5-элементный - 5-cell

Обычный 5-элементный. (пентахорон). (4-симплексный)
Диаграмма Шлегеля. (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
символ Шлефли	{3,3,3}
диаграмма Кокстера
Ячейки	5 {3, 3}
Грани	10 {3}
Ребра	10
Вершины	5
Вершинная фигура	. (тетраэдр )
многоугольник Петри	пятиугольник
группа Кокстера	A4, [3, 3,3]
Двойной	Самодвойственный
Свойства	выпуклый, изогональный, изотоксальный, изоэдрический
Унифицированный индекс	1

В геометрии, 5-элементный - это четырехмерный объект, ограниченный 5 тетраэдрические ячейки. Он также известен как C5, пентахорон, пентатоп, пентаэдроид или тетраэдрическая пирамида . Это 4-симплекс (многогранник Кокстера $\alpha \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{4\}\}$), простейший из возможных выпуклый правильный 4-многогранник (четырехмерный аналог Платонова тела ), и аналогичен тетраэдру в трех измерениях и треугольнику в два измерения. Пентахорон представляет собой четырехмерную пирамиду с четырехгранным основанием.

правильный 5-элементный ограничен 5 правильными тетраэдрами и является одним из шести правильных выпуклых 4-многогранников, представленных символ Шлефли {3,3,3}.

5 ячеек - это решение проблемы: сделайте 10 равносторонних треугольников одинакового размера, используя 10 спичек, где каждая сторона каждого треугольника представляет собой ровно одну спичку. Трехмерного решения не существует.

Выпуклая оболочка 5-ячеечного элемента и его двойника (при условии, что они конгруэнтны) - это дисфеноидальный 30-элементный, двойник усеченного по битам 5-ячеечного.

Содержание

• 1 Альтернативные названия
• 2 Геометрия
  • 2.1 Как конфигурация
  • 2.2 Конструкция
  • 2.3 Спираль Бордейка – Кокстера
  • 2.4 Выступы
• 3 Неправильные 5-элементные
• 4 Состав
• 5 Родственные многогранники и соты
• 6 Цитаты
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Альтернативные названия

• Пентахорон
• 4-simplex
• Пентатоп
• Пентаэдроид (Генри Паркер Мэннинг)
• Pen (Джонатан Бауэрс: для пентахорон)
• Гиперпирамида, четырехгранная пирамида

Геометрия

5-элементная самодвойственная, а его вершина фигура представляет собой тетраэдр. Его максимальное пересечение с трехмерным пространством - это треугольная призма . Его двугранный угол равен cos (1/4), или примерно 75,52 °.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 5-элементную матрицу. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 5-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрица этого самодвойственного симплекса идентична его повороту на 180 градусов.

$[5\; 4\; 6\; 4\; 2\; 10\; 3\; 3\; 3\; 3\; 10\; 2\; 4\; 6\; 4\; 5]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 5\; 4\; 6\; 4\; \backslash \backslash \; 2\; 10\; 3\; 3\; \backslash \backslash \; 3\; 3\; 10\; 2\; \backslash \backslash \; 4\; 6\; 4\; 5\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Конструкция

5-ячейка может быть построена из тетраэдра, добавив 5-ю вершину, такую ​​что она равноудалена от всех остальных вершин тетраэдра. (5-ячеечная система представляет собой четырехмерную пирамиду с основанием тетраэдром.)

Простейший набор координат: (2,0,0, 0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (φ, φ, φ, φ), с длиной ребра 2√2, где φ - золотое сечение ..

Декартовы координаты вершин правильной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны:

$(1\; 10,\; 1\; 6,\; 1\; 3,\; \pm \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{10\}\}\},\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\},\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{3\}\}\},\; \backslash \; \backslash \; pm\; 1\; \backslash \; right)\}$

$(1\; 10,\; 1\; 6,\; -\; 2\; 3,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{10\}\; \}\},\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\},\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{-2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\},\; \backslash \; 0\; \backslash \; right)\}$

$(1\; 10,\; -\; 3\; 2,\; 0,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{10\}\}\},\; \backslash \; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\},\; \backslash \; 0,\; \backslash \; 0\; \backslash \; right)\}$

$(-\; 2\; 2\; 5,\; 0,\; 0,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{5\}\}\},\; \backslash \; 0,\; \backslash \; 0,\; \backslash \; 0\; \backslash \; right)\}$

Другой набор координат с центром в начале координат в 4-м пространстве можно рассматривать как гиперпирамиду с правильным тетраэдрическим основанием в 3-пространстве, с h длина ребра 2√2:

$(1,\; 1,\; 1,\; -\; 1\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1,1,1,\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$(1,\; -\; 1,\; -\; 1,\; -\; 1\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1,\; -1,\; -1,\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

$(-\; 1,\; 1,\; -\; 1,\; -\; 1\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-1,1,\; -1,\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$(-\; 1,\; -\; 1,\; 1,\; -\; 1\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-1,\; -1,1,\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

$(0,\; 0,\; 0,\; 5\; -\; 1\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (0,0,0,\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Вершины 4-симплекса (с ребром √2) проще построить на гиперплоскости в 5-пространстве, как (различные) перестановки (0,0,0, 0,1) или (0,1,1,1,1); в этих положениях это фасетка соответственно 5-ортоплекса или выпрямленного пентеракта.

спирали Бордейка – Кокстера

A 5- Ячейка может быть сконструирована как спираль Бурдейка – Кокстера из пяти связанных тетраэдров, сложенных в 4-мерное кольцо. 10 треугольных граней можно увидеть в 2D-сети внутри треугольной мозаики , с 6 треугольниками вокруг каждой вершины, хотя складывание в 4-х мерное приводит к совпадению ребер. Пурпурные края представляют собой многоугольник Петри 5-ячейки.

Проекции

Плоскость Кокстера A 4 проецирует 5-ячейку в правильный пятиугольник и пентаграмму.

ортогональные проекции

Ak. Коксетера плоскость	A4	A3	A2
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

Трехмерные проекции
. Стереографическая проекция каркас (ребро проецируется на 3-сферу )	. Трехмерная проекция 5-ячеек, выполняющая простое вращение
. Проекция 5-ячеек в первую вершину в 3 измерениях имеет Конверт проекции тетраэдра. Ближайшая вершина 5-ячеек проецируется в центр тетраэдра, как показано здесь красным. Самая дальняя ячейка проецируется на саму тетраэдрическую оболочку, а другие 4 ячейки выступают на 4 сплющенных тетраэдра области, окружающие центральную вершину.	. Трехмерная проекция 5-ячеек впереди ребро имеет треугольную дипирамидальную огибающую. Ближайший край (показан здесь красным) проецируется на ось дипирамиды, с три окружающие его клетки, выступающие в 3 тетраэдрических объема, расположенных вокруг этой оси под углом 120 градусов друг к другу. Оставшиеся 2 клетки выступают на две половины дипирамиды и находятся на дальней стороне пентатопа.
. Трехмерная проекция 5-ячеек лицом вперед также имеет треугольную дипирамидальную оболочку. Ближайшее лицо показано здесь красным. Две ячейки, которые встречаются на этой грани, проецируются на две половины дипирамиды. Остальные три ячейки находятся на дальней стороне пентатопа с точки зрения 4D и для наглядности выбраны из изображения. Они расположены вокруг центральной оси дипирамиды, как и в проекции с ребром.	. Проекция 5-ячеек в 3 измерения "первая ячейка" имеет тетраэдрическую оболочку. Ближайшая ячейка проецируется на всю оболочку и, с точки зрения 4D, закрывает другие 4 ячейки; следовательно, они здесь не отображаются.

Неправильная 5-ячейка

Существует много форм с более низкой симметрией, в том числе те, которые встречаются в однородном многограннике фигуры вершин :

Симметрия	[3,3,3]. Заказ 120	[3,3,1]. Заказ 24	[3,2,1]. Порядок 12	[3,1, 1]. Порядок 6	[5,2]. Порядок 10
Имя	Обычная 5-ячеечная	Тетраэдрическая пирамида	Треугольно-пирамидальная пирамида		Пятиугольный гипердисфеноид
Шлефли	{3,3,3}	{3,3} ∨ ()	{3} ∨ {}
Пример. Вершина. рисунок	. 5-симплекс	. Усеченный 5-симплексный	. Бит-усеченный 5-симплексный	. Кантоусеченный 5-симплексный	. Усеченный 4-симплексный сотовый

тетраэдрическая пирамида является частным случаем 5-элементной, многогранной пирамиды, построенной в виде правильного тетраэдра с основанием. в 3-пространственной гиперплоскости и в точке вершины над гиперплоскостью. Четыре стороны пирамиды состоят из ячеек тетраэдра.

Многие однородные 5-многогранники имеют тетраэдральную пирамиду вершинные фигуры :

Симметрия [3,3,1], порядок 24

Шлегель. диаграмма
Имя. Коксетер	{} × {3,3,3}.	{} × {4,3,3}.	.	t {3,3,3, 3}.	t {4,3,3,3}.	t {3,4,3,3}.

Другие равномерные 5-многогранники имеют неправильные 5-клеточные фигуры вершин. Симметрия вершинной фигуры однородного многогранника представлена ​​удалением окольцованных узлов диаграммы Кокстера.

Симметрия	[3,2,1], порядок 12		[3,1,1], порядок 6		[2,4,1], порядок 8	[2,1,1], порядок 4
Шлегель. диаграмма
Имя. Кокстер	t12α5.	t12γ5.	t012 α5.	t012 γ5.	t123 α5.	t123 γ5.

Симметрия	[2,1,1], порядок 2			[2,1,1], порядок 2	[], порядок 1
Шлегель. диаграмма
Имя. Коксетер	t0123 α5.	t0123 γ5.	t0123 β5.	t01234 α5.	t01234 γ5.

Соединение

соединение двух 5-ячеек в двойных конфигурациях можно увидеть в этой проекции A5 плоскости Кокстера с красными и синими 5-ячеечными вершинами и краями. Это соединение имеет симметрию [[3,3,3]] порядка 240. Пересечение этих двух 5-ячеек представляет собой однородную усеченную по битам 5-ячейку. = ∩ .

. Это соединение можно рассматривать как 4D аналог 2D гексаграмма {⁄ 2 } и трехмерное соединение двух тетраэдров.

Родственные многогранники и соты

Пентахорон (5-элементный) - это простейшая из 9 однородных полихор, построенных из [3,3,3] группы Кокстера.

Schläfli	{3,3,3}	t {3,3,3 }	r {3,3,3}	rr {3,3,3}	2t {3,3,3}	tr {3,3,3}	t0, 3 {3,3,3}	t0,1,3 {3,3,3}	t0,1,2,3 {3,3,3}
Кокстер
Шлегель

1k2цифры в n измерениях
Пространство	Конечное						Евклидово	Гиперболическая
n	3	4	5	6	7	8	9	10
группа Кокстера.	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9= $E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8	E10= $T\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{T\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8
диаграмма Кокстера.
Симметрия. (порядок)	[3]	[3]	[3]	[[3]]	[3]	[3 ]	[3]	[3]
Заказ	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	1−1,2	102	112	122	132	142	152	162

2k1цифры в n измерениях
Пробел	Конечное						Евклидова	Гиперболическая
n	3	4	5	6	7	8	9	10
группа Кокстера.	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9= $E\; ~\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{E\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8	E10= $T\; ¯\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{T\}\}\; \_\; \{8\}\}$= E 8
Диаграмма Кокстера.
Симметрия	[3]	[3]	[[3]]	[3]	[3]	[3]	[ 3]	[3]
Заказ	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
График							-	-
Имя	2-1,1	201	211	221	231	241	251	261

Он находится в последовательности правильной полихоры : тессеракт {4,3, 3}, 120-ячейка {5,3,3} евклидова 4-мерного пространства и гексагональная мозаичная сотовая структура {6,3,3} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдр фигуру вершины.

{p, 3,3} многогранники
Пространство		S			H
Форма		Конечная			Паракомпакт	Некомпактный
Имя		{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3 }	{7,3,3}	{8,3,3}	... {∞, 3,3}
Изображение
Ячейки. {p, 3}		. {3,3}	. {4,3}	. {5,3}	. {6,3}	. {7,3}	. {8,3 }	. {∞, 3}

Это один из трех правильных 4-многогранников с тетраэдрическими ячейками, а также 16-элементный {3,3,5}, 600 ячеек {3,3,5}. Тетраэдрические соты порядка 6 {3,3,6} гиперболического пространства также имеют тетраэдрические ячейки.

{3,3, p} многогранники
Пространство	S			H
Форма	Конечное			Паракомпактное	Некомпактное
Имя	{3, 3,3}.	{3,3,4}. .	{3,3,5}.	{3,3,6}. .	{3,3,7}.	{3, 3,8}. .	... {3,3, ∞}. .
Изображение
Vertex. рисунок	. {3,3}.	. {3,4}. .	. {3,5}.	. {3,6}. .	. {3,7}.	. {3,8}. .	. {3, ∞}. .

{3, p, 3} многогранники
Пробел	S		H
Форма	Конечная		Компактная	Паракомпактная	Некомпактная
{3, p, 3}	{3, 3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3, 8,3}	... {3, ∞, 3}
Изображение
Ячейки	. {3,3}	. {3,4}	. {3, 5}	. {3,6}	. {3,7}	. {3,8}	. {3, ∞}
Vertex. рисунок	. {3,3 }	. {4,3}	. {5,3}	. {6,3}	. {7,3}	. {8,3}	. {∞, 3}

{p, 3, p} обычные соты
Пространство	S	Евклидова E	H
Форма	Конечная	Аффинная	Компактная	Paracompact	Noncompact
Имя	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3, 6}	{7,3,7}	{8,3,8}	... {∞, 3, ∞}
Изображение
Ячейки	. {3,3}	. {4,3}	. {5,3}	. {6,3}	. {7,3}	. {8, 3}	. {∞, 3}
Vertex. рисунок	. {3,3}	. {3,4}	. {3,5}	. {3,6}	. {3,7}	. {3,8}	. {3, ∞}

Цитаты

Ссылки

• T. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений, Вестник математики, Macmillan, 1900
• H.S.M. Coxeter :
  • Coxeter, H.S.M. (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
    • стр. 120, §7.2. См. Иллюстрацию Рис. 7.2 A
    • стр. 296, Таблица I (iii): Регулярные многогранники, три правильные многогранники в n-мерном пространстве (n≥5)
  • Кокстер, HSM (1991), Регулярные комплексные многогранники (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайсс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
    • (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [ Math. Zeit.200 (1988) 3-45]
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. pp. 409: Hemicubes: 1 n1)
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, доктор философии. (1966)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Пентатоп». MathWorld.
• Ольшевский, Георгий. "Пентахорон". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинального 4 февраля 2007 года. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
  • 1. Выпуклая однородная полихора на основе пентахороны - Модель 1, Джордж Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x3o3o3o - pen».
• Der 5-Zeller (5-cell) Регулярные многогранники Марко Мёллера in R (немецкий)
• Джонатан Бауэрс, Правильная полихора
• Java3D-апплеты
• пирохорон