Восьмимерный пробел

В математике последовательность из n действительных чисел может пониматься как местоположение в n- мерном пространстве. Когда n = 8, набор всех таких местоположений называется 8-мерным пространством . Часто такие пространства изучаются как векторные пространства без какого-либо понятия расстояния. Восьмимерное евклидово пространство - это восьмимерное пространство, снабженное евклидовой метрикой.

В более общем смысле термин может относиться к восьмимерному векторному пространству над любым полем, например, восьмимерное сложное векторное пространство, которое имеет 16 реальных измерений. Он также может относиться к восьмимерному многообразию, например, к 8-сфере, или к множеству других геометрических конструкций.

• 1 Геометрия
  • 1.1 8-многогранник
  • 1.2 7-сфера
  • 1.3 Задача числа поцелуев
• 2 октонионы
• 3 Бикватернионы
• 4 Ссылки

8-многогранник

A Многогранник в восьми измерениях называется 8-многогранником. Наиболее изучены правильные многогранники, из которых всего три в восьми измерениях : 8-симплекс, 8-куб, и 8-ортоплекс. Более широкое семейство - это однородные 8-многогранники, построенные из областей фундаментальной симметрии отражения, каждая область определяется группой Кокстера. Каждый равномерный многогранник определяется окольцованной диаграммой Кокстера-Дынкина. 8-полукуб является уникальным многогранником из семейства D 8, а многогранники 421, 241 и 142 из семейства E 8.

Правильные и однородные многогранники в восьми измерениях. (отображаются как ортогональные проекции в каждой плоскости Кокстера симметрии)

A8			B8						D8
. 8-симплекс. . {3,3,3,3,3, 3,3}			. 8-куб. . {4,3,3,3,3,3,3}			. 8-ортоплекс. . {3,3,3,3,3,3, 4}			. 8-demicube. . h {4,3,3,3,3,3,3}
E8
. 421. . {3,3,3,3,3}				. 241. . {3,3, 3}				. 142. . {3,3}

7-сфера

7-сфера или гиперсфера в восьми измерениях - это семимерная поверхность, равноудаленная от точки, например Происхождение. Он имеет символ S с формальным определением для 7-сферы с радиусом r

$S\; 7\; =\; \{x\; \in \; R\; 8:\; \Vert \; x\; \Vert \; =\; r\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{7\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{8\}:\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; =\; r\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Объем пространства, ограниченного этим 7-сфера равна

$V\; 8\; =\; \pi \; 4\; 24\; R\; 8\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\_\; \{8\}\; \backslash ,\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{4\}\}\; \{24\}\}\; \backslash ,\; R\; ^\; \{8\}\}$

, что составляет 4,05871 × r, или 0,01585 8-куба, содержащего 7-сферу.

.

Задача числа поцелуев

Задача числа поцелуев была решена в восьми измерениях, благодаря существованию многогранника 421 и связанной с ним решетки . Число поцелуев в восьми измерениях: 240.

Октонионы - это нормированная алгебра с делением над действительными числами, самая большая такая алгебра. Математически они могут быть заданы 8-ми кортежами действительных чисел, поэтому формируют 8-мерное векторное пространство над вещественными числами, причем добавление векторов является сложением в алгебре. Нормированная алгебра - это алгебра, произведение которой удовлетворяет условию

$\Vert \; xy\; \Vert \; \le \; \Vert \; x\; \Vert \; \Vert \; y\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; xy\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; x\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; y\; \backslash \; |\}$

для всех x и y в алгебре. Нормированная алгебра с делением дополнительно должна быть конечномерной и обладать тем свойством, что каждый ненулевой вектор имеет уникальную мультипликативную обратную. Теорема Гурвица запрещает такой структуре существовать в измерениях, отличных от 1, 2, 4 или 8.

Комплексифицированные кватернионы $C\; \otimes \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{H\}\}$, или «бикватернионы », представляют собой восьмеричную алгебру, относящуюся к Уильям Роуэн Гамильтон в 1850-х годах. Эта алгебра эквивалентна (то есть изоморфна ) алгебре Клиффорда $C\; \ell \; 2\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \backslash \; ell\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\; \})\}$и алгебра Паули. Он также был предложен в качестве практического или педагогического инструмента для выполнения вычислений в специальной теории относительности и в этом контексте называется Алгебра физического пространства (не путать с алгебра пространства-времени, которая является 16-мерной.)

• HSM Кокстер :
  • Х.С.М. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Калейдоскопы: Избранные сочинения H.S.M. Коксетер, под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивич Вайс, публикация Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Wiley :: Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Кокстер
  • (Документ 22) Х.С.М. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Документ 23) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) H.S.M. Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Таблица наивысшего числа поцелуев, известная в настоящее время, поддерживаемая Габриэле Небе и Нилом Слоаном (нижние границы)
• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия, A. K. Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9. (Review ).
• Duplij, Steven; Siegel, Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике, Берлин, Нью Йорк: Springer, ISBN 978-1-4020-1338-6 (Вторая печать)