Высота (треугольник)

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для острого треугольника находится внутри треугольника.

В geometry, высота треугольника - это отрезок линии, проходящий через вершину и перпендикуляр , чтобы (т. Е. Образуя прямой угол с) линию, содержащую основание (сторона, противоположная вершине). Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенной базой высоты. Пересечение расширенной базы и высоты называется основанием высоты. Длина высоты, часто называемая просто «высотой», - это расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс рисования высоты от вершины к стопе называется понижением высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции ..

Высоты могут использоваться при вычислении площади треугольника: половина произведения высоты на длину основания равна длине треугольника. площадь. Таким образом, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высота также связана со сторонами треугольника через тригонометрические функции.

. В прямоугольном треугольнике высота каждого острого угла совпадает с катетом и пересекает противоположную сторону в правой части (имеет основание). -угловая вершина, которая является ортоцентром.

В равнобедренном треугольнике (треугольник с двумя конгруэнтными сторонами ) высота, имеющая инконгруэнтную сторону в качестве основания, будет иметь середина той стороны в качестве его основания. Также высота, имеющая инконгруэнтную сторону в качестве основы, будет биссектрисой угла угла при вершине.

Обычно высоту отмечают буквой h (как в высоте), часто с нижним индексом с названием стороны, на которой отображается высота.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c, делит гипотенузу на два сегмента длиной p и q. Если обозначить длину высоты как h c, мы получим соотношение

$hc\; =\; pq\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{pq\}\}\}$(Среднее геометрическое Теорема )

Высоты от каждого из острых углов тупого треугольника лежат полностью вне треугольника, как и ортоцентр H.

Для острых и прямоугольных треугольников все основания высот попадают на стороны треугольника (не расширены).). В тупоугольном треугольнике (треугольник с тупым углом ) основание высоты до тупоугольной вершины попадает внутрь противоположной стороны, а основание высот к остроугольным вершинам падают на противоположную расширенную сторону, внешнюю по отношению к треугольнику. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупоугольном треугольнике высота, пониженная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает расширенную горизонтальную сторону вне треугольника.

• 1 Ортоцентр
  • 1.1 Свойства
  • 1.2 Связь с окружностями и кониками
  • 1.3 Отношение к другим центрам, окружность из девяти точек
• 2 Ортоцентр
• 3 Дополнительная высота теоремы
  • 3.1 Высота в терминах сторон
  • 3.2 Теоремы Инрадиуса
  • 3.3 Теорема о круговом радиусе
  • 3.4 Внутренняя точка
  • 3.5 Теорема площади
  • 3.6 Общая точка на высоте
  • 3.7 Особый случай треугольники
    • 3.7.1 Равносторонний треугольник
    • 3.7.2 Правый треугольник
• 4 История
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Три высоты, пересекающиеся в ортоцентре

Три (возможно, расширенные) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника, обычно обозначаемой H. Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник острый (то есть не имеет угла больше или равного прямому углу). Если один угол является прямым, ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом.

Пусть A, B, C обозначают вершины, а также углы треугольника, и пусть a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | быть длинами сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты

$sec\; \; A:\; sec\; \; B:\; sec\; \; C\; =\; cos\; \; A\; -\; sin\; \; B\; sin\; \; C:\; cos\; \; B\; -\; sin\; \; C\; sin\; \; A:\; cos\; \; C\; -\; sin\; \; A\; грех\; \; В,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sec\; A:\; \backslash \; sec\; B:\; \backslash \; sec\; C\; =\; \backslash \; cos\; A-\; \backslash \; sin\; B\; \backslash \; sin\; C:\; \backslash \; cos\; B-\; \backslash \; sin\; C\; \backslash \; sin\; A:\; \backslash \; cos\; C-\; \backslash \; sin\; A\; \backslash \; sin\; B,\}$

и барицентрические координаты

$(a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; c\; 2)\; (a\; 2\; -\; b\; 2\; +\; c\; 2):\; (a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; c\; 2)\; (-\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2):\; (a\; 2\; -\; b\; 2\; +\; c\; 2)\; (-\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\})\; (a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\})\; :(\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\})\; (-\; a\; ^\; \{2\; \}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\})\; :(\; a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\})\; (-\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\})\}$

$=\; загар\; \; А:\; загар\; \; В:\; загар\; \; С.\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; tan\; A:\; \backslash \; tan\; B:\; \backslash \; tan\; C.\}$

Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки снаружи, а две из барицентрические координаты равны нулю для точки вершины, барицентрические координаты, данные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри острого треугольника, на прямоугольной вершине прямоугольного треугольника , и вне тупого треугольника .

В комплексной плоскости, пусть точки A, B и C представляют числа $z\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{\; A\}\}$, $z\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{B\}\}$и, соответственно, $z\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{C\}\}$и предположим, что центр описанной окружности треугольника ABC находится в начале координат плоскости. Тогда комплексное число

$z\; H\; =\; z\; A\; +\; z\; B\; +\; z\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{H\}\; =\; z\_\; \{A\}\; +\; z\_\; \{B\}\; +\; z\_\; \{C\}\}$

представлено точкой H, а именно ортоцентр треугольника ABC. Отсюда можно сразу установить следующие характеристики ортоцентра H с помощью свободных векторов :

$O\; H\; \to \; =\; \sum \; c\; y\; c\; l\; i\; c\; O\; A\; \to ,\; 2\; \cdot \; H\; O\; \to \; =\; \sum \; c\; y\; c\; l\; i\; c\; H\; A\; \to .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{OH\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; rm\; \{cyclic\}\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{OA\}\},\; \backslash \; qquad\; 2\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{HO\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; rm\; \{cyclic\}\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{HA\}\}.\}$

Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра, предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром.

Свойства

Пусть D, E и F обозначают опоры высот от A, B и C соответственно. Тогда:

• Произведение длин сегментов, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот:

$A\; H\; \cdot \; H\; D\; =\; B\; H\; \cdot \; H\; E\; =\; C\; H\; \cdot \; H\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; AH\; \backslash \; cdot\; HD\; =\; BH\; \backslash \; cdot\; HE\; =\; CH\; \backslash \; cdot\; HF.\}$

Круг с центром в H и радиусом, равным квадратному корню из этой константы, представляет собой полярный круг треугольника.

• Сумма отношения на трех высотах расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равны 1: (Это и следующее свойство являются приложениями более общего свойства любой внутренней точки и трех cevians через него.)

$HDAD\; +\; HEBE\; +\; HFCF\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{HD\}\; \{AD\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{HE\}\; \{BE\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{HF\}\; \{CF\}\}\; =\; 1.\}$

• Сумма отношений на трех высотах расстояния от ортоцентра от вершины до длины высоты равна 2:

$AHAD\; +\; BHBE\; +\; CHCF\; =\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{AH\}\; \{AD\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{BH\}\; \{BE\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{CH\}\; \{CF\}\}\; =\; 2.\}$

• Изогональное сопряжение ортоцентра - это центр описанной окружности треугольника.

• изотомическое сопряжение ортоцентра - это симедианная точка a Дополнительный треугольник.

• Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного другими тремя, называются ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.

Связь с кругами и conics

Обозначим описанный радиус треугольника через R. Тогда

$a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; +\; AH\; 2\; +\; BH\; 2\; +\; CH\; 2\; =\; 12\; R\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; +\; AH\; ^\; \{2\}\; +\; BH\; ^\; \{2\}\; +\; CH\; ^\; \{2\}\; =\; 12R\; ^\; \{2\}.\}$

В кроме того, обозначая r как радиус вписанной окружности треугольника, r a, r b и r c как радиусы его вневписанная окружность, и R снова как радиус описанной окружности, следующие соотношения выполняются относительно расстояний от ортоцентра до вершин:

$ra\; +\; rb\; +\; rc\; +\; r\; =\; AH\; +\; BH\; +\; CH\; +\; 2\; R,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\; +\; r\_\; \{b\}\; +\; r\_\; \{c\}\; +\; r\; =\; AH\; +\; BH\; +\; CH\; +\; 2R,\}$

$ra\; 2\; +\; rb\; 2\; +\; rc\; 2\; +\; r\; 2\; =\; AH\; 2\; +\; BH\; 2\; +\; СН\; 2\; +\; (2\; К)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{b\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; =\; AH\; ^\; \{2\}\; +\; BH\; ^\; \{2\}\; +\; CH\; ^\; \{2\}\; +\; (2R)\; ^\; \{2\}.\}$

Если любая высота, например AD, продолжается до пересечения описанной окружности в точке P, так что AP является хордой описанной окружности, то основание D делит сегмент пополам. HP:

$HD\; =\; DP.\; \{\backslash \; displaystyle\; HD\; =\; DP.\}$

Направляющие всех парабол, которые касаются снаружи одной стороны треугольника и касаются продолжения других сторон, проходят через ортоцентр.

A окружность конуса, проходящая через ортоцентр треугольника, представляет собой прямоугольную гиперболу.

Отношение к другим центрам, окружность из девяти точек

Ортоцентр H, центроид G, центр описанной окружности O и центр N окружности из девяти точек - все они лежат на одной линии, известной как линия Эйлера. Центр окружности из девяти точек лежит в средней точке линии Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центром тяжести и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром:

$ОН\; =\; 2\; NH,\; \{\backslash \; displaystyle\; OH\; =\; 2NH,\}$

$2\; ОГ\; =\; GH.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2OG\; =\; GH.\}$

Ортоцентр находится ближе к инцентру I, чем к центроиду, а ортоцентр дальше, чем центр тяжести от центроида:

$HG>IG.\; \{\backslash \; displaystyle\; HG>IG.\}$

С точки зрения сторон a, b, c, радиус r и радиус окружности R,

$OH\; 2\; =\; R\; 2\; -\; 8\; R\; 2\; cos\; \; A\; cos\; \; B\; cos\; \; C\; =\; 9\; R\; 2\; -\; (a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; OH\; ^\; \{2\}\; =\; R\; ^\; \{2\}\; -8R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; A\; \backslash \; cos\; B\; \backslash \; cos\; C\; =\; 9R\; ^\; \{2\}\; -\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}),\}$

$HI\; 2\; =\; 2\; r\; 2\; -\; 4\; R\; 2\; cos\; \; A\; cos\; \; B\; cos\; \; C.\; \{\backslash \; Displaystyle\; HI\; ^\; \{2\}\; =\; 2r\; ^\; \{2\}\; -\; 4R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; A\; \backslash \; cos\; B\; \backslash \; cos\; C.\}$

Треугольник abc (соответственно DEF в тексте) - это ортический треугольник треугольника ABC

Если треугольник ABC равен наклонный (не содержит прямого угла), педальный треугольник ортоцентра исходного треугольника называется ортотоническим треугольником или высотным треугольником . То есть, основания высот наклонного треугольника образуют ортический треугольник DEF. Кроме того, центр вписанной окружности (центр вписанной окружности) ортического треугольника DEF равен t Ортоцентр исходного треугольника ABC.

Трилинейные координаты для вершин ортогонального треугольника равны

• D = 0: sec B: sec C
• E = sec A: 0 : сек с
• F = сек A: сек B: 0.

Элемент расширенные стороны от orthic треугольника пересекаются противоположные стороны расширены его опорного треугольника на три коллинеарны очков.

В любом остром треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром является ортическим треугольником. Это решение проблемы Фаньяно, поставленной в 1775 году. Стороны ортогонального треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника.

Ортический треугольник с острым углом треугольник дает треугольный световой путь.

Касательные линии девятиконечной окружности в серединах сторон ABC параллельны сторонам ортогонального треугольника, образуя треугольник, похожий на ортический треугольник.

Ортический треугольник тесно связан с касательным треугольником, построенным следующим образом: пусть L A будет прямой, касательной к описанной окружности треугольника ABC в вершине A, и аналогично определите L B и L C. Пусть A "= L B ∩ L C, B" = L C ∩ L A, C "= L C ∩ L A. Тангенциальный треугольник - это A "B" C ", стороны которого являются касательными к описанной окружности треугольника ABC в его вершинах; он гомотетичен ортическому треугольнику. Центр описанной окружности тангенциального треугольника и центр подобия ортогонального и тангенциального треугольников находятся на прямой Эйлера.

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника задаются как

• A "= −a: b: c
• B" = a: −b: c
• C "= a: b: −c.

Для получения дополнительной информации об ортике треугольник, см. здесь.

Высота в терминах сторон

Для любого треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром s = (a + b + c) / 2, высота со стороны a равна

$ha\; =\; 2\; s\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c)\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{s\; (sa)\; (sb)\; (sc)\}\}\}\; \{a\}\}.\}$

Это следует из объединения формулы Герона для площади треугольника через стороны с формулой площади (1/2) × основание × высота, где основание принимается как сторона a, а высота - это высота из A.

Теоремы Inradius

Рассмотрим произвольный треугольник с стороны a, b, c и с корр. соответствующие высоты h a, h b и h c. Высоты и радиус r вписанной окружности связаны соотношением

$1\; r\; =\; 1\; h\; a\; +\; 1\; h\; b\; +\; 1\; h\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{a\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{b\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{c\}\}\}.\}$

Теорема кругового радиуса

Обозначение высоты с одной стороны треугольника как h a, двух других сторон как b и c, а также описанный радиус треугольника (радиус описанной окружности треугольника) обозначается как R, высота определяется как

$ha\; =\; bc\; 2\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{bc\}\; \{2R\}\}.\}$

Внутренняя точка

Если p 1, p 2, и p 3 - перпендикулярные расстояния от любой точки P до сторон, а h 1, h 2 и h 3 - высоты до соответствующих сторон, тогда

$p\; 1\; h\; 1\; +\; p\; 2\; h\; 2\; +\; p\; 3\; h\; 3\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{1\}\}\; \{h\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{2\}\}\; \{h\_\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{3\}\}\; \{h\_\; \{3\}\}\}\; =\; 1.\}$

Теорема площади

Обозначение высоты любой треугольник со сторон a, b и c соответственно как $ha\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}\}$, $hb\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{b\}\}$и $hc\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{c\}\}$и обозначает полусумму обратных значений высот как $H\; =\; (ha\; -\; 1\; +\; hb\; -\; 1\; +\; hc\; -\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; (h\_\; \{a\}\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; h\_\; \{b\}\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; h\_\; \{c\}\; ^\; \{-\; 1\})\; /\; 2\}$мы имеем

$A\; rea\; -\; 1\; =\; 4\; H\; (H\; -\; ha\; -\; 1)\; (H\; -\; hb\; -\; 1)\; (H\; -\; hc\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Area\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; 4\; \{\backslash \; sqrt\; \{H\; (H-h\_\; \{a\}\; ^\; \{-\; 1\})\; (H-h\_\; \{b\}\; ^\; \{-\; 1\})\; (H-h\_\; \{c\}\; ^\; \{-\; 1\})\}\}.\}$

Общая точка на высоте

Если E - любая точка на высоте AD любого треугольника ABC, то

$AC\; 2\; +\; EB\; 2\; =\; АВ\; 2\; +\; СЕ\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; AC\; ^\; \{2\}\; +\; EB\; ^\; \{2\}\; =\; AB\; ^\; \{2\}\; +\; CE\; ^\; \{2\}.\}$

Треугольники специального случая

Равносторонний треугольник

Для любого точка P внутри равностороннего треугольника , сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани.

Прямой треугольник

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о трех треугольниках со сторонами (p + q, r, s), (r, p, h) и (s, h, q),. $(p\; +\; q)\; 2\; знак\; равно\; r\; 2\; +\; s\; 2\; p\; 2\; +\; 2\; pq\; +\; q\; 2\; =\; p\; 2\; +\; h\; 2\; ⏞\; +\; h\; 2\; +\; q\; 2\; ⏞\; 2\; pq\; =\; 2\; h\; 2\; \therefore \; h\; =\; pq\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; (p\; +\; q)\; ^\; \{2\}\; \backslash ;\; \backslash ;\; =\; \backslash \; quad\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ,\; +\; \backslash \; quad\; s\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; p\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash !\; +\; \backslash \; !\; 2pq\; \backslash !\; +\; \backslash !\; Q\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; overbrace\; \{p\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash !\; +\; \backslash !\; H\; ^\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; overbrace\; \{h\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash !\; +\; \backslash \; !\; q\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; 2pq\; \backslash \; quad\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; =\; 2h\; ^\; \{2\}\; \backslash ;\; \backslash \; поэтому\; h\; \backslash !\; =\; \backslash !\; \{\backslash \; sqrt\; \{pq\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

В прямоугольном треугольнике три высоты h a, h b и h c (первые две из которых равны длинам участков b и a соответственно) связаны согласно

$1\; га\; 2\; +\; 1\; hb\; 2\; =\; 1\; hc\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{b\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{c\})\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, ортоцентре, была впервые доказана в публикации 1749 года Уильямом Чапплом.

• Центр треугольника
• Медиана (геометрия)

• Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], College Geometry, Dover Publications
• Береле, Аллан; Голдман, Джерри (2001), Геометрия / Теоремы и конструкции, Прентис Холл, ISBN 0-13-087121-4
• Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Смарт, Джеймс Р. (1998), Modern Geometries (5-е изд.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3

• Вайсштейн, Эрик У. «Высота». MathWorld.
• Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
• Анимированная демонстрация построения ортоцентра Компас и линейка.
• Проблема Фаньяно от Джея Варендорфа, Wolfram Demonstrations Project.