Геометрическая теорема о среднем

редактировать

Соотносит высоту на гипотенузе в прямоугольном треугольнике и созданных двух отрезках линии

площадь серого квадрата = площадь серый прямоугольник:

h 2 = pq ⇔ h = pq {\ displaystyle h ^ {2} = pq \ Leftrightarrow h = {\ sqrt {pq}}}

{\ displaystyle h ^ {2} = pq \ Leftrightarrow h = {\ sqrt {pq}}}

Теорема о высоте правого треугольника или теорема о среднем геометрическом является результатом элементарной геометрии, который описывает отношение между длинами высоты на гипотенузе в прямоугольном треугольнике и два отрезка, которые он создает на гипотенузе. В нем указано, что среднее геометрическое двух сегментов равно высоте.

Содержание

1 Теорема и приложения
2 История
3 Доказательство
- 3.1 Основано на подобии
- 3.2 Основано на теореме Пифагора
- 3.3 Основано на разрезании и перестановке
- 3.4 На основе сопоставлений сдвига
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Теорема и приложения

Построение √p путем установки q равным 1

Если h обозначает высоту в прямоугольном треугольнике, а p и q отрезки на гипотенузе, то теорему можно сформулировать как:

h = pq {\ displaystyle h = {\ sqrt {pq}}}

h = {\ sqrt {pq}}

или в терминах площадей:

h 2 = pq. {\ displaystyle h ^ {2} = pq.}

h ^ {2} = pq.

Неравенство AM-GM

Последняя версия дает метод возведения прямоугольника в квадрат с помощью линейки и циркуля, то есть построения квадрата из равную площади заданному прямоугольнику. Для такого прямоугольника со сторонами p и q обозначим его верхнюю левую вершину буквой D. Теперь продолжим отрезок q слева от него через p (используя дугу AE с центром на D) и проведем полукруг с концами. A и B с новым отрезком p + q в качестве диаметра. Затем мы строим перпендикулярную линию к диаметру в D, которая пересекает полукруг в C. В соответствии с теоремой Фалеса C и диаметр образуют прямоугольный треугольник с отрезком DC в виде его высота, следовательно, DC - это сторона квадрата с площадью прямоугольника. Этот метод также позволяет строить квадратные корни (см. конструктивное число ), поскольку, начиная с прямоугольника шириной 1, построенный квадрат будет иметь длину стороны, равную квадратному корню из длины прямоугольника..

. Эта теорема может быть использована для геометрического доказательства неравенства AM – GM в случае двух чисел. По числам p и q строится полукруг диаметром p + q. Теперь высота представляет собой среднее геометрическое, а радиус - среднее арифметическое двух чисел. Поскольку высота всегда меньше или равна радиусу, отсюда следует неравенство.

теорема о среднем геометрическом как частный случай теоремы о хорде :.

| C D | | D E | = | A D | | D B | ⇔ час 2 = pq {\ displaystyle | CD || DE | = | AD || DB | \ Leftrightarrow h ^ {2} = pq}

{\ displaystyle | CD || DE | = | AD || DB | \ Leftrightarrow h ^ {2} = pq}

Теорема о среднем геометрическом также может рассматриваться как частный случай теорема о пересечении хорд для окружности, поскольку обратное теореме Фалеса гарантирует, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру его описанной окружности.

Обратное утверждение имеет вид правда тоже. Любой треугольник, в котором высота равна среднему геометрическому двух отрезков, созданных им, является прямоугольным треугольником.

История

Эту теорему обычно приписывают Евклиду (ок. 360–280 гг. До н.э.), который сформулировал ее как следствие предложения 8 в книге VI своего Элементы. В предложении 14 книги II Евклид дает метод возведения прямоугольника в квадрат, который по существу совпадает с методом, приведенным здесь. Евклид, однако, предоставляет другое, немного более сложное доказательство правильности конструкции, а не полагается на теорему о среднем геометрическом.

Доказательство

Основано на сходстве

△ ABC ∼ △ ADC ∼ △ DBC {\ Displaystyle \ треугольник ABC \ sim \ треугольник ADC \ sim \ треугольник DBC}

{\ displaystyle \ треугольник ABC \ sim \ треугольник ADC \ sim \ треугольник DBC}

Доказательство теоремы :

Треугольники $△ ADC {\ displaystyle \ треугольник ADC}$ $\ треугольник ADC$ и $△ BCD {\ Displaystyle \ треугольник BCD}$ ${\ Displaystyle \ треугольник BCD}$ похожи на, поскольку:

рассмотрим треугольники $△ ABC, △ ACD {\ displaystyle \ треугольник ABC, \ треугольник ACD }$ ${\ Displaystyle \ треугольник ABC, \ треугольник ACD}$ , здесь мы имеем $∠ ACB = ∠ ADC = 90 ∘ {\ displaystyle \ angle ACB = \ angle ADC = 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ angle ACB = \ angle ADC = 90 ^ {\ circ}}$ и $∠ BAC = ∠ CAD {\ displaystyle \ angle BAC = \ angle CAD}$ ${\ displaystyle \ angle BAC = \ angle CAD}$ , следовательно, согласно постулату AA $△ ABC ∼ △ ACD {\ displaystyle \ треугольник ABC \ sim \ треугольник ACD}$ ${\ displaystyle \ треугольник ABC \ sim \ треугольник ACD}$
далее, рассмотрим треугольники $△ ABC, △ BCD {\ displaystyle \ треугольник ABC, \ треугольник BCD}$ ${\ displaystyle \ треугольник ABC, \ треугольник BCD }$ , здесь мы имеем $∠ ACB = ∠ BDC = 90 ∘ {\ displaystyle \ angle ACB = \ angle BDC = 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ angle ACB = \ angle BDC = 9 0 ^ {\ circ}}$ и $∠ ABC = ∠ CBD {\ displaystyle \ angle ABC = \ angle CBD}$ ${\ displaystyle \ angle ABC = \ angle CBD}$ , следовательно, согласно постулату АА $△ ABC ∼ △ BCD {\ displaystyle \ треугольник ABC \ sim \ треугольник BCD}$ ${\ Displaystyle \ треугольник ABC \ sim \ треугольник BCD}$

Следовательно, оба треугольника $△ ACD {\ displaystyle \ треугольник ACD}$ ${\ displaystyle \ треугольник ACD}$ и $△ BCD {\ Displaystyle \ треугольник BCD}$ ${\ Displaystyle \ треугольник BCD}$ аналогичны $△ ABC {\ displaystyle \ треугольник ABC}$ $\ треугольник ABC$ и сами по себе, т.е. $△ ACD ∼ △ ABC ∼ △ BCD {\ Displaystyle \ треугольник ACD \ sim \ треугольник ABC \ sim \ треугольник BCD}$ ${\ displaystyle \ треугольник ACD \ сим \ треугольник ABC \ sim \ треугольник BCD}$ .

Из-за подобия мы получаем следующее равенство соотношений, и его алгебраическая перестановка дает теорему :.

hp = qh ⇔ час 2 = pq ⇔ h = pq (h, p, q>0) {\ displaystyle {\ frac {h} {p}} = {\ frac {q} {h}} \, \ Leftrightarrow \, h ^ {2} = pq \, \ Leftrightarrow \, h = {\ sqrt {pq}} \ qquad (h, p, q>0)}

{\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)

Доказательство обратного:

Для обратного мы имеем треугольник $△ ABC {\ displaystyle \ треугольник ABC}$ $\ треугольник ABC$ , в котором $h 2 = pq {\ displaystyle h ^ {2} = pq}$ $час ^ {2} = pq$ выполняется, и необходимо показать, что угол при C является прямым. Теперь из-за $h 2 = pq {\ displaystyle h ^ {2} = pq}$ $час ^ {2} = pq$ у нас также есть $hp = qh {\ displaystyle {\ tfrac {h} {p}} = {\ tfrac {q} {h}}}$ ${\ tfrac {h} {p}} = {\ tfrac {q} {h}}$ . Вместе с $∠ ADC = ∠ CDB {\ displaystyle \ angle ADC = \ angle CDB}$ $\ angle ADC = \ angle CDB$ треугольники $△ ADC {\ displaystyle \ треугольник ADC}$ $\ треугольник ADC$ и $△ BDC {\ displaystyle \ треугольник BDC}$ $\ треугольник BDC$ имеют угол равного размера и соответствующие пары катетов с одинаковым соотношением. Это означает, что треугольники подобны, что дает:

∠ ACB = ∠ ACD + ∠ DCB = ∠ ACD + (90 ∘ - ∠ DBC) = ∠ ACD + (90 ∘ - ∠ ACD) = 90 ∘ {\ displaystyle \ угол ACB = \ угол ACD + \ угол DCB = \ угол ACD + (90 ^ {\ circ} - \ angle DBC) = \ angle ACD + (90 ^ {\ circ} - \ angle ACD) = 90 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle \ angle ACB = \ angle ACD + \ angle DCB = \ angle ACD + (90 ^ {\ circ} - \ angle DBC) = \ angle ACD + (90 ^ {\ circ} - \ angle ACD) = 90 ^ {\ circ}}

Основано на теореме Пифагора

Доказательство с помощью теоремы Пифагора

В условиях теоремы о среднем геометрическом есть три прямоугольных треугольника $△ ABC {\ displaystyle \ треугольник ABC}$ $\ треугольник ABC$ , $△ ADC {\ displaystyle \ треугольник ADC}$ $\ треугольник ADC$ и $△ DBC {\ displaystyle \ треугольник DBC}$ ${\ displaystyle \ треугольник DBC}$ , в котором теорема Пифагора дает:

h 2 = a 2 - q 2 { \ displaystyle h ^ {2} = a ^ {2} -q ^ {2}}

{\ displaystyle h ^ {2} = a ^ {2} -q ^ {2}}

h 2 = b 2 - p 2 {\ displaystyle h ^ {2} = b ^ {2} -p ^ {2 }}

{\ displaystyle h ^ {2 } = b ^ {2} -p ^ {2}}

c 2 = a 2 + b 2 {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}

c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}

Добавление первых двух двух уравнений а затем использование третьего приводит к:

2 h 2 = a 2 + b 2 - p 2 - q 2 = c 2 - p 2 - q 2 = (p + q) 2 - p 2 - q 2 = 2 пк {\ displaystyle 2h ^ {2 } = a ^ {2} + b ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = c ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = (p + q) ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = 2pq}

{\ displaystyle 2h ^ {2} = a ^ {2 } + b ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = c ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = (p + q) ^ {2} -p ^ {2} -q ^ {2} = 2pq}

В результате деление на два дает формулу теоремы о среднем геометрическом.

Основано на разрезании и перегруппировке

Рассечение Прямой треугольник на высоте h образует два подобных треугольника, которые можно увеличить и расположить двумя альтернативными способами в больший прямоугольный треугольник с перпендикулярными сторонами длиной p + h и q + h. Одно такое расположение требует для завершения квадрата площади h, другое - прямоугольника площади pq. Поскольку оба расположения дают один и тот же треугольник, площади квадрата и прямоугольника должны быть идентичными.

На основе сопоставлений сдвига

Квадрат высоты может быть преобразован в прямоугольник равной площади со сторонами p и q с помощью трех отображений сдвига (сдвиг сопоставления сохраняют площадь):

сопоставления сдвига с соответствующими фиксированными линиями (пунктирные), начиная с исходного квадрата в качестве прообраза каждый параллелограмм отображает изображение сопоставления сдвига на рисунке слева от него

Ссылки

^ * Хартмут Веллштейн, Питер Кирше: Elementargeometrie. Springer, 2009, ISBN 9783834808561, стр. 76-77 (немецкий, онлайн-копия, стр. 76, в Google Книги )
^Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Иконы математики: исследование двадцати ключевых образов. MAA 2011, ISBN 9780883853528, стр. 31–32 (онлайн-копия, стр. 31, в Google Книги )
^Евклид : Elements, книга II - проп. 14, книга VI - проп. 8, (онлайн-копия )
^Илка Агрикола, Томас Фридрих: Элементарная геометрия. AMS 2008, ISBN 9780821843475, стр. 25 (онлайн копия, стр. 25, в Google Книги )

Внешние ссылки

Среднее геометрическое в Cut-the-Knot

На Викискладе есть материалы, связанные с Теорема о среднем геометрическом.