Правильный додекаэдр

Правильный додекаэдр
. (Щелкните здесь для вращения модели)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	F = 12, E = 30. V = 20 (χ = 2)
Грани по сторонам	12 {5}
Обозначение Конвея	D
символы Шлефли	{5, 3}
Конфигурация лица	V3.3.3.3.3
Символ Wythoff	3 | 2 5
Диаграмма Кокстера
Симметрия	Ih, H 3, [5,3], (* 532)
Группа вращения	I, [5,3], ( 532)
Ссылки	U 23, C 26, W 5
Свойства	обычный, выпуклый
Двугранный угол	116,56505 ° = arccos (- ⁄ √5)
. 5.5.5. (Вершинная фигура )	. Правильный икосаэдр. (двойной многогранник )
. Сеть

Анимация складывающейся сети правильного (пятиугольного) додекаэдра 3D-модель правильного додекаэдра

A Правильный додекаэдр или пятиугольный додекаэдр - это додекаэдр, который является правильным, который состоит из 12 правильных пятиугольных граней, трех встречаются в каждой вершине . Это одно из пяти Платоновых тел. У него 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагоналей граней, 100 диагонали пространства ). Он представлен символом Шлефли {5,3}.

• 1 Размеры
• 2 Площадь и объем
• 3 Двумерные проекции симметрии
• 4 Сферические t iling
• 5 Декартовы координаты
  • 5.1 Уравнения, определяющие грань
• 6 Свойства
• 7 Геометрические отношения
  • 7.1 Связь с правильным икосаэдром
  • 7.2 Связь с вложенным кубом
  • 7.3 Связь с золотой прямоугольник
  • 7.4 Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром
• 8 История и использование
  • 8.1 В природе
  • 8.2 Форма вселенной
• 9 Заполнение пространства кубом и двунабиротондами
• 10 Связанные многогранники и мозаики
• 11 Расположение вершин
• 12 Звездчатость
• 13 Додекаэдрический граф
• 14 См. Также
• 15 Ссылки
• 16 Внешние ссылки

Если длина ребра правильного додекаэдра равна «$a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$», радиус описанной сферы (той, которая касается правильной додекаэдр во всех вершинах) равно

$ru\; =\; a\; 3\; 4\; (1\; +\; 5)\; \approx \; 1,401\; 258\; 538\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{u\}\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; 1.401\; \backslash ,\; 258\; \backslash ,\; 538\; \backslash \; cdot\; a\}$OEIS : A179296

an d радиус вписанной сферы (касательная к каждой из граней правильного додекаэдра) равен

$ri\; =\; a\; 1\; 2\; 5\; 2\; +\; 11\; 10\; 5\; \approx \; 1,113\; 516\; 364\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{i\; \}\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{11\}\; \{10\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1,113\; \backslash ,\; 516\; \backslash ,\; 364\; \backslash \; cdot\; a\}$

, а средний радиус, который касается середины каждого края, равен

$rm\; =\; a\; 1\; 4\; (3\; +\; 5)\; \approx \; 1,309\; 016\; 994\; \cdot \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{\; m\}\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (3\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; 1,309\; \backslash ,\; 016\; \backslash ,\; 994\; \backslash \; cdot\; a\}$

Эти величины также могут быть выражается как

$ru\; =\; a\; 3\; 2\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{u\}\; =\; a\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; phi\}$

$ri\; =\; a\; \varphi \; 2\; 2\; 3\; -\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{i\}\; =\; a\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{3-\; \backslash \; phi\}\}\}\}\}$

$rm\; =\; a\; \varphi \; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{m\}\; =\; a\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}$

где ϕ - золотое сечение.

Обратите внимание, что для правильного додекаэдра с длиной ребра один, r u - радиус описывающей сферы вокруг куба с длиной ребра ϕ, а r i - апофема ar правильный пятиугольник с длиной ребра ϕ.

Площадь поверхности A и объем V правильного додекаэдра с длиной ребра a равны:

$A\; Знак\; равно\; 3\; 25\; +\; 10\; 5\; a\; 2\; \approx \; 20,645\; 728\; 807\; a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 3\; \{\backslash \; sqrt\; \{25\; +\; 10\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}\}\; a\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; 20,645\; \backslash ,\; 728\; \backslash ,\; 807a\; ^\; \{2\}\}\}$

$V\; =\; 1\; 4\; (15\; +\; 7\; 5)\; a\; 3\; \approx \; 7,663\; 118\; 9606\; a\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; (15\; +\; 7\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{5\}\})\; a\; ^\; \{3\}\; \backslash \; приблизительно\; 7.663\; \backslash ,\; 118\; \backslash ,\; 9606a\; ^\; \{3\}\}$

Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с золотым сечением. Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу имеет следующие свойства:

$A\; =\; 15\; \phi \; 3\; -\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{15\; \backslash \; varphi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3-\; \backslash \; varphi\}\}\}\; \}\}$

$V\; =\; 5\; \phi \; 3\; 6\; -\; 2\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\; \backslash \; varphi\; ^\; \{3\}\}\; \{6-2\; \backslash \; varphi\}\}\}\}$

Правильный додекаэдр имеет две специальные ортогональные проекции с центром на вершинах и пятиугольные грани, соответствующие A 2 и H 2Плоскости Кокстера.

Ортогональные проекции

Центрированы по	Вершина	Край	Грань
Изображение
Проективная. симметрия	[[3]] = [6]	[2]	[[5]] = [10]

В перспективной проекции, Если смотреть на вершину пятиугольной грани, правильный додекаэдр можно рассматривать как линейную диаграмму Шлегеля или стереографическую проекцию как сферический многогранник. Эти проекции также используются для отображения четырехмерного 120-элементного, правильного 4-мерного многогранника, построенного из 120 додекаэдров, проецируя его вниз до 3-х измерений.

Проекция	Ортогональная проекция	Перспективная проекция
		Диаграмма Шлегеля	Стереографическая проекция
Правильный додекаэдр
Додекаплекс. (120-ячеечная )

Правильный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Координаты вершин:
	Оранжевые вершины лежат в точках (± 1, ± 1, ± 1) и образуют куб (пунктирные линии).
	Зеленые вершины лежат в точках (0, ± ϕ, ± 1 / ϕ) и образуют прямоугольник на плоскости yz.
	Синие вершины лежат в точках (± 1 / ϕ, 0, ± ϕ) и образуют прямоугольник на плоскости xz.
	Розовые вершины лежат в точках (± ϕ, ± 1 / ϕ, 0) и образуют прямоугольник на плоскости xy.
расстояние между соседними вершинами равно 2 / ϕ, а расстояние от начала координат в любую вершину √3.. ϕ = 1 + √5 / 2 - золотое сечение.

Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией:

(± 1, ± 1, ± 1)

(0, ± ϕ, ± 1 / ϕ)

(± 1 / ϕ, 0, ± ϕ)

(± ϕ, ± 1 / ϕ, 0)

где ϕ = 1 + √5 / 2 - это золотое сечение (также пишется τ) ≈ 1,618. Длина ребра равна 2 / ϕ = √5 - 1. Радиус описанной окружности равен √3.

Уравнения, определяющие грань

Подобно симметрии координат вершины, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также демонстрируют симметрию в своих коэффициентах:

x ± ϕy = ± ϕ

y ± ϕz = ± ϕ

z ± ϕx = ± ϕ

• двугранный угол правильного додекаэдра равен 2 arctan (ϕ) или приблизительно 116,565 ° (где снова ϕ = 1 + √5 / 2, золотое сечение ). OEIS : A137218 Обратите внимание, что тангенс двугранного угла равен -2.
• Если исходный правильный додекаэдр имеет длину ребра 1, его двойной икосаэдр имеет длину ребра ϕ.
• Если пять Платоновых тел имеют одинаковый объем, у правильного додекаэдра самые короткие ребра.
• Он имеет 43 380 цепей.
• число раскраски карты граней правильного додекаэдра равно 4.
• Расстояние между вершинами одной и той же грани, не соединенными ребром, равно ϕ, умноженному на длину ребра.
• Если два ребра имеют общую общей вершине, то середины этих ребер образуют треугольник 36-72-72 с центром тела.

Правильный додекаэдр является третьим в бесконечном наборе усеченных трапецоэдров, который может быть построен путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапеции .

Звёздчатые формы правильного додекаэдра составляют три из четырех многогранников Кеплера – Пуансо.

A выпрямленный правильный додекаэдр образует икосододекаэдр.

Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию Ih, группу Кокстера [5,3], порядок 120, с абстрактной групповой структурой A5 × Z2.

Отношение к правильному икосаэдру

Когда правильный додекаэдр вписан в сферу , он занимает больше объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55). %).

Правильный додекаэдр с длиной ребра 1 имеет более чем в три с половиной раза объем икосаэдра с такой же длиной ребер (7,663... по сравнению с 2,181...), что составляет примерно 3,51246117975, или в точных терминах: 3/5 (3ϕ + 1) или (1.8ϕ + 0.6).

У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. У обоих по 30 ребер.

Связь с вложенным кубом

Куб может быть встроен в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми из его равноотстоящих вершин в пяти различных положениях. Фактически, пять кубов могут перекрываться и сцепляться внутри правильного додекаэдра, что приводит к соединению пяти кубов.

Отношение края правильного додекаэдра к краю куба, заключенного внутри такого правильного додекаэдра, равно 1 : ϕ, или (ϕ - 1): 1.

Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, заключенного внутри такого правильного додекаэдра, равно 1: 2/2 + ϕ, или 1 + ϕ / 2: 1 или (5 + √5): 4.

Например, вложенный куб с объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64+. 32ϕ (и длина кромки 4ϕ - 4).

Таким образом, разница в объеме между окружающим правильным додекаэдром и замкнутым кубом всегда равна половине объема куба, умноженного на ϕ.

Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a в терминах золотой середины:

V = (aϕ) · 1/4 (5 + √5)

V = 1/4 (14ϕ + 8) a

Отношение к золотому прямоугольнику

Золотые прямоугольники отношения (ϕ + 1): 1 и ϕ: 1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр. Пропорционально этому золотому прямоугольнику край замкнутого куба равен ϕ, когда длинная длина прямоугольника равна ϕ + 1 (или ϕ), а короткая длина равна 1 (ребро, общее с правильным додекаэдром).

Кроме того, центр каждой грани правильного додекаэдра образует три пересекающихся золотых прямоугольника.

Отношение к 6-кубу и ромбическому триаконтаэдру

Проекция 6-полукуба в правильный додекаэдр конверт

Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-полукуба с использованием тех же базисных векторов, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6- куб. Показанные здесь 12 внутренних вершин, которые не соединены внешними ребрами корпуса с 6D нормальной длиной √2, образуют правильный икосаэдр.

. Используемые базисные векторы трехмерной проекции [u, v, w]:

u = (1, φ, 0, -1, φ, 0)

v = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)

w = (0, 1, φ, 0, -1, φ)

Римский додекаэдр Всенаправленный источник звука

Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли свою роль в визуальном восприятии. искусства и философии.

Ямвлих заявляет, что Гиппас, пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что впервые раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». В Теэтете, диалоге Платона, Платон смог доказать, что существует только пять однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновы тела. Тимей (ок. 360 г. до н.э.), как персонаж диалога Платона, связывает другие четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами, добавляя, что существует пятый твердый образец, который, хотя обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, но никогда прямо не упоминается как таковой; «этот Бог использовал в очерчивании вселенной». Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr (эфир на латыни, эфир на американском английском)).

Обычные додекаэдры использовались как игральные кости и, вероятно, также как гадательные приспособления. В течение эллинистической эры были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры, которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.

В искусстве ХХ века додекаэдры появляются в творчестве М. К. Эшер, например его литографии Рептилии (1943) и Гравитация (1952). На картине Сальвадора Дали Таинство Тайной вечери (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Джерард Карис основал все свое творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое направление в искусстве, получившее название пентагонизма.

Стена для лазания, состоящая из трех додекаэдрических частей

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется как двенадцатигранный кубик, один из наиболее распространенных многогранных кубиков.

Immersive Media, компания-производитель камер, создала камеру Dodeca 2360, первую в мире камеру с полным движением 360 °, которая снимает видео высокого разрешения со всех сторон одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. Он основан на правильном додекаэдре.

Извилистая головоломка Megaminx, наряду со своими аналогами большего и меньшего порядка, имеет форму правильного додекаэдра.

В детском романе Призрачная будка правильный додекаэдр появляется как персонаж в стране математики. У каждого из его лиц разное выражение - например, счастливый, сердитый, грустный - который он поворачивает вперед, чтобы соответствовать своему настроению.

В природе

Ископаемое кокколитофора Ho-Mg-Zn квазикристалл

Ископаемое кокколитофора Braarudosphaera bigelowii (см. рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль, имеет раковину из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой около 10 микрометров в поперечнике.

Некоторые квазикристаллы имеют додекаэдрическую форму (см. Рисунок). Некоторые регулярные кристаллы, такие как гранат и алмаз, также имеют «додекаэдрический» вид, но это утверждение фактически относится к ромбическому додекаэдру форма.

Форма вселенной

Были предложены различные модели для глобальной геометрии вселенной. В дополнение к этим предложениям, эти предложения включают додекаэдрическое пространство Пуанкаре, пространство с положительной кривизной, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого совпадают (с небольшим поворотом). Это было предложено Жан-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году, а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году.

В Бертран Рассел ' В рассказе 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» цифра 5 гласила: «Я - количество пальцев на руке. Я делаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдров не могло бы существовать; и, поскольку всем известно, что вселенная - это додекаэдр. Итак, но для меня не могло быть никакой вселенной ».

Обычные додекаэдры заполняют пространство кубами и двунабиротондами (Johnson solid 91), в соотношении 1: 1: 3. Только додекаэдры образуют решетку из граней пиритоэдров. Двунабиротонды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб встречается с шестью билунабиротондами в трех ориентациях.

. Блочная модель

. Решетка из додекаэдров

. 6 билунабиротунд вокруг куба

Правильный додекаэдр топологически связан с серией мозаик фигурой вершины п.

* ​​n32 изменение симметрии правильных мозаик: {n, 3} [ v ]
Сферическое				Евклидово	Компактная гиперболика.		Парако.	Некомпактный гиперболический
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Обычный додекаэдр может быть преобразован с помощью усечения последовательности в его двойственный, икосаэдр:

Семейство однородные икосаэдрические многогранники
Симметрия : [5,3], (* 532)							[5,3], (532)
{5,3}	t {5,3}	r {5,3}	t {3,5}	{3,5}	rr {5,3}	tr {5, 3}	sr {5,3}
Двойник к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3. 3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3]. (432)	[1,4,3] = [3,3]. (* 332)		[3, 4]. (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3}. r {3}	t{3,4}. t {3}	{3,4}. {3}	rr {4,3}. s2{3, 4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3}. {3,3}	div class="ht"{4, 3}. t {3,3}	s{3,4}. s {3}
		. =	. =	. =				=. или	=. или	=.
		.	.	.	.					.
Двойники к однородным многогранникам
V4	V3.8	V (3.4)	V4.6	V3	V3.4	V4.6.8	V3.4	V3	V3.6	V3

Правильный додекаэдр - это член последовательности, в остальном неоднородных многогранников и мозаик, состоящей из пятиугольников с конфигурацией граней (V3.3.3.3.n). (Для n>6 последовательность состоит из мозаик гиперболической плоскости.) Эти гранно-транзитивные фигуры имеют (n32) вращательную симметрию.

n32 мутаций симметрии плоскостных мозаик: 3.3.3.3.n v
Симметрия. n32	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Snub. цифры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскоп. цифры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3. 3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Правильный додекаэдр разделяет его расположение вершин с четырьмя невыпуклыми однородными многогранниками и три однородных многогранных соединения.

Пять кубов вписываются внутрь, их края являются диагоналями граней правильного додекаэдра, и вместе они составляют правильное многогранное соединение пять кубиков. Поскольку два тетраэдра могут поместиться на чередующихся вершинах куба, пять и десять тетраэдров также могут поместиться в правильный додекаэдр.

. Большой звездчатый додекаэдр	. Малый дитригональный икосододекаэдр	. Дитригональный додекадодекаэдр	. Большой дитригональный икосододекаэдр
. Соединение пяти кубов	. Соединение пяти тетраэдров	. Соединение десяти тетраэдров <9202>> Три звёздчатой ​​формы правильного додекаэдра - все правильные (невыпуклые ) многогранники: (Многогранники Кеплера – Пуансо ) 0 1 2 3 Звездчатость . Правильный додекаэдр . Малый звездчатый додекаэдр . Большой додекаэдр . Большой звездчатый додекаэдр Фасеточная диаграмма Додекаэдр Правильный додекаэдр A Гамильтонов цикл в додекаэдре. Вершины 20 Ребра 30 Радиус 5 Диаметр 5 Обхват 5 Автоморфизмы 120 (A5 × Z2) Хроматическое число 3 Свойства Гамильтониан, правильный, симметричный, дистанционно-регулярный, дистанционно-транзитивный, 3-вершинно-связанный, планарный граф Таблица графиков и параметров Скелет додекаэдра (вершины и ребра) образуют граф. Это один из 5 платоновых графов, каждый из которых является скелетом своего платонового тела. Этот граф также может быть построен как обобщенный граф Петерсена G (10,2). Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который является дистанционно-транзитивным, дистанционно-регулярным и симметричным. Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины могут быть окрашены в 3 цвета, как и ребра, а диаметр равен 5. Додекаэдрический граф - это гамильтониан - есть цикл, содержащий все вершины. Действительно, это название происходит от математической игры, изобретенной в 1857 году Уильямом Роуэном Гамильтоном, икозианской игры. Целью игры было найти гамильтонов цикл по краям додекаэдра. Ортогональная проекция См. Также 120-элементный, правильный полихорон (четырехмерный многогранник, поверхность которого состоит из 120 додекаэдрических ячеек) Додекаэдран (молекула) Додекаэдр Пентакиса Плоский додекаэдр Усеченный додекаэдр Ссылки Внешние ссылки На Викискладе есть материалы, связанные с Додекаэдром. Weisstein, Eric W. "Правильный додекаэдр". MathWorld. Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые однородные многогранники o3o5x - doe". Редактируемая печатная сетка додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением Однородные многогранники Многогранники оригами - Модели, созданные с помощью модульного оригами Додекаэдр - трехмерная модель, которая работает в вашем браузере Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников VRML # Правильный додекаэдр KJM Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полурегулярных многогранников Трехмерная визуализация додекаэдра Стелла: Навигатор по многогранникам : Программное обеспечение, используемое для создания некоторых изображений на этой странице. Как сделать сделать додекаэдр из куба из пенополистирола Греческие, индийские и китайские элементы - теория семи элементов v t Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники в измерениях 2–10 An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / F4 / G2 Hn Треугольник Квадрат p-угольник Шестиугольник Пентагон Тетраэдр Октаэдр • Куб Демикуб Додекаэдр • Икосаэдр 5-элементный 16-элементный • Тессеракт Демитессеракт 24-элементный 120-элементный • 600 ячеек 5-симплекс 5-ортоплекс • 5-куб 5-полукуб 6-симплекс 6-ортоплекс • 6-куб 6-полукуб 122 • 221 7-симплекс 7-ортоплекс • 7-куб 7-полукуб 132 • 231 • 321 8-симплекс 8- ортоплекс • 8-кубик 8-полукуб 142 • 241 • 421 9-симплекс 9-орт хоплекс • 9-куб 9-полукуб 10-симплекс 10-ортоплекс • 10-куб 10-полукуб n-симплекс n-ортоплекс • n- куб n-полукуб 1k2 • 2k1 • k21 n-пятиугольный многогранник Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильные многогранники и составные части Последняя правка сделана 2021-06-03 11:57:19 Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное). Обратная связь: support@alphapedia.ru Соглашение О проекте