Пятиугольный многогранник

В геометрии пятиугольный многогранник является правильным многогранником в n измерениях, составленных из Hnгруппы Кокстера. Семья была названа Х. С. М. Кокстер, потому что двумерный пятиугольный многогранник - это пятиугольник. Он может быть назван по символу Шлефли как {5, 3} (додекаэдр) или {3, 5} (икосаэдр).

• 1 Члены семьи
  • 1.1 Додекаэдр
  • 1.2 Икосаэдр
• 2 Связанные звездные многогранники и соты
• 3 Примечания
• 4 Ссылки

Семейство начинается как 1-многогранник и заканчивается n = 5 как бесконечные мозаики 4-мерного гиперболического пространства.

Есть два типа пятиугольных многогранников; их можно назвать додекаэдрическими и икосаэдрическими типами по их трехмерным элементам. Эти два типа двойственны друг другу.

Додекаэдр

Полное семейство додекаэдрических пятиугольных многогранников:

1. Отрезок, {}
2. Пентагон, {5}
3. Додекаэдр, {5, 3} (12 пятиугольных граней)
4. 120-ячеек, {5, 3, 3} (120 додекаэдрических ячеек)
5. Порядок -3 120-элементные соты, {5, 3, 3, 3} (мозаичные гиперболические 4-пространства (∞ 120-элементные фасеты)

Фасеты каждого додекаэдрического пятиугольного многогранника являются додекаэдрические пятиугольные многогранники на одно измерение меньше. Их вершинные фигуры - симплексы на одно измерение меньше.

Додекаэдрические пятиугольные многогранники

n	группа Кокстера	многоугольник Петри. проекция	Имя. Диаграмма Кокстера. Символ Шлефли	Фасеты	Элементы
					Вершины	Ребра	Грани	Ячейки	4-грани
1	$H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\}$. []. (порядок 2)		отрезок линии. . {}	2 вершин	2
2	$H\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2\}\}$. [5]. (порядок 10)		Пентагон. . {5}	5 ребра	5	5
3	$H\; 3\; \{\backslash \; display\; стиль\; H\_\; \{3\}\}$. [5,3]. (порядок 120)		Додекаэдр. . {5, 3}	12 пятиугольник.	20	30	12
4	$H\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{4\}\}$. [5,3,3]. (заказ 14400)		120-элементный. . {5, 3, 3}	120 додекаэдры.	600	1200	720	120
5	$H\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{H\}\}\; \_\; \{4\}\}$. [5,3,3,3 ]. (порядок ∞)		120-ячеечные соты. . {5, 3, 3, 3}	∞ 120-ячеек.	∞	∞	∞	∞	∞

Икосаэдр

Полное семейство икосаэдрических пятиугольных многогранников:

1. Отрезок, {}
2. Пентагон, {5}
3. Икосаэдр, {3, 5} (20 треугольных граней)
4. 600-ячейка, {3, 3, 5} (600 тетраэдр ячеек)
5. 5-ячеечные соты порядка 5, {3, 3, 3, 5} (мозаичные гиперболические 4-пространства (∞ 5-ячеечные фасеты)

Грани каждого икосаэдрического пятиугольного многогранника - это симплексы одного измерения меньше. Их вершинные фигуры представляют собой икосаэдрические пятиугольные многогранники на одно измерение меньше.

Икосаэдрические пятиугольные многогранники

n	Группа Кокстера	Многоугольник Петри. проекция	Имя. диаграмма Кокстера. символ Шлефли	Грани	Элементы
					Вершины	Ребра	Грани	Ячейки	4-грани
1	$H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{1\}\}$. []. (порядок 2)		Отрезок линии. . {}	2 вершины	2
2	$H\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2\}\}$. [5]. (порядок 10)		Пентагон. . {5}	5 Ребра	5	5
3	$H\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\}$. [5,3]. (порядок 120)		Икосаэдр. . {3, 5}	20 равносторонние треугольники.	12	30	20
4	$H\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{4\}\}$. [5,3,3]. (порядок 14400)		600-ячейка. . {3, 3, 5}	600 тетраэдры.	120	720	1200	600
5	$H\; ¯\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{H\}\}\; \_\; \{4\}\}$. [5,3,3,3 беспокоить. (порядок ∞)		5-ячеечные соты порядка 5. . {3, 3, 5}	∞ 5-ячеечные.	∞	∞	∞	∞	∞

Пятиугольные многогранники могут быть звездчатыми сформировать новую звезду регулярную p olytopes :

• В трех измерениях это формирует четыре многогранника Кеплера – Пуансо, {3,5 / 2 }, {5 / 2,3 }, {5,5 / 2 } и {5 / 2,5 }.
• В четырех измерениях это образует десять полихор Шлефли – Гесса : {3,5,5 / 2 }, {5 / 2,5,3 }, {5,5 / 2,5 }, {5, 3,5 / 2 }, {5 / 2,3,5 }, {5 / 2,5,5 / 2 }, {5, 5 / 2,3 }, {3,5 / 2,5 }, {3,3,5 / 2 } и {5 / 2,3,3 }.
• В четырехмерном гиперболическом пространстве есть четыре правильных звезды-соты : {5 / 2,5,3,3}, { 3,3,5,5 / 2}, {3,5,5 / 2,5} и {5,5 / 2,5,3}.

Как и другие многогранники, их можно комбинировать со своими двойниками для образования соединений;

• В двух измерениях образуется декаграмматическая звездная фигура {10/2},
• В трех измерениях мы получаем соединение додекаэдра и икосаэдра,
• . четыре измерения, мы получаем.

• Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони С. Томпсона, Асии Ивика Вайсс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Бумага 10) HSM Кокстер, Звездные многогранники и функция Шлафли f (α, β, γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Кокстер, Правильные многогранники, 3-й. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Таблица I (ii): 16 правильных многогранников {p, q, r} в четырех измерениях, стр. 292–293)