Сложная геометрия

редактировать

Изучение сложных многообразий и нескольких сложных переменных

В математике, сложных геометрия - это изучение комплексных многообразий, комплексных алгебраических многообразий и функций нескольких комплексных переменных. Применение трансцендентных методов к алгебраической геометрии попадает в эту категорию вместе с более геометрическими аспектами комплексного анализа.

Содержание

1 Идея
2 Определения
3 Типы сложных пространства
- 3.1 Кэлеровы многообразия
- 3.2 Многообразия Штейна
- 3.3 Гиперкэлеровы многообразия
- 3.4 Многообразия Калаби-Яу
- 3.5 Комплексные многообразия Фано
- 3.6 Торические многообразия
4 Методы комплексной геометрии
5 Классификация в сложной геометрии
- 5.1 Римановы поверхности
- 5.2 Голоморфные линейные пучки
6 См. Также
7 Ссылки

Идея

Типичным примером сложного пространства является сложная проективная прямая. Его можно рассматривать либо как сферу , гладкое многообразие, возникающее из дифференциальной геометрии, либо как сферу Римана, расширение комплексной плоскости путем добавления точка на бесконечности.

В общем, сложная геометрия связана с пространствами и геометрическими объектами, которые в некотором смысле моделируются на комплексной плоскости. Особенности комплексной плоскости и комплексного анализа отдельной переменной, такие как внутреннее понятие ориентируемости (то есть способность последовательно поворачиваться на 90 градусов против часовой стрелки в каждой точке комплекса плоскости), а жесткость голоморфных функций (то есть существование единственной комплексной производной подразумевает комплексную дифференцируемость для всех порядков) проявляется во всех формах изучения сложной геометрии. Например, каждое комплексное многообразие канонически ориентируемо, и форма теоремы Лиувилля верна на компактных комплексных многообразиях или проективных комплексных алгебраических многообразиях.

Сложная геометрия отличается от того, что можно было бы назвать реальной геометрией, исследования пространств, основанного на геометрических и аналитических свойствах линии действительных чисел. Например, в то время как гладкие многообразия допускают разбиения единицы, наборы гладких функций, которые могут быть тождественно равны единице на некотором открытом множестве и тождественно нулю в других местах, комплексные многообразия не допускают таких наборов голоморфных функций. Действительно, это проявление теоремы тождества, типичного результата комплексного анализа одной переменной. В некотором смысле новизна сложной геометрии восходит к этому фундаментальному наблюдению.

Это правда, что каждое комплексное многообразие, в частности, является реальным гладким многообразием. Это связано с тем, что комплексная плоскость $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ после того, как забыла о своей сложной структуре, изоморфна реальной плоскости $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R } ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ . Однако сложная геометрия обычно не рассматривается как отдельная подполя дифференциальной геометрии, исследования гладких многообразий. В частности, Серра теорема GAGA говорит, что каждое проективное аналитическое многообразие на самом деле является алгебраическим многообразием, а изучение голоморфных данных на аналитическом многообразии эквивалентно изучению алгебраических данных.

Эта эквивалентность показывает, что сложная геометрия в некотором смысле ближе к алгебраической геометрии, чем к дифференциальной геометрии. Другой пример этого, который связан с природой комплексной плоскости, заключается в том, что при комплексном анализе одной переменной легко описываются особенности мероморфных функций. Напротив, возможное сингулярное поведение непрерывной действительной функции охарактеризовать гораздо сложнее. В результате этого можно легко изучать особые пространства в сложной геометрии, такой как особые комплексные аналитические многообразия или особые комплексные алгебраические многообразия, тогда как в дифференциальной геометрии изучение особых пространств часто избегают.

На практике сложная геометрия находится на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа в нескольких сложных переменных, а сложный геометр использует инструменты всех трех поля для изучения сложных пространств. Типичные направления, представляющие интерес в сложной геометрии, включают классификацию сложных пространств, изучение связанных с ними голоморфных объектов (таких как голоморфные векторные пучки и когерентные пучки ), и тесные отношения между сложными геометрическими объектами и другими областями математики и физики.

Определения

Сложная геометрия занимается изучением комплексных многообразий, а также комплексных алгебраических и комплексных аналитических многообразий. В этом разделе определены эти типы пространств и представлены отношения между ними.

A комплексное многообразие - это топологическое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ такое, что:

$X {\ displaystyle X}$ $X$ Хаусдорфа и счетная секунда.
$X {\ displaystyle X}$ $X$ локально гомеоморфна открытому подмножеству $C n { \ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ для некоторых $n {\ displaystyle n}$ $n$ . То есть для каждой точки $p ∈ X {\ displaystyle p \ in X}$ $p \ in X$ существует открытая окрестность $U {\ displaystyle U}$ $U$ из $p {\ displaystyle p}$ $p$ и гомеоморфизм $φ: U → V {\ displaystyle \ varphi: U \ to V}$ ${\ displaystyle \ varphi: U \ to V}$ к открытому подмножество $V ⊆ C n {\ displaystyle V \ substeq \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle V \ substeq \ mathbb {C} ^ {n} }$ . Такие открытые наборы называются диаграммами.
Если $(U 1, φ) {\ displaystyle (U_ {1}, \ varphi)}$ ${ \ displaystyle (U_ {1}, \ varphi)}$ и $(U 2, ψ) {\ displaystyle (U_ {2}, \ psi)}$ ${\ displaystyle (U_ {2}, \ psi)}$ - любые две перекрывающиеся диаграммы, которые отображаются на открытые множества $V 1, V 2 {\ displaystyle V_ {1}, V_ {2 }}$ ${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ из $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ соответственно, тогда функция перехода $ψ ∘ φ - 1: φ ( U 1 ∩ U 2) → ψ (U 1 ∩ U 2) {\ displaystyle \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1}: \ varphi (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ to \ psi (U_ {1} \ cap U_ {2})}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ \ varphi ^ {- 1}: \ varphi (U_ {1} \ cap U_ {2}) \ to \ psi (U_ {1} \ cap U_ {2 })}$ - это биголоморфизм.

. Обратите внимание, что, поскольку каждый биголоморфизм является диффеоморфизмом, и $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ - изоморфизм как вещественное векторное пространство в $R 2 n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{2n}}$ , каждое сложное многообразие размерности $n {\ displaystyle n}$ $n$ , в частности, является гладким многообразием размерности $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ , которое всегда является четным числом.

В отличие от сложных многообразий, которые всегда гладкие, комплексная геометрия также связана с возможно сингулярными пространствами. аффинное комплексное аналитическое многообразие - это подмножество $X ⊆ C n {\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {C} ^ {n}}$ такое, что около каждой точки $p ∈ X {\ displaystyle p \ in X}$ $p \ in X$ , есть открытая окрестность $U {\ displaystyle U}$ $U$ из $p {\ displaystyle p}$ $p$ и набор конечного числа голоморфных функций $f 1,…, fk: U → C {\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}: U \ to \ mathbb {C} }$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}: U \ to \ mathbb {C}}$ такой, что $X ∩ U = {z ∈ U ∣ f 1 (z) = ⋯ = fk (z) = 0} = Z (f 1,…, fk) {\ displaystyle X \ cap U = \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = \ cdots = f_ {k} (z) = 0 \} = Z (f_ {1}, \ dots, f_ {k}) }$ ${\ Displaystyle X \ cap U = \ {z \ in U \ mid f_ {1} (z) = \ cdots = f_ {k } (z) = 0 \} = Z (f_ {1 }, \ dots, f_ {k})}$ . По соглашению мы также требуем, чтобы набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ был неприводимым. Точка $p ∈ X {\ displaystyle p \ in X}$ $p \ in X$ сингулярна, если матрица Якоби вектора голоморфных функций $(f 1,…, fk) {\ displaystyle (f_ {1}, \ dots, f_ {k})}$ ${\ displaystyle (f_ {1}, \ dots, f_ {k})}$ не имеет полного ранга в $p {\ displaystyle p}$ $p$ и не- единственное в противном случае. проективное комплексное аналитическое многообразие - это подмножество $X ⊆ CP n {\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {CP} ^ {n}}$ комплексного проективного пространства. то есть таким же образом локально заданные нулями конечного набора голоморфных функций на открытых подмножествах $CP n {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {n}$ .

Можно аналогичным образом определим аффинное комплексное алгебраическое многообразие как подмножество $X ⊆ C n {\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {C} ^ {n}}$ , которое задано локально как нулевой набор конечного числа многочленов от $n {\ displaystyle n}$ $n$ сложных переменных. Чтобы определить проективное комплексное алгебраическое многообразие, требуется, чтобы подмножество $X ⊆ CP n {\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ displaystyle X \ substeq \ mathbb {CP} ^ {n}}$ было локально заданный нулевым набором конечного числа однородных многочленов.

Чтобы определить общее комплексное алгебраическое или комплексное аналитическое многообразие, требуется понятие локально окольцованного пространства. Комплексное алгебраическое / аналитическое многообразие - это локально окольцованное пространство $(X, OX) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ $(X, { \ mathcal {O}} _ {X})$ которое локально изоморфно как локально окольцованное пространство аффинному комплексному алгебраическому / аналитическому многообразию. В аналитическом случае обычно разрешается $X {\ displaystyle X}$ $X$ иметь топологию, локально эквивалентную топологии подпространства из-за идентификации с открытыми подмножествами $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ , тогда как в алгебраическом случае $X {\ displaystyle X}$ $X$ часто использует топологию Зарисского. Снова мы также по соглашению требуем, чтобы это локально окольцованное пространство было неприводимым.

Поскольку определение особой точки является локальным, определение, данное для аффинного аналитического / алгебраического многообразия, применяется к точкам любого комплексного аналитического или алгебраического многообразия. Множество точек разновидности $X {\ displaystyle X}$ $X$ , которые являются единичными, называется единичным множеством точек и обозначается $X sing {\ displaystyle X ^ {sing}}$ ${\ displaystyle X ^ {Sing}}$ , а дополнение - неособое или гладкое геометрическое место, обозначаемое $X nonsing {\ displaystyle X ^ {nonsing}}$ ${\ displaystyle X ^ {noning}}$ . Мы говорим, что комплексное многообразие является гладким или неособым, если его сингулярное множество пусто. То есть, если он равен своему неособому локусу.

Согласно теореме о неявной функции для голоморфных функций, каждое комплексное многообразие является, в частности, неособым комплексным аналитическим многообразием, но не является в общем аффинным или проективным. По теореме Серра GAGA каждое проективное комплексное аналитическое многообразие на самом деле является проективным комплексным алгебраическим многообразием. Когда комплексное многообразие неособо, это комплексное многообразие. Вообще говоря, неособое множество любого комплексного многообразия является комплексным многообразием.

Типы сложных пространств

Кэлеровы многообразия

Сложные многообразия можно изучать с точки зрения дифференциальной геометрии, благодаря чему они снабжены дополнительными геометрическими структурами, такими как Риманова метрика или симплектическая форма. Чтобы эта дополнительная структура соответствовала сложной геометрии, нужно попросить, чтобы она была совместима со сложной структурой в подходящем смысле. Кэлерово многообразие - комплексное многообразие с римановой метрикой и симплектической структурой, совместимое с комплексной структурой. Каждое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия является кэлеровым, и поэтому, в частности, каждое неособое аффинное или проективное комплексное многообразие является кэлеровым после ограничения стандартной эрмитовой метрики на $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} }$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ или метрика Fubini-Study на $CP n {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {n}$ соответственно.

Другие важные примеры кэлеровых многообразий включают римановы поверхности, поверхности K3 и многообразия Калаби-Яу.

многообразия Штейна

Теорема Серра GAGA утверждает, что проективная комплексные аналитические многообразия на самом деле алгебраичны. Хотя это не совсем верно для аффинных многообразий, существует класс комплексных многообразий, которые очень похожи на аффинные комплексные алгебраические многообразия, называемые многообразиями Штейна. Многообразие $X {\ displaystyle X}$ $X$ называется штейновым, если оно голоморфно выпукло и голоморфно отделимо (технические определения см. В статье о многообразиях Штейна). Однако можно показать, что это эквивалентно тому, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ является сложным подмногообразием $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ для некоторых $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Другой способ, которым многообразия Штейна похожи на аффинные комплексные алгебраические многообразия, состоит в том, что теоремы Картана A и B верны для многообразий Штейна.

Примеры многообразий Штейна включают некомпактные римановы поверхности и неособые аффинные комплексные алгебраические многообразия.

Гиперкэлеровы многообразия

Особый класс комплексных многообразий - это гиперкэлеровы многообразия, которые представляют собой римановы многообразия, допускающие три различных согласованных интегрируемых почти комплексных структуры $I, J, K {\ displaystyle I, J, K}$ ${\ displaystyle I, J, K}$ , которые удовлетворяют кватернионным отношениям $I 2 = J 2 = K 2 = IJK = - Id {\ displaystyle I ^ {2} = J ^ {2} = K ^ {2} = IJK = - \ operatorname {Id}}$ ${\ displaystyle I ^ {2} = J ^ {2} = K ^ {2} = IJK = - \ operatorname {Id}}$ . Таким образом, гипер-кэлеровы многообразия являются кэлеровыми многообразиями по трем различным причинам и, следовательно, имеют богатую геометрическую структуру.

Примеры гиперкэлеровых многообразий включают пространства ALE, поверхности K3, расслоение Хиггса, пространства модулей, разновидности колчана и многие другие пространства модулей. возникающие из калибровочной теории и теории представлений.

многообразий Калаби-Яу

Реальный двумерный срез пятого трехмерного многообразия Калаби-Яу

Как уже упоминалось, особый класс Кэлеровы многообразия задаются многообразиями Калаби-Яу. Они задаются кэлеровыми многообразиями с тривиальным каноническим расслоением $KX = Λ n T 1, 0 ∗ X {\ displaystyle K_ {X} = \ Lambda ^ {n} T_ {1,0} ^ {*} X}$ ${\ displaystyle K_ {X} = \ Lambda ^ {n} T_ {1,0} ^ {*} X}$ . Обычно определение многообразия Калаби-Яу также требует, чтобы $X {\ displaystyle X}$ $X$ был компактным. В этом случае доказательство Яу гипотезы Калаби подразумевает, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ допускает кэлерову метрику с исчезающей кривизной Риччи, и это может быть принято как эквивалентное определение Калаби-Яу.

Многообразия Калаби-Яу нашли применение в теории струн и зеркальной симметрии, где они используются для моделирования дополнительных 6 измерений пространства-времени в 10-мерных моделях теория струн. Примеры многообразий Калаби-Яу - эллиптические кривые, поверхности K3 и комплексные абелевы многообразия.

Комплексные многообразия Фано

Комплексные многообразия Фано является сложным алгебраическим многообразием с обильным антиканоническим линейным расслоением (то есть, $KX ∗ {\ displaystyle K_ {X} ^ {*}}$ ${\ displaystyle K_ {X} ^ {*}}$ обильно). Многообразия Фано представляют значительный интерес в сложной алгебраической геометрии и, в частности, в бирациональной геометрии, где они часто возникают в программе минимальных моделей. Фундаментальные примеры многообразий Фано даются проективным пространством $CP n {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {n}$ где $K = O (- n - 1) {\ displaystyle K = {\ mathcal {O}} (- n-1)}$ ${\ displaystyle K = {\ mathcal {O}} (- n-1) }$ и гладкие гиперповерхности $CP n {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$ ${\ mathbb {CP}} ^ {n}$ степени меньше $n + 1 {\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ .

Торические многообразия

Моментный многогранник, описывающий первую поверхность Хирцебруха.

Торические многообразия - это сложные алгебраические многообразия размерности $n {\ displaystyle n}$ $n$ , содержащее открытое плотное подмножество, биголоморфное $(C ∗) n {\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$ ${ \ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$ , снабженный действием $(C ∗) n {\ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$ ${ \ displaystyle (\ mathbb {C} ^ {*}) ^ {n}}$ которое расширяет действие на открытое плотное подмножество. Торическое многообразие может быть описано комбинаторно своим торическим веером и, по крайней мере, когда оно неособое, многогранником моментов . Это многоугольник в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ со свойством, что любая вершина может быть преобразована в стандартную форму вершины положительного или действием $GL ⁡ (n, Z) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {Z})}$ . Торическое многообразие может быть получено как подходящее пространство, расслаивающееся над многогранником.

Многие конструкции, которые выполняются на торических многообразиях, допускают альтернативные описания в терминах комбинаторики и геометрии многогранника моментов или связанного с ним торического веера. Это делает торические многообразия особенно привлекательными тестами для многих конструкций сложной геометрии. Примеры торических многообразий включают комплексные проективные пространства и расслоения над ними.

Методы сложной геометрии

Из-за жесткости голоморфных функций и сложных многообразий методы, обычно используемые для изучения сложных многообразий и комплексных многообразий, отличаются от методов, используемых в регулярной дифференциальной геометрии, и ближе к методам, используемым в алгебраической геометрии. Например, в дифференциальной геометрии многие проблемы решаются путем взятия локальных конструкций и их глобального соединения с помощью разбиений единицы. Разделы единства не существуют в сложной геометрии, и поэтому проблема того, когда локальные данные могут быть склеены в глобальные, является более тонкой. Точно, когда локальные данные могут быть соединены вместе, измеряется с помощью когомологии пучка, и связки и их группы когомологий являются основными инструментами.

Например, известными проблемами анализа нескольких сложных переменных, предшествовавшими введению современных определений, являются проблемы Кузена, в которых спрашивается, когда именно локальные мероморфные данные могут быть склеены для получения глобальной мероморфной функции.. Эти старые проблемы могут быть просто решены после введения пучков и групп когомологий.

Специальные примеры пучков, используемых в сложной геометрии, включают голоморфные линейные пучки (и связанные с ними делители ), голоморфные векторные пучки и когерентные пучки. Поскольку когомологии пучков измеряют препятствия в комплексной геометрии, один из используемых приемов - доказательство теорем об исчезновении. Примеры теорем об исчезновении в комплексной геометрии включают теорему об исчезновении Кодаиры для когомологий линейных расслоений на компактных кэлеровых многообразиях и теоремы A и B Картана для когомологий когерентных пучков на аффинном комплексе разновидности.

Сложная геометрия также использует методы, вытекающие из дифференциальной геометрии и анализа. Например, теорема Хирцебруха-Римана-Роха, частный случай теоремы Атьи-Зингера об индексе, вычисляет голоморфную эйлерову характеристику голоморфного векторного расслоения в терминах характеристических классов подлежащего гладкого комплексного векторного расслоения.

Классификация в сложной геометрии

Одной из основных тем в сложной геометрии является классификация. Из-за жесткости сложных многообразий и многообразий проблема классификации этих пространств часто оказывается решаемой. Классификация в сложной и алгебраической геометрии часто происходит посредством изучения пространств модулей, которые сами по себе являются комплексными многообразиями или разновидностями, точки которых классифицируют другие геометрические объекты, возникающие в сложной геометрии.

Римановы поверхности

Термин «модули» был введен в обращение Бернхардом Риманом во время его оригинальной работы над римановыми поверхностями. Теория классификации наиболее известна для компактных римановых поверхностей. Согласно классификации замкнутых ориентированных поверхностей, компактные римановы поверхности входят в счетное число дискретных типов, измеряемых по их роду $g {\ displaystyle g}$ $g$ , которое является неотрицательным целым числом, считающим количество дырок в данной компактной римановой поверхности.

Классификация по существу следует из теоремы об униформизации и выглядит следующим образом:

g = 0: $CP 1 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1} }$ $\ mathbb {CP} ^ 1$

g = 1: существует одномерное комплексное многообразие, классифицирующее возможные компактные римановы поверхности рода 1, так называемые эллиптические кривые, модулярную кривую. По теореме униформизации любую эллиптическую кривую можно записать как частное $C / (Z + τ Z) {\ displaystyle \ mathbb {C} / (\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} / (\ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z})}$ где $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - комплексное число со строго положительной мнимой частью. Пространство модулей задается фактором группы $PSL ⁡ (2, Z) {\ displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$ , действующей на верхняя полуплоскость с помощью преобразований Мёбиуса.
g>1: для каждого рода больше единицы существует пространство модулей $M g {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g }}$ ${\ mathcal {M}} _ {g}$ компактных римановых поверхностей рода g размерностью $dim C ⁡ M g = 3 g - 3 {\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} {\ mathcal {M}} _ {g} = 3g-3}$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} {\ mathcal {M}} _ {g} = 3g-3}$ . Как и в случае эллиптических кривых, это пространство может быть получено подходящим фактором верхнего полупространства Зигеля по действию группы $Sp ⁡ (2 g, Z) {\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2g, \ mathbb {Z})}$ ${ \ displaystyle \ operatorname {Sp} (2g, \ mathbb {Z})}$ .

Голоморфные линейные расслоения

Сложная геометрия касается не только сложных пространств, но и других голоморфных объектов, связанных с ними. Классификация голоморфных линейных расслоений на сложном многообразии $X {\ displaystyle X}$ $X$ дается многообразием Пикара $Pic ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}$ $\ operatorname {Pic} (X)$ из $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Разнообразие пикаров можно легко описать в случае, когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ - компактная риманова поверхность рода g. А именно, в этом случае многообразие Пикара представляет собой несвязное объединение комплексных абелевых многообразий, каждое из которых изоморфно якобиевому многообразию кривой, классифицирующим дивизоры нулевой степени с точностью до линейной эквивалентности. В дифференциально-геометрических терминах эти абелевы многообразия представляют собой комплексные торы, комплексные многообразия, диффеоморфные $(S 1) 2 g {\ displaystyle (S ^ {1}) ^ {2g}}$ ${ \ Displaystyle (S ^ {1}) ^ {2g}}$ , возможно, с одна из множества различных сложных структур.

Согласно теореме Торелли компактная риманова поверхность определяется своим якобиевым многообразием, и это демонстрирует одну причину, по которой изучение структур на комплексных пространствах может быть полезным, поскольку оно может позволить один, чтобы решить, классифицируйте сами пространства.

См. Также

Литература

Huybrechts, Daniel (2005). Сложная геометрия: Введение. Springer. ISBN 3-540-21290-6.
Гриффитс, Филип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0- 471-05059-9, MR 1288523
Хёрмандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ нескольких переменных, Математическая библиотека Северной Голландии, 7 (3-й ( Пересмотренное издание), Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио: Северная Голландия, ISBN 0-444-88446-7, MR 1045639, Zbl 0685.32001
S. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (Wiley Classics Library) Том 1, 2.
Э. Х. Невилл (1922) Пролегомены к аналитической геометрии в анизотропном евклидовом пространстве трех измерений, Cambridge University Press.