Эллиптическая функция

редактировать

Класс периодических математических функций

В комплексном анализе, эллиптическая функция - это мероморфная функция, которая является периодической в двух направлениях. Подобно тому, как периодическая функция действительной переменной определяется своими значениями на интервале, эллиптическая функция определяется своими значениями на фундаментальном параллелограмме, которые затем повторяются в решетке. Такая двоякопериодическая функция не может быть голоморфной, так как тогда она была бы ограниченной целой функцией, и по теореме Лиувилля каждая такая функция должна быть постоянной. Фактически, эллиптическая функция должна иметь по крайней мере два полюса (с учетом кратности) в фундаментальном параллелограмме, поскольку с помощью периодичности легко показать, что контурный интеграл вокруг своей границы должен исчезают, подразумевая, что вычеты всех простых полюсов должны сокращаться.

Исторически эллиптические функции были впервые обнаружены Нильсом Хенриком Абелем как функции, обратные к эллиптическим интегралам, и их теория была улучшена на Карл Густав Якоби ; они, в свою очередь, изучались в связи с проблемой длины дуги эллипса , откуда и произошло название. Эллиптические функции Якоби нашли множество приложений в физике и были использованы Якоби для доказательства некоторых результатов в элементарной теории чисел. Более полное изучение эллиптических функций было позже предпринято Карлом Вейерштрассом, который нашел простую эллиптическую функцию, через которую можно было бы выразить все остальные. Помимо их практического использования при вычислении интегралов и явном решении некоторых дифференциальных уравнений, они имеют глубокую связь с эллиптическими кривыми и модульными формами.

Содержание

1 Определение
2 Эллиптические функции Вейерштрасса
3 Эллиптические функции Якоби
4 Эллиптические функции Абеля
5 Свойства
6 См. Также
7 Ссылки
8 Литература
9 Внешние ссылки

Определение

Формально эллиптическая функция - это функция f, мероморфная на ℂ, для которой существуют два ненулевых комплексных числа ω 1 и ω 2 с ω 1/ω2∉ ℝ, такая, что f (z) = f (z + ω 1) и f (z) = f (z + ω 2) для всех z ∈ ℂ.

Обозначение «решетки периодов» Λ = {mω 1 + nω 2 | m, n ∈ ℤ }, это можно перефразировать как требование, чтобы f (z) = f (z + ω) для всех ω ∈ Λ.

В терминах комплексной геометрии, эллиптическая функция состоит из первой римановой поверхности X и голоморфного отображения X → ℂℙ. С этой точки зрения, можно рассматривать две решетки Λ и Λ 'как эквивалентные, если существует ненулевое комплексное число α такое, что Λ' = αΛ.

Существует два семейства «канонических» эллиптических функций: функции Якоби и функции Вейерштрасса. Хотя эллиптические функции Якоби старше и имеют прямое отношение к приложениям, современные авторы в основном следуют Вейерштрассу при изложении элементарной теории, потому что его функции проще, и любая эллиптическая функция может быть выражена через них.

Эллиптические функции Вейерштрасса

С приведенным выше определением эллиптических функций (которое принадлежит Вейерштрассу) эллиптическая функция Вейерштрасса ℘ (z) строится наиболее очевидным способом: задана решетка Λ, как указано выше, положим

℘ (z) = 1 z 2 + ∑ ω ∈ Λ ∖ {0} (1 (z - ω) 2-1 ω 2) {\ displaystyle \ wp (z) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ omega \ in \ Lambda \ setminus \ left \ {0 \ right \}} \ left ({\ frac {1} {(z- \ omega) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ omega ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle \ wp (z) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ omega \ in \ Lambda \ setminus \ left \ {0 \ right \}} \ left ({\ frac {1} {(z- \ omega) ^ {2}} } - {\ fr ac {1} {\ omega ^ {2}}} \ right)}

Эта функция инвариантна относительно преобразования z ↦ z + ω для любого ω ∈ Λ, как и можно увидеть путем дифференцирования и четности функции, что означает, что константа интегрирования должна быть 0. Добавление членов −1 / ω необходимо, чтобы сумма сходилась. Техническое условие, гарантирующее, что такая бесконечная сумма сходится к мероморфной функции, заключается в том, что на любом компакте после исключения конечного числа членов, имеющих полюсы в этом наборе, оставшийся ряд сходится обычно. На любом компакт-диске, определяемом | z | ≤ R, и для любого | ω |>2R, у одного

| 1 (z - ω) 2 - 1 ω 2 | = | 2 ω z - z 2 ω 2 (ω - z) 2 | = | z (2 - z ω) ω 3 (1 - z ω) 2 | ≤ 10 R | ω | 3 {\ displaystyle \ left | {\ frac {1} {\ left (z- \ omega \ right) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ omega ^ {2}}} \ right | = \ left | {\ frac {2 \ omega zz ^ {2}} {\ omega ^ {2} (\ omega -z) ^ {2}}} \ right | = \ left | {\ frac {z \ left ( 2 - {\ frac {z} {\ omega}} \ right)} {\ omega ^ {3} \ left (1 - {\ frac {z} {\ omega}} \ right) ^ {2}}} \ right | \ leq {\ frac {10R} {\ left | \ omega \ right | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {1} {\ left (z- \ omega \ right) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ omega ^ {2} }} \ right | = \ left | {\ frac {2 \ omega zz ^ {2}} {\ omega ^ {2} (\ omega -z) ^ {2}}} \ right | = \ left | {\ frac {z \ left (2 - {\ frac {z} {\ omega}} \ right)} {\ omega ^ {3} \ left (1 - {\ frac {z} {\ omega}} \ right) ^ {2}}} \ right | \ leq {\ frac {10R} {\ left | \ omega \ right | ^ {3}}}}

и можно показать, что сумма

∑ ω ≠ 0 1 | ω | 3 {\ displaystyle \ sum _ {\ omega \ neq 0} {\ frac {1} {\ left | \ omega \ right | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ omega \ neq 0} {\ frac {1} { \ left | \ omega \ right | ^ {3}}}}

сходится независимо от Λ.

Записав ℘ как ряд Лорана и явно сравнив члены, можно убедиться, что он удовлетворяет соотношению

(℘ ′ (z)) 2 = 4 (℘ (z)) 3 - g 2 ℘ (Z) - г 3 {\ Displaystyle {\ bigl (} \ wp '(z) {\ bigr)} ^ {2} = 4 {\ bigl (} \ wp (z) {\ bigr)} ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3}}

{\bigl (}\wp '(z){\bigr)}^{2}=4{\bigl (}\wp (z){\bigr)}^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}

где

g 2 = 60 ∑ ω ∈ Λ ∖ {0} 1 ω 4 {\ displaystyle g_ {2} = 60 \ sum _ {\ omega \ in \ Lambda \ smallsetminus \ left \ {0 \ right \}} {\ frac {1} {\ omega ^ {4}}}}

g_2 = 60 \ sum _ {\ omega \ in \ Lambda \ smallsetminus \ left \ {0 \ right \}} \ frac {1} {\ omega ^ 4 }

g 3 = 140 ∑ ω ∈ Λ ∖ {0} 1 ω 6. {\ displaystyle g_ {3} = 140 \ sum _ {\ omega \ in \ Lambda \ smallsetminus \ left \ {0 \ right \}} {\ frac {1} {\ omega ^ {6}}}.}

g_3 = 140 \ sum _ {\ omega \ in \ Lambda \ smallsetminus \ left \ {0 \ right \}} \ frac {1} {\ omega ^ 6}.

Это означает, что пара (℘, ℘ ′) параметризует эллиптическую кривую.

Функции ℘ принимают разные формы в зависимости от Λ, и когда можно разрешить Λ варьироваться, развивается богатая теория. Для этого положим ω 1 = 1 и ω 2 = τ, причем Im (τ)>0. (После поворота и масштабного коэффициента любая решетка может быть преобразована в эту форму.)

Голоморфная функция в верхней полуплоскости H = {z ∈ ℂ | Im (z)>0}, которая инвариантна относительно дробно-линейных преобразований с целыми коэффициентами и определителем 1, называется модульной функцией. То есть голоморфная функция h: H → ℂ является модульной функцией, если

h (τ) = h (a τ + bc τ + d) для всех (acbd) ∈ SL 2 (Z) {\ displaystyle h \ left (\ tau \ right) = h \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) \ quad {\ text {для всех}} \ left ({\ begin {matrix} a c \\ b d \ end {matrix}} \ right) \ in {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}

{\ displaystyle h \ left (\ tau \ right) = h \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) \ quad {\ text {для всех}} \ left ({\ begin {matrix} a c \\ b d \ end {matrix}} \ right) \ in {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}

Одна из таких функций - j-инвариант Клейна, определенный как

j (τ) = 1728 g 2 3 g 2 3 - 27 g 3 2 {\ displaystyle j \ left (\ tau \ right) = {\ frac {1728g_ {2} ^ {3}} {g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2}}}}

{\ displaystyle j \ left (\ tau \ right) = {\ frac {1728g_ {2} ^ {3}} { g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2}}}}

где g 2 и g 3 такие же, как указано выше.

Эллиптические функции Якоби

Вспомогательное построение прямоугольника

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби. Каждому из двенадцати соответствует стрелка, проведенная из одного угла прямоугольника в другой. Углы прямоугольника условно обозначены буквами s, c, d и n. Под прямоугольником понимается комплексная плоскость , так что s находится в начале координат, c находится в точке K на вещественной оси, d находится в точке K + iK ', а n находится в точке точка iK ′ на мнимой оси. Числа K и K 'называются четвертью. Двенадцать эллиптических функций Якоби тогда равны pq, где p и q - две разные буквы в s, c, d, n.

Эллиптические функции Якоби тогда представляют собой уникальные двоякопериодические, мероморфные функции, удовлетворяющие следующим трем свойствам:

В углу p есть простой нуль, а в углу - простой полюс угол q.
Шаг от p до q равен половине периода функции pq u; то есть функция pq u периодична в направлении pq, причем период в два раза больше расстояния от p до q. Функция pq u также периодична в двух других направлениях с таким периодом, что расстояние от p до одного из других углов составляет четверть периода.
Если функция pq u раскрывается в терминах u в одном из углов главный член разложения имеет коэффициент 1. Другими словами, главный член разложения pq u в углу p равен u; главный член расширения в углу q равен 1 / u, а главный член расширения в двух других углах равен 1.

В общем, нет необходимости налагать прямоугольник; параллелограмм подойдет. Однако, если K и iK ′ остаются на действительной и мнимой осях, соответственно, тогда эллиптические функции Якоби pq u будут действительными функциями, когда u является действительным.

Эллиптические функции Абеля

Эллиптические интегралы были детально изучены Лежандром, который свел их к трем фундаментальным типам. Абель написал интеграл первого рода как

u = ∫ 0 xdt (1 - c 2 t 2) (1 + e 2 t 2) {\ displaystyle u = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ sqrt {\ left (1-c ^ {2} t ^ {2} \ right) \ left (1 + e ^ {2} t ^ {2} \ right)}}}}

{\ displaystyle u = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ sqrt {\ left (1-c ^ {2} t ^ {2} \ right) \ left (1 + e ^ {2} t ^ {2} \ right)} }}}

где c и e - два параметра. Это обобщение интеграла, который дает длину дуги для лемнискаты, соответствующую специальным значениям c = e = 1, и исследовал Карл Фридрих Гаусс. Длина дуги окружности будет результатом задания c = 1 и e = 0.

Значение u интеграла является возрастающей функцией верхнего предела для 0 < x < 1/c and reaches a maximum

ω 2 = ∫ 0 1 cdt (1 - с 2 t 2) (1 + е 2 t 2) {\ displaystyle {\ frac {\ omega} {2}} = \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {c}} {\ frac {dt} {\ sqrt {\ left (1-c ^ {2} t ^ {2} \ right) \ left (1 + e ^ {2} t ^ {2} \ right)}}}} <195 Гениальный ход Абеля заключался в том, чтобы рассмотреть обратную функцию x = φ (u), которая теперь хорошо определена в интервале 0 ≤ u ≤ ω / 2. Поскольку определяющий интеграл является нечетной функцией от x, функция φ (u) также является нечетной со специальными значениями φ (0) = 0 и φ (± ω / 2) = ± 1 / c. Производная функции φ ′ (u) = dφ / du следует также из интеграла как

d φ du = (1 - c 2 φ 2) (1 + e 2 φ 2) {\ displaystyle {\ frac { d \ varphi} {du}} = {\ sqrt {\ left (1-c ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right) \ left (1 + e ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right)}}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {du}} = {\ sqrt {\ left (1-c ^ {2} \ varphi ^ { 2} \ право) \ влево (1 + е ^ {2} \ varphi ^ {2} \ right)}}}

и является четной функцией. Два квадратных корня можно рассматривать как новые, даже функции аргумента u. Абель определил их как

f (u) = 1 - c 2 φ 2 (u) F (u) = 1 + e 2 φ 2 (u) {\ displaystyle {\ begin {align} f (u) = {\ sqrt {1-c ^ {2} \ varphi ^ {2} (u)}} \\ F (u) = {\ sqrt {1 + e ^ {2} \ varphi ^ {2} (u) }} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (u) = {\ sqrt {1-c ^ {2} \ varphi ^ {2} (u)}} \\ F (u) = {\ sqrt {1 + e ^ {2} \ varphi ^ {2} (u)}} \ end {align}}}

Таким образом, производная может быть записана в более компактной форме φ ′ (u) = f (u) F (u). Эти новые функции имеют производные f ′ (u) = −cφ (u) F (u) и F ′ (u) = eφ (u) f (u). Все три эллиптические функции зависят от параметров c и e, хотя обычно эта зависимость явно не записывается.

Что касается тригонометрических функций, Абель мог показать, что эти новые функции удовлетворяют теоремам сложения в соответствии с тем, что Эйлер ранее нашел из таких интегралов.. Они позволяют продолжить функции на весь интервал −ω ≤ u ≤ ω и показывают, что они периодичны с периодом 2ω. Кроме того, если ввести t → it в интеграл, функции также могут быть определены для комплексных значений аргумента. Благодаря этому расширению параметры c и e меняются местами, что означает, что функции также имеют мнимый период 2iω ′ с

ω ′ 2 = ∫ 0 1 edt (1 - e 2 t 2) (1 + c 2 t 2). {\ displaystyle {\ frac {\ omega '} {2}} = \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {e}} {\ frac {dt} {\ sqrt {\ left (1-e ^ {2} t ^ {2} \ right) \ left (1 + c ^ {2} t ^ {2} \ right)}}}.}

{\frac {\omega '}{2}}=\int _{0}^{\frac {1}{e}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-e^{2}t^{2}\right)\left(1+c^{2}t^{2}\right)}}}.

Таким образом, эллиптические функции имеют двойную периодичность. Эквивалентно можно сказать, что они имеют два комплексных периода ω 1,2 = ω ± iω ′. Таким образом, их нули и полюса образуют правильную двумерную решетку. Соответствующие свойства лемнискатических эллиптических функций также были установлены Гауссом, но не опубликованы до его смерти.

Свойства

Набор всех эллиптических функций, которые имеют одинаковые два периода формируют поле .
Производная эллиптической функции снова является эллиптической функцией с теми же периодами.
Поле эллиптических функций относительно данной решетки равно генерируется ℘ и его производной ℘ ′.

См. также

Ссылки

Литература

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 16». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. С. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.См. Также главу 18. (рассматривает только случай действительных инвариантов).
Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, (1970) Москва, переведено на английский как AMS. Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2
Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (См. Главу 1.)
E. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон. Курс современного анализа, Cambridge University Press, 1952

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Эллиптическими функциями.

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
MAA, Перевод статьи Абеля об эллиптических функциях.
Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube, лекция Уильям А. Швальм (4 часа)
Йоханссон, Фредрик (2018). «Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модулярных форм». arXiv :1806.06725 [cs.NA provided.