Ортогональная проекция

редактировать

Ортогональная проекция (иногда называемая ортогональная проекция, раньше называлась аналеммой ) является средством представления трехмерных объектов в двух измерениях. Это форма параллельной проекции, в которой все линии проекции ортогональны плоскости проекции, в результате чего каждая плоскость сцены появляется в аффинное преобразование на поверхности просмотра. Лицевая сторона ортогональной проекции - это наклонная проекция , которая представляет собой параллельную проекцию, в которой линии проекции не ортогональны плоскости проекции.

Термин «ортогональный» иногда используется специально для изображений объектов, где главные оси или плоскости объекта также параллельны плоскости проекции, но они более известны как многовидовые проекции. Кроме того, когда главные плоскости или оси объекта в ортогональной проекции не параллельны плоскости проекции, а скорее наклонены, чтобы обнажить несколько сторон объекта, проекция называется аксонометрической проекцией. Подтипы многовидовой проекции включают планы, фасады и разрезы. Подтипы аксонометрической проекции включают изометрическую, диметрическую и триметрическую проекции.

Линза, обеспечивающая ортогональную проекцию, известна как телецентрическая линза в объектном пространстве.

Содержание

  • 1 Геометрия
  • 2 Подтипы
  • 3 Картография
  • 4 Примечания
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Геометрия

Сравнение нескольких типов графической проекции Различные проекции и способы их создания

Простая орфографическая проекция на плоскость z = 0 можно определить следующей матрицей:

P = [1 0 0 0 1 0 0 0 0] {\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \ \ 0 1 0 \\ 0 0 0 \\\ end {bmatrix}}}P = \ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 0 \\ \ end {bmatrix}

Для каждой точки v = (v x, v y, v z) преобразованная точка Pv будет иметь вид

P v = [1 0 0 0 1 0 0 0 0] [vxvyvz] = [vxvy 0] {\ displaystyle Pv = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ v_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ 0 \ end {bmatrix}}}Pv = \ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 0 \\ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \ end {bmatrix}

Часто бывает более полезно использовать однородные координаты. Вышеупомянутое преобразование может быть представлено для однородных координат как

P = [1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1] {\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}}}P = \ begin {bmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}

Для каждого однородного вектора v = (v x, v y, v z, 1) преобразованный вектор Pv будет иметь вид

P v = [1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1] [vxvyvz 1] = [vxvy 0 1] {\ displaystyle Pv = {\ begin { bmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ v_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}Pv = \ begin {bmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}

В компьютерной графике одна из наиболее распространенных матриц, используемых для Ортогональная проекция может быть определена кортежем, (слева, справа, снизу, сверху, рядом, дальше), который определяет плоскости отсечения. Эти плоскости образуют коробку с минимальным углом в (левый, нижний, -ближе) и максимальным углом в (справа, вверху, -далее).

Коробка перемещается так, чтобы ее центр находился в начале координат, затем он масштабируется до единичного куба, который определяется наличием минимального угла в (−1, −1, −1) и максимального угла в (1,1,1).

Орфографическое преобразование может быть задано следующей матрицей:

P = [2 справа - слева 0 0 - справа + слева направо - слева 0 2 сверху - снизу 0 - сверху + снизу сверху - снизу 0 0 - 2 далеко - близко - далеко + ближний - близко 0 0 0 1] {\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {right-left}} 0 0 - {\ frac {right + left} {right -left}} \\ 0 {\ frac {2} {top-bottom}} 0 - {\ frac {top + bottom} {top-bottom}} \\ 0 0 {\ frac {-2} {далеко-близко} } - {\ frac {far + near} {far-near}} \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}}}P = \ begin {bmatrix} \ frac {2} {right-left} 0 0 - \ frac {right + left} {right-left} \\ 0 \ frac {2} {top- bottom} 0 - \ frac {top + bottom} {top-bottom} \\ 0 0 \ frac {-2} {далеко-близко} - \ frac {далеко + рядом} {далеко-близко} \ \ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}

, который может быть задан как масштабирование S, за которым следует перевод T формы

P = ST = [2 справа - слева 0 0 0 0 2 сверху - снизу 0 0 0 0 2 далеко - около 0 0 0 0 1] [1 0 0 - слева + справа 2 0 1 0 - верх + низ 2 0 0 - 1 - далеко + около 2 0 0 0 1] {\ displaystyle P = ST = {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {right-left}} 0 0 0 \ \ 0 {\ frac {2} {top-bottom}} 0 0 \\ 0 0 {\ frac {2} {far-near}} 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 0 0 - {\ frac {left + right} {2}} \\ 0 1 0 - {\ frac {top + bottom} {2}} \\ 0 0 -1 - {\ frac {far + near} {2}} \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle P = ST = {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {right-left}} 0 0 0 \\ 0 {\ frac {2} {top- bottom}} 0 0 \\ 0 0 {\ frac {2} {far-near}} 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 0 0 - {\ frac {left + right} {2}} \ \ 0 1 0 - {\ frac {top + bottom} {2}} \\ 0 0 -1 - {\ frac {far + near} {2}} \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}}}

Определяется инверсия матрицы проекции P, которая может использоваться в качестве матрицы непроекции:

P - 1 = [right - left 2 0 0 left + right 2 0 top - нижний 2 0 верхний + нижний 2 0 0 далеко - рядом - 2 - далеко + рядом 2 0 0 0 1] {\ displaystyle P ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {right-left} {2 }} 0 0 {\ frac {left + right} {2}} \\ 0 {\ frac {top-bottom} {2}} 0 {\ frac {top + bottom} {2}} \\ 0 0 {\ frac { far-near} {- 2}} - {\ frac {far + near} {2}} \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle P ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {right-left} {2}} 0 0 {\ frac {left + right} {2}} \\ 0 {\ frac {top-bottom} {2}} 0 {\ frac {top + bottom} {2}} \\ 0 0 {\ frac {far-near} {- 2}} - {\ frac {far + near} {2}} \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix} }}

Подтипы

Символы, используемые для определения того, будет ли многовидовая проекция является либо третьим углом (справа), либо первым углом (слева). Классификация ортогональной проекции и некоторых трехмерных проекций

В многоракурсных проекциях создается до шести изображений объекта, причем каждая плоскость проекции параллельна к одной из координатных осей объекта. Виды располагаются относительно друг друга по одной из двух схем: проекция под первым углом или проекция под третьим углом. В каждом из них видимость видов может рассматриваться как проекция на плоскости, которые образуют шестигранную рамку вокруг объекта. Хотя можно нарисовать шесть разных сторон, обычно три вида чертежа дают достаточно информации, чтобы создать трехмерный объект. Эти виды известны как вид спереди, вид сверху и вид с торца. Другие названия этих видов включают план, отметку и разрез.

Термин аксонометрическая проекция (не путать со связанным принципом аксонометрии, как описано в теореме Польке ) используется для описания типа ортогональной проекции, где плоскость или ось изображенного объекта не параллельна плоскости проекции, и на одном изображении видны несколько сторон объекта. Далее она подразделяется на три группы: изометрические, диметрические и триметрические проекции, в зависимости от точного угла, под которым вид отклоняется от ортогонального. Типичной характеристикой аксонометрической проекции (и других изображений) является то, что одна ось пространства обычно отображается как вертикальная.

Картография

Ортографическая проекция (экваториальный аспект) восточного полушария 30 ° з.д. – 150 ° в.д.

Орфографическая проекционная карта - это картографическая проекция из картографии. Подобно стереографической проекции и гномонической проекции, ортогональная проекция - это перспективная (или азимутальная) проекция , в которой сфера проецируется на касательная плоскость или секущая плоскость. Точка перспективы для ортогональной проекции находится на бесконечном расстоянии. На нем изображено полушарие земного шара, как оно появляется из космического пространства, где горизонт представляет собой большой круг. Формы и области искажены, особенно около краев.

Орфографическая проекция известна с древних времен, и ее картографическое использование хорошо задокументировано. Гиппарх использовал проекцию во 2 веке до нашей эры, чтобы определить места восхода и захода звезд. Примерно в 14 г. до н.э. римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для построения солнечных часов и для вычисления положения солнца.

Витрувий, похоже, также придумал термин орфографический (от греческого orthos (= «Прямой») и graphē (= «рисунок») для проекции. Однако название аналемма, которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было общим названием до François d'Aguilon Антверпена получил свое нынешнее название в 1613 году.

Самые ранние сохранившиеся карты на проекции представлены в виде гравюр на дереве земных глобусов 1509 года (анонимно), 1533 и 1551 годов (Иоганнес Шенер), а также 1524 и 1551 годов. (Апианский).

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Ортографическими проекциями.

(Wayback Machine копия)

Последняя правка сделана 2021-06-01 03:18:11
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте