Треугольник педали

Треугольник ABC черного цвета, перпендикуляры из точки P синим цветом и полученный треугольник педали LMN красным цветом.

В geometry треугольник педали получается путем проецирования точки точки на стороны треугольника .

. Более конкретно, рассмотрим треугольник ABC, и точка P, которая не является одной из вершин A, B, C. Отбросьте перпендикуляры от P к трем сторонам треугольника (их может потребоваться создать, т. е. удлинить). Обозначим L, M, N точки пересечения прямых из P со сторонами BC, AC, AB. Треугольник педали тогда LMN.

Расположение выбранной точки P относительно выбранного треугольника ABC приводит к некоторым частным случаям:

• Если P = ортоцентр, то LMN = ортогональный треугольник.
• Если P = средний треугольник, то LMN = внутренний треугольник.
• Если P = центр описанной окружности, то LMN = средний треугольник.

Случай, когда P находится на описанной окружности, а треугольник педали вырождается в линию (красный).

Если P находится на описанной окружности треугольника, LMN сворачивается в линию. Затем это называется линией педали или иногда линией Симсона после Роберта Симсона.

Вершины педального треугольника внутренней точки P, как показано на верхней диаграмме, делит стороны исходного треугольника таким образом, чтобы удовлетворять теореме Карно :

$AN\; 2\; +\; BL\; 2\; +\; CM\; 2\; =\; NB\; 2\; +\; LC\; 2\; +\; MA\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; AN\; ^\; \{2\}\; +\; BL\; ^\; \{2\}\; +\; CM\; ^\; \{2\}\; =\; NB\; ^\; \{2\}\; +\; LC\; ^\; \{2\}\; +\; MA\; ^\; \{2\}.\}$

• 1 Трилинейные координаты
• 2 Антипедальный треугольник
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Если P имеет трилинейные координаты p: q: r, то вершины L, M, N педального треугольника P задаются как

• L = 0: q + p cos C: r + p cos B
• M = p + q cos C: 0: r + q cos A
• N = p + r cos B: q + r cos A: 0

Одна вершина L 'антипедального треугольника P - точка пересечения перпендикуляра к BP через B и перпендикуляра к CP через C. Остальные его вершины, M 'и N', строятся аналогично. Трилинейные координаты задаются как

• L '= - (q + p cos C) (r + p cos B): (r + p cos B) (p + q cos C): (q + p cos C) (p + r cos B)
• M '= (r + q cos A) (q + p cos C): - (r + q cos A) (p + q cos C): (p + q cos C) (q + r cos A)
• N '= (q + r cos A) (r + p cos B): (p + r cos B) (r + q cos A): - (p + r cos B) (q + r cos A)

Например, эксцентральный треугольник - это антипедальный треугольник в центре.

Предположим, что P не лежит ни на одной из расширенных сторон BC, CA, AB, и пусть P обозначает изогонально сопряженное к P. Педальный треугольник P гомотетичен. к антипедальному треугольнику P. Гомотетический центр (который является центром треугольника тогда и только тогда, когда P является центром треугольника) - это точка, заданная в трилинейных координатах как

ap (p + q cos C) (p + r cos B): bq (q + r cos A) (q + p cos C): cr (r + p cos B) (r + q cos A).

Произведение Площади педального треугольника P и антипедального треугольника P равны квадрату площади треугольника ABC.

• «Линия Симсона». PlanetMath.
• Mathworld: Треугольник педали
• Линия Симсона
• Треугольник педали и изогональное сопряжение