Тетраэдр

Многогранник с 4 гранями

Правильный тетраэдр
. (Нажмите здесь, чтобы вращаться модель)
Тип	Платоновое тело
Элементы	F = 4, E = 6. V = 4 (χ = 2)
Грани по сторонам	4 {3}
Обозначение Конвея	T
Шлефли символы	{3,3}
	h {4,3}, s {2,4}, sr {2,2}
Конфигурация лица	V3.3.3
символ Wythoff	3 | 2 3. | 2 2 2
Диаграмма Кокстера	= . .
Симметрия	Td, A 3, [3,3], (* 332)
Группа вращения	T, [3,3], (332)
Ссылки	U 01, C 15, W 1
Свойства	правильный, выпуклый дельтаэдр
Двугранный угол	70,528779 ° = arccos (⁄ 3)
. 3.3. 3. (Вершинная фигура )	. Самодвойственный. (двойной многогранник )
. Сеть

Тетраэдр (Matemateca IME-USP ) 3D-модель правильного тетраэдра.

В геометрия, тетраэдр (во множественном числе: тетраэдры или тетраэдры ), также известная как треугольная пирамида, представляет собой многогранник, состоящий из четырех треугольных граней, шести прямых ребер и четырех вершинных углов. Тетраэдр является самым простым из всех обычных выпуклых многогранников и единственным, у которого меньше пяти граней.

Тетраэдр - это трехмерный случай более общей концепции евклидова симплекса, и, таким образом, также может быть называется 3-симплексом .

Тетраэдр - это один из видов пирамиды, который представляет собой многогранник с плоским основанием многоугольника и треугольными гранями, соединяющими основание с общей точкой. В случае тетраэдра основанием является треугольник (любая из четырех граней может считаться основанием), поэтому тетраэдр также известен как «треугольная пирамида».

Как и все выпуклые многогранники, тетраэдр можно сложить из одного листа бумаги. У него две такие сети.

Для любого тетраэдра существует сфера (называемая описанной сферой ), на которой лежат все четыре вершины, и другая сфера (Insphere ) касательная к граням тетраэдра.

• 1 Правильный тетраэдр
  • 1.1 Координаты правильного тетраэдра
  • 1.2 Углы и расстояния
  • 1.3 Изометрии правильного тетраэдра
  • 1.4 Ортогональные проекции правильного тетраэдра
  • 1.5 Поперечное сечение правильного тетраэдра
  • 1.6 Сферическая мозаика
  • 1.7 Спиральная укладка
• 2 Другие частные случаи
  • 2.1 Изометрии неправильных тетраэдров
• 3 Общие свойства
  • 3.1 Объем
    • 3.1.1 Формула типа Герона для объема тетраэдра
    • 3.1.2 Разделитель объема
    • 3.1.3 Неевклидов объем
  • 3.2 Расстояние между краями
  • 3.3 Свойства аналогично треугольнику
  • 3.4 Геометрические соотношения
  • 3.5 Закон синусов для тетраэдров и пространства всех форм тетраэдров
  • 3.6 Закон синусов косинусы тетраэдров
  • 3.7 Внутренняя точка
  • 3.8 Inradius
  • 3.9 Circumradius
  • 3.10 Circumcenter
  • 3.11 Centroid
  • 3.12 Faces
• 4 Целочисленные тетраэдры
• 5 Родственные многогранники и соединения
• 6 Приложения
  • 6.1 Численный анализ
  • 6.2 Химия
  • 6.3 Электричество и электроника
  • 6.4 Игры
  • 6.5 Цветовое пространство
  • 6.6 Современное искусство
  • 6.7 Популярная культура
  • 6.8 Геология
  • 6.9 Структурная инженерия
  • 6.10 Авиация
• 7 Тетраэдрический граф
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

A Правильный тетраэдр является тетраэдром в все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Это одно из пяти правильных Платоновых тел, известных с древних времен.

В правильном тетраэдре все грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), и все ребра имеют одинаковую длину.

Пять тетраэдров уложены на плоскости, причем самые высокие трехмерные точки отмечены цифрами 1, 2, 3, 4 и 5. Затем эти точки соединяются друг с другом и тонкий объем пустого пространства Остается, где пять углов ребер не полностью пересекаются.

Обычные тетраэдры сами по себе не тесселяция (заполнение пространства), но если они чередуются с правильными октаэдрами в При соотношении двух тетраэдров к одному октаэдру они образуют чередующиеся кубические соты , которые представляют собой мозаику. Некоторые тетраэдры, которые не являются правильными, включая ортосхему Шлефли и тетраэдр Хилла, могут быть мозаичными.

Правильный тетраэдр самодвойственен, что означает, что его двойственный является другим правильным тетраэдром. Составная фигура , содержащая два таких двойных тетраэдра, образует звездчатый октаэдр или октангулу стелла.

Координаты правильного тетраэдра

Следующие декартовы координаты определяют четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат и двумя ребрами уровня:

$(\pm \; 1,\; 0,\; -\; 1\; 2)\; и\; (0,\; \pm \; 1,\; 1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; pm\; 1,0,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; (0,\; \backslash \; pm\; 1,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Выражается симметрично как 4 точки на единичной сфере, центр тяжести в начале координат, с уровнем нижней грани, вершины:

$v\; 1\; =\; (8\; 9,\; 0,\; -\; 1\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{9\}\}\},\; 0,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\}$

$v\; 2\; =\; (-\; 2\; 9,\; 2\; 3,\; -\; 1\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{2\; \}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{9\}\}\},\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

$v\; 3\; =\; (-\; 2\; 9,\; -\; 2\; 3,\; -\; 1\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{9\}\}\},\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\},\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\}$

$v\; 4\; =\; (0,\; 0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{4\}\; =\; (\; 0,0,1)\}$

с длиной кромки $8\; 3\; \{\backslash \; displaysty\; le\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{3\}\}\}\}$.

Еще один набор координат основан на альтернативном кубе или демикубе с длиной ребра 2. Эта форма имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли h {4,3}. Тетраэдр в этом случае имеет длину ребра 2√2. Инвертирование этих координат генерирует двойственный тетраэдр, а пара вместе образует звездчатый октаэдр, вершины которого совпадают с вершинами исходного куба.

Тетраэдр: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)

Двойной тетраэдр : (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)

Правильный тетраэдр ABCD и его описанная сфера

Углы и расстояния

Для правильного тетраэдра с длиной ребра a:

Площадь грани	$A\; 0\; =\; 3\; 4\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\; \}\}\; \{4\}\}\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$
Площадь поверхности	$A\; =\; 4\; A\; 0\; =\; 3\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 4\; \backslash ,\; A\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\; \}\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$
Высота пирамиды	$h\; =\; 6\; 3\; a\; =\; 2\; 3\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; \{3\}\}\; a\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; a\; \backslash ,\}$
Расстояние от центра тяжести до вершины	$3\; 4\; h\; =\; 6\; 4\; a\; =\; 3\; 8\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\; \}\}\; \backslash ,\; h\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; \{4\}\}\; \backslash ,\; a\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{8\}\}\}\; \backslash ,\; a\; \backslash ,\}$
От края до противоположного расстояние до края	$l\; =\; 1\; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; a\; \backslash ,\}$
Объем	$V\; =\; 1\; 3\; A\; 0\; h\; =\; 2\; 12\; a\; 3\; =\; a\; 3\; 6\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; A\_\; \{0\}\; h\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \{12\}\}\; a\; ^\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{3\}\}\; \{6\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ,\}$
угол грань-вершина-кромка	$дуга\; соз\; \; (1\; 3)\; знак\; равно\; arctan\; \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$. (прибл. 54,7356 °)
угол грань-кромка-грань, т. Е. «Двугранный угол»	$arccos\; \; (1\; 3)\; =\; arctan\; \; (2\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$. (приблизительно 70,5288 °)
Угол вершины-центра-вершины, угол между прямыми от центра тетраэдра до любых двух вершин. Это также угол между границами плато в вершине. В химии это называется тетраэдрическим валентным углом. Этот угол (в радианах) также является длиной дуги геодезического сегмента на единичной сфере, полученной в результате центрального проецирования одного края тетраэдра на сферу.	$arccos\; \; (-\; 1\; 3)\; =\; 2\; arctan\; \; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 2\; \backslash \; arctan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$. (приблизительно 109,4712 °)
Телесный угол в вершине, образуемой гранью	$arccos\; \; (23\; 27)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{23\}\; \{27\}\}\; \backslash \; right)\}$. (примерно 0,55129 стерадиан ). (примерно 1809,8 квадратных градусов )
Радиус описанной сферы	$R\; =\; 6\; 4\; a\; =\; 3\; 8\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; \{4\}\}\; a\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{8\}\}\}\; \backslash ,\; a\; \backslash ,\}$
Радиус Insphere, касательный к граням	$r\; =\; 1\; 3\; R\; =\; a\; 24\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{24\}\}\}\; \backslash ,\}$
Радиус средней сферы, касающийся ребер	$r\; M\; =\; r\; R\; =\; a\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{M\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{rR\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{8\}\}\}\; \backslash ,\}$
Радиус экзосферы	$r\; E\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash ,\}$
Расстояние до центра экзосферы от противоположной вершины	$d\; VE\; =\; 6\; 2\; a\; =\; 3\; 2\; a\; \{\backslash \; displaysty\; le\; d\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{VE\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; \{2\}\}\; a\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\; a\; \backslash ,\}$

В отношении на базовой плоскости наклон грани (2√2) в два раза больше, чем у кромки (√2), что соответствует тому факту, что расстояние по горизонтали от основания до вершины по краю вдвое больше, чем по медиане грани. Другими словами, если C является центроидом основания, расстояние от C до вершины основания в два раза больше, чем от C до середины края основания. Это следует из того факта, что медианы треугольника пересекаются в его центроиде, и эта точка делит каждый из них на два отрезка, один из которых в два раза длиннее другого (см. доказательство ).

Для правильного тетраэдра с длиной стороны a, радиусом R описывающей его сферы и расстояниями d i от произвольной точки в 3-пространстве до его четырех вершин мы имеем

$д\; 1\; 4\; +\; д\; 2\; 4\; +\; д\; 3\; 4\; +\; д\; 4\; 4\; 4\; +\; 16\; р\; 4\; 9\; =\; (д\; 1\; 2\; +\; д\; 2\; 2\; +\; д\; 3\; 2\; +\; д\; 4\; 2\; 4\; +\; 2\; р\; 2\; 3)\; 2;\; 4\; (а\; 4\; +\; d\; 1\; 4\; +\; d\; 2\; 4\; +\; d\; 3\; 4\; +\; d\; 4\; 4)\; =\; (а\; 2\; +\; d\; 1\; 2\; +\; d\; 2\; 2\; +\; d\; 3\; 2\; +\; d\; 4\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\_\; \{1\}\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{2\}\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{3\}\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{4\}\; ^\; \{4\}\}\; \{\; 4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{16R\; ^\; \{4\}\}\; \{9\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\};\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{4\; \}\; +\; d\_\; \{1\}\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{2\}\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{3\}\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{4\}\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\; \}$

Изометрии правильного тетраэдра

Собственные вращения (поворот третьего порядка на вершине и грани и второй порядок на двух ребрах) и плоскость отражения (через две грани и одно ребро) в группе симметрии правильного тетраэдра

Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр (см. выше, а также анимацию, показывающую одну из два тетраэдра в кубе). Симметрии правильного тетраэдра соответствуют половине симметрий куба: симметрии, которые отображают тетраэдры сами по себе, а не друг в друга.

Тетраэдр - единственное платоново твердое тело, которое не отображается на себя с помощью точечной инверсии.

Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, формируя группу симметрии Td, [3,3 ], (* 332), изоморфна симметрической группе, S 4. Их можно разделить на следующие категории:

• T, [3,3], (332) изоморфна переменной группе, A 4 (тождество и 11 собственных вращений) с следующие классы сопряженности (в скобках даны перестановки вершин или, соответственно, граней и представление единичного кватерниона ):
  • identity (identity; 1)
  • поворот вокруг оси через вершину, перпендикулярную противоположной плоскости, на угол ± 120 °: 4 оси, по 2 на каждую ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д.; 1 ± i ± j ± k / 2)
  • поворот на угол 180 °, так что край отображается на противоположный край: 3 ((1 2) (3 4) и т.д.; i, j, k)
• отражения в плоскости, перпендикулярной краю: 6
• отражений в плоскости в сочетании с поворотом на 90 ° вокруг оси, перпендикулярной плоскости: 3 оси, по 2 на каждую ось, вместе 6; эквивалентно, это повороты на 90 ° в сочетании с инверсией (x отображается в - x ): вращения соответствуют поворотам куба относительно осей лицом к лицу

Ортогонально проекции правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр имеет две специальные ортогональные проекции, одна с центром на вершине или, что эквивалентно, на грани, и одна с центром на ребре. Первый соответствует плоскости Кокстера A 2.

Ортографическая проекция

Центрированная по	Грань / вершина	Край
Изображение
Проективная. симметрия	[3]	[4]

Поперечное сечение правильного тетраэдра

Центральное поперечное сечение правильного тетраэдра представляет собой квадрат.

Два скошенных перпендикуляра противоположно ребра правильного тетраэдра определяют набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, результирующее поперечное сечение представляет собой прямоугольник . Когда пересекающаяся плоскость находится рядом с одним из краев, прямоугольник получается длинным и тонким. На полпути между двумя краями пересечение представляет собой квадрат. Соотношение сторон прямоугольника меняется на противоположное, когда вы проходите эту половину пути. Для пересечения квадрата средней точки результирующая граничная линия пересекает каждую грань тетраэдра аналогично. Если тетраэдр делится пополам на этой плоскости, обе половины становятся клиньями.

тетрагональным дифеноидом, если смотреть перпендикулярно двум зеленым краям.

Это свойство также применяется для тетрагональных дифеноидов при применении к две специальные пары кромок.

Сферическая мозаика

Тетраэдр также может быть представлен как сферическая мозаика и спроецирован на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция конформна, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проектируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Спиральное наложение

Одиночное кольцо из 30 тетраэдров Спираль Бурдейка – Кокстера внутри 600-ячеек, в стереографической проекции

Правильные тетраэдры могут быть уложены лицом к лицу в хиральную апериодическую цепочку, называемую спиралью Бурдейка – Кокстера. В четырехмерном все выпуклые правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками (5-ячеечная, 16-ячеечная и 600-ячейка ) могут быть построены как мозаики 3-сферы этими цепочками, которые становятся периодическими в трехмерном пространстве граничной поверхности 4-многогранника.

. Отношения подгруппы тетраэдрической симметрии

. Тетраэдрические симметрии, показанные на тетраэдрических диаграммах

равнобедренный тетраэдр, также называемый дисфеноидом, представляет собой тетраэдр, где все четыре грани - это конгруэнтные треугольники. заполняющий пространство тетраэдр упакован с конгруэнтными копиями самого себя в пространство тайла, как тетраэдрические соты дифеноида.

В треугольном тетраэдре три угла в одной вершине равны прямые углы. Если все три пары противоположных ребер тетраэдра перпендикулярны, то он называется ортоцентрическим тетраэдром. Когда перпендикулярна только одна пара противоположных ребер, это называется полуортоцентрическим тетраэдром . изодинамический тетраэдр - это тетраэдр, в котором чевианы, которые соединяют вершины с центрами противоположных граней, параллельны, а изогонический тетраэдр имеет параллельные чевианы, которые соединяют вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра.

Изометрии неправильных тетраэдров

Изометрии неправильных (немаркированных) тетраэдров зависят от геометрии тетраэдра, возможны 7 случаев. В каждом случае формируется 3-мерная точечная группа. Две другие изометрии (C 3, [3]) и (S 4, [2,4]) могут существовать, если включена маркировка граней или кромок. Для каждого типа ниже включены четырехгранные диаграммы с краями, окрашенными в соответствии с изометрической эквивалентностью, и серым цветом для уникальных краев.

Название тетраэдра				Край. эквивалентность. диаграмма	Описание
Симметрия
Шён.	Кокс.	Орб.	Порядок.
Правильный тетраэдр					Четыре равносторонних треугольника Он образует группу симметрии T d, изоморфную симметрической группе, S 4. Правильный тетраэдр имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли {3,3}.
Td. T	[3,3 ]. [3,3 impression	* 332. 332	24. 12
Треугольная пирамида					Основание равностороннего треугольника и три равные стороны равнобедренного треугольника Это дает 6 изометрий, соответствующих 6 изометриям основания. Как перестановки вершин, эти 6 изометрий являются тождеством 1, (123), (132), (12), (13) и (23), образуя группу симметрии C 3v, изоморфную симметричная группа, S 3. Треугольная пирамида имеет символ Шлефли {3} ∨ ().
C3v. C3	[3 ]. [3pting	* 33. 33	6. 3
Зеркальный клиновидный сустав					Два равных разностороннего треугольника с общим краем основания Имеет две пары равных ребер (1,3), (1,4) и (2,3), (2,4) и в противном случае нет равных ребер. Единственными двумя изометриями являются 1 и отражение (34), дающее группу C s, также изоморфную циклической группе, Z2.
Cs. =C1h. =C1v	[]	*	2
Неправильный тетраэдр. (Нет симметрии)					Четыре неравных треугольника Его единственная изометрия - это тождество, а группа симметрии - тривиальная группа. Неправильный тетраэдр имеет символ Шлефли () ∨ () ∨ () ∨ ().
C1	[]	1	1
Дисфеноиды (Четыре равных треугольника)
Тетрагональный дисфеноид					Четыре равных равнобедренныхтреугольников Он имеет 8 изометрий. Если ребра (1,2) и (3,4) имеют длину, отличную от длины остальных 4, то 8 изометрий являются тождественными 1, отражениями (12) и (34) и поворотами на 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23) и неправильные повороты на 90 ° (1234) и (1432), образующие группу симметрии D 2d. Тетрагональный дисфеноид имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли s {2,4}.
D2d. S4	[2,4 ]. [2,4 ]	2 * 2. 2×	8. 4
Ромбический дисфеноид					Четыре равных скалентреугольника It имеет 4 изометрии. Изометрии равны 1 и повороты на 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23). Это четырехгруппа Клейна V4или Z2, представленная как точечная группа D 2. Ромбический дисфеноид имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли sr {2,2}.
D2	[2,2 ]	222	4
Обобщенные дисфеноиды (2 пары равных треугольников)
Дигональный дисфеноид				.	Две пары равных равнобедренных треугольников Это дает две противоположные кромки (1,2) и (3,4), которые перпендикулярны, но разной длины, а затем 4 изометрии равны 1, отражениям (12) и (34) и повороту на 180 ° (12) (34).. Группа симметрии - это C 2v, изоморфная четырехгруппе Клейна V4. Дигональный дисфеноид имеет символ Шлефли {} ∨ {}.
C2v. C2	[2 ]. [2 ]	* 22. 22	4. 2
Филлический дисфеноид				.	Две пары равных разносторонних или равнобедренных треугольников Он имеет две пары равных ребер (1,3), (2,4) и (1,4), (2,3), но в остальном нет равных ребер. Единственными двумя изометриями являются 1 и вращение (12) (34), что дает группу C 2, изоморфную циклической группе, Z2.
C2	[2]	22	2

Объем

Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:

$V\; =\; 1\; 3\; A\; 0\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; A\_\; \{0\; \}\; \backslash ,\; h\; \backslash ,\}$

где A 0 - это площадь основания, а h - высота от основания до вершины. Это применимо для каждого из четырех вариантов основания, поэтому расстояния от вершин до противоположных граней обратно пропорциональны площадям этих граней.

Для тетраэдра с вершинами a = (a 1, a 2, a 3), b = (b 1, b 2, b 3), c = (c 1, c 2, c 3) и d = (d 1, d 2, d 3), объем равен 1/6 | det (a− d, b− d, c− d) |, или любая другая комбинация пар вершин, образующих односвязный граф . Это можно переписать, используя скалярное произведение и кросс-произведение, что дает

$V\; =\; |\; (a\; -\; d)\; \cdot \; ((b\; -\; d)\; \times \; (c\; -\; d))\; |\; 6.\; \{\backslash \; Displaystyle\; В\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{|\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{d\})\; \backslash \; cdot\; ((\backslash \; mathbf\; \{b\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{d\})\; \backslash \; раз\; (\backslash \; mathbf\; \{c\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{d\}))\; |\}\; \{6\}\}.\}$

Если начало системы координат выбрано таким, чтобы оно совпадало с вершиной d, то d = 0, поэтому

$V\; =\; |\; a\; \cdot \; (b\; \times \; c)\; |\; 6,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{c\})\; |\}\; \{6\}\},\}$

где a, b, и c представляют три ребра, которые встречаются в одной вершине, а a · (b× c) представляет собой тройное скалярное произведение. Сравнивая эту формулу с формулой, использованной для вычисления объема параллелепипеда , мы заключаем, что объем тетраэдра равен 1/6 объема любого параллелепипеда, который имеет три сходящихся с ним ребра.

Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:

$6\; \cdot \; V\; =\; \Vert \; abc\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; cdot\; V\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Vmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; end\; \{Vmatrix\}\}\}$или $6\; \cdot \; V\; =\; \Vert \; abc\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \backslash \; cdot\; V\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Vmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; end\; \{Vmatrix\}\}\}$где $a\; =\; (a\; 1,\; a\; 2,\; a\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; a\_\; \{3\})\; \backslash ,\}$выражается как вектор строки или столбца и т. Д.

Следовательно

$36\; \cdot \; V\; 2\; =\; |\; a\; 2\; a\; \cdot \; b\; a\; \cdot \; c\; a\; \cdot \; b\; b\; 2\; b\; \cdot \; c\; a\; \cdot \; c\; b\; \cdot \; c\; c\; 2\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; 36\; \backslash \; cdot\; V\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; mathbf\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\}$где $a\; \cdot \; b\; =\; ab\; cos\; \; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; ab\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; gamma\}\}$и т. Д.

, что дает

$V\; =\; abc\; 6\; 1\; +\; 2\; cos\; \; \alpha \; соз\; \; \beta \; соз\; \; \gamma \; -\; соз\; 2\; \; \alpha \; -\; соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \gamma ,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{abc\}\; \{6\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; gamma\}\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; beta\}\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\},\; \backslash ,\}$

где α, β, γ - плоские углы, входящие в вершину d . Угол α - это угол между двумя ребрами, соединяющими вершину d с вершинами b и c . Угол β имеет значение для вершин a и c, тогда как γ определяется положением вершин a и b.

Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра объем может быть вычислен с помощью определителя Кэли – Менгера :

$288\; \cdot \; V\; 2\; =\; |\; 0\; 1\; 1\; 1\; 1\; 1\; 0\; d\; 12\; 2\; d\; 13\; 2\; d\; 14\; 2\; 1\; d\; 12\; 2\; 0\; d\; 23\; 2\; d\; 24\; 2\; 1\; d\; 13\; 2\; d\; 23\; 2\; 0\; d\; 34\; 2\; 1\; d\; 14\; 2\; d\; 24\; 2\; d\; 34\; 2\; 0\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; 288\; \backslash \; cdot\; V\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; 0\; 1\; 1\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; d\_\; \{12\}\; ^\; \{2\}\; d\_\; \{13\}\; ^\; \{2\}\; d\_\; \{14\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 1\; d\_\; \{12\; \}\; ^\; \{2\}\; 0\; d\_\; \{23\}\; ^\; \{2\}\; d\_\; \{24\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 1\; d\_\; \{13\}\; ^\; \{2\}\; d\_\; \{23\}\; ^\; \{2\}\; 0\; d\_\; \{34\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 1\; d\_\; \{14\}\; ^\; \{2\}\; d\_\; \{24\}\; ^\; \{2\}\; d\_\; \{34\}\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\}$

где нижние индексы i, j ∈ {1, 2, 3, 4} представляют вершины {a, b, c, d}, а d ij - попарное расстояние между ними, то есть длина ребра, соединяющего две вершины. Отрицательное значение определителя означает, что тетраэдр не может быть построен с заданными расстояниями. Эта формула, иногда называемая формулой Тартальи, по существу создана художником Пьеро делла Франческа в 15 веке как трехмерный аналог 1 века формула Герона для площади треугольника.

Обозначим a, b, c три ребра, которые пересекаются в точке, а x, y, z - противоположные стороны. Пусть V - объем тетраэдра; тогда

$V\; =\; 4\; a\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; -\; a\; 2\; X\; 2\; -\; b\; 2\; Y\; 2\; -\; c\; 2\; Z\; 2\; +\; XYZ\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{4a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{2\}\; X\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; Y\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\; Z\; ^\; \{2\}\; +\; XYZ\}\}\; \{12\}\}\}$

где

$X\; =\; b\; 2\; +\; c\; 2\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\}$

$Y\; =\; a\; 2\; +\; c\; 2\; -\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; a\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\}$

$Z\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\}$

В приведенной выше формуле используются различные выражения со следующей формулой. В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.

$V\; =\; abc\; 6\; 1\; +\; 2\; cos\; \; \alpha \; cos\; \; \beta \; cos\; \; \gamma \; -\; cos\; 2\; \; \alpha \; -\; cos\; 2\; \; \beta \; -\; cos\; 2\; \; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{abc\}\; \{6\}\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{1\; +\; 2\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; gamma\}\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; beta\}\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; gamma\}\}\}\}$

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Если U, V, W, u, v, w - длины ребер тетраэдра (первый три образуют треугольник; u напротив U и так далее), тогда

$volume\; =\; (-\; a\; +\; b\; +\; c\; +\; d)\; (a\; -\; b\; +\; c\; +\; d)\; (a\; +\; b\; -\; c\; +\; d)\; (a\; +\; b\; +\; c\; -\; d)\; 192\; uvw\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{volume\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash ,\; (-\; a\; +\; b\; +\; c\; +\; d)\; \backslash ,\; (a-b\; +\; c\; +\; d)\; \backslash ,\; (a\; +\; b-c\; +\; d)\; \backslash ,\; (a\; +\; b\; +\; cd)\}\}\; \{192\; \backslash ,\; u\; \backslash ,\; v\; \backslash ,\; w\}\}\}$

где

$a\; =\; x\; YZ\; b\; =\; y\; ZX\; c\; =\; z\; XY\; d\; =\; xyz\; X\; =\; (w\; -\; U\; +\; v)\; (U\; +\; v\; +\; w)\; x\; =\; (U\; -\; v\; +\; w)\; (v\; -\; w\; +\; U)\; Y\; =\; (u\; -\; V\; +\; w)\; (\; V\; +\; w\; +\; u)\; y\; =\; (V\; -\; w\; +\; u)\; (w\; -\; u\; +\; V)\; Z\; =\; (v\; -\; W\; +\; u)\; (W\; +\; u\; +\; v)\; z\; =\; (W\; -\; u\; +\; v)\; (u\; -\; v\; +\; W).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; a\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{xYZ\}\}\; \backslash \backslash \; b\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{yZX\}\}\; \backslash \backslash \; c\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{zXY\}\}\; \backslash \backslash \; d\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{xyz\}\; \}\; \backslash \backslash \; X\; =\; (w-U\; +\; v)\; \backslash ,\; (U\; +\; v\; +\; w)\; \backslash \backslash \; x\; =\; (U-v\; +\; w)\; \backslash ,\; (v-w\; +\; U)\; \backslash \backslash \; Y\; =\; (u-V\; +\; w)\; \backslash ,\; (V\; +\; w\; +\; u)\; \backslash \backslash \; y\; =\; (V-w\; +\; u)\; \backslash ,\; (w-u\; +\; V)\; \backslash \backslash \; Z\; =\; (v-W\; +\; u)\; \backslash ,\; (W\; +\; u\; +\; v)\; \backslash \backslash \; z\; =\; (W-u\; +\; v)\; \backslash ,\; (u-v\; +\; W).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Разделитель объема

Плоскость, которая разделяет два противоположных края тетраэдра в заданном соотношении также делит объем тетраэдра в таком же соотношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиан (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра , делит объем тетраэдра пополам.

Неевклидов объем

Для тетраэдров в гиперболическое пространство или в трехмерной эллиптической геометрии, двугранные углы тетраэдра определяют его форму и, следовательно, его объем. В этих случаях объем определяется по формуле Мураками – Яно. Однако в евклидовом пространстве масштабирование тетраэдра изменяет его объем, но не его двугранные углы, поэтому такой формулы не может быть.

Расстояние между краями

Любые два противоположных ребра тетраэдра лежат на двух наклонных линиях, а расстояние между ребрами определяется как расстояние между двумя наклонными линиями. линий. Пусть d будет расстоянием между линиями наклона, образованными противоположными краями a и b− c, как вычислено здесь. Тогда другая формула объема задается как

$V\; =\; d\; |\; (a\; \times \; (b\; -\; c))\; |\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; |\; (\backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{(bc)\})\; |\}\; \{6\}\}.\}$

Свойства, аналогичные свойствам треугольника

Тетраэдр имеет много свойств, аналогичных свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и внешние сферы. Он имеет соответствующие центры, такие как центр окружности, центр окружности, эксцентрики, центр Шпикера и такие точки, как центроид. Однако обычно нет ортоцентра в смысле пересечения высот.

Гаспар Монж обнаружил центр, который существует в каждом тетраэдре, теперь известный как точка Монжа : точка, в которой находятся шесть срединных плоскостей. тетраэдра пересекаются. Срединная плоскость определяется как плоскость, ортогональная ребру, соединяющему любые две вершины, который также содержит центроид противоположного ребра, образованного путем соединения двух других вершин. Если высоты тетраэдра пересекаются, то точка Монжа и ортоцентр совпадают, давая класс ортоцентрического тетраэдра.

. Ортогональная линия, опущенная от точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в середине отрезка прямой между ортоцентр лица и основание высоты упало с противоположной вершины.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется срединной, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой тетраэдра.. Следовательно, в тетраэдре четыре медианы и три бимедианы. Все эти семь отрезков параллельны в точке, называемой центроидом тетраэдра. Кроме того, четыре медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1 (см. теорему Коммандино ). Центроид тетраэдра - это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности. Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична прямой Эйлера треугольника.

окружность из девяти точек общего треугольника имеет аналог в описанной сфере среднего тетраэдра тетраэдра. Это сфера с двенадцатью точками и, помимо центроидов четырех граней эталонного тетраэдра, она проходит через четыре замещающие точки Эйлера, по одной трети пути от точки Монжа к каждой из четырех вершин. Наконец, он проходит через четыре базовые точки ортогональных прямых, опущенных от каждой точки Эйлера к грани, не содержащей вершину, которая породила точку Эйлера.

Центр T двенадцатиточечной сферы также лежит на прямой Эйлера. В отличие от своего треугольного аналога, этот центр находится на одной трети пути от точки Монжа M к центру описанной окружности. Кроме того, ортогональная линия, проходящая через точку T к выбранной грани, копланарна с двумя другими ортогональными линиями к той же грани. Первая - это ортогональная линия, проходящая через соответствующую точку Эйлера к выбранной грани. Вторая - это ортогональная линия, проходящая через центр тяжести выбранной грани. Эта ортогональная линия, проходящая через центр из двенадцати точек, находится на полпути между ортогональной линией точки Эйлера и центроидальной ортогональной линией. Кроме того, для любой грани центр из двенадцати точек лежит в средней точке соответствующей точки Эйлера и ортоцентре этой грани.

Радиус двенадцатиточечной сферы составляет одну треть радиуса описанной окружности контрольного тетраэдра.

Существует связь между углами, образованными гранями общего тетраэдра, определяемая как

$|\; -\; 1\; cos\; \; (\alpha \; 12)\; cos\; \; (\alpha \; 13)\; cos\; \; (\alpha \; 14)\; cos\; \; (\alpha \; 12)\; -\; 1\; cos\; \; (\alpha \; 23)\; cos\; \; (\alpha \; 24)\; cos\; \; (\alpha \; 13)\; cos\; \; (\alpha \; 23)\; -\; 1\; cos\; \; (\alpha \; 34)\; cos\; \; (\alpha \; 14)\; cos\; \; (\alpha \; 24)\; cos\; \; (\alpha \; 34)\; -\; 1\; |\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; -1\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{12\})\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{13\})\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{14\})\; \}\; \backslash \backslash \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{12\})\}\; -\; 1\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{23\})\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{24\})\}\; \backslash \backslash \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{13\})\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{23\})\}\; -\; 1\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{34\})\}\; \backslash \backslash \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{14\})\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{24\})\}\; \backslash \; cos\; \{(\backslash \; alpha\; \_\; \{34\})\}\; -\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; =\; 0\; \backslash ,\}$

где α ij - угол между гранями i и j.

геометрическая медиана координат положения вершины тетраэдра и его изогонический центр связаны при обстоятельствах, аналогичных тем, которые наблюдаются для треугольника. Лоренц Линделёф обнаружил, что любому данному тетраэдру соответствует точка, теперь известная как изогонический центр, O, в котором телесные углы, образуемые гранями, равны, имеют общее значение π sr, и при углы между противоположными краями равны. Телесный угол π sr составляет четверть угла, охватываемого всем пространством. Когда все телесные углы в вершинах тетраэдра меньше π sr, O лежит внутри тетраэдра, а поскольку сумма расстояний от O до вершин минимальна, O совпадает с геометрической медианой , M, вершин. В том случае, если телесный угол в одной из вершин, v, составляет ровно π sr, тогда O и M совпадают с v. Однако если у тетраэдра есть вершина v с телесным углом больше π sr, M по-прежнему соответствует к v, но O лежит вне тетраэдра.

Геометрические соотношения

Тетраэдр - это 3- симплекс. В отличие от других Платоновых тел, все вершины правильного тетраэдра равноудалены друг от друга (это единственно возможное расположение четырех равноудаленных точек в трехмерном пространстве).

Тетраэдр - это треугольная пирамида, а правильный тетраэдр - самодвойственный.

. Правильный тетраэдр может быть вложен внутрь куба пополам. таких способов, что каждая вершина является вершиной куба, а каждое ребро - диагональю одной из граней куба. Для одного такого вложения декартовы координаты для вершин равны

(+1, +1, +1);

(−1, −1, +1);

(−1, +1, −1);

(+1, −1, −1).

Это дает тетраэдр с длиной ребра 2√2 с центром в начале координат. Для другого тетраэдра (который двойственен первому) поменяйте все знаки местами. Эти две вершины тетраэдра вместе являются вершинами куба, демонстрируя, что правильный тетраэдр представляет собой 3- полукуб.

stella octangula.

Объем этого тетраэдра составляет одну треть объема куба куб. Объединение обоих тетраэдров дает правильное полиэдрическое соединение, называемое соединением двух тетраэдров или stella octangula.

Внутренняя часть stella octangula представляет собой октаэдр, и, соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т. е. выпрямления тетраэдра).

Приведенное выше вложение делит куб на пять тетраэдров, один из которых правильный. Фактически, пять - это минимальное количество тетраэдров, необходимое для создания куба. Чтобы убедиться в этом, начиная с базового тетраэдра с 4 вершинами, каждый добавленный тетраэдр добавляет не более 1 новой вершины, поэтому необходимо добавить еще как минимум 4, чтобы создать куб с 8 вершинами.

Включение тетраэдров внутрь правильного соединения пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.

Обычные тетраэдры не могут замощить пространство сами по себе, хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра могут быть объединены с октаэдром, давая ромбоэдр, который может занимать мозаичное пространство.

Однако известно несколько неправильных тетраэдров, копии которых могут занимать мозаичное пространство, например, тетраэдрические соты дифеноида. Полный список остается открытой проблемой.

Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры имели одинаковую форму, можно разбить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)

Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.

Закон синусов для тетраэдров и пространства всех форм тетраэдров

Следствием обычного закона синусов является то, что в тетраэдр с вершинами O, A, B, C, имеем

$sin\; \; \angle \; O\; A\; B\; \cdot \; sin\; \; \angle \; O\; B\; C\; \cdot \; sin\; \; \angle \; O\; C\; A\; =\; sin\; \; \angle \; O\; A\; C\; \cdot \; sin\; \; \angle \; O\; C\; B\; \cdot \; sin\; \; \angle \; O\; B\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; angle\; OAB\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; \backslash \; angle\; OBC\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; \backslash \; angle\; OCA\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; angle\; OAC\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; \backslash \; angle\; OCB\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; \backslash \; angle\; OBA.\; \backslash ,\}$

One может рассматривать две стороны этой идентичности как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Если поставить любую из четырех вершин в роли O, мы получим четыре таких тождества, но не более трех из них независимы: если стороны трех из них «по часовой стрелке» умножаются, и произведение получается равным равняется произведению сторон «против часовой стрелки» тех же трех тождеств, а затем общие множители сокращаются с обеих сторон, результатом является четвертое тождество.

Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами какого-нибудь тетраэдра? Ясно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна составлять 180 °. Так как таких треугольников четыре, существует четыре таких ограничения на суммы углов, и количество степеней свободы тем самым сокращается с 12 до 8. Четыре соотношения, задаваемые этим синусоидальным законом, дополнительно уменьшают число степеней свободы: от 8 до не 4, а 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров является 5-мерным.

Закон косинусов для тетраэдров

Пусть {P 1,P2, P 3, P 4 } - точки тетраэдра. Пусть Δ i - площадь грани, противоположная вершине P i, и пусть θ ij - двугранный угол между двумя гранями тетраэдра, примыкающими к ребру. P iPj.

Закон косинусов для этого тетраэдра, который связывает площади граней тетраэдра с двугранными углами вокруг вершины, задается следующим соотношением:

$\Delta \; i\; 2\; =\; \Delta \; j\; 2\; +\; \Delta \; К\; 2\; +\; \Delta \; l\; 2\; -\; 2\; (\Delta \; j\; \Delta \; k\; соз\; \; \theta \; il\; +\; \Delta \; j\; \Delta \; l\; cos\; \; \theta \; ik\; +\; \Delta \; k\; \Delta \; l\; cos\; \; \theta \; ij)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; Delta\; \_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; Delta\; \_\; \{l\}\; ^\; \{2\}\; -2\; (\backslash \; Delta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\; k\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{il\}\; +\; \backslash \; Delta\; \_\; \{j\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{l\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{ik\}\; +\; \backslash \; Delta\; \_\; \{k\}\; \backslash \; Delta\; \_\; \{l\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{\; ij\})\}$

Внутренняя точка

Пусть P - любая внутренняя точка тетраэдра объема V, вершинами которого являются A, B, C и D, а площади противоположных граней - это F a, F b, F c и F d. Тогда

$P\; A\; \cdot \; F\; a\; +\; P\; B\; \cdot \; F\; b\; +\; P\; C\; \cdot \; F\; c\; +\; P\; D\; \cdot \; F\; d\; \ge \; 9\; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; PA\; \backslash \; cdot\; F\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; +\; PB\; \backslash \; cdot\; F\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{b\}\}\; +\; PC\; \backslash \; cdot\; F\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\; +\; PD\; \backslash \; cdot\; F\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \backslash \; geq\; 9V.\}$

Для вершин A, B, C и D, внутренней точки P и футов J, K, L и M перпендикуляров от P к граням, и предположим, что грани имеют равные площади, тогда

$PA\; +\; PB\; +\; PC\; +\; PD\; \ge \; 3\; (PJ\; +\; PK\; +\; PL\; +\; PM).\; \{\backslash \; displaystyle\; PA\; +\; PB\; +\; PC\; +\; PD\; \backslash \; geq\; 3\; (PJ\; +\; PK\; +\; PL\; +\; PM).\}$

Inradius

Обозначение внутреннего радиуса тетраэдра как r и inradii его треугольных граней как r i для i = 1, 2, 3, 4, мы имеем

$1\; r\; 1\; 2\; +\; 1\; r\; 2\; 2\; +\; 1\; r\; 3\; 2\; +\; 1\; r\; 4\; 2\; \le \; 2\; р\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; r\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\_\; \{4\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\},\}$

с равенство тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.

Если A 1, A 2, A 3 и A 4 обозначают площадь каждой грани, значение r определяется как

$r\; =\; 3\; VA\; 1\; +\; A\; 2\; +\; A\; 3\; +\; A\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3V\}\; \{A\_\; \{1\}\; +\; A\_\; \{2\}\; +\; A\_\; \{3\}\; +\; A\_\; \{4\}\}\}\}$.

Эта формула получается из деления тетраэдра на четыре тетраэдра, точки которых являются тремя точками одной из исходных граней и центром. Поскольку четыре субтетраэдра заполняют объем, мы имеем $V\; =\; 1\; 3\; A\; 1\; r\; +\; 1\; 3\; A\; 2\; r\; +\; 1\; 3\; A\; 3\; r\; +\; 1\; 3\; A\; 4\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 3\}\}\; A\_\; \{1\}\; r\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; A\_\; \{2\}\; r\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; A\_\; \{3\}\; r\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; A\_\; \{\; 4\}\; r\}$.

Окружной радиус

Обозначим радиус описанной окружности тетраэдра как R. Пусть a, b, c - длины трех ребер, которые встречаются в вершине, а A, B, C - длина противоположных краев. Пусть V - объем тетраэдра. Тогда

$R\; =\; (a\; A\; +\; b\; B\; +\; c\; C)\; (a\; A\; +\; b\; B\; -\; c\; C)\; (a\; A\; -\; b\; B\; +\; c\; C)\; (-\; a\; A\; +\; b\; B\; +\; c\; C)\; 24\; В.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{(aA\; +\; bB\; +\; cC)\; (aA\; +\; bB-cC)\; (aA-bB\; +\; cC)\; (-\; aA\; +\; bB\; +\; cC)\}\}\; \{24V\}\}.\}$

Центр описанной окружности

Центр описанной окружности тетраэдра может быть найден как пересечение трех биссектрисных плоскостей. Биссектрисная плоскость определяется как плоскость с центром и ортогональна ребру тетраэдра. С помощью этого определения центр описанной окружности C тетраэдра с вершинами x 0,x1,x2,x3может быть сформулирован как произведение матрица-вектор:

$C\; =\; A\; -\; 1\; B,\; где\; A\; =\; ([x\; 1\; -\; x\; 0]\; T\; [x\; 2\; -\; x\; 0]\; T\; [x\; 3\; -\; x\; 0]\; T)\; и\; B\; =\; 1\; 2\; (x\; 1\; 2\; -\; x\; 0\; 2\; x\; 2\; 2\; -\; x\; 0\; 2\; x\; 3\; 2\; -\; x\; 0\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; C\; =\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; B\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; \backslash \; A\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; left\; [x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{0\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{T\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; left\; [x\_\; \{2\}\; -x\_\; \{0\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{T\}\; \backslash \backslash \backslash \; left\; [x\_\; \{3\}\; -x\_\; \{0\}\; \backslash \; right]\; ^\; \{T\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; B\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{align\}\}\}$

В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупому треугольнику, у тупого тетраэдра центр описанной окружности находится вне объекта.

Центроид

Центр масс тетраэдра вычисляется как среднее арифметическое его четырех вершин, см. Центроид.

Грани

сумма площадей любых трех граней больше, чем площадь четвертой грани.

Существуют тетраэдры, имеющие целочисленные длины ребер, площади граней и объем. Они называются тетраэдрами Герона. В одном примере один край 896, противоположный край 990 и четыре других края 1073; две грани - это равнобедренные треугольники с площадью 436800, а две другие - равнобедренные с площадью 47120, а объем равен 124185600.

Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, примером является тот, у которого есть ребра 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объем 48.

Правильный тетраэдр можно рассматривать как треугольник пирамида.

Правильные пирамиды
Дигональ	Треугольник	Квадрат	Пятиугольник	Шестиугольник	Шестиугольник	Восьмиугольник	Эннеагональ	Десятиугольник...
Неправильный	Правильный	Равносторонний		Равнобедренный

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, равномерный двугранный антипризма, где базовые многоугольники редуцированы двуугольники.

Семейство однородных n-угольных антипризм [ v ]
Изображение многогранника												...	Апейрогональная антипризма
Сферическая мозаичное изображение												Плоское мозаичное изображение
Vertex con конфигурация n.3.3.3	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3. 3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, равномерный двойственный двояковыпуклый трапецоэдр, содержащий 6 вершин, в двух наборах коллинеарных ребер.

Семейство n-угольных трапеций
Изображение многогранника										...	Апейрогональный трапецоэдр
Сферическое мозаичное изображение										Плоское мозаичное изображение
Конфигурация лица Vn.3.3.3	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Применен процесс усечения к тетраэдру образует серию однородных многогранников. Усечение ребер до точек дает октаэдр как выпрямленный тетраэдр. Процесс завершается двунаправленной связью, уменьшая исходные грани до точек и снова создавая самодвойственный тетраэдр.

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3], (* 332)							[3,3], (332)
{3,3}	t {3,3}	r {3,3}	t {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	tr {3,3}	sr {3,3}
Двойники к однородным многогранникам
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n}, продолжение в гиперболической плоскости.

* n32 мутация симметрии регулярных мозаик: {3, n} [ v ]
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Парако.	Некомпактный гиперболический
3.3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3

Тетраэдр топологически связан с серией правильных многогранников и мозаик с фигурами вершин порядка 3 .

* n32 изменение симметрии правильных мозаик: {n, 3} [ v ]
Сферическое				Евклидово	Компактное гиперболическое.		Парако.	Некомпактный гиперболический
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

• Соединения тетраэдров
• 

  Два тетраэдра в кубе

• 

  Соединение пяти тетраэдров

• 

  Соединение десяти тетраэдров

Можно построить интересный многогранник из пяти пересекающихся тетраэдров. Это соединение пяти тетраэдров было известно сотни лет. Это регулярно встречается в мире оригами. Соединение двадцати вершин даст правильный додекаэдр. Существуют как левосторонние, так и правосторонние формы, которые являются зеркальным отображением друг друга. Наложение обеих форм дает соединение десяти тетраэдров, в котором десять тетраэдров расположены как пять пар stellae octangulae. Октангула стелла представляет собой соединение двух тетраэдров в двойном положении, и его восемь вершин определяют куб как их выпуклую оболочку.

квадратный осоэдр - это еще один многогранник с четырьмя гранями, но у него нет треугольных граней.

Численный анализ

Неправильный объем в пространстве можно аппроксимировать нерегулярной триангулированной поверхностью и нерегулярными тетраэдрическими элементами объема.

В численном анализе сложные трехмерные формы обычно разбиваются или аппроксимируются с помощью многоугольной сетки неправильных тетраэдров в процессе создания уравнений для конечно-элементный анализ, особенно в численном решении уравнений в частных производных. Эти методы имеют широкое практическое применение в вычислительной гидродинамике, аэродинамике, электромагнитных полях, гражданском строительстве, химической инженерии., военно-морская архитектура и инженерия и смежные области.

Химия

Ион аммония тетраэдрический

Форма тетраэдра наблюдается в природе в ковалентно связанных молекулах. Все sp-гибридизированные атомы окружены атомами (или неподеленными электронными парами ) в четырех углах тетраэдра. Например, в молекуле метана (CH. 4) или ионе аммония (NH. 4) четыре атома водорода окружают центральный атом углерода или азота с тетраэдрической симметрией. По этой причине один из ведущих журналов по органической химии называется Tetrahedron. Центральный угол между любыми двумя вершинами идеального тетраэдра равен arccos (−1/3), или приблизительно 109,47 °.

Вода, H. 2O, также имеет тетраэдрическую структуру., с двумя атомами водорода и двумя неподеленными парами электронов вокруг центральных атомов кислорода. Однако его тетраэдрическая симметрия не идеальна, поскольку неподеленные пары отталкиваются сильнее, чем одинарные связи O – H.

Четвертичные фазовые диаграммы в химии представлены графически в виде тетраэдров.

Однако четвертичные фазовые диаграммы в технике связи представлены графически на двухмерной плоскости.

Электричество и электроника

Если шесть одинаковых резисторов спаяны вместе, чтобы образовать тетраэдр, то сопротивление, измеренное между любыми двумя вершинами, будет вдвое меньше. одного резистора.

Поскольку кремний является наиболее распространенным полупроводником, используемым в твердотельной электронике, а кремний имеет валентность из четырех, тетраэдрическая форма четырех химических связей в кремнии сильно влияет на то, как кристаллы кремния образуются и какие формы они принимают.

Игры

4-сторонние игральные кости

В Королевскую игру Ура, датируемую 2600 годом до нашей эры, играли с набором четырехгранных игральных костей.

Особенно в ролевой игре, это твердое тело известно как 4-сторонний кубик, один из наиболее распространенных многогранных кубиков с номером свернувшись, появляясь вокруг нижней или верхней вершины. Некоторые головоломки, подобные кубику Рубика, являются тетраэдрическими, например, Pyraminx и Pyramorphix.

Color space

Тетраэдры используются в алгоритмах преобразования цветового пространства. для случаев, когда ось яркости по диагонали сегментирует цветовое пространство (например, RGB, CMY).

Современное искусство

Австрийская художница Мартина Шеттина создала тетраэдр, используя люминесцентные лампы. Он был показан на биеннале светового искусства в Австрии 2010.

Он используется в качестве обложки альбома в окружении черного пламени на The End of All Things to Come от Mudvayne.

Популярная культура

Стэнли Кубрик изначально задумывал монолит в 2001: Космическая одиссея как тетраэдр, согласно Марвину Мински, когнитивному исследователю. ученый и эксперт по искусственному интеллекту, который консультировал Кубрика по поводу компьютера HAL 9000 и других аспектов фильма. Кубрик отказался от идеи использовать тетраэдр, поскольку посетитель, который видел кадры с ним, не узнал, что это было, и он не хотел, чтобы в фильме ничего не понимали обычные люди.

В сезоне 6, эпизоде ​​15 из Футурама, названный «Мёбиус Дик », команда «Планетного экспресса» проходит через область в космосе, известную как Бермудский тетраэдр. Многие другие корабли, проходящие через этот район, таинственным образом исчезли, в том числе и первый экипаж Planet Express.

В фильме 2013 года Oblivion большая структура на орбите над Землей имеет форму тетраэдра и называется Тет.

Геология

Тетраэдрическая гипотеза, первоначально опубликованная Уильямом Лоутианом Грином для объяснения формирования Земли, была популярна в начале 20 века..

Структурная инженерия

Тетраэдр с жесткими краями по своей природе жесткий. По этой причине его часто используют для усиления рамных конструкций, таких как космические рамки.

авиация

. На некоторых аэродромах большой каркас в форме тетраэдра с двумя закрытыми сторонами из тонкого материала устанавливается на вращающийся стержень и всегда направлен против ветра. Он достаточно большой, чтобы его можно было увидеть с воздуха, и иногда он подсвечивается. Его цель - служить ссылкой для пилотов, указывающих направление ветра.

Тетраэдрический граф
Вершины	4
Ребра	6
Радиус	1
Диаметр	1
Обхват	3
Автоморфизмы	24
Хроматическое число	4
Свойства	Гамильтониан, правильный, симметричный, дистанционно-регулярный, дистанционно-транзитивный, 3-вершинно-связанный, планарный граф
Таблица графов и параметров

скелет тетраэдра (содержащий вершины и ребра) образует граф с 4 вершинами и 6 ребрами. Это частный случай полного графа, K 4 и колесного графа, W 4. Это один из 5 платоновых графов, каждый из которых является скелетом своего платонового тела.

. 3-кратной симметрии

• спираль Бурдейка – Кокстера
• Конфигурация Мёбиуса
• Caltrop
• Демигиперкуб и симплекс - n-мерные аналоги
• Пентахорон - 4-мерный аналог
• Tetra Pak
• Тетраэдрический воздушный змей
• Тетраэдрическое число
• Упаковка тетраэдра
• Треугольная дипирамида - построена путем соединения двух тетраэдров вдоль одной грани
• Треугольный тетраэдр

На Викискладе есть материалы, связанные с Тетраэдр.

• Вайсштейн, Эрик У. «Тетраэдр». MathWorld.
• Бесплатные бумажные модели тетраэдра и многих других многогранников
• Удивительный, заполняющий пространство, нерегулярный тетраэдр, который также включает описание «вращающегося кольца тетраэдров», также известного как a калейдоцикл.

v t Фундаментальный выпуклый правильный и равномерный многогранник в измерениях 2–10
An	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
Треугольник	Квадрат	p -угольник	Шестиугольник	Пентагон
Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
5-элементный	16 ячеек • Tesseract	Demitesseract	24-элементный	120-элементный • 600-элементный
5-симплексный	5-ортоплекс • 5-куб	5-полукуб
6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-полукуб	122 • 221
7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукуб	132 • 231 • 321
8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукуб	142 • 241 • 421
9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
n-симплекс	n-ортоплекс • n- куб	n-полукуб	1k2 • 2k1 • k21	n-пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений