; =\; \int \; ab\; \int \; xx\; +\; hfx\; (x,\; t)\; dxdt\; =\; \int \; ab\; (f\; (x\; +\; h,\; t)\; -\; f\; (x,\; t))\; dt\; =\; \int \; abf\; (x\; +\; h,\; t)\; dt\; -\; abf\; (x,\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{x\}\; ^\; \{x\; +\; h\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\; \}\; \backslash \; int\; \_\; \{x\}\; ^\; \{x\; +\; h\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; (f\; (x\; +\; h,\; t)\; -\; f\; (x,\; t)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x\; +\; h,\; t)\; \backslash ,\; dt-\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}$

Обратите внимание, что рассматриваемые интегралы хорошо развиты, поскольку <5x (x, t) {\ displaystyle f_ {x} (t)}непрерывен в замкнутый прямоугольник $[x\; 0,\; x\; 1]\; \ast \; [a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\_\; \{0\},\; x\_\; \{1\}]\; *\; [a,\; b]\}$и, следовательно, также равномерно непрерывный там; таким образом, его интегралы по dt или dx непрерывны по другим переменным, а также интегрируются по ней (в основном это потому, что для равномерно непрерывных функций можно перейти через знак интегрирования, как описано ниже).

Следовательно:

$\int \; abf\; (x\; +\; h,\; t)\; dt\; -\; \int \; abf\; (x,\; t)\; dth\; =\; 1\; h\; \int \; xx\; +\; h\; \int \; abfx\; (x,\; t)\; dtdx\; =\; F\; (x\; +\; час)\; -\; F\; (x)\; час\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x\; +\; h,\; t)\; \backslash ,\; dt-\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}\; \{h\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{x\}\; ^\; \{x\; +\; h\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (x\; +\; h)\; -F\; (x)\}\; \{h\}\}\}$

Где мы определили:

$F\; (u)\; \equiv \; \int \; x\; 0\; u\; \int \; abfx\; (x,\; t)\; dtdx\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (u)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{u\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,\; dx\}$

(мы можем заменить x 0 здесь любую другую точку между x 0 и x)

F дифференцируем с производной $\int \; abfx\; (x,\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}$, поэтому по Теорема о среднем значении существует некоторый x 'в [x, x + h], удовлетворяющий:

$\int \; abf\; (x\; +\; h,\; t)\; dt\; -\; \int \; abf\; (x,\; t)\; dth\; =\; \int \; abfx\; (x\; \prime ,\; т)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x\; +\; h,\; t)\; \backslash ,\; dt-\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}\; \{\; h\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x\; \text{'},\; t)\; \backslash ,\; dt\}$

Теперь мы берем предел, при котором h приближается нуль. Для левой стороны этот предел равен:

$ddx\; \int \; abf\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; t)\}$

Для правой части мы используем равномерную непрерывную непрерывность f x (x ', t), чтобы получить:

$\int \; abfx\; (x,\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}$

, для равномерно непрерывных функций можно показываем предел через знак интегрирования, как мы теперь формально:

Времен f x (x ', t любого) равномерно непрерывен в [x_0, x_1] X [a, b], для любого ε>0 существует достаточно малая область x, такая, что для x' в нем и для каждого t в [a, b ]:

таким образом:

Действительно: $lim\; x\; \prime \; \to \; x\; \int \; abfx\; (x\; \prime ,\; t)\; =\; \int \; abfx\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \text{'}\backslash \; rightarrow\; x\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x\text{'},\; t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\}$

Итак, мы доказываем желаемый результат:

$ddx\; \int \; abf\; (x,\; t)\; =\; \int \; abfx\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\_\; \{x\}\; (x,\; t)\}$

Другое доказательство с использованием теоремы об ограниченной сходимости

Если Имеющиеся интегралы - это интегралы Лебега, мы можем использовать теорему об ограниченной сходимости (действительную для этих интегралов, но не для интегралов Римана ), чтобы показать предел, что можно пройти через знак интеграла.

Обратите внимание, что это доказательство слабее в том смысле, что оно показывает только то, что f x (x, t) интегрируемо по Лебегу, но не то, что оно интегрируемо по Риману. В первом (более сильном) доказательстве, если f (x, t) интегрируема по Риману, то f x (x, t) (и, следовательно, очевидно, также интегрируема по Лебегу).

Пусть

$u\; (x)\; =\; \int \; a\; b\; f\; (x,\; t)\; d\; t.\; (1)\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{а\}\; ^\; \{Ь\}\; е\; (х,\; т)\; \backslash ,\; дт.\; \backslash \; Qquad\; (1)\}$

По определению производной

$u\; \prime \; (x)\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; u\; (x\; +\; h)\; -\; u\; (x)\; h.\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{u\; (x\; +\; h)\; -u\; (x)\}\; \{h\}\}.\; \backslash \; Qquad\; (2)\}$

Подставьте уравнение (1) в уравнение (2). Разность двух интегралов равна интегралу разности, а 1 / h является константой, поэтому

$u\; \prime \; (x)\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; \int \; abf\; (x\; +\; h,\; t)\; dt\; -\; \int \; abf\; (x,\; t)\; dth\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; \int \; ab\; (f\; (x\; +\; h,\; t)\; -\; f\; (x,\; t))\; dth\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; \int \; abf\; (x\; +\; h,\; t)\; -\; f\; (x,\; t)\; hdt.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x\; +\; h,\; t)\; \backslash ,\; dt\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}\; \{h\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{\; b\}\; \backslash \; left\; (f\; (x\; +\; h,\; t)\; -f\; (x,\; t)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt\}\; \{h\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; h,\; t)\; -f\; (x,\; t)\}\; \{h\}\}\; \backslash ,\; dt.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Теперь покажем, что предел может быть прошел через знак интеграла.

Мы утверждаем, что переход к пределу под знаком интеграла выполняется по теореме об ограниченной сходимости (следствие из теоремы о доминирующей сходимости ). Для каждого δ>0 рассмотрим разностное отношение

$f\; \delta \; (x,\; t)\; =\; f\; (x\; +\; \delta ,\; t)\; -\; f\; (x,\; t)\; \delta .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; delta\}\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; \backslash \; delta,\; t)\; -f\; (x,\; t)\}\; \{\backslash \; delta\}\}.\}$

При фиксированном t теорема о среднем значении подразумевает, что существует z в интервале [x, x + δ] такое, что

$f\; \delta \; (x,\; t)\; =\; fx\; (z,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; delta\}\; (x,\; t)\; =\; f\_\; \{x\}\; (z,\; t).\}$

Непрерывность f x (x, t) и компактность области вместе подразумевают что f x (x, t) ограничено. Таким образом, приведенное выше применение теоремы о среднем дает единообразную (независимо от $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$) границу на $f\; \delta \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; delta\; \}\; (x,\; t)\}$. Частные разности сходятся поточечно к частной производной f x в предположении, что частная производная существует.

Приведенный выше аргумент показывает, что для каждой следовать {δ n } → 0 последовательность $\{f\; \delta \; n\; (x,\; t)\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\; \_\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{n\}\}\; (x,\; t)\; \backslash \}\}$равномерно ограничено и поточечно сходится к f x. Теорема об ограниченной сходимости утверждает, что если последовательность функций множественной конечной мерно ограничена и сходится поточечно, то переход предела под интегралом допустим. В частности, предел и интеграл можно поменять местами для любой из систем {δ n } → 0. Следовательно, предел при δ → 0 может быть пропущен через знак интеграла.

Форма пределов числового

Для непрерывной функции с действительным знаком g одной действительной переменной и с действительным знаком дифференцируемые функции $f\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\}$и $f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{2\}\}$одной реальной переменной,

$ddx\; (\int \; f\; 1\; (x)\; f\; 2\; (x)\; g\; (t)\; dt)\; =\; g\; (f\; 2\; (x))\; f\; 2\; \prime \; (x)\; -\; g\; (f\; 1\; (x))\; f\; 1\; \prime \; (Икс).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{f\_\; \{1\}\; (x)\}\; ^\; \{f\_\; \{2\}\; (x)\}\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; =\; g\; \backslash \; left\; (f\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; right)\; \{f\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\}\; -\; g\; \backslash \; left\; (f\_\; \{1\}\; (x)\; \backslash \; right)\; \{f\_\; \{1\}\text{'}\; (x)\}.\}$

Это следует из цепного правила и Первой фундаментальной теоремы исчисления. Определим

$G\; (x)\; =\; \int \; е\; 1\; (x)\; f\; 2\; (x)\; g\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{f\_\; \{1\}\; (x)\}\; ^\; \{f\_\; \{2\; \}\; (х)\}\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\}$,

и

$\Gamma \; (x)\; =\; \int \; 0\; xg\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\; \}\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\}$. (Нижний предел просто должен быть отдельным числом в домене $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$)

Тогда $G\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x)\}$может быть записано как состав : $G\; (x)\; =\; (\Gamma \; \circ \; f\; 2)\; (x)\; -\; (\Gamma \; \circ \; f\; 1)\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x)\; =\; (\backslash \; Gamma\; \backslash \; circ\; f\_\; \{2\})\; (x)\; -\; (\backslash \; Gamma\; \backslash \; circ\; f\_\; \{1\})\; (x)\}$. Тогда правило цепочки подразумевает, что

$G\; \prime \; (Икс)\; знак\; равно\; \Gamma \; \prime \; (е\; 2\; (Икс))\; е\; 2\; \prime \; (Икс)\; -\; \Gamma \; \prime \; (F\; 1\; (Икс))\; f\; 1\; \prime \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; Gamma\text{'}\; \backslash \; left\; (F\_\; \{2\}\; (х)\; \backslash \; right)\; f\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\; -\; \backslash \; Gamma\text{'}\; \backslash \; left\; (f\_\; \{1\}\; (x)\; \backslash \; right)\; f\_\; \{1\}\; \text{'}(x)\}$.

По Первая основная теорема исчисления, $\Gamma \; \prime \; (x)\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \text{'}(x)\; =\; g\; (x)\}$. Таким образом, подставляя этот результат выше, мы получаем желаемое уравнение :

$G\; \prime \; (x)\; =\; g\; (f\; 2\; (x))\; f\; 2\; \prime \; (x)\; -\; g\; (f\; 1\; (x))\; f\; 1\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \text{'}(x)\; =\; g\; \backslash \; left\; (f\_\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; right)\; \{f\_\; \{2\}\; \text{'}(x)\}\; -\; g\; \backslash \; left\; (f\_\; \{1\}\; (x)\; \backslash \; right)\; \{f\_\; \{1\}\; »(x)\}\}$.

Примечание: Эта форма может бы ть особенно полезной, если дифференцируемое выражение формы:

$\int \; f\; 1\; (x)\; f\; 2\; (x)\; h\; (x)\; g\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{f\_\; \{1\}\; (x)\}\; ^\; \{f\_\; \{2\}\; (x)\}\; h\; (x)\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\}$

Город $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\}$не зависит от пределов интегрирования, он может быть вынесено из-под знака интеграла, и указанная выше форма может использоваться с Правилом продукта, то есть

$ddx\; (\int \; f\; 1\; (x)\; f\; 2\; (x)\; h\; (x)\; g\; (\; t)\; dt)\; =\; ddx\; (h\; (x)\; \int \; f\; 1\; (x)\; f\; 2\; (x)\; g\; (t)\; dt)\; =\; h\; \prime \; (x)\; \int \; f\; 1\; (x)\; f\; 2\; (x)\; g\; (t)\; dt\; +\; час\; (Икс)\; ddx\; (\int \; е\; 1\; (x)\; f\; 2\; (x)\; g\; (t)\; dt)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{f\_\; \{1\}\; (x)\}\; ^\; \{f\_\; \{2\}\; (x)\}\; h\; (x)\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (h\; (x)\; \backslash \; int\; \_\; \{f\_\; \{\; 1\}\; (x)\}\; ^\; \{f\_\; \{2\}\; (x)\}\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\; =\; h\; \text{'}(x)\; \backslash \; int\; \_\; \{f\_\; \{1\}\; (x)\}\; ^\; \{f\_\; \{2\}\; (x)\}\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\; +\; h\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{f\_\; \{1\}\; (x)\}\; ^\; \{f\_\; \{2\}\; (x)\; \}\; g\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right)\}$

Общая форма с переменными пределами

Установить

$\phi \; (\alpha )\; =\; \int \; abf\; (x,\; \alpha )\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx,\}$

где a и b - функции α, которые показывают приращения Δa и Δb, соответственно, при увеличении α на Δα. Тогда

$Δ φ = φ (α + Δ α) - φ (α) = ∫ a + Δ ab + Δ bf (x, α + Δ α) dx - ∫ abf (x, α) dx = ∫ a + Δ aaf (x, α + Δ α) dx + ∫ abf (x, α + Δ α) dx + ∫ bb + Δ bf (x, α + Δ α) dx - ∫ abf (x, α) dx = - ∫ aa + Δ af (x, α + Δ α) dx + ∫ ab [f (x, α + Δ α) - f (x, α)] dx + ∫ bb + Δ bf (x, α + Δ α) dx. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ varphi = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {b + \ Дельта b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ { b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ = - \ int _ {a} ^ {a + \ Delta a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} [f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx. \ end {align}}}$

Форма теоремы о среднем значении, $\int \; abf\; (x)\; dx\; =\; (b\; -\; a)\; f\; (\xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (\; x)\; \backslash ,\; dx\; =\; (ba)\; f\; (\backslash \; xi)\}$, где a < ξ < b, may be applied to the first and last integrals of the formula for Δφ above, resulting in

$\Delta \; \phi \; =\; -\; \Delta \; af\; (\xi \; 1,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; +\; \int \; ab\; [f\; (x,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; -\; f\; (x,\; \alpha )]\; dx\; +\; \Delta \; bf\; (\xi \; 2,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\; =\; -\; \backslash \; Delta\; af\; (\backslash \; xi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; [f\; (x,\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; -f\; (x,\; \backslash \; alpha)]\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; Delta\; bf\; (\backslash \; xi\; \_\; \{2\},\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha).\}$

Разделите на Δα и пусть Δα → 0. Обратите внимание на ξ 1 → a и ξ 2 → b. Мы можем пройти предел через знак интеграла:

$lim\; \Delta \; \alpha \; \to \; 0\; \int \; abf\; (x,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; -\; f\; (x,\; \alpha )\; \Delta \; \alpha \; dx\; =\; \int \; ab\; \partial \; \partial \; \alpha \; f\; (x,\; \alpha )\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x,\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; -f\; (x,\; \backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx,\}$

снова по теореме об ограниченной сходимости. Это дает общую форму интегрального правила Лейбница,

$d\; \phi \; d\; \alpha \; =\; \int \; a\; b\; \partial \; \partial \; \alpha \; f\; (x,\; \alpha )\; d\; x\; +\; f\; (b,\; \alpha )\; d\; b\; d\; \alpha \; -\; f\; (a,\; \alpha )\; d\; a\; d\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; varphi\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx\; +\; f\; (b,\; \backslash \; alpha)\; \{\backslash \; frac\; \{db\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; -\; f\; (a,\; \backslash \; alpha)\; \{\backslash \; frac\; \{da\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}.\}$

Альтернативное доказательство Общая форма с переменными пределами, с использованием правила цепочки

Общая форма интегрального правила Лейбница с переменными пределами может быть получена как следствие базовой формы интегрального правила Лейбница, Правило многомерной цепочки и Первая основная теорема исчисления. Предположим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$определен в прямоугольнике в плоскости $x\; -\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; xt\}$для $x\; \in \; [x\; 1,\; x\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}]\}$и $t\; \in \; [t\; 1,\; t\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\}]\}$. Также предположим, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и частная производная $\partial \; f\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$- обе непрерывные функции в этом прямоугольнике. Предположим, что $a,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\}$- дифференцируемые функции с действительными значениями, определенные на $[x\; 1,\; x\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\_\; \{1\; \},\; x\_\; \{2\}]\}$, со значениями в $[t\; 1,\; t\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; [t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\}]\}$( т.е. для каждого $x\; \in \; [x\; 1,\; x\; 2],\; a\; (x),\; b\; (x)\; \in \; [t\; 1,\; t\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}],\; a\; (x),\; b\; (x)\; \backslash \; in\; [t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\}]\}$). Теперь установите

$F\; (x,\; y)\; =\; \int \; t\; 1\; yf\; (x,\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{y\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}$, для $x\; \in \; [x\; 1,\; x\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}]\}$и $y\; \in \; [t\; 1,\; t\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; [t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\}]\}$

и

$G\; (x)\; =\; \int \; a\; (x)\; b\; (\; х)\; е\; (х,\; т)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}$, для $x\; \in \; [x\; 1,\; x\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}]\}$

Тогда по свойствам определенных интегралов мы можем запишите

$G\; (x)\; =\; \int \; t\; 1\; b\; (x)\; f\; (x,\; t)\; dt\; -\; \int \; t\; 1\; a\; (x)\; f\; (x,\; t)\; dt\; =\; F\; (x,\; b\; (x))\; -\; F\; (Икс,\; а\; (х))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; G\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt-\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{a\; (x)\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; =\; F\; (x,\; b\; (x))\; -\; F\; (x,\; a\; (x))\; \backslash \; end\; \{\; выровнен\}\}\}$

Поскольку функции $F,\; a,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; F,\; a,\; b\}$все дифференцируемы (см. замечание в конце доказательства), Правило многопараметрической цепочки, из этого следует, что $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$отличается iable, а его производная дается формулой:

$G\; \prime \; (x)\; =\; (\partial \; F\; \partial \; x\; (x,\; b\; (x))\; +\; \partial \; F\; \partial \; y\; (x,\; b\; (x))\; b\; \prime \; (x))\; -\; (\partial \; F\; \partial \; x\; (x,\; a\; (x))\; +\; \partial \; F\; \partial \; y\; (x,\; a\; (x))\; a\; \prime \; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; left\; (x,\; b\; (x)\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; left\; (x,\; b\; (x)\; \backslash \; right)\; b\; \text{'}(x)\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; left\; (x,\; a\; (x)\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; left\; (x,\; a\; (x)\; \backslash \; right)\; a\; \text{'}(x)\; \backslash \; right)\}$

Теперь обратите внимание, что для каждого $x\; \in \; [x\; 1,\; x\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; в\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}]\}$и для каждого $y\; \in \; [t\; 1,\; t\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; [t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\; \}]\}$, мы имеем, что $\partial \; F\; \partial \; x\; (x,\; y)\; =\; \int \; t\; 1\; y\; \partial \; f\; \partial \; x\; (x,\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\; \}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{y\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; t)\; dt\}$, потому что при взятии ч астной производной по $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$из $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$мы сохраняем $у\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$фиксируется в выражении $\int \; t\; 1\; yf\; (x,\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{y\}\; f\; (x,\; t)\; \backslash ,\; dt\}$; таким образом, применяется основная форма интегрального правила Лейбница с постоянными пределами интегрирования. Затем, согласно Первой фундаментальной теореме исчисления, мы имеем, что $\partial \; F\; \partial \; y\; (x,\; y)\; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\; \backslash \; partial\; y\}\}\; (x,\; y)\; =\; f\; (x,\; y)\}$; потому что при взятии частной производной по $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$из $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$первая переменная $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$фиксирован, поэтому основная теорема действительно может быть применена.

Подстановка этих результатов в уравнение для $G\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \text{'}(x)\}$выше дает:

$G\; \prime \; (x)\; =\; (\int \; t\; 1\; b\; (x)\; \partial \; f\; \partial \; x\; (x,\; t)\; dt\; +\; f\; (x,\; b\; (x))\; b\; \prime \; (x))\; -\; (\int \; t\; 1\; a\; (x)\; \partial \; f\; \partial \; x\; (x,\; t)).\; dt\; +\; f\; (x,\; a\; (x))\; a\; \prime \; (x))\; =\; f\; (x,\; b\; (x))\; b\; \prime \; (x)\; -\; f\; (x,\; a\; (x))\; a\; \prime \; (x)\; +\; \int \; a\; (Икс)\; б\; (Икс)\; \partial \; е\; \partial \; Икс\; (Икс,\; T)\; dt,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; G\; \text{'}(x)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{b\; (\; x)\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; t)\; dt\; +\; f\; \backslash \; left\; (x,\; b\; (x)\; \backslash \; right)\; b\; \text{'}(x)\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{a\; (x)\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; t)\; dt\; +\; f\; \backslash \; left\; (x,\; a\; (x)\; \backslash \; right)\; a\; \text{'}(x)\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; f\; \backslash \; left\; (x,\; b\; (x)\; \backslash \; right)\; b\text{'}\; (x)\; -f\; \backslash \; left\; (x,\; a\; (x)\; \backslash \; right)\; a\; \text{'}(x)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; t)\; dt,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

по желанию.

В приведенном выше доказательстве есть технический момент, который стоит отметить: для применения правила цепочки к $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$требуется, чтобы $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \}$уже дифференцируемый. Здесь мы используем наши предположения о $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Как упоминалось выше, частные производные от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$задаются формулами $\partial \; F\; \partial \; x\; (x,\; y)\; =\; \int \; t\; 1\; y\; \partial \; f\; \partial \; x\; (\; х,\; т)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{y\}\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\}\}\; (x,\; t)\; dt\}$и $\partial \; F\; \partial \; y\; (x,\; y)\; =\; f\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\; \backslash \; partial\; y\}\}\; (x,\; y)\; =\; f\; (x,\; y)\}$. Поскольку $\partial \; f\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$непрерывно, его интеграл также является непрерывной функцией, и поскольку $f\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\}$также является непрерывным, эти два результата показывают, что обе частные производные от $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$являются непрерывными. Поскольку непрерывность частных производных подразумевает дифференцируемость функции, $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$действительно дифференцируемо.

Трехмерная, зависящая от времени форма

В момент времени t поверхность Σ на рисунке 1 содержит набор точек, расположенных вокруг центроида $C\; (t)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t)\}$. Функция $F\; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\}$может быть записана как

$F\; (C\; (t)\; +\; r\; -\; С\; (т),\; т)\; знак\; равно\; F\; (С\; (т)\; +\; я,\; т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\}\; (т)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t),\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{I\},\; t),\}$

с $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\}$независимо от времени. Переменные перемещаются в новую систему отсчета, прикрепленную к движущейся поверхности, с началом координат в $C\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; (t)\}$. For a rigidly translating surface, the limits of integration are then independent of time, so:

$d\; d\; t\; (\; \iint \; \Sigma \; (\; t)\; d\; A\; r\; \cdot \; F\; (\; r,\; t))\; =\; \iint \; \Sigma \; d\; A\; I\; \cdot \; d\; d\; t\; F\; (\; C\; (\; t)\; +\; I,\; t),\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{d\}\{dt\}\}\backslash left(\backslash iint\; \_\{\backslash Sigma\; (t)\}d\backslash mathbf\; \{A\}\; \_\{\backslash mathbf\; \{r\}\; \}\backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{F\}\; (\backslash mathbf\; \{r\},t)\backslash right)=\backslash iint\; \_\{\backslash Sigma\; \}d\backslash mathbf\; \{A\}\; \_\{\backslash mathbf\; \{I\}\; \}\backslash cdot\; \{\backslash frac\; \{d\}\{dt\}\}\backslash mathbf\; \{F\}\; (\backslash mathbf\; \{C\}\; (t)+\backslash mathbf\; \{I\},t),\}$

where the limits of integration confining the integral to the region Σ no longer are time dependent so differentiation passes through the integration to act on the integrand only:

$d\; d\; t\; F\; (\; C\; (\; t)\; +\; I,\; t)\; =\; F\; t\; (\; C\; (\; t)\; +\; I,\; t)\; +\; v\; \cdot \; \nabla \; F\; (\; C\; (\; t)\; +\; I,\; t)\; =\; F\; t\; (\; r,\; t)\; +\; v\; \cdot \; \nabla \; F\; (\; r,\; t),\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{d\}\{dt\}\}\backslash mathbf\; \{F\}\; (\backslash mathbf\; \{C\}\; (t)+\backslash mathbf\; \{I\},t)=\backslash mathbf\; \{F\}\; \_\{t\}(\backslash mathbf\; \{C\}\; (t)+\backslash mathbf\; \{I\},t)+\backslash mathbf\; \{v\backslash cdot\; \backslash nabla\; F\}\; (\backslash mathbf\; \{C\}\; (t)+\backslash mathbf\; \{I\},t)=\backslash mathbf\; \{F\}\; \_\{t\}(\backslash mathbf\; \{r\},t)+\backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \backslash mathbf\; \{F\}\; (\backslash mathbf\; \{r\},\; t),\}$

with the velocity of motion of the surface defined by

$v\; =\; d\; d\; t\; C\; (\; t).\; \{\backslash displaystyle\; \backslash mathbf\; \{v\}\; =\{\backslash frac\; \{d\}\{dt\}\}\backslash mathbf\; \{C\}\; (t).\}$

This equation expresses the material derivative of the field, that is, the derivative with respect to a coordinate system attached to the moving surface. Having found the derivative, variables can be switched back to the original frame of reference. We notice that (see article on curl )

$\nabla \; \times \; (\; v\; \times \; F)\; =\; (\; \nabla \; \cdot \; F\; +\; F\; \cdot \; \nabla )\; v\; -\; (\; \nabla \; \cdot \; v\; +\; v\; \cdot \; \nabla )\; F,\; \{\backslash displaystyle\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\; \{F\}\; \backslash right)=(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{F\}\; +\backslash mathbf\; \{F\}\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\backslash mathbf\; \{v\}\; -(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\}\; +\backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\backslash mathbf\; \{F\},\}$

and that Stokes theorem equates the surface integral of the curl over Σ with a line integral over ∂Σ:

$d\; d\; t\; (\; \iint \; \Sigma \; (\; t)\; F\; (\; r,\; t)\; \cdot \; d\; A)\; =\; \iint \; \Sigma \; (\; t)\; (\; F\; t\; (\; r,\; t)\; +\; (\; F\; \cdot \; \nabla )\; v\; +\; (\; \nabla \; \cdot \; F)\; v\; -\; (\; \nabla \; \cdot \; v)\; F)\; \cdot \; d\; A\; -\; \oint \; \partial \; \Sigma \; (\; t)\; \; (\; v\; \times \; F)\; \cdot \; d\; s.\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{d\}\{dt\}\}\backslash left(\backslash iint\; \_\{\backslash Sigma\; (t)\}\backslash mathbf\; \{F\}\; (\backslash mathbf\; \{r\},t)\backslash cdot\; d\backslash mathbf\; \{A\}\; \backslash right)=\backslash iint\; \_\{\backslash Sigma\; (t)\}\{\backslash big\; (\}\backslash mathbf\; \{F\}\; \_\{t\}(\backslash mathbf\; \{r\},t)+\backslash left(\backslash mathbf\; \{F\backslash cdot\; \backslash nabla\; \}\; \backslash right)\backslash mathbf\; \{v\}\; +\backslash left(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{F\}\; \backslash right)\backslash mathbf\; \{v\}\; -(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; \{v\})\backslash mathbf\; \{F\}\; \{\backslash big)\}\backslash cdot\; d\backslash mathbf\; \{A\}\; -\backslash oint\; \_\{\backslash partial\; \backslash Sigma\; (t)\}\backslash left(\backslash mathbf\; \{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\; \{F\}\; \backslash right)\backslash cdot\; d\backslash mathbf\; \{s\}.\}$

The sign of the line integral is based on the right-hand rule for the choice of direction of line element ds. To establish this sign, for example, suppose the field Fpoints in the positive z-direction, and the surface Σ is a portion of the xy-plane with периметр ∂Σ. Мы принимаем нормаль к Σ в положительном направлении z. Положительный обход ∂Σ затем осуществляется против часовой стрелки (правило правой руки с большим пальцем вдоль оси z). Тогда интеграл в левой части определяет положительный поток F через Σ. Предположим, что Σ перемещается в положительном направлении оси x со скоростью v . Элемент границы Σ, параллельный оси y, скажем, d s, выметает область v t × d s за время t. Если мы проинтегрируем вокруг границы ∂Σ против часовой стрелки, v t × d s будет указывать в отрицательном направлении оси z на левой стороне ∂Σ (где d s указывает вниз), и в положительном направлении оси z с правой стороны ∂Σ (где d s указывает вверх), что имеет смысл, поскольку Σ перемещается вправо, добавляя область на справа и теряет его слева. Исходя из этого, поток F увеличивается справа от ∂Σ и уменьшается слева. Однако скалярное произведение v× F • ds= - F× v• d s = - F • v × d s . Следовательно, знак линейного интеграла принимается отрицательным.

Если v - константа,

$ddt\; \iint \; \Sigma \; (t)\; F\; (r,\; t)\; \cdot \; d\; A\; =\; \iint \; \Sigma \; (t)\; (F\; t\; (r,\; t)\; +\; (\nabla \; \cdot \; F)\; v)\; \cdot \; d\; A\; -\; \oint \; \partial \; \Sigma \; (t)\; (v\; \times \; F)\; \cdot \; ds,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; iint\; \_\; \{\backslash \; Sigma\; (t)\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; iint\; \_\; \{\backslash \; Sigma\; (t)\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{t\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\; r\},\; t)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; -\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Sigma\; (t)\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mathbf\; \{s\},\}$

который является результатом в кавычках. Это доказательство не рассматривает возможность деформации поверхности при движении.

Альтернативный вывод

Лемма. Имеется:

$\partial \; \partial \; b\; (\int \; abf\; (x)\; dx)\; =\; f\; (b),\; \partial \; \partial \; a\; (\int \; abf\; (x)\; dx)\; =\; -\; f\; (а).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; b\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; =\; f\; (b),\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; =\; -\; f\; (a).\}$

Доказательство. Из доказательства основной теорема исчисления,

$\partial \; \partial \; b\; (\int \; abf\; (x)\; dx)\; =\; lim\; \Delta \; b\; \to \; 0\; 1\; \Delta \; b\; [\int \; ab\; +\; \Delta \; bf\; (x)\; dx\; -\; \int \; abf\; (x)\; dx]\; =\; lim\; \Delta \; b\; \to \; 0\; 1\; \Delta \; á\; bb\; +\; \Delta \; bf\; (x)\; dx\; =\; lim\; \Delta \; b\; \to \; 0\; 1\; \Delta \; b\; [f\; (b)\; \Delta \; b\; +\; O\; (\Delta \; b\; 2)]\; =\; f\; (b),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; b\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; b\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; b\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\; +\; \backslash \; Delta\; b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx-\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; \}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; b\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; b\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{b\; \}\; ^\; \{b\; +\; \backslash \; Delta\; b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; b\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; b\}\}\; \backslash \; left\; [f\; (b)\; \backslash \; Delta\; b\; +\; O\; \backslash \; left\; (\backslash \; Delta\; b\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; f\; (b),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и

$\partial \; \partial \; a\; (\int \; abf\; (x)\; dx)\; =\; lim\; ∆\; a\; \to \; 0\; 1\; ∆\; a\; [\int \; a\; +\; ∆\; abf\; (x)\; dx\; -\; \int \; abf\; (x)\; dx]\; =\; lim\; ∆\; a\; \to \; 0\; 1\; ∆\; a\; \int \; a\; +\; ∆\; aaf\; (x)\; dx\; =\; lim\; ∆\; a\; \to \; 0\; 1\; ∆\; a\; [-\; f\; (a)\; ∆\; a\; +\; O\; (∆\; a\; 2)]\; =\; -\; f\; (a).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; a\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; a\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; int\; \_\; \{a\; +\; \backslash \; Delta\; a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx-\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; \}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; a\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; a\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; +\; \backslash \; Delta\; a\}\; ^\; \{a\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; a\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; a\}\}\; \backslash \; left\; [-\; f\; (a)\; \backslash \; Delta\; a\; +\; O\; \backslash \; left\; (\backslash \; Delta\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; -\; f\; (a).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Предположим, что a и b постоянны, и что f (x) включает параметр α, который постоянен при интегрировании различных изменений, но может изменяться для образования интегралов. Предположим, что f (x, α) является непрерывной функцией x и α в компакте {(x, α): α 0 ≤ α ≤ α 1 и a ≤ x ≤ b}, и что частная производная f α (x, α) существует и непрерывна. Если определить:

$\phi \; (\alpha )\; =\; \int \; abf\; (x,\; \alpha )\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx,\}$

, тогда $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$можно дифференцировать по α путем дифференцирования под знаком интеграла, т. е.

$d\; \phi \; d\; \alpha \; =\; \int \; ab\; \partial \; \partial \; \alpha \; f\; (x,\; \alpha )\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; varphi\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx.\}$

По теореме Гейне - Кантора он равномерно непрерывен в этом множестве. Другими словами, для любого ε>0 существует Δα такое, что для всех значений x в [a, b],

С другой стороны,

$\Delta \; \phi \; =\; \phi \; (\alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; -\; \phi \; (\alpha )\; =\; \int \; abf\; (x,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; dx\; -\; \int \; abf\; (x,\; \alpha )\; dx\; =\; \int \; ab\; (\; f\; (x,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; -\; f\; (x,\; \alpha ))\; dx\; \le \; \epsilon \; (b\; -\; a).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\; =\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; -\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx-\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; (f\; (x,\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; -f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; leq\; \backslash \; varepsilon\; (ba).\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

Следовательно, φ (α) - непрерывная функция.

Аналогично, если $\partial \; \partial \; \alpha \; f\; (x,\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\}$существует и непрерывно, то для любого ε>0 существует ∆α такое, что:

Следовательно,

$\Delta \; \phi \; \Delta \; \alpha \; =\; \int \; abf\; (x,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; -\; f\; (x,\; \alpha )\; \Delta \; \alpha \; dx\; =\; \int \; ab\; \partial \; f\; (x,\; \alpha )\; \partial \; \alpha \; dx\; +\; R,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x,\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; -f\; (x,\; \backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash ,\; dx\; +\; R,\}$

где

Теперь ε → 0 при Δα → 0, поэтому

$lim\; \Delta \; \alpha \; \to \; 0\; \Delta \; \phi \; \Delta \; \alpha \; =\; d\; \phi \; d\; \alpha \; =\; \int \; a\; b\; \partial \; \partial \; \alpha \; f\; (x,\; \alpha )\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; varphi\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx.\}$

Это формула, которую мы собираемся доказать.

Теперь предположим, что

$\int \; abf\; (x,\; \alpha )\; dx\; =\; \phi \; (\alpha ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha),\}$

где a и b - функции от α, которые принимают приращения Δa и Δb соответственно, когда α увеличивается на Δα. Тогда

$Δ φ = φ (α + Δ α) - φ (α) = ∫ a + Δ ab + Δ bf (x, α + Δ α) dx - ∫ abf (x, α) dx = ∫ a + Δ aaf (x, α + Δ α) dx + ∫ abf (x, α + Δ α) dx + ∫ bb + Δ bf (x, α + Δ α) dx - ∫ abf (x, α) dx = - ∫ aa + Δ af (x, α + Δ α) dx + ∫ ab [f (x, α + Δ α) - f (x, α)] dx + ∫ bb + Δ bf (x, α + Δ α) dx. {\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ varphi = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ [6pt] = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] = - \ int _ {a} ^ {a + \ Delta a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a } ^ {b} [f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ альфа + \ Дельта \ альфа) \, dx. \ end {align}}}$

Форма теоремы о среднем значении, $\int \; abf\; (x)\; dx\; =\; (b\; -\; a)\; f\; (\xi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\; \}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; (ba)\; f\; (\backslash \; xi),\}$где a < ξ < b, can be applied to the first and last integrals of the formula for Δφ above, resulting in

$\Delta \; \phi \; =\; -\; \Delta \; af\; (\xi \; 1,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; +\; ab\; [f\; (x,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha )\; -\; f\; (x,\; \alpha )]\; dx\; +\; \Delta \; bf\; (\xi \; 2,\; \alpha \; +\; \Delta \; \alpha ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; varphi\; =\; -\; \backslash \; Delta\; a\; \backslash ,\; f\; (\backslash \; xi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; [f\; (x,\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha)\; -f\; (x,\; \backslash \; alpha)]\; \backslash ,\; dx\; +\; \backslash \; Delta\; b\; \backslash ,\; f\; (\backslash \; xi\; \_\; \{2\},\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; alpha).\}$

Делим на Δα, позволяя Δα → 0, обращая внимание на ξ 1 → a и ξ 2 → b и используя приведенный выше вывод для

$d\; \phi \; d\; \alpha \; =\; \int \; ab\; \partial \; \partial \; \alpha \; f\; (x,\; \alpha )\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; varphi\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx\}$

дает

$d\; \phi \; d\; \alpha \; =\; \int \; ab\; \partial \; \partial \; \alpha \; f\; (x,\; \alpha )\; dx\; +\; f\; (b,\; \alpha )\; \partial \; b\; \partial \; \alpha \; -\; f\; (a,\; \alpha )\; \partial \; а\; \partial \; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; varphi\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; f\; (x,\; \backslash \; alpha)\; \backslash ,\; dx\; +\; f\; (b,\; \backslash \; alpha)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; b\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; -\; f\; (a,\; \backslash \; alpha)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}.\}$

Это общая форма интегрального правила Лейбница.

Пример 1: Фиксированные пределы

Рассмотрим функцию

$\phi \; (\alpha )\; =\; \int \; 0\; 1\; \alpha \; x\; 2\; +\; \alpha \; 2\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Функция под знаком интеграла не является непрерывной в точке (x, α) = (0, 0), функция φ (α) имеет разрыв при α = 0, поскольку φ (α) стремится к ± π / 2 при α → 0.

Если продифференцировать φ (α) по α под знаком интеграла, получим

$dd\; \alpha \; \phi \; (\alpha )\; =\; \int \; 0\; 1\; \partial \; \partial \; \alpha \; (\alpha \; x\; 2\; +\; \alpha \; 2)\; dx\; =\; \int \; 0\; 1\; x\; 2\; -\; \alpha \; 2\; (x\; 2\; +\; \alpha \; 2)\; 2\; dx\; =\; -\; xx\; 2\; +\; \alpha \; 2\; |\; 0\; 1\; знак\; равно\; -\; 1\; 1\; +\; \alpha \; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\; \backslash \; гидроразрыв\; \{x\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{(x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\; dx\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{x\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1+\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\},\}$

то есть, конечно, верно для всех значений α, кроме α = 0. Это можно проинтегрировать (относительно α), чтобы найти

$\phi \; (\alpha )\; =\; \{0,\; \alpha \; =\; 0,\; -\; arctan\; \; (\alpha )\; +\; \pi \; 2,\; \alpha \; \ne \; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; 0,\; \backslash \; alpha\; =\; 0,\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; arctan\; (\{\backslash \; alpha\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; \backslash \; alpha\; \backslash \; neq\; 0.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Пример 2: Пределы чисел

Пример с пределами чисел:

$ddx\; \int \; sin\; \; x\; cos\; \; x\; ch\; \; t\; 2\; dt\; =\; cosh\; \; (cos\; 2\; \; x)\; ddx\; (cos\; \; x)\; -\; cosh\; \; (sin\; 2\; \; x)\; ddx\; (sin\; \; x)\; +\; \int \; sin\; \; x\; cos\; \; x\; \partial \; \partial \; x\; (cosh\; \; t\; 2)\; dt\; =\; cosh\; \; (соз\; 2\; \; х)\; (-\; sin\; \; x)\; -\; cosh\; \; (sin\; 2\; \; x)\; (cos\; \; x)\; +\; 0\; =\; -\; cosh\; \; (cos\; 2\; \; x)\; sin\; \; x\; -\; cosh\; \; (sin\; 2\; \; х)\; соз\; \; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; sin\; x\}\; ^\; \{\backslash \; cos\; x\}\; \backslash \; cosh\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (\backslash \; cos\; x)\; -\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \}\; (\backslash \; sin\; x)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; sin\; x\}\; ^\; \{\backslash \; cos\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; ch\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; dt\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; (-\; \backslash \; sin\; x)\; -\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; (\backslash \; cos\; x)\; +0\; \backslash \; \backslash \; [6pt]\; =\; -\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; \backslash \; sin\; x-\; \backslash \; cosh\; \backslash \; left\; (\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; \backslash \; cos\; x.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Вычисление параметров интегралов

Формула

$ddx\; (\int \; a\; (x)\; b\; (x)\; f\; (x,\; t)\; dt)\; =\; f\; (x,\; b\; (х))\; \cdot \; ddxb\; (x)\; -\; е\; (x,\; a\; (x))\; \cdot \; ddxa\; (x)\; +\; \int \; a\; (x)\; b\; (x)\; \partial \; \partial \; xf\; (x,\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; f\; (x,\; t)\; dt\; \backslash \; right)\; =\; f\; \{\backslash \; big\; (\}\; x,\; b\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; b\; (x)\; -f\; \{\backslash \; big\; (\}\; x,\; a\; (x)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\}\; \{dx\}\}\; a\; (x)\; +\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{a\; (x)\}\; ^\; \{b\; (x)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; f\; (x,\; t)\; dt\}$

может быть использование при определенном определенном объеме. В этом контексте правила Лейбница для дифференцирования под интеграла также известна как трюк Фейнмана или система интегрирования.

Пример 3

Рассмотрим

$\phi \; (\alpha )\; =\; \int \; 0\; \pi \; ln\; \; (1-2\; \alpha \; cos\; \; (x)\; +\; \alpha \; 2)\; d\; x,\; |\; \alpha \; |>1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1-2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; (x)\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; qquad\; |\; \backslash \; alpha\; |>1.\}$

,

$dd\; \alpha \; \phi \; (\alpha )\; =\; \int \; 0\; \pi \; -\; 2\; cos\; \; (x)\; +\; 2\; \alpha \; 1-2\; \alpha \; cos\; \; (x)\; +\; \alpha \; 2\; dx\; =\; 1\; \alpha \; \int \; 0\; \pi \; (1\; -\; 1\; -\; \alpha \; 2\; 1\; -\; 2\; \alpha \; cos\; \; (x)\; +\; \alpha \; 2)\; dx\; =\; \pi \; \alpha \; -\; 2\; \alpha \; \{arctan\; \; (1\; +\; \alpha \; 1\; -\; \alpha \; tan\; \; (x\; 2))\}\; |\; 0\; \pi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{-2\; \backslash \; cos\; (x)\; +2\; \backslash \; alpha\}\; \{1-2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; (x)\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1-\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{1-2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; (x)\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; alpha\}\; \{1-\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}.\; \backslash \; end\; \{выровняйте\}\}$

<График>x {\ displaystyle x}изменяе тся от $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$до $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$, мы имеем

Следовательно,

Следовательно,

Интегрируя обе стороны относительно $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, получаем:

$C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; 1\}\; 219>$следует из оценки $\phi \; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (0)\}$:

$\phi \; (0)\; =\; \int \; 0\; \pi \; ln\; \; (1)\; dx\; знак\; равно\; \int \; 0\; \pi \; 0\; dx\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (0)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; ln\; (1)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; 0\; \backslash ,\; dx\; =\; 0.\}$

Чтобы определить $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\}$таким же образом, нам понадобятся подпрограммы $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$больше 1 в $\phi \; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\}$. Это несколько неудобно. Вместо этого мы подставляем $\alpha \; =\; 1\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; beta\}\}\}$, где . Тогда

$\phi \; (\alpha )\; =\; \int \; 0\; \pi \; (ln\; \; (1-2\; \beta \; cos\; \; (x)\; +\; \beta \; 2)\; -\; 2\; ln\; \; |\; \beta \; |)\; dx\; =\; \int \; 0\; \pi \; ln\; 1\; (1-2\; \beta \; cos\; \; (x)\; +\; \beta \; 2)\; dx\; -\; \int \; 0\; \pi \; 2\; ln\; \; |\; \beta \; |\; d\; x\; =\; 0\; -\; 2\; \pi \; ln\; \; |\; \beta \; |\; =\; 2\; \pi \; ln\; \; |\; \alpha \; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1-2\; \backslash \; beta\; \backslash \; cos\; (x)\; +\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; -2\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; beta\; |\; \backslash \; right)\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1-2\; \backslash \; beta\; \backslash \; cos\; (x)\; +\; \backslash \; beta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx-\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; 2\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; beta\; |\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 0-2\; \backslash \; pi\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; бета\; |\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; ln\; |\; \backslash \; альфа\; |.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, $C\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\; =\; 0\}$

Определение $\phi \; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; alpha)\}$завершено:

Вышеупомянутое обсуждение, конечно, не используется, когда $\alpha \; =\; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; pm\; 1\}$, поскольку условия дифференцируемости не выполняются.

Пример 4

$I\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; 1\; (a\; соз\; 2\; \; Икс\; +\; b\; грех\; 2\; \; Икс)\; 2\; dx,\; a,\; b>0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\; \backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(a\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; qquad\; a,\; b>0.\}$

Сначала мы вычислить:

$J\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; 1\; a\; cos\; 2\; \; x\; +\; b\; sin\; 2\; \; xdx\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; 1\; cos\; 2\; \; xa\; +\; b\; sin\; 2\; \; x\; cos\; 2\; \; xdx\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; сек\; 2\; \; xa\; +\; b\; tan\; 2\; \; xdx\; =\; 1\; b\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; 1\; (ab)\; 2\; +\; tan\; 2\; \; xd\; (tan\; \; x)\; =\; 1\; ab\; arctan\; \; (ba\; tan\; \; x)\; |\; 0\; \pi \; /\; 2\; =\; \pi \; 2\; а\; б.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; textbf\; \{J\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\}\}\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\}\}\; \{a\; +\; b\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\}\}\}\}\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{a\; +\; b\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; x\}\}\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; x\}\}\; \backslash ,\; d\; (\backslash \; tan\; x)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{ab\}\}\}\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\}\}\; \backslash \; tan\; x\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; Bigg\; |\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{ab\}\}\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

пределы интегрирования не зависят от $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, мы имеем:

$\partial \; J\; \partial \; a\; =\; -\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; cos\; 2\; \; Икс\; (a\; соз\; 2\; \; Икс\; +\; б\; грех\; 2\; \; Икс)\; 2\; dx\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; textbf\; \{J\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\; \backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{\backslash \; left\; (a\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; \}$

С другой стороны:

$\partial \; J\; \partial \; a\; =\; \partial \; \partial \; a\; (\pi \; 2\; ab)\; =\; -\; \pi \; 4\; a\; 3\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; textbf\; \{J\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{ab\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{3\}\; b\}\}\}\}.\}$

Уравнивание этих двух сравнений дает

$\int \; 0\; \pi \; /\; 2\; cos\; 2\; \; x\; (a\; cos\; 2\; \; x\; +\; b\; sin\; 2\; \; x)\; 2\; dx\; =\; \pi \; 4\; a\; 3\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{\backslash \; left\; (a\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\; ^\; \{3\}\; b\}\}\}\}.\}$

Аналогичным образом, преследуя $\partial \; J\; \partial \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; textbf\; \{J\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; b\}\}\}$дает

$\int \; 0\; \pi \; /\; 2\; sin\; 2\; \; x\; (a\; cos\; 2\; \; x\; +\; b\; sin\; 2\; \; x)\; 2\; dx\; знак\; равно\; \pi \; 4\; ab\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{\backslash \; left\; (a\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{ab\; ^\; \{3\}\}\}\}\}.\}$

После сложения двух результатов получается

$I\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; 1\; (a\; соз\; 2\; \; x\; +\; b\; sin\; 2\; \; x)\; 2\; dx\; =\; \pi \; 4\; ab\; (1\; a\; +\; 1\; b),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (a\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{ab\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\}\}\; \backslash \; right),\}$

который вычисляет $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\}$по желанию.

Этот вывод можно обобщить. Обратите внимание, если мы определим

$I\; n\; =\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; 1\; (a\; cos\; 2\; cos\; x\; +\; b\; sin\; 2\; \; x)\; ndx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; left\; (a\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; +\; b\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash ,\; dx,\}$

легко показать, что

$(1\; -\; n)\; I\; n\; =\; \partial \; I\; n\; -\; 1\; \partial \; a\; +\; \partial \; I\; n\; -\; 1\; \partial \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-n)\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; \_\; \{n-1\}\}\; \{\backslash \; partial\; a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; \_\; \{n-\; 1\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; b\}\}\}$

Учитывая $I\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; \_\; \{1\}\}$, эту формулу интегральной редукции можно использовать для вычислений все значения $I\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; \_\; \{n\}\}$для $n>1\; \{\backslash \; displaystyle\; n>1\}$. Интегралы типа $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{I\}\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\}$также можно обрабатывать с помощью подстановки Вейерштрасса.

Пример 5

Здесь мы рассматриваем интеграл

Дифференцируя под интегралом по $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, имеем

$dd α I (α) = ∫ 0 π / 2 ∂ ∂ α ( ln ⁡ (1 + cos ⁡ α cos ⁡ x) cos ⁡ x) dx = - ∫ 0 π / 2 sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α cos ⁡ xdx = - ∫ 0 π / 2 sin ⁡ α (cos 2 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x 2) + cos ⁡ α (cos 2 ⁡ x 2 - sin 2 ⁡ x 2) dx = - sin ⁡ α 1 - cos ⁡ α ∫ 0 π / 2 1 cos 2 ⁡ x 2 1 1 + cos ⁡ α 1 - cos ⁡ α + tan 2 ⁡ x 2 dx = - 2 sin ⁡ α 1 - cos ⁡ α ∫ 0 π / 2 1 2 sec 2 ⁡ x 2 2 cos 2 ⁡ α 2 2 sin 2 ⁡ α 2 + tan 2 ⁡ x 2 dx = - 2 (2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2) 2 sin 2 ⁡ α 2 ∫ 0 π / 2 1 детская кроватка 2 ⁡ α 2 + tan 2 ⁡ x 2 d (tan ⁡ x 2) = - 2 детская кроватка ⁡ α 2 ∫ 0 π / 2 1 кроватка 2 ⁡ α 2 + загар 2 ⁡ x 2 d (загар ⁡ x 2) = - 2 arctan ⁡ (загар ⁡ α 2 загар ⁡ x 2) | 0 π / 2 = - α. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {d \ alpha}} {\ textbf {I}} (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} \ left ({\ frac {\ ln (1+ \ cos \ alpha \ cos x)} {\ cos x}} \ right) dx \\ [6pt] = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {1+ \ cos \ alpha \ cos x}} \, dx \\ = - \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {\ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} + \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2}))} \ right) + \ cos \ alpha \ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} - \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2}} \ right)} } dx \\ [6pt] = - {\ frac {\ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} {\ frac {1} {{\ frac {1+ \ cos \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} dx \\ [6pt] = - {\ frac {2 \ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ frac {1} {2}} \ sec ^ {2} {\ frac {x} {2}}} {{\ frac {2 \ cos ^ {2} {\ frac { \ альфа} {2}}} {2 \ sin ^ {2} {\ frac { \ alpha} {2}}}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} dx \\ [6pt] = - {\ frac {2 \ left (2 \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right)} {2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ f rac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2 }}}} d \ left (\ tan {\ frac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] = - 2 \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ int _ {0 } ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}} } \, d \ left (\ tan {\ frac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] = - 2 \ arctan \ left (\ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ загар {\ frac {x} {2}} \ right) {\ bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] = - \ alpha. \ end {align}}}$

Следовательно:

$I\; (\alpha )\; =\; C\; -\; \alpha \; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; (\backslash \; alpha)\; =\; C\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}.\}$

Но $I\; (\pi \; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; \{\backslash \; Biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Biggl)\}\; =\; 0\}$по определению, поэтому $C\; =\; \pi \; 2\; 8\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{8\}\}\}$и

$I\; (\alpha )\; =\; \pi \; 2\; 8\; -\; \alpha \; 2\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{I\}\}\; (\backslash \; alpha)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{8\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}.\}$

Пример 6

Здесь мы рассматриваем интеграл

$\int \; 0\; 2\; \pi \; e\; cos\; \; \theta \; cos\; \; (sin\; \; \theta )\; d\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; e\; ^\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta.\}$

Мы вводим новую переменную φ и переписываем интеграл как

$f\; (\phi )\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; e\; \phi \; cos\; \; \theta \; cos\; \; (\phi \; sin\; \; \theta )\; d\; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; е\; ^\; \{\backslash \; varphi\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta.\}$

Когда φ = 1, это равно исходному интегралу. Однако этот более общий интеграл можно дифференцировать относительно $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$:

$dfd\; \phi \; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; \partial \; \partial \; \phi \; (e\; \phi \; cos\; \; \theta \; cos\; \; (\phi \; sin\; \; \theta ))\; d\; \theta \; знак\; равно\; \int \; 0\; 2\; \pi \; e\; \phi \; cos\; \; \theta \; (cos\; \; \theta \; cos\; \; (\phi \; sin\; \; \theta )\; -\; sin\; \; \theta \; sin\; \; (\phi \; sin\; \; \theta ))\; d\; \theta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{d\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{\backslash \; varphi\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; e\; ^\; \{\backslash \; varphi\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta))\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta.\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

Это линейный интеграл от $F\; (x,\; y)\; =\; (e\; \phi \; x\; sin\; \; (ty),\; e\; \phi \; x\; cos\; \; (ty))\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x,\; y)\; =\; (e\; ^\; \{\backslash \; varphi\; x\}\; \backslash \; sin\; (ty),\; e\; ^\; \{\backslash \; varphi\; x\}\; \backslash \; cos\; (ty))\}$над единичной окружностью. По теореме Грина он равен двойному интегралу по единичному кругу $\partial \; F\; 2\; /\; \partial \; x\; -\; \partial \; F\; 1\; /\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; F\_\; \{2\}\; /\; \backslash \; partial\; x-\; \backslash \; partial\; F\_\; \{1\}\; /\; \backslash \; partial\; y\; \}$который равен 0. Отсюда следует, что f (φ) постоянна. Константа может быть определена путем вычисления $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на $\phi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; 0\}$:

$f\; (0)\; =\; \int \; 0\; 2\; \pi \; 1\; d\; \theta \; =\; 2\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (0)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; 1\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; =\; 2\; \backslash \; pi.\}$

Следовательно, исходный интеграл также равен $2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$.

Другие задачи, требующие решения

Существует бесчисленное множество других интегралов, которые можно решить, используя технику дифференцирования под знаком интеграла. Например, в каждом из следующих случаев исходный интеграл может быть заменен аналогичным интегралом с новым параметром $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$:

$\int \; 0\; \infty \; sin\; \; xxdx\; \to \; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; \alpha \; x\; sin\; \; xxdx,\; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; x\; tan\; \; xdx\; \to \; \int \; 0\; \pi \; /\; 2\; tan\; -\; 1\; \; (\alpha \; tan\; \; x)\; tan\; \; xdx,\; \int \; 0\; \infty \; ln\; \; (1\; +\; x\; 2)\; 1\; +\; x\; 2\; dx\; \to \; \int \; 0\; \infty \; ln\; \; (\; 1\; +\; \alpha \; 2\; x\; 2)\; 1\; +\; x\; 2\; dx\; \int \; 0\; 1\; x\; -\; 1\; ln\; \; xdx\; \to \; \int \; 0\; 1\; x\; \alpha \; -\; 1\; ln\; \; xdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; x\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; to\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; x\}\; \{x\}\}\; dx,\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; tan\; x\}\; \}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; to\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; 2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; tan\; x)\}\; \{\backslash \; tan\; x\}\}\; dx,\; \backslash \backslash \; [\; 6pt]\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; (1\; +\; x\; ^\; \{2\})\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; to\; \backslash \; int\; \_\; \{0\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; (1+\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\})\}\; \{1\; +\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; dx\; \backslash \backslash \; [6pt]\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{\backslash \; ln\; x\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; to\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; -1\}\; \{\backslash \; ln\; x\}\}\; dx.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Первый интеграл, интеграл Дирихле, абсолютно сходится при положительном α, но условно сходится только при $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$. Следовательно, дифференцирование под знаком интеграла легко оправдать, если $\alpha >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha>0\}$, но доказывая, что полученная формула остается действительной при $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$требует тщательной работы.

Бесконечный ряд

Теоретико-мерная версия дифференцирования под знаком интеграла также применяется к суммированию (конечному или бесконечному), интерпретируя суммирование как счетная мера. Примером приложения является тот факт, что степенные ряды дифференцируются по радиусу сходимости.

Дифференциация под знаком интеграла упоминается в конце физик Бестселлеры мемуаров Ричарда Фейнмана Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! в главе «Другой ящик с инструментами». Он описывает учитьс я Во время учебы в средней школе, из старого текста, Advanced Calculus (1926), Фредерика С. Вудса (который был профессором математики в Массачусетском институте технологий ). Этой технике не часто учили, когда Фейнман позже получил формальное образование в области исчисления, но, используя эту технику, Фейнман смог решить сложные в других отношениях проблемы интеграции по прибытии в аспирантуру в Принстонском университете :

Единственное, чему я так и не научился, это интеграция контуров. Я научился составлять интегралы различными методами, показанными в книге, которую дал мне мой школьный учитель физики г-н Бадер. Однажды он сказал мне остаться после уроков. «Фейнман, - сказал он, - ты слишком много говоришь и слишком много шумишь. Я знаю, почему. Тебе скучно. Я дам тебе книгу. Иди туда, в дальний угол, в угол., и изучите эту книгу, и когда вы узнаете все, что в этой книге, вы снова сможете говорить ». Поэтому на каждом уроке физики я не обращал внимания на то, что происходило с законом Паскаля, или на то, что они делали. Я был сзади с этой книгой: "Advanced Calculus" Вудса. Бейдер знал, что я немного изучил «Исчисление для практиков», поэтому он дал мне настоящие работы - они предназначались для младших или старших курсов колледжа. В нем были ряд Фурье, функции Бесселя, детерминанты, эллиптические функции - все виды замечательных вещей, о которых я ничего не знал.. В этой книге также показано, как различать параметры под знаком интеграла - это определенная операция. Оказывается, в университетах этому не очень много учат; они не подчеркивают это. Но я понял, как использовать этот метод, и использовал этот чертов инструмент снова и снова. Так как я был самоучкой по этой книге, у меня были своеобразные методы построения интегралов. В результате у ребят из Массачусетского технологического института или Принстона возникли проблемы с выполнением определенного интеграла, потому что они не могли сделать это стандартными методами, которым они научились в школе. Если бы это была контурная интеграция, они бы ее нашли; если бы это было простое расширение серии, они бы его нашли. Затем я прихожу и пытаюсь дифференцировать под знаком интеграла, и часто это помогало. Так что я получил отличную репутацию в области интегралов только потому, что мой набор инструментов отличался от всех остальных, и они перепробовали на нем все свои инструменты, прежде чем бросить мне вызов.

• Портал математики

• Цепное правило
• Дифференцирование интегралов
• Правило Лейбница (обобщенное правило произведения)
• Транспортная теорема Рейнольдса, обобщение правила Лейбница

• Амазиго, Джон К.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Единичные интегралы: правило Лейбница; численное интегрирование». Расширенное исчисление и его приложения в технических и физических науках. Нью-Йорк: Вили. С. 155–165. ISBN 0-471-04934-4.
• Каплан, Уилфред (1973). «Интегралы, зависящие от параметра - правило Лейбница». Advanced Calculus (2-е изд.). Читает: Эддисон-Уэсли. С. 285–288.

• Харрон, Роб. «Правило Лейбница» (PDF).

=== !!! == Знак равно <2>{\ displaystyle u <2><3>{\ displaystyle \ varphi (\ alpha) = {\ begin {cases} 0, | \ альфа | <1, \\ 2 \ pi \ ln | \ alpha |, | \ альфа |>1. \ end {case}}} <3><4>{\ displaystyle {\ textbf {I}}} <4><5>{\ displaystyle {\ begin {align} { \ frac {d} {d \ alpha}} {\ textbf {I}} (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha} } \ left ({\ frac {\ ln (1+ \ cos \ alpha \ cos x)} {\ cos x}} \ right) dx \\ [6pt] = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {1+ \ cos \ alpha \ cos x}} \, dx \\ = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {\ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} + \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2}} \ right) + \ cos \ alpha \ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} - \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2}} \ right)}} dx \\ [6pt] = - { \ frac {\ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cos ^ {2} {\ frac {x} { 2}}}} {\ frac {1} {{\ frac {1+ \ cos \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}} } dx \\ [6pt] = - {\ frac {2 \ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ frac { 1} {2}} \ sec ^ {2} {\ frac {x} { 2}}} {{\ frac { 2 \ cos ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}} {2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} dx \\ [6pt] = - {\ frac {2 \ left (2 \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right)} {2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} d \ left (\ tan { \ frac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] = - 2 \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} \, d \ left (\ tan {\ frac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] = - 2 \ arctan \ left (\ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ tan {\ frac {x} {2}} \ right) {\ bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] = - \ alpha. \ end {align}}} <5><6>{\ displaystyle {\ textbf { I}} (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ ln (1+ \ cos \ alpha \ cos x)} {\ cos x}} \, dx, \ qquad 0 <\ alpha <\ pi.} <6><7>{\ displaystyle {\ frac {d} {d \ alpha}} \ varphi (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} \ left ({\ frac {\ alpha} {x ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \ right) \, dx = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} - \ alpha ^ {2}} {(x ^ {2} + \ alpha ^ {2}) ^ {2}}} dx = - {\ frac {x } {x ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} {\ bigg |} _ {0} ^ {1} = - {\ frac {1} {1+ \ alpha ^ {2}}},} <7><8>{\ displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}], a (x), b (x) \ in [t_ {1}, t_ {2}]} <8><9>F<9><10>| е_ {х} (х, \ omega) | \ leq \ theta (\ omega) <10><11>b (x) <11><12>{\ displaystyle \ mathbf {C} (t)} <12><13>{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt- \ epsilon <\ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x <13><14>{\ displaystyle \ forall x \ in [a, b], \ quad \ left | {\ frac {f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha)) -f (x, \ alpha)} {\ Delta \ alpha}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial \ alpha}} \ right | <\ varepsilon.} <14><15>\ Omega <15><16>час (х) <16><17>{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ varphi (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left (\ ln \ left ( 1-2 \ beta \ cos (x) + \ beta ^ {2} \ right) -2 \ ln | \ beta | \ right) dx \\ [6pt] = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ ln \ left (1-2 \ beta \ cos (x) + \ beta ^ {2} \ right) \, dx- \ int _ {0} ^ {\ pi} 2 \ ln | \ beta | dx \\ [6pt] = 0-2 \ pi \ ln | \ beta | \\ [6pt] = 2 \ pi \ ln | \ alpha |. \ End {выравнивается}}} <17><18>{\ displaystyle b (x) = x} <18><19>{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ left (a \ cos ^ {2 } x + b \ sin ^ {2} x \ right) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi } {4 {\ sqrt {a ^ {3} b}}}}.} <19><20>{\ displaystyle a (x) = a} <20><21>{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {x} g (t) \, dt} <21><22>\ mathbf {J} <22><23>x \ in X <23><24>{\ displaystyle \ lim _ {x <24><25>{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1+ \ alpha} {1- \ alpha}} \ tan \ left ({\ tfrac {x} {2}} \ справа) \ geq 0, | \ alpha | <1, \\ {\ frac {1+ \ alpha} {1- \ alpha}} \ tan \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \leq 0,|\alpha |>1.\end{cases}}}<25><26>{\displaystyle G<26><27>{\displaystyle {\frac {\int _{a}^{ b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}=\int _{a}^{b}f_ {x}(x<27><28>{\displaystyle {\vec {\textbf {v}}}={\frac {\partial {\vec {\textbf {x}}}}{\partial t}} }<28><29>{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha)\,dx=\varphi (\alpha),}<29><30>X<30><31>\alpha =0<31><32>f<32><33>{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\beta }}}<33><34>{\displaystyle \mathbf {v } ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}<34><35>{\displaystyle \varphi (0)=\int _{0}^{\pi }\ln (1)\,dx=\int _{0}^{\pi }0\,dx=0.}<35><36>{\displaystyle f_{x}(x,t)-{\frac {\ epsilon }{|ba|}}<37>{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi =\varphi (\alpha +\Delta \alpha)-\varphi (\alpha)\\=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha)\,dx\\=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha)\,dx\\=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx.\end{aligned}}}<37><38>G<38><39>{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha)\,dx+f(b,\alpha){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha){\frac {da}{d\alpha }}.}<39><40>{\displaystyle F,a,b}<40><41>|f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)|<\varepsilon.<41><42>{\displaystyle 0}<42><43>{\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha)={\begin{cases}0,|\alpha |<1,\\{\frac {2\pi } {\alpha }},|\alpha |>1.\end{cases}}}<43><44>{\displaystyle {\frac {\partial {\textbf {J}}}{\partial a}}=-\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\cos ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx}<44><45>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]=-f(a).\end{aligned}}}<45><46>{\displaystyle {\textbf {I}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab}}}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right),}<46><47>{\displaystyle F(u)\equiv \int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}<47><48>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r},t)\cdot d\mathbf {A} \r ight)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r},t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v})\mathbf {F} {\big)}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s}.}<48><49>{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla)\mathbf {F},}<49><50>\pi <50><51>{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi =\varphi (\alpha +\Delta \alpha)-\varphi (\alpha)\\[6pt]=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha)\,dx\\[6pt]=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha)\,dx\\[6pt]=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\De lta \alpha)\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx.\end{aligned}}}<51><52>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\cosh t^{2}\right)dt\\[6pt]=\cosh \left(\cos ^{2}x\right)(-\sin x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right)(\cos x)+0\\[6pt]=-\cosh \left(\cos ^{2}x\right)\sin x-\cosh \left(\sin ^{2}x\right)\cos x.\end{aligned}}}<52><53>\omega \in \Omega <53><54>{\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha)}{\partial \alpha }}\,dx+R,}<54><55>{\displaystyle f_{2}}<55><56>\alpha>0<56><57>{\displaystyle \varphi (\alpha)=\int _{a}^{b}f(x,\alpha)\,dx,}<57><58>{\displaystyle \var phi (\alpha)={\begin{cases}0,\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},\alpha \neq 0.\end{cases}}}<58><59>{\displaystyle {\textbf {I}}_{n}}<59><60>{\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha)\,dx,}<60><61>{\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}<61><62>{\displaystyle [t_{1},t_{2}]}<62><63>{\displaystyle {\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}<63><64>{\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt}<64><65>{\mathcal {L}}<65><66>g<66><67>{\textbf {I}}(\alpha)={\frac {\pi ^{2}}{8}}-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.<67><68>{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx\to \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha x}{\frac {\sin x}{x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\pi /2}{\frac {x}{\tan x}}\,dx\to \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\tan ^{-1}(\alpha \tan x)}{\tan x}}dx,\\[6pt]\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\,dx\to \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+\alpha ^{2}x^{2})}{1+x^{2}}}dx\\[6pt]\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,dx\to \int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln x}}dx.\end{aligned}}}<68><69>{\displaystyle x-t}<69><70>{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha)\,dx.}<70><71>{\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\rightarrow 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha)\,dx.}<71><72>{\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {J}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x}}dx\\[6pt]=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\frac {1}{\cos ^{2}x}}{a+b{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}dx\\[6pt]=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sec ^{2}x}{a+b\tan ^{2}x}}dx\\[6pt]={\frac {1}{b}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt {\frac {a}{b}}}\right)^{2}+\tan ^{2}x}}\,d(\tan x)\\[6pt]={\frac {1}{\sqrt {ab}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {b}{a}}}\tan x\right){\Bigg |}_{0}^{\pi /2}\\[6pt]={\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}.\end{aligned}}}<72><73>{\displaystyle \varphi (\alpha)=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}<73><74>{\displaystyle {\textbf {I}}{\Biggl (}{\frac {\pi }{2}}{\Biggl)}=0}<74><75>{\displaystyle {\textbf {I}}(\alpha)=C-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}.}<75><76>{\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}<76><77>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=h<77><78>{\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}<78><79>{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha)}<79><80>{\frac {\partial {\textbf {J}}}{\partial a}}={\frac {\partial }{\partial a}}\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {ab}}}}\right)=-{\frac {\pi }{4{\sqrt {a^{3}b}}}}.<80><81>{\displaystyle {\dfrac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)dt}<81><82>{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha)+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha).}<82><83>{\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}<83><84>2\pi <84><85>{\displaystyle \varphi (0)}<85><86>{\displaystyle {\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega)}<86><87>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)}<87><88>{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha)\,dx}<88><89>icon<89><90>\varphi <90><91>{\displaystyle f(\varphi)=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta)\,d\theta.}<91><92>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t){\vec {\textbf {v}}}_{b}\cdot d\mathbf {\Sigma },}<92><93>x<93><94>\omega <94><95>{\displaystyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}<95><96>{\displaystyle {\textbf {I}}_{1}}<96><97>{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{\cos \theta }\cos(\sin \theta)\,d\theta.}<97><98>{\displaystyle |\beta |<1}<98><99>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big)}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big)}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}<99><100>{\displaystyle f\colon X\times \Omega \rightarrow \mathbf {R} }<100><101>{\displaystyle i_{\vec {\textbf {v}}}}<101><102>{\displaystyle \varphi (\alpha)={\begin{cases}C_{1},|\alpha |<1,\\2\pi \ln |\alpha |+C_{2},|\alpha |>1.\end{cases}}}<102><103>a<103><104>{\displaystyle f_{x}(x,t)}<104><105>{\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha)\,dx+f(b,\alpha){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}<105><106>{\displaystyle C_{1}=0}<106><107>{\displaystyle {\vec {\textbf {v}}}_{b}}<107><108>t<108><109>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big)}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big)}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}<109><110>C_{2}<110><111>{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi),}<111><112>{\displaystyle C_{2}=0}<112><113>{\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}<113><114>f_{x}<114><115>a(x)<115><116>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha)=\int _{0}^{\pi }{\frac {-2\cos(x)+2\alpha }{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}dx\\[6pt]={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\pi }\left(1-{\frac {1-\alpha ^{2}}{1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}}}\right)dx\\[6pt]=\left.{\frac {\pi }{\alpha }}-{\frac {2}{\alpha }}\left\{\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right\}\right|_{0}^{\pi }.\end{aligned}}}<116><117>{\displaystyle \varphi (\alpha)=\int _{0}^{\pi }\ln \left(1-2\alpha \cos(x)+\alpha ^{2}\right)\,dx,\qquad |\alpha |>1.}<117><118>{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}<118><119>{\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt}<119><120>{\displaystyle [x_{0},x_{1}]*[a,b]}<120><121>{\displaystyle {\textbf {I}}_{n}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{n}}}\,dx,}<121><122>{\displaystyle C={\frac {\pi ^{2}}{8}}}<122><123>{\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}<123><124>{\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{{\text{im}}_{\psi _{t}}(\Omega)}\omega =\int _{\Omega }{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega,}<124><125>{\displaystyle \int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}<125><126>\Psi <126><127>\mathbf {R} <127><128>{\displaystyle t\in [t_{1},t_{2}]}<128><129>{\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}<129><130>{\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt}<130><131>\mathbf {I} <131><132>{\displaystyle \varphi (\alpha)}<132><133>{\displaystyle {\begin{aligned}u<133><134>{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi =\varphi (\alpha +\Delta \alpha)-\varphi (\alpha)\\[6pt]=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha)\,dx\\[6pt]=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)\right)\,dx\\[6pt]\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}<134><135>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[6pt]=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[6pt]=f(b),\end{aligned}}}<135><136>{\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}<136><137>{\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta,t)-f(x,t)}{\delta }}.}<137><138>{\displaystyle f_{\delta }(x,t)}<138><139>{\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}<139><140>{\displaystyle \left.\arctan \left({\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\right|_{0}^{\pi }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},|\alpha |<1,\\-{\frac {\pi }{2}},|\alpha |>1.\end{cases}}}<140><141>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df}{d\varphi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(e^{\varphi \cos \theta }\cos(\varphi \sin \theta)\right)\,d\theta \\[6pt]=\int _{0}^{2\pi }e^{\varphi \cos \theta }(\cos \theta \cos(\varphi \sin \theta)-\sin \theta \sin(\varphi \sin \theta))\,d\theta.\end{aligned}}}<141><142>{\dot {\omega }}<142><143>{\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.\qquad (1)}<143><144>{\displaystyle \theta \colon \Omega \rightarrow \mathbf {R} }<144><145>{\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt\\=F(x,b(x))-F(x,a(x))\end{aligned}}}<145><146>{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r},t)}<146><147>{\displaystyle \psi _{t}}<147><148>{\displaystyle F(x,y)=(e^{\varphi x}\sin(ty),e^{\varphi x}\cos(ty))}<148><149>{\displaystyle F({\vec {\textbf {x}}},t)}<149><150>\alpha <150><151>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}<151><152>{\displaystyle \Gamma <152><153>{\displaystyle {\vec {\textbf {v}}}}<153><154>{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin ^{2}x}{\left(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x\right)^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4{\sqrt {ab^{3}}}}}.}<154><155>{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}<155><156>{\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}<156><157>{\displaystyle f(0)=\int _{0}^{2\pi }1\,d\theta =2\pi.}<157><158>{\displaystyle -\infty <159>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,x{\big)}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt,}<159><160>{\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}<160><161>{\displaystyle f_{1}}<161><162>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I},t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I},t)+\mathbf {v\cdot \nabla F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I},t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r},t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r},t),}<162><163>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r},t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r},t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r},t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r},t)\right]\cdot d\mathbf {s},}<163><164>{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi)}<164><165>{\frac {\partial {\textbf {J}}}{\partial b}}<165><166>a,b<166><167>{\displaystyle \partial F_{2}/\partial x-\partial F_{1}/\partial y}<167><168>f(x,\omega)<168><169>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega)\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega)\,d\omega.}<169><170>{\displaystyle (1-n){\textbf {I}}_{n}={\frac {\partial {\textbf {I}}_{n-1}}{\partial a}}+{\frac {\partial {\textbf {I}}_{n-1}}{\partial b}}}<170><171>\varphi = 0<171><172>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r},t)\right)=\iint _{\Sigma }d\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I},t),}<172><173>{\displaystyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}<173><174>y<174><175>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\vec {\textbf {v}}}(d_{x}\omega)+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\vec {\textbf {v}}}\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}<175><176>{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha)+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha)-f(x,\alpha)]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha).}<176><177>{\displaystyle {\begin{aligned}G<177><178>\partial _{x}<178><179>{\displaystyle G(x)}<179><180>{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I},t),}<180><181>\alpha =\pm 1<181><182>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)}<182><183>n>1<183><184>{\displaystyle {\textbf {I}}=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{(a\cos ^{2}x+b\sin ^{2}x)^{2}}}\,dx,\qquad a,b>0.}<184><185>{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r},t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r},t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big)}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s},}<185><186>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}<186><187>{\displaystyle {\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}<187><188>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int \limits _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big)}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big)}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int \limits _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt}<188>html