Кривизна Риччи

В дифференциальной геометрии, то Риччи тензор кривизны, названный в честь Риччи-Курбастро, является геометрический объект, который определяется путем выбора римановой или псевдо-римановой метрики на многообразии. В широком смысле его можно рассматривать как меру степени, в которой геометрия данного метрического тензора локально отличается от геометрии обычного евклидова пространства или псевдоевклидова пространства.

Тензор Риччи можно охарактеризовать путем измерения того, как форма деформируется при движении по геодезическим в пространстве. В общей теории относительности, которая включает псевдориманову постановку, это отражается наличием тензора Риччи в уравнении Райчаудхури. Отчасти по этой причине уравнения поля Эйнштейна предполагают, что пространство-время можно описать псевдоримановой метрикой с поразительно простой связью между тензором Риччи и материальным содержанием Вселенной.

Как и метрический тензор, тензор Риччи сопоставляет каждому касательному пространству многообразия симметричную билинейную форму ( Besse 1987, p. 43). В широком смысле можно было бы сравнить роль кривизны Риччи в римановой геометрии с ролью лапласиана в анализе функций; по этой аналогии тензор кривизны Римана, естественным побочным продуктом которого является кривизна Риччи, соответствовал бы полной матрице вторых производных функции. Однако есть и другие способы провести ту же аналогию.

В трехмерной топологии тензор Риччи содержит всю информацию, которая в более высоких измерениях кодируется более сложным тензором кривизны Римана. Частично эта простота позволяет применять многие геометрические и аналитические инструменты, которые привели к решению гипотезы Пуанкаре благодаря работе Ричарда С. Гамильтона и Григория Перельмана.

В дифференциальной геометрии нижние оценки тензора Риччи на римановом многообразии позволяют извлекать глобальную геометрическую и топологическую информацию путем сравнения (см. Теорему сравнения ) с геометрией пространственной формы постоянной кривизны. Это связано с тем, что нижние оценки тензора Риччи могут быть успешно использованы при изучении функционала длины в римановой геометрии, как впервые было показано в 1941 году с помощью теоремы Майерса.

Одним из распространенных источников тензора Риччи является то, что он возникает всякий раз, когда коммутируют ковариантную производную с тензорным лапласианом. Это, например, объясняет его присутствие в формуле Бохнера, которая повсеместно используется в римановой геометрии. Например, эта формула объясняет, почему оценки градиента из-за Шинг-Тунг Яу (и их развития, таких как неравенства Ченг-Яу и Ли-Яу) почти всегда зависят от нижней границы кривизны Риччи.

В 2007 году Джон Лотт, Карл-Теодор Штурм и Седрик Виллани убедительно продемонстрировали, что нижние оценки кривизны Риччи можно полностью понять в терминах структуры метрического пространства риманова многообразия вместе с его формой объема. Это установило глубокую связь между кривизной Риччи и геометрией Вассерштейна и оптимальным переносом, что в настоящее время является предметом многих исследований.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Определение
  • 1.1 Введение и местное определение
  • 1.2 Определение через локальные координаты на гладком многообразии
  • 1.3 Определение через дифференцирование векторных полей
  • 1.4 Сравнение определений
• 2 свойства
  • 2.1 Неформальные свойства
• 3 Прямое геометрическое значение
• 4 Приложения
• 5 Глобальная геометрия и топология
• 6 Поведение при конформном изменении масштаба
• 7 Бесследный тензор Риччи
  • 7.1 Ортогональное разложение тензора Риччи
  • 7.2 Бесследный тензор Риччи и метрики Эйнштейна
• 8 кэлеровых многообразий
• 9 Обобщение на аффинные связности
• 10 Дискретная кривизна Риччи
• 11 См. Также
• 12 Сноски
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Определение

Первый подраздел здесь предназначен для ознакомления с определением тензора Риччи для читателей, знакомых с линейной алгеброй и многомерным исчислением. В последующих подразделах используется более сложная терминология.

Введение и местное определение

Пусть U - открытое подмножество ℝ ⁿ, и для каждой пары чисел i и j от 1 до n пусть g ij  : U → ℝ - гладкая функция при условии, что для каждого p в U матрица

${\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} g_ {11} (p) amp; \ cdots amp; g_ {1n} (p) \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ g_ {n1} (p) amp; \ cdots amp; g_ { nn} (p) \ end {pmatrix}}}$

является симметричным, и обратим. Для каждого p в U пусть [ g ^ij ( p)] будет обратной матрицей [ g ij ( p)] выше. Функции R ij явно определяются следующими формулами:

${\ displaystyle {\ begin {align} R_ {ij} = {} amp; - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {a, b = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g_ {ij}} {\ partial x ^ {a} \ partial x ^ {b}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {ab}} {\ partial x ^ {i } \ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {ib}} {\ partial x ^ {j} \ partial x ^ {a}}} - {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {jb}} {\ partial x ^ {i} \ partial x ^ {a}}} \ right) g ^ {ab} \\ amp; + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {a, b, c, d = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial g_ {ac}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ partial g_ {bd}} {\ partial x ^ {j}}} + {\ frac {\ partial g_ {ic}} {\ partial x ^ {a}}} {\ frac {\ partial g_ {jd}} {\ partial x ^ {b}}} - {\ frac {\ partial g_ {ic}} {\ partial x ^ {a}}} {\ frac {\ partial g_ {jb}} {\ partial x ^ {d}}} \ right) g ^ {ab} g ^ {cd} \\ amp; - {\ frac {1} {4}} \ sum _ {a, b, c, d = 1} ^ { n} \ left ({\ frac {\ partial g_ {jc}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {ic}} {\ partial x ^ {j}}} - { \ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {c}}} \ right) \ left (2 {\ frac {\ partial g_ {bd}} {\ partial x ^ {a}}} - { \ frac {\ partial g_ {ab}} {\ partial x ^ {d}}} \ right) g ^ {ab} g ^ {cd}. \ end {align}}}$

Непосредственно из рассмотрения этой формулы видно, что R ij должно равняться R ji для любых i и j. Таким образом, можно рассматривать функции R ij как связанные с любой точкой p из U симметричной матрицей размера n × n. Это матричнозначное отображение на U называется кривизной Риччи, связанной с набором функций g ij.

В представленном виде нет ничего интуитивного или естественного в определении кривизны Риччи. Он выделен как объект для изучения только потому, что обладает следующим замечательным свойством. Пусть V ⊂ ℝ ⁿ - другое открытое множество и y  : V → U - гладкое отображение, матрица первых производных которого

${\ Displaystyle J (q) = {\ begin {pmatrix} D_ {1} y ^ {1} (q) amp; \ cdots amp; D_ {n} y ^ {1} (q) \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ D_ {1} y ^ {n} (q) amp; \ cdots amp; D_ {n} y ^ {n} (q) \ end {pmatrix}}}$

обратима при любом выборе Q ∈ V. Определим g ij  : V → ℝ матричным произведением

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ overline {g}} _ {11} (q) amp; \ cdots amp; {\ overline {g}} _ {1n} (q) \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ {\ overline {g}} _ {n1} (q) amp; \ cdots amp; {\ overline {g}} _ {nn} (q) \ end {pmatrix}} = J (q) ^ {\ text {T}} {\ begin {pmatrix} g_ {11} (y (q)) amp; \ cdots amp; g_ {1n} (y (q)) \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ g_ {n1} ( y (q)) amp; \ cdots amp; g_ {nn} (y (q)) \ end {pmatrix}} J (q).}$

Используя правило произведения и правило цепочки, можно вычислить следующую взаимосвязь между кривизной Риччи набора функций g ij и кривизной Риччи набора функций g ij: для любого q в V выполняется

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ overline {R}} _ {11} (q) amp; \ cdots amp; {\ overline {R}} _ {1n} (q) \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ {\ overline {R}} _ {n1} (q) amp; \ cdots amp; {\ overline {R}} _ {nn} (q) \ end {pmatrix}} = J (q) ^ {\ text {T}} {\ begin {pmatrix} R_ {11} (y (q)) amp; \ cdots amp; R_ {1n} (y (q)) \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\ R_ {n1} ( y (q)) amp; \ cdots amp; R_ {nn} (y (q)) \ end {pmatrix}} J (q)}$

Это довольно неожиданно, поскольку, непосредственно подставляя формулу, определяющую g ij, в формулу, определяющую R ij, можно увидеть, что придется учитывать до третьих производных от y, возникающих, когда вторые производные в первых четырех членах определения R IJ действуют на компоненты J. «Чудо» состоит в том, что внушительный набор первых производных, вторых производных и обратных, составляющих определение кривизны Риччи, идеально настроен так, что все эти высшие производные y сокращаются, и остается одна удивительно чистая матрица формула, приведенная выше, которая связывает R ij и R ij. Еще более примечательно, что это сокращение терминов таково, что матричная формула, связывающая R ij с R ij, идентична матричной формуле, связывающей g ij с g ij.

Используя сложную терминологию, определение кривизны Риччи можно резюмировать следующим образом:

Пусть U - открытое подмножество ℝ ⁿ. Для гладкого отображения g на U, которое принимает значения в пространстве обратимых симметричных матриц размера n × n, можно определить (сложной формулой, включающей различные частные производные компонентов g) кривизну Риччи g как гладкое отображение из U в пространство симметричных матриц размера n × n.

Замечательное и неожиданное свойство кривизны Риччи можно резюмировать следующим образом:

Пусть J Обозначим матрицу Якоби диффеоморфизма у из некоторого другого открытого множества V на U. Кривизна Риччи матричнозначной функции, заданной матричным произведением J ^T ( g ∘ y) J, задается матричным произведением J ^T ( R ∘ y) J, где R обозначает кривизну Риччи функции g.

В математике это свойство упоминается, говоря, что кривизна Риччи является «тензорной величиной», и отмечает формулу, определяющую кривизну Риччи, хотя она может быть сложной, но имеющей выдающееся значение в области дифференциальной геометрии. С физической точки зрения это свойство является проявлением « общей ковариантности » и является основной причиной того, что Альберт Эйнштейн использовал формулу, определяющую R ij, при формулировании общей теории относительности. В этом контексте возможность выбора отображения y сводится к возможности выбора между опорными кадрами; «Неожиданное свойство» кривизны Риччи является отражением широкого принципа, согласно которому уравнения физики не зависят от системы отсчета.

Это обсуждается с точки зрения дифференцируемых многообразий в следующем подразделе, хотя основное содержание практически идентично содержанию этого подраздела.

Определение через локальные координаты на гладком многообразии

Пусть ( M, g) - гладкое риманово или псевдориманово n -многообразие. Если дана гладкая карта ( U, ), то у нее есть функции g ij  : ( U) → ℝ и g ^ij  : ( U) → ℝ для каждого i и j между 1 и n, которые удовлетворяют

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} (x) g_ {kj} (x) = {\ begin {cases} 1 amp; i = j \\ 0 amp; i \ neq j \ end {case }}}$

для всех x в ( U). Функции g ij определяются путем вычисления g на координатных векторных полях, в то время как функции g ^ij определены так, что как матричнозначная функция они обеспечивают обратную матрицу функции x ↦ g ij ( x).

Теперь определите для каждого a, b, c, i и j от 1 до n функции

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {ab} ^ {c} amp; = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {d = 1} ^ {n} \ left ({\ frac { \ partial g_ {bd}} {\ partial x ^ {a}}} + {\ frac {\ partial g_ {ad}} {\ partial x ^ {b}}} - {\ frac {\ partial g_ {ab} } {\ partial x ^ {d}}} \ right) g ^ {cd} \\ R_ {ij} amp; = \ sum _ {a = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ Gamma _ {ij } ^ {a}} {\ partial x ^ {a}}} - \ sum _ {a = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ Gamma _ {aj} ^ {a}} {\ partial x ^ {i}}} + \ sum _ {a = 1} ^ {n} \ sum _ {b = 1} ^ {n} \ left (\ Gamma _ {ab} ^ {a} \ Gamma _ {ij} ^ {b} - \ Gamma _ {ib} ^ {a} \ Gamma _ {aj} ^ {b} \ right) \ end {align}}}$

как отображает ( U) → ℝ.

Пусть теперь ( U, ) и ( V, ψ) - две гладкие карты, для которых U и V имеют непустое пересечение. Пусть R ij  : ( U) → ℝ - функции, вычисленные, как указано выше, с помощью карты ( U, ), и пусть r ij  : ψ ( V) → ℝ - функции, вычисленные, как указано выше, с помощью карты ( V, ψ). Затем с помощью расчета с правилом цепочки и правилом продукта можно проверить, что

${\ displaystyle R_ {ij} (x) = \ sum _ {k, l = 1} ^ {n} r_ {kl} \ left (\ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} (x) \ right) D_ {i} {\ Big |} _ {x} \ left (\ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} \ right) ^ {k} D_ {j} {\ Big |} _ {x} \ left (\ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} \ right) ^ {l}.}$

Это показывает, что следующее определение не зависит от выбора ( U, ). Для любого p из U определим билинейное отображение Ric p  : T p M × T p M → ℝ следующим образом:

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p} (X, Y) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} R_ {ij} (\ varphi (x)) X ^ {i} (p) Y ^ {j} (p),}$

где X ¹,..., X ⁿ и Y ¹,..., Y ⁿ - компоненты X и Y относительно векторных полей координат ( U, ).

Обычно формальную презентацию выше сокращают следующим образом:

Пусть M - гладкое многообразие, а g - риманова или псевдориманова метрика. В локальных гладких координатах определите символы Кристоффеля

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma _ {ij} ^ {k} amp; = {\ frac {1} {2}} g ^ {kl} \ left (\ partial _ {i} g_ {jl} + \ partial _ {j} g_ {il} - \ partial _ {l} g_ {ij} \ right) \\ R_ {jk} amp; = \ partial _ {i} \ Gamma _ {jk} ^ {i} - \ частичный _ {j} \ Gamma _ {ki} ^ {i} + \ Gamma _ {ip} ^ {i} \ Gamma _ {jk} ^ {p} - \ Gamma _ {jp} ^ {i} \ Gamma _ {ik} ^ {p}. \ end {выравнивается}}}$

Непосредственно можно проверить, что

${\ displaystyle R_ {jk} = {\ widetilde {R}} _ {ab} {\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {a}} {\ partial x ^ {j}}} {\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {b}} {\ partial x ^ {k}}},}$

так что R IJ определяют (0,2) -тензорное поле на M. В частности, если X и Y - векторные поля на M, то относительно любых гладких координат имеем

${\ displaystyle R_ {jk} X ^ {j} Y ^ {k} = \ left ({\ widetilde {R}} _ {ab} {\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {a}} {\ partial x ^ {j}}} {\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {b}} {\ partial x ^ {k}}} \ right) \ left ({\ widetilde {X} } ^ {c} {\ frac {\ partial x ^ {j}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {c}}} \ right) \ left ({\ widetilde {Y}} ^ {d} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {d}}} \ right) = {\ widetilde {R}} _ {ab} {\ widetilde {X}} ^ {c} {\ widetilde {Y}} ^ {d} \ left ({\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {a}} {\ partial x ^ {j}}} {\ frac { \ partial x ^ {j}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {c}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {b}} {\ partial x ^ {k}}} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {d}}} \ right) = {\ widetilde {R}} _ {ab } {\ widetilde {X}} ^ {c} {\ widetilde {Y}} ^ {d} \ delta _ {c} ^ {a} \ delta _ {d} ^ {b} = {\ widetilde {R} } _ {ab} {\ widetilde {X}} ^ {a} {\ widetilde {Y}} ^ {b}.}$

Последняя строка включает демонстрацию того, что билинейное отображение Ric хорошо определено, что намного проще записать в неформальной записи.

Определение через дифференцирование векторных полей

Предположим, что ( M, g) - n -мерное риманово или псевдориманово многообразие, снабженное связностью Леви-Чивиты ∇. Кривизны Римана из М представляет собой отображение, которое принимает гладких векторных полей X, Y и Z, и возвращает векторное поле

${\ Displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z }$

на векторных полей X, Y, Z. Ключевым свойством этого отображения является то, что если X, Y, Z и X ', Y' и Z ' - гладкие векторные поля, такие что X и X' определяют один и тот же элемент некоторого касательного пространства T p M, а Y и Y ' также определяют один и тот же элемент T p M, а Z и Z' также определяют тот же элемент T p M, тогда векторные поля R ( X, Y) Z и R ( X ', Y ') Z ' также определяют тот же элемент Т р М.

Подразумевается, что кривизна Римана, которая априори является отображением с входами векторного поля и выходом векторного поля, на самом деле может рассматриваться как отображение с входами касательного вектора и выходом касательного вектора. То есть он определяет для каждого p в M (полилинейную) карту

${\ displaystyle \ operatorname {Rm} _ {p}: T_ {p} M \ times T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to T_ {p} M.}$

Определим для каждого p в M карту как ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p}: T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p} (Y, Z) = \ operatorname {tr} {\ big (} X \ mapsto \ operatorname {Rm} _ {p} (X, Y, Z) {\ big)}.}$

То есть, зафиксировав Y и Z, для любого базиса v 1,..., v n векторного пространства T p M определяется

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p} (Y, Z) = \ sum _ {i = 1} c_ {ii}}$

где для любого фиксированного i числа c i 1,..., c in являются координатами Rm p ( v i, Y, Z) относительно базиса v 1,..., v n. Проверка того, что это определение не зависит от выбора базиса v 1,..., v n, является стандартным упражнением в (мульти) линейной алгебре.

Подписать соглашения. Обратите внимание, что некоторые источники определяют то, что здесь будет называться, а затем определят как. Хотя соглашения о знаках различаются в отношении тензора Римана, они не различаются в отношении тензора Риччи. ${\ Displaystyle R (X, Y) Z}$${\ Displaystyle -R (X, Y) Z;}$${\ displaystyle \ operatorname {Ric}}$${\ displaystyle - \ operatorname {tr} (X \ mapsto \ operatorname {Rm} _ {p} (X, Y, Z)).}$

Сравнение определений

Два приведенных выше определения идентичны. Формулы, определяющие и в координатном подходе, имеют точную параллель в формулах, определяющих связь Леви-Чивита, и кривизну Римана через связность Леви-Чивита. Возможно, предпочтительнее определения, напрямую использующие локальные координаты, так как «ключевое свойство» тензора Римана, упомянутое выше, требует, чтобы оно выполнялось по Хаусдорфу. В отличие от этого, подход с местными координатами требует только гладкого атласа. Также несколько проще связать философию «инвариантности», лежащую в основе локального подхода, с методами построения более экзотических геометрических объектов, таких как спинорные поля. ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$${\ displaystyle R_ {ij}}$${\ displaystyle M}$

Также обратите внимание, что сложная формула, определяемая во вводном разделе, такая же, как и в следующем разделе. Единственное отличие состоит в том, что термины сгруппированы так, что легко увидеть, что${\ displaystyle R_ {ij}}$${\ displaystyle R_ {ij} = R_ {ji}.}$

Характеристики

Как видно из тождеств Бианки, тензор Риччи риманова многообразия симметричен в том смысле, что

${\ Displaystyle \ OperatorName {Ric} (X, Y) = \ OperatorName {Ric} (Y, X)}$

для всех Таким образом, линейно-алгебраически следует, что тензор Риччи полностью определяется знанием величины Ric ( X, X) для всех векторов X единичной длины. Эту функцию на множестве единичных касательных векторов часто называют кривизной Риччи, поскольку ее знание эквивалентно знанию тензора кривизны Риччи. ${\ displaystyle X, Y \ in T_ {p} M.}$

Кривизна Риччи определяется секционными кривизнами риманова многообразия, но обычно содержит меньше информации. В самом деле, если ξ - вектор единичной длины на римановом n -многообразии, то Ric ( ξ, ξ) в точности ( n - 1) раз больше среднего значения секционной кривизны, взятой по всем 2-плоскостям, содержащим ξ. Существует ( n - 2) -мерное семейство таких 2-плоскостей, и поэтому только в размерностях 2 и 3 тензор Риччи определяет полный тензор кривизны. Заметным исключением является, когда многообразие задается априори как гиперповерхности в евклидовом пространстве. Вторая фундаментальная форма, которая определяет полную кривизну с помощью уравнения Гаусса-кодацциевого, сам по себе определяется тензором Риччей и главные направления гиперповерхности являются также собственными направлениями этого тензора Риччей. По этой причине тензор был введен Риччи.

Как видно из второго тождества Бьянки,

${\ displaystyle \ operatorname {div} \ operatorname {Ric} = {\ frac {1} {2}} dR,}$

где - скалярная кривизна, определенная в локальных координатах как Это часто называется сжатым вторым тождеством Бианки. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle g ^ {ij} R_ {ij}.}$

Неформальные свойства

Кривизну Риччи иногда называют лапласианом метрического тензора ( отрицательным кратным) ( Chow amp; Knopf 2004, Lemma 3.32). В частности, в гармонических локальных координатах компоненты удовлетворяют ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFChowKnopf2004 ( справка )

${\ displaystyle R_ {ij} = - {\ frac {1} {2}} \ Delta \ left (g_ {ij} \ right) + {\ text {младшие члены}},}$

где - оператор Лапласа – Бельтрами, который здесь рассматривается как действующий на локально определенные функции g ij. Этот факт мотивирует, например, введение уравнения потока Риччи как естественного расширения уравнения теплопроводности для метрики. В качестве альтернативы, в нормальной системе координат, основанной на p, в точке p${\ Displaystyle \ Delta = \ набла \ cdot \ набла}$

${\ displaystyle R_ {ij} = - {\ frac {2} {3}} \ Delta \ left (g_ {ij} \ right).}$

Прямое геометрическое значение

Вблизи любой точки p на римановом многообразии ( M, g) можно определить предпочтительные локальные координаты, называемые геодезическими нормальными координатами. Они адаптированы к метрике, так что геодезические, проходящие через p, соответствуют прямым линиям, проходящим через начало координат, таким образом, что геодезическое расстояние от p соответствует евклидову расстоянию от начала координат. В этих координатах метрический тензор хорошо аппроксимируется евклидовой метрикой в ​​том смысле, что

${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} + O \ left (| x | ^ {2} \ right).}$

Фактически, взяв разложение Тейлора метрики, примененной к полю Якоби вдоль радиальной геодезической в ​​нормальной системе координат, мы получим

${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} - {\ frac {1} {3}} R_ {ikjl} x ^ {k} x ^ {l} + O \ left (| x | ^ {3 }\верно).}$

В этих координатах элемент метрического объема имеет следующее расширение в точке p:

${\ displaystyle d \ mu _ {g} = \ left [1 - {\ frac {1} {6}} R_ {jk} x ^ {j} x ^ {k} + O \ left (| x | ^ { 3} \ right) \ right] d \ mu _ {\ text {Euclidean}},}$

которое следует путем раскрытия квадратного корня из определителя метрики.

Таким образом, если кривизна Риччи Ric ( ξ, ξ) положительна в направлении вектора ξ, коническая область в M выметается строго сфокусированным семейством геодезических сегментов длины, исходящих из p, с начальной скоростью внутри небольшого конуса около ξ, будет иметь меньший объем, чем соответствующая коническая область в евклидовом пространстве, по крайней мере, при условии, что она достаточно мала. Точно так же, если кривизна Риччи отрицательна в направлении данного вектора ξ, такая коническая область в многообразии вместо этого будет иметь больший объем, чем в евклидовом пространстве. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Кривизна Риччи - это, по сути, среднее значение кривизны в плоскостях, включая ξ. Таким образом, если конус, испускаемый с первоначально круглым (или сферическим) поперечным сечением, становится искаженным в эллипс ( эллипсоид ), искажение объема может исчезнуть, если искажения вдоль главных осей противодействуют друг другу. Тогда кривизна Риччи исчезнет вдоль ξ. В физических приложениях наличие ненулевой секционной кривизны не обязательно указывает на присутствие какой-либо массы локально; если изначально круглое поперечное сечение конуса мировых линий позже становится эллиптическим без изменения его объема, то это происходит из-за приливных эффектов от массы в каком-то другом месте.

Приложения

Кривизна Риччи играет важную роль в общей теории относительности, где она является ключевым членом в уравнениях поля Эйнштейна.

Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи, где определенные однопараметрические семейства римановых метрик выделяются как решения геометрически определенного уравнения в частных производных. Эту систему уравнений можно рассматривать как геометрический аналог уравнения теплопроводности, и она была впервые введена Ричардом С. Гамильтоном в 1982 году. Поскольку тепло имеет тенденцию распространяться по твердому телу, пока тело не достигнет состояния равновесия с постоянной температурой, если дано многообразие, можно надеяться, что поток Риччи создаст «равновесную» риманову метрику, которая является метрикой Эйнштейна или постоянной кривизны. Однако такой чистой картины «сходимости» достичь невозможно, поскольку многие многообразия не могут поддерживать большое количество метрик. Подробное исследование природы решений потока Риччи, в основном благодаря Гамильтону и Григорию Перельману, показывает, что типы «сингулярностей», возникающие вдоль потока Риччи, соответствующие отказу сходимости, содержат глубокую информацию о трехмерном пространстве. топология. Кульминацией этой работы стало доказательство гипотезы геометризации, впервые предложенной Уильямом Терстоном в 1970-х годах, которую можно рассматривать как классификацию компактных трехмерных многообразий.

На кэлеровом многообразии кривизна Риччи определяет первый класс Черна многообразия (мод-кручение). Однако кривизна Риччи не имеет аналогичной топологической интерпретации на римановом многообразии общего положения.

Глобальная геометрия и топология

Вот краткий список глобальных результатов, касающихся многообразий с положительной кривизной Риччи; см. также классические теоремы римановой геометрии. Вкратце, положительная кривизна Риччи риманова многообразия имеет сильные топологические последствия, в то время как (для размерности не менее 3) отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий. (Кривизна Риччи называется положительной, если функция кривизны Риччи Ric ( ξ, ξ) положительна на множестве ненулевых касательных векторов ξ.) Некоторые результаты известны также для псевдоримановых многообразий.

1. Теорема Майерса (1941) утверждает, что если кривизна Риччи ограничена снизу на полном римановом n -многообразии величиной ( n - 1) k gt; 0, то это многообразие имеет диаметр ≤ π/√ к. Из аргумента о покрывающем пространстве следует, что любое компактное многообразие положительной кривизны Риччи должно иметь конечную фундаментальную группу. Ченг (1975) показал, что в этой ситуации равенство в неравенстве диаметров имеет место только в том случае, если многообразие изометрично сфере постоянной кривизны k.
2. В неравенство Бишоп-Громова утверждает, что если полное п - мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то объем геодезического шара меньше или равен объему геодезического шара того же радиуса в евклидовом п - пространстве. Более того, если v p ( R) обозначает объем шара с центром p и радиусом R в многообразии, а V ( R) = c n R ⁿ обозначает объем шара радиуса R в евклидовом n- пространстве, то функцияv p ( R)/V ( R)не увеличивается. Это можно обобщить на любую нижнюю оценку кривизны Риччи (не только на неотрицательность), и это ключевой момент в доказательстве теоремы Громова о компактности. )
3. Теорема Чигера – Громолла о расщеплении утверждает, что если полное риманово многообразие (M, g) с Ric ≥ 0 содержит прямую, то есть геодезическую такую, что d ( γ ( u), γ ( v)) = | u - v | для всех ¯u, об ∈ ℝ, то изометричен продукт пространства ℝ × L. Следовательно, полное многообразие положительной кривизны Риччи может иметь не более одного топологического конца. Теорема также верна при некоторых дополнительных предположениях для полных лоренцевых многообразий (метрической сигнатуры (+ - -...)) с неотрицательным тензором Риччи ( Galloway 2000).${\ displaystyle \ gamma: \ mathbb {R} \ to M}$
4. Первая теорема Гамильтона о сходимости для потока Риччи имеет, как следствие, то, что единственные компактные трехмерные многообразия, которые имеют римановы метрики положительной кривизны Риччи, являются факторами трехмерной сферы по дискретным подгруппам SO (4), которые действуют должным образом разрывно. Позже он расширил это, чтобы учесть неотрицательную кривизну Риччи. В частности, единственная односвязная возможность - это сама 3-сфера.

Эти результаты, особенно результаты Майерса и Гамильтона, показывают, что положительная кривизна Риччи имеет сильные топологические последствия. Напротив, за исключением случая поверхностей, теперь известно, что отрицательная кривизна Риччи не имеет топологических последствий; Lohkamp (1994) показал, что любое многообразие размерности больше двух допускает полную риманову метрику отрицательной кривизны Риччи. В случае двумерных многообразий отрицательность кривизны Риччи синонимична отрицательности гауссовой кривизны, что имеет очень четкие топологические последствия. Очень мало двумерных многообразий, которые не допускают римановы метрики отрицательной гауссовой кривизны.

Поведение при конформном изменении масштаба

Если метрику g изменить, умножив ее на конформный множитель e ^{2 f}, тензор Риччи новой, конформно связанной метрики g̃ = e ^{2 f} g будет равен ( Besse 1987, p. 59)

${\ displaystyle {\ widetilde {\ operatorname {Ric}}} = \ operatorname {Ric} + (2-n) \ left [\ nabla df-df \ otimes df \ right] + \ left [\ Delta f- (n -2) \ | df \ | ^ {2} \ right] g,}$

где Δ = d * d - лапласиан Ходжа (положительный спектр), т. е. противоположность обычного следа гессиана.

В частности, для данной точки p на римановом многообразии всегда можно найти метрики, конформные данной метрике g, для которой тензор Риччи обращается в нуль в p. Обратите внимание, однако, что это только поточечное утверждение; обычно невозможно заставить кривизну Риччи одинаково исчезнуть на всем многообразии с помощью конформного масштабирования.

Для двумерных многообразий приведенная выше формула показывает, что если f - гармоническая функция, то конформное масштабирование g ↦ e ^{2 f} g не изменяет тензор Риччи (хотя он все еще меняет свой след относительно метрики, если f = 0).

Бесследный тензор Риччи

В римановой геометрии и псевдо-римановой геометрии, то след свободной тензор Риччи (также называемый бесследовый тензор Риччи) риманова или псевдоримановом п -многообразия ( М, г) есть тензор определяется

${\ displaystyle Z = \ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg,}$

где Рик и R обозначают кривизну Риччи и скалярную кривизну в г. Название этого объекта отражает тот факт, что его след автоматически исчезает: однако это довольно важный тензор, поскольку он отражает «ортогональное разложение» тензора Риччи. ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {g} Z \ Equiv g ^ {ab} Z_ {ab} = 0.}$

Ортогональное разложение тензора Риччи

Тривиально, есть

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = Z + {\ frac {1} {n}} Rg.}$

Менее очевидно, что два члена в правой части ортогональны друг другу:

${\ displaystyle \ left \ langle Z, {\ frac {1} {n}} Rg \ right \ rangle _ {g} \ Equiv g ^ {ab} \ left (R_ {ab} - {\ frac {1} { n}} Rg_ {ab} \ right) = 0.}$

Тождество, которое тесно связано с этим (но которое может быть доказано напрямую), заключается в том, что

${\ displaystyle | \ operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2} = | Z | _ {g} ^ {2} + {\ frac {1} {n}} R ^ {2}.}$

Бесследный тензор Риччи и метрики Эйнштейна

Взяв дивергенцию и используя сжатое тождество Бианки, можно увидеть, что это влечет So, при условии, что n ≥ 3 и связность, обращение в нуль означает, что скалярная кривизна постоянна. Тогда можно увидеть, что следующие эквиваленты: ${\ displaystyle Z = 0}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} dR - {\ frac {1} {n}} dR = 0.}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Z}$

• ${\ displaystyle Z = 0}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = \ lambda g}$ для некоторого числа ${\ displaystyle \ lambda}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = {\ frac {1} {n}} Rg}$

В римановой ситуации указанное выше ортогональное разложение показывает, что это также эквивалентно этим условиям. Напротив, в псевдоримановом контексте условие не обязательно подразумевает, что самое большее, что можно сказать, это то, что эти условия подразумевают${\ Displaystyle R ^ {2} = п | \ OperatorName {Ric} | ^ {2}}$${\ displaystyle | Z | _ {g} ^ {2} = 0}$${\ displaystyle Z = 0,}$${\ displaystyle R ^ {2} = n | \ operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2}.}$

В частности, исчезновение бесследового тензора Риччи характеризует многообразия Эйнштейна, как определено условием для числа. В общей теории относительности это уравнение утверждает, что ( M, g) является решением уравнений вакуумного поля Эйнштейна с космологической постоянной. ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = \ lambda g}$${\ displaystyle \ lambda.}$

Кэлеровы многообразия

На многообразии кэлерового X, то кривизна Риччи определяет форму кривизны в каноническом линейном расслоении ( Морояну 2007, Глава 12). Каноническое линейное расслоение - это высшая внешняя степень расслоения голоморфных кэлеровых дифференциалов :

${\ displaystyle \ kappa = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} ~ \ Omega _ {X}.}$

Связность Леви-Чивиты, соответствующая метрике на X, порождает связность на κ. Кривизна этого соединения - это две формы, определяемые

${\ displaystyle \ rho (X, Y) \; {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \; \ operatorname {Ric} (JX, Y)}$

где J - отображение комплексной структуры на касательном расслоении, определяемое структурой кэлерова многообразия. Форма Риччи - это замкнутая 2-форма. Его класс когомологий с точностью до действительного постоянного множителя является первым классом Черна канонического расслоения и, следовательно, является топологическим инвариантом X (для компактного X) в том смысле, что он зависит только от топологии X и гомотопического класса сложной структуры.

Наоборот, форма Риччи определяет тензор Риччи как

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} (X, Y) = \ rho (X, JY).}$

В локальных голоморфных координатах z ^α форма Риччи имеет вид

${\ displaystyle \ rho = -i \ partial {\ overline {\ partial}} \ log \ det \ left (g _ {\ alpha {\ overline {\ beta}}} \ right)}$

где ∂ - оператор Дольбо, а

${\ displaystyle g _ {\ alpha {\ overline {\ beta}}} = g \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z ^ {\ alpha}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z}} ^ {\ beta}}} \ right).}$

Если тензор Риччи обращается в нуль, то каноническое расслоение является плоским, поэтому структурная группа может быть локально сведена к подгруппе специальной линейной группы SL ( n, C). Однако кэлеровы многообразия уже обладают голономией в U ( n), поэтому (ограниченная) голономия Риччи-плоского кэлерова многообразия содержится в SU ( n). Наоборот, если (ограниченная) голономия 2 n -мерного риманова многообразия содержится в SU ( n), то это многообразие является Риччи-плоским кэлеровым многообразием ( Kobayashi amp; Nomizu 1996, IX, §4).

Обобщение на аффинные связи

Тензор Риччи также может быть обобщен на произвольные аффинные связи, где он является инвариантом, который играет особенно важную роль в изучении проективной геометрии (геометрии, связанной с непараметризованными геодезическими) ( Nomizu amp; Sasaki 1994). Если ∇ обозначает аффинную связность, то тензор кривизны R является (1,3) -тензором, определяемым формулой

${\ Displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z }$

для любых векторных полей X, Y, Z. Тензор Риччи определяется как след:

${\ displaystyle \ operatorname {ric} (X, Y) = \ operatorname {tr} {\ big (} Z \ mapsto R (Z, X) Y {\ big)}.}$

В этой более общей ситуации тензор Риччи является симметричным тогда и только тогда, когда существует локально параллельная форма объема для соединения.

Дискретная кривизна Риччи

Понятия кривизны Риччи на дискретных многообразиях были определены на графах и сетях, где они количественно определяют свойства локальной расходимости ребер. Кривизна Риччи Оливера определяется с помощью теории оптимального переноса. Второе понятие, кривизна Риччи Формана, основано на топологических аргументах.

Смотрите также

• Кривизна римановых многообразий.
• Скалярная кривизна
• Исчисление Риччи
• Разложение Риччи
• Риччи-плоское многообразие
• Символы Кристоффеля
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени

Сноски

Рекомендации

• Бессе, А. Л. (1987), многообразия Эйнштейна, Springer, ISBN   978-3-540-15279-8.
• Чоу, Беннет и Кнопф, Дэн (2004), Поток Риччи: введение, Американское математическое общество, ISBN   0-8218-3515-7.
• Эйзенхарт, LP (1949), Риманова геометрия, Princeton Univ. Нажмите.
• Галлоуэй, Грегори (2000), «Принципы максимума для нулевых гиперповерхностей и теоремы о расщеплении нулей», Анналы Института Анри Пуанкаре A, 1 (3): 543–567, arXiv : math / 9909158, Bibcode : 2000AnHP.... 1..543G, DOI : 10.1007 / s000230050006, S2CID   9619157.
• Кобаяши, С.; Номидзу К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, Том 1, Interscience.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 2, Wiley-Interscience, ISBN   978-0-471-15732-8.
• Lohkamp, Йоахим (1994), "метрик отрицательной кривизны Риччи", Анналы математики, второй серии Annals математики, 140 (3): 655-683, DOI : 10,2307 / 2118620, ISSN   0003-486X, JSTOR   2118620, М.Р.   1307899.
• Морояну, Андрей (2007), Лекции по кэлеровой геометрии, Тексты студентов Лондонского математического общества, 69, Cambridge University Press, arXiv : math / 0402223, doi : 10.1017 / CBO9780511618666, ISBN   978-0-521-68897-0, Руководство по ремонту   2325093
• Номидзу, Кацуми ; Сасаки, Такеши (1994), аффинная дифференциальная геометрия, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-44177-3.
• Риччи, Г. (1903–1904), «Принципиальное направление и инвариантность в качественном разнообразии», Atti R. Inst. Венето, 63 (2): 1233–1239.
• Л.А. Сидоров (2001) [1994], "Тензор Риччи", Энциклопедия математики, EMS Press
• Л.А. Сидоров (2001) [1994], "Кривизна Риччи", Энциклопедия математики, EMS Press
• Наджман, Лоран и Ромон, Паскаль (2017): Современные подходы к дискретной кривизне, Спрингер (Чам), Конспекты лекций по математике

Внешние ссылки

• З. Шен, К. Сормани "Топология открытых многообразий с неотрицательной кривизной Риччи" (обзор)
• Г. Вэй, "Многообразия с нижней границей кривизны Риччи" (обзор)