Линия Симсона

редактировать

Линия Симсона LN (красная) треугольника ABC относительно точки P на описанной окружности

В геометрии , учитывая треугольник ABC и точку P на его описанной окружности, три точки, ближайшие к P на прямых AB, AC и BC: коллинеарно. Линия, проходящая через эти точки, является линией Симсона точки P, названной в честь Роберта Симсона. Однако эта концепция была впервые опубликована Уильямом Уоллесом в 1799 году.

обратное также верно; если три точки, ближайшие к P на трех прямых, лежат на одной прямой, и никакие две прямые не параллельны, то P лежит на описанной окружности треугольника, образованного этими тремя прямыми. Или, другими словами, линия Симсона треугольника ABC и точка P - это просто педальный треугольник треугольников ABC и P, который выродился в прямую линию, и это условие ограничивает геометрическое место точки P, чтобы провести по описанной окружности треугольника ABC.

Содержание

1 Уравнение
2 Свойства
3 Доказательство существования
4 Альтернативное доказательство
- 4.1 Обобщения
  - 4.1.1 Обобщение 1
  - 4.1.2 Обобщение 2
  - 4.1.3 Обобщение 3
- 4.2 См. Также
- 4.3 Ссылки
- 4.4 Внешние ссылки

Уравнение

Поместив треугольник в комплексную плоскость, пусть треугольник ABC с единицей измерения В описанной окружности есть вершины, местоположения которых имеют комплексные координаты a, b, c, и пусть P с комплексными координатами p будет точкой на описанной окружности. Линия Симсона - это набор точек z, удовлетворяющих

2 abcz ¯ - 2 pz + p 2 + (a + b + c) p - (bc + ca + ab) - abcp = 0, {\ displaystyle 2abc {\ bar {z}} - 2pz + p ^ {2} + (a + b + c) p- (bc + ca + ab) - {\ frac {abc} {p}} = 0,}

{\ displaystyle 2abc {\ bar {z} } -2pz + p ^ {2} + (a + b + c) p- (bc + ca + ab) - {\ frac {abc} {p}} = 0,}

где черта сверху указывает комплексное сопряжение.

Свойства

Линии Симсона (красные) являются касательными к дельтовиду Штейнера (синим).

Линия Симсона вершины треугольника - это высота треугольника, опущенного из этой вершины, и линия Симсона точки , диаметрально противоположная вершине, является стороной треугольника, противоположной этой вершине.
Если P и Q равны точки на описанной окружности, то угол между линиями Симсона P и Q равен половине угла дуги PQ. В частности, если точки диаметрально противоположны, их линии Симсона перпендикулярны, и в этом случае пересечение линий лежит на окружности из девяти точек.
. Обозначение H обозначает ортоцентр В треугольнике ABC линия Симсона точки P делит пополам отрезок PH в точке, лежащей на окружности из девяти точек.
Для двух треугольников с одинаковой описанной окружностью угол между линиями Симсона точки P на описанная окружность для обоих треугольников не зависит от P.
Набор всех линий Симсона при нанесении образует конверт в форме дельтовидной мышцы, известной как дельтовидная мышца Штейнера контрольного треугольника.
Построение линии Симсона, которая совпадает со стороной контрольного треугольника (см. Первое свойство выше), дает нетривиальную точку на этой боковой линии. Эта точка является отражением подножия высоты (сброшенной на боковую линию) относительно середины строящейся боковой линии. Кроме того, эта точка является точкой касания между стороной контрольного треугольника и его дельтовидом Штейнера.
Четырехугольник, который не является параллелограммом, имеет одну и только одну точку педали, называемую точкой Симсона, относительно которой ступни на четырехугольнике коллинеарны. Точка Симсона трапеции - это точка пересечения двух непараллельных сторон.
Ни один выпуклый многоугольник с как минимум 5 сторонами не имеет линии Симсона.

Доказательство существования

Метод доказательства должны показать, что $∠ NMP + ∠ PML = 180 ∘ {\ displaystyle \ angle NMP + \ angle PML = 180 ^ {\ circ}}$ $\ angle NMP + \ angle PML = 180 ^ {\ circ}$ . $PCAB {\ displaystyle PCAB}$ $PCAB$ циклический четырехугольник, поэтому $∠ PBA + ∠ ACP = ∠ PBN + ∠ ACP = 180 ∘ {\ displaystyle \ angle PBA + \ angle ACP = \ angle PBN + \ angle ACP = 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ angle PBA + \ angle ACP = \ angle PBN + \ angle ACP = 180 ^ {\ circ}}$ . $PMNB {\ displaystyle PMNB}$ $PMNB$ - циклический четырехугольник (теорема Фалеса ), поэтому $∠ PBN + ∠ NMP = 180 ∘ {\ displaystyle \ angle PBN + \ angle NMP = 180 ^ {\ circ}}$ $\ angle PBN + \ angle NMP = 180 ^ {\ circ}$ . Следовательно, $∠ N M P = ∠ A C P {\ displaystyle \ angle NMP = \ angle ACP}$ $\ angle NMP = \ angle ACP$ . Теперь $PLCM {\ displaystyle PLCM}$ $PLCM$ циклический, поэтому $∠ PML = ∠ PCL = 180 ∘ - ∠ ACP {\ displaystyle \ angle PML = \ angle PCL = 180 ^ {\ circ } - \ angle ACP}$ $\ angle PML = \ angle PCL = 180 ^ {\ circ} - \ angle ACP$ . Следовательно, $∠ NMP + ∠ PML = ∠ ACP + (180 ∘ - ∠ ACP) = 180 ∘ {\ displaystyle \ angle NMP + \ angle PML = \ angle ACP + (180 ^ {\ circ} - \ angle ACP) = 180 ^ {\ circ}}$ $\ angle NMP + \ angle PML = \ angle ACP + (180 ^ {\ circ} - \ angle ACP) = 180 ^ {\ circ}$ .

Линия Симсона - Simson line

зеленая линия - линия Симпсона, синие - перпендикуляры.

Какой бы ни была точка Z на соседнем рисунке, a + c равно 90. Кроме того, какой бы ни была точка Z, c и b будут равны. Следовательно, мы имеем следующее:

a + c = 90

∴ a + b = 90… (c и b равны) (1)

Теперь рассмотрим мера угла: a + 90 + b.

Если мы покажем, что его угол равен 180, то теорема Симпсона доказана.

Из (1) мы получаем a + 90 + b = 180

Q.E.D.

Обобщения

Обобщение 1

Проекции Ap, Bp, Cp на BC, CA, AB - это три коллинеарные точки

Пусть ABC - треугольник, пусть прямая идет через центр описанной окружности O, и пусть точка P лежит на описанной окружности. Пусть AP, BP, CP пересекаются с ℓ в A p, B p, C p соответственно. Пусть A 0, B 0, C 0 - проекции A p, B p, C p на BC, CA, AB соответственно. Тогда A 0, B 0, C 0 коллинеарны. Более того, новая линия проходит через среднюю точку PH, где H - ортоцентр ΔABC. Если ℓ проходит через P, линия совпадает с линией Симсона.

Проективная версия прямой Симсона

Обобщение 2

Пусть вершины треугольника ABC лежат на конике Γ, и пусть Q, P - две точки на плоскости. Пусть PA, PB, PC пересекают конику в точках A 1, B 1, C 1 соответственно. QA 1 пересекает BC в A 2, QB 1 пересекает AC в B 2, а QC 1 пересекает AB в C 2. Тогда четыре точки A 2, B 2, C 2 и P коллинеарны, если только если Q лежит на конике Γ.

Обобщение 3

Р. Ф. Цистер обобщил теорему на циклические четырехугольники в Линии Симсона в циклическом четырехугольнике

См. Также

Ссылки

^H.S.M. Кокстер и С. Грейцер, Возвращение к геометрии, Math. Доц. Америка, 1967: с.41.
^«История Гибсона 7 - Роберт Симсон». 2008-01-30.
^http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Wallace.html
^Тодор Захаринов, «Треугольник Симсона и его свойства», Форум Геометрикорум 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
^Даниэла Феррарелло, Мария Флавия Маммана и Марио Пенниси, «Педальные многоугольники», Forum Geometricorum 13 (2013) 153–164: Теорема 4.
^Ольга Радько и Эммануэль Цукерман, «Построение биссектрисы перпендикуляра, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника», Forum Geometricorum 12 (2012). [1]
^Цукерман, Эммануэль (2013). «О многоугольниках, допускающих линию Симсона как дискретных аналогах парабол» (PDF). Форум Геометрикорум. 13 : 197–208.
^«Обобщение линии Симсона». Разрежьте узел. Апрель 2015.
^Нгуен Ван Линь (2016), «Еще одно синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о прямых» (PDF), Forum Geometricorum, 16 : 57–61
^Нгуен Ле Фуок и Нгуен Чуонг Чи (2016). 100.24 Синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о прямой. The Mathematical Gazette, 100, стр. 341-345. doi: 10.1017 / mag.2016.77. The Mathematical Gazette
^Smith, Geoff (2015), «99.20 Проективная линия Симсона», The Mathematical Gazette, 99 (545): 339–341, doi : 10.1017 / mag.2015.47

Внешние ссылки

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с линией Симсона.

Simson Line в cut-the-knot.org
F. М. Джексон и Вайсштейн, Эрик У. "Линия Симсона". MathWorld.
Обобщение теоремы Нойберга и линии Симсона-Уоллеса в Dynamic Geometry Sketches, интерактивный эскиз динамической геометрии.