Многообразие Калаби – Яу

редактировать

Риманово многообразие с SU (n) голономией

Двумерный срез шестимерного квинтического многообразия Калаби – Яу.

В алгебраической геометрии многообразие Калаби – Яу, также известное как пространство Калаби – Яу, является частным типом многообразия который обладает такими свойствами, как плоскостность Риччи, что позволяет применять его в теоретической физике. В частности, в теории суперструн, дополнительные измерения пространства-времени иногда предполагаются как 6-мерное многообразие Калаби – Яу, что привело к идее зеркальной симметрии. Их название было придумано Канделасом и др. (1985), после Эухенио Калаби (1954, 1957), который первым предположил, что такие поверхности могут существовать, и Шинг-Тунг Яу (1978), доказавший гипотезу Калаби.

Многообразия Калаби – Яу - это комплексные многообразия, которые являются обобщениями поверхностей K3 в любом количество сложных измерений (т.е. любое четное количество реальных измерений ). Первоначально они были определены как компактные кэлеровы многообразия с исчезающим первым классом Черна и плоской Риччи метрикой, хотя иногда используются многие другие подобные, но неэквивалентные определения.

Содержание

1 Определения
2 Примеры
3 Приложения в теории суперструн
4 См. Также
5 Ссылки
- 5.1 Цитаты
- 5.2 Библиография
6 Внешние ссылки

Определения

Мотивационное определение, данное Шинг-Тунг Яу, представляет собой компактное кэлерово многообразие с исчезающим первым классом Черна, то есть также Риччи плоский.

Существует множество других определений многообразия Калаби – Яу, используемых разными авторами, некоторые из которых неэквивалентны. В этом разделе суммируются некоторые из наиболее общих определений и отношения между ними.

n-кратное многообразие Калаби – Яу или многообразие Калаби – Яу (комплексной) размерности n иногда определяют как компактное n-мерное кэлерово многообразие M, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий:

каноническое расслоение множества M тривиально.
M имеет голоморфную n-форму, которая никуда не обращается.
Структурная группа касательного расслоения M можно уменьшить с U (n) до SU (n).
M имеет кэлерову метрику с глобальной голономией, содержащейся в SU (n).

Эти условия означают, что первый интегральный класс Черна $c 1 (M) {\ displaystyle c_ {1} (M)}$ ${\ displaystyle c_ {1} (M)}$ из M обращается в нуль. Тем не менее обратное неверно. Простейшими примерами, в которых это происходит, являются гиперэллиптические поверхности, конечные факторы комплексного тора комплексной размерности 2, которые имеют нулевой первый интегральный класс Черна, но нетривиальное каноническое расслоение.

Для компактного n-мерного кэлерова многообразия M следующие условия эквивалентны друг другу, но слабее, чем условия, приведенные выше, хотя они иногда используются как определение многообразия Калаби – Яу:

M имеет исчезающий первый действительный класс Черна.
M имеет кэлерову метрику с исчезающей кривизной Риччи.
M имеет кэлерову метрику с локальной голономией, содержащейся в SU (n).
Положительная степень канонического расслоения для M тривиальна.
M имеет конечное покрытие, которое имеет тривиальное каноническое расслоение.
M имеет конечное покрытие, которое является произведением тора и односвязного многообразия с тривиальным каноническим расслоением.

Если компактное кэлерово многообразие односвязно, то приведенное выше слабое определение эквивалентно более сильному определению. Поверхности Энриквеса являются примерами комплексных многообразий с плоскими по Риччи метриками, но их канонические расслоения нетривиальны, поэтому они являются многообразиями Калаби – Яу согласно второму, но не первому определению выше. С другой стороны, их двойные накрытия являются многообразиями Калаби – Яу для обоих определений (фактически, K3-поверхности).

Безусловно, самая сложная часть доказательства эквивалентности между различными свойствами, указанными выше, - это доказать существование плоских по Риччи метрик. Это следует из доказательства Яу гипотезы Калаби, из которого следует, что компактное кэлерово многообразие с нулевым первым вещественным классом Черна имеет кэлерову метрику того же класса с нулевой кривизной Риччи. (Класс кэлеровой метрики - это класс когомологий ассоциированной с ней 2-формы.) Калаби показал, что такая метрика единственна.

Есть много других неэквивалентных определений многообразий Калаби – Яу, которые иногда используются, которые различаются следующими способами (среди прочего):

Первый класс Черна может исчезнуть как интегральный класс или как действительный class.
Большинство определений утверждают, что многообразия Калаби – Яу компактны, но некоторые допускают их некомпактность. В обобщении на некомпактные многообразия разность $(Ω ∧ Ω ¯ - ω n / n!) {\ Displaystyle (\ Omega \ wedge {\ bar {\ Omega}} - \ omega ^ {n} / n!)}$ $(\ Omega \ wedge {\ bar \ Omega} - \ омега ^ {n} / n!)$ должен асимптотически обращаться в нуль. Здесь $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - форма Кэлера, связанная с метрикой Кэлера, $g {\ displaystyle g}$ $g$ (Gang Tian ; Шинг-Тунг Яу 1990, 1991).
Некоторые определения накладывают ограничения на фундаментальную группу многообразия Калаби – Яу, например, требуя, чтобы он может быть конечным или тривиальным. Любое многообразие Калаби – Яу имеет конечное покрытие, которое является произведением тора и односвязного многообразия Калаби – Яу.
Некоторые определения требуют, чтобы голономия была в точности равна SU (n), а не подгруппе из него, что означает, что числа Ходжа $hi, 0 {\ displaystyle h ^ {i, 0}}$ ${\ displaystyle h ^ {i, 0}}$ исчезают для $0 < i < dim ⁡ ( M) {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <я <\ dim (M)}$ . Абелевы поверхности обладают плоской метрикой Риччи с голономией, строго меньшей, чем SU (2) (фактически тривиальной), поэтому не являются многообразиями Калаби – Яу согласно таким определениям.
Большинство определений предполагают, что многообразие Калаби – Яу имеет Риманова метрика, но некоторые рассматривают их как комплексные многообразия без метрики.
В большинстве определений предполагается, что многообразие неособо, но некоторые допускают небольшие особенности. Хотя класс Черна не может быть четко определен для сингулярных классов Калаби-Яу, каноническое расслоение и канонический класс все же могут быть определены, если все особенности Горенштейна, и поэтому могут использоваться для расширения определения гладкое многообразие Калаби – Яу до, возможно, особого многообразия Калаби – Яу.

Примеры

Самый важный фундаментальный факт состоит в том, что любое гладкое алгебраическое многообразие, вложенное в проективное пространство является кэлеровым многообразием, потому что существует естественная метрика Фубини – Штуди на проективном пространстве, которую можно ограничить до алгебраического многообразия. По определению, если ω - кэлерова метрика на алгебраическом многообразии X и каноническое расслоение K X тривиально, то X есть Калаби – Яу. Более того, существует единственная кэлерова метрика ω на X такая, что [ω 0 ] = [ω] ∈ H (X, R ), факт, который предположил Эухенио Калаби и доказано Шинг-Тунг Яу (см. гипотезу Калаби ).

В одном комплексном измерении единственными компактными примерами являются торы, которые образуют однопараметрическое семейство. Плоская метрика Риччи на торе на самом деле является плоской метрикой, так что голономия - это тривиальная группа SU (1). Одномерное многообразие Калаби – Яу - это комплексная эллиптическая кривая, в частности, алгебраическая.

. В двух комплексных измерениях поверхности K3 представляют собой единственную компактную простую связные многообразия Калаби – Яу. Неодносвязными примерами являются абелевы поверхности. Поверхности Энриквеса и гиперэллиптические поверхности имеют первый класс Черна, который исчезает как элемент действительной группы когомологий, но не как элемент целой группы когомологий, поэтому теорема Яу о существовании к ним по-прежнему применима метрика Риччи, но иногда они не считаются многообразиями Калаби – Яу. Абелевы поверхности иногда исключаются из классификации Калаби – Яу, поскольку их голономия (снова тривиальная группа) является собственной подгруппой группы SU (2), вместо того, чтобы быть изоморфной SU (2). Однако подмножество поверхности Энриквеса не полностью соответствует подгруппе SU (2) в теории струн.

В трех комплексных измерениях классификация возможных многообразий Калаби – Яу является открытой проблема, хотя Яу подозревает, что существует конечное число семей (хотя и намного большее, чем его оценка 20 лет назад). В свою очередь, Майлз Рид высказал предположение, что число топологических типов трехмерных многообразий Калаби – Яу бесконечно и что все они могут быть преобразованы непрерывно (посредством некоторых мягких сингуляризаций, таких как конифолды ) друг в друга - так же, как это могут делать римановы поверхности. Одним из примеров трехмерного многообразия Калаби – Яу является неособое квинтическое многообразие в CP, которое представляет собой алгебраическое многообразие, состоящее из всех нулей однородной квинтики. полином в однородных координатах CP . Другой пример - гладкая модель квинтики Барта – Ньето. Некоторые дискретные коэффициенты квинтики по различным действиям Z5также относятся к Калаби – Яу и получили много внимания в литературе. Один из них связан с исходной квинтикой посредством зеркальной симметрии.

. Для каждого положительного целого числа n устанавливается ноль в однородных координатах комплексного проективного пространства CP, неособого однородного многочлена степени n + 2 от n + 2 переменных является компактным n-многообразием Калаби – Яу. Случай n = 1 описывает эллиптическую кривую, а при n = 2 получается поверхность K3.

В более общем смысле, многообразия / орбифолды Калаби – Яу могут быть найдены как взвешенные полные пересечения в взвешенном проективном пространстве. Основным инструментом для поиска таких пространств является формула присоединения.

Все гиперкэлеровы многообразия являются многообразиями Калаби – Яу.

Приложения в теории суперструн

Многообразия Калаби – Яу важны в теории суперструн. По сути, многообразия Калаби – Яу - это формы, которые удовлетворяют требованиям пространства для шести «невидимых» пространственных измерений теории струн, которые могут быть меньше наших наблюдаемых в настоящее время длин, поскольку они еще не обнаружены. Популярная альтернатива, известная как большие дополнительные измерения, которая часто встречается в моделях мира бран, заключается в том, что Калаби-Яу является большим, но мы ограничены небольшим подмножеством, на котором он пересекает Д-брана. Дальнейшие расширения в более высокие измерения в настоящее время исследуются с дополнительными ответвлениями для общей теории относительности.

. В наиболее обычных моделях суперструн предполагается, что десять предполагаемых измерений в теории струн являются четырьмя из которых мы Знаю, несущее какое-то расслоение с размером волокна шесть. Компактификация на n-складках Калаби – Яу важна, потому что они не нарушают некоторую часть исходной суперсимметрии. Точнее, в отсутствие потоков, при компактификации на трехмерном пространстве Калаби – Яу (действительное измерение 6) одна четверть исходной суперсимметрии не нарушается, если голономия является полной SU (3).

В более общем смысле, беспотоковая компактификация на n-многообразии с голономией SU (n) оставляет 2 исходной суперсимметрии неразрушенными, что соответствует 2 суперзарядам в компактификации типа II супергравитация или 2 суперзаряда в компактификации типа I. Когда включаются потоки, условие суперсимметрии вместо этого подразумевает, что многообразие компактификации является a - понятие, введенное Хитчином (2003). Эти модели известны как компактификации потока.

F-теория компактификации на различных четырехмерных многообразиях Калаби – Яу предоставляют физикам метод поиска большого количества классических решений в так называемой строке Теория ландшафта.

С каждой дырой в пространстве Калаби – Яу связана группа низкоэнергетических моделей колебаний струн. Поскольку теория струн утверждает, что знакомые нам элементарные частицы соответствуют низкоэнергетическим колебаниям струны, наличие множества отверстий приводит к тому, что струны распадаются на несколько групп или семейств. Хотя следующее утверждение было упрощено, оно передает логику аргументации: если Калаби-Яу имеет три отверстия, то три семейства паттернов колебаний и, следовательно, три семейства частиц будут наблюдаться экспериментально.

По логике, поскольку струны колеблются во всех измерениях, форма свернутых струн будет влиять на их колебания и, следовательно, на свойства наблюдаемых элементарных частиц. Например, Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что массы частиц зависят от способа пересечения различных отверстий в Калаби-Яу. Другими словами, Строминджер и Виттен обнаружили, что положение дырок относительно друг друга и по отношению к веществу пространства Калаби-Яу определенным образом влияет на массы частиц. Это, конечно, верно для всех свойств частиц.

См. Также

Ссылки

Цитаты

^Яу и Надис ( 2010)
^Рейд, Майлз (1987). «Пространство модулей трехмерных многообразий с K = 0, тем не менее, может быть неприводимым». Mathematische Annalen. 278 : 329–334. doi : 10.1007 / bf01458074.
^"Форма свернувшихся размеров". Архивировано из оригинала 13 сентября 2006 г.

Библиография

Бессе, Артур Л. (1987), многообразия Эйнштейна, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3), 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15279-8, OCLC 13793300
Бини; Iacono (2016), Классы диффеоморфизма многообразий Калаби – Яу (PDF), Bibcode : 2016arXiv161204311B
Чан, Ят-Мин (2004), Desingularizations Calabi- Трехмерные многообразия Яу с конической особенностью, arXiv : math / 0410260
Calabi, Eugenio (1954), "Пространство кэлеровых метрик", Proc. Междунар. Congress Math. Амстердам, 2, стр. 206–207, заархивировано из оригинала 17.07.2011
Калаби, Эудженио (1957), «О кэлеровых многообразиях с исчезающим каноническим классом», в Фокс, Ральф Х. ; Спенсер, Дональд К. ; Такер, Альберт В. (ред.), Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца, Princeton Mathematical Series, 12, Princeton University Press, стр. 78–89, MR 0085583
Грин, Брайан (1997), String теория многообразий Калаби – Яу, поля, струны и двойственность (Boulder, CO, 1996), River Edge, NJ: World Sci. Publ., Pp. 543–726, arXiv : hep-th / 9702155v1, Bibcode : 1997hep.th.... 2155G, MR 1479700
Канделас, Филипп; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985), «Вакуумные конфигурации для суперструн», Nuclear Physics B, 258 : 46–74, Bibcode : 1985NuPhB.258... 46C, doi : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90602-9
Брутто, М.; Huybrechts, D.; Джойс, Доминик (2003), Многообразия Калаби-Яу и связанные с ними геометрии, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-19004-9, ISBN 978-3-540-44059-8, MR 1963559, OCLC 50695398
Хитчин, Найджел (2003), «Обобщенные многообразия Калаби – Яу», The Quarterly Journal of Mathematics, 54 (3): 281–308, arXiv : math.DG / 0209099, CiteSeerX 10.1.1.237.8935, doi : 10.1093 / qmath / hag025, MR 2013140
Hübsch, Tristan (1994), Многообразия Калаби – Яу: бестиарий для физиков, Сингапур, Нью-Йорк: World Scientific, ISBN 978-981-02-1927-7, OCLC 34989218, заархивировано из исходного 13 января 2010 г., извлечено в 2009 г. -02-04
Им, Ми Сеонг (2008) «Особенности-в-Калаби-Яу-variversity.pdf Особенности в многообразиях Калаби – Яу "
Джойс, Доминик (2000), Компактные многообразия со специальной голономией, Оксфордский университет rsity Press, ISBN 978-0-19-850601-0, OCLC 43864470
Тиан, Ган; Яу, Шинг-Тунг (1990), "Полные кэлеровы многообразия с нулевой кривизной Риччи, I", J. Amer. Математика. Soc., 3 (3): 579–609, doi : 10.2307 / 1990928, JSTOR 1990928
Тиан, банда; Яу, Шинг-Тунг (1991), "Полные кэлеровы многообразия с нулевой кривизной Риччи, II", Инвент. Math., 106 (1): 27–60, Bibcode : 1991InMat.106... 27T, doi : 10.1007 / BF01243902
Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I», Сообщения по чистой и прикладной математике, 31(3): 339–411, doi : 10.1002 / cpa.3160310304, MR 0480350
Яу, Шинг-Тунг (2009), «Обзор многообразий Калаби – Яу», Геометрия, анализ и алгебраическая геометрия: сорок лет Журналу Дифференциальной Геометрии, Обзоры в Дифференциальной Геометрии, 13, Сомервилль, Массачусетс: Int. Press, стр. 277–318, doi : 10.4310 / SDG.2008.v13.n1.a9, MR 2537089
Яу, Шинг-Тунг и Надис, Стив; Форма внутреннего пространства, Basic Books, 2010. ISBN 978-0-465-02023-2

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Разнообразие Калаби-Яу.

В Викицитатнике есть цитаты, относящиеся к: многообразию Калаби-Яу

Домашняя страница Калаби-Яу - это интерактивный справочник, который описывает множество примеров и классов Калаби-Яу многообразий, а также физических теорий, в которых они появляются.
Вращающееся пространство Калаби-Яу.
Пространство Калаби-Яу Эндрю Дж. Хэнсон с дополнительными вкладами Джеффа Брайанта, Вольфрам Демонстрационный проект.
Вайсштейн, Эрик У. «Пространство Калаби – Яу». MathWorld.
Яу, ST, многообразие Калаби – Яу, Scholarpedia (аналогично (Яу 2009))