Алгебра деления

редактировать
алгебры по полю, содержащему только обратимые элементы и ноль

В поле математики называется абстрактной алгеброй, алгебра с делением - это, грубо говоря, алгебра над полем, в котором деление, кроме нуля, всегда возможно.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Ассоциативные алгебры с делением
  • 3 Не обязательно ассоциативные алгебры с делением
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Определения

Формально мы начинаем с ненулевой алгебры D над полем. Мы называем D алгеброй с делением, если для любого элемента a в D и любого ненулевого элемента b в D существует ровно один элемент x в D с a = bx и ровно один элемент y в D такой, что a = yb.

Для ассоциативных алгебр определение можно упростить следующим образом: ненулевая ассоциативная алгебра над полем является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда он имеет мультипликативный единичный элемент 1, и каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный (то есть элемент x с ax = xa = 1).

Ассоциативные алгебры с делением

Самыми известными примерами ассоциативных алгебр с делением являются конечномерные вещественные алгебры (то есть алгебры над полем R из вещественные числа, которые являются конечными - размерными как векторное пространство над вещественными числами). Теорема Фробениуса утверждает, что с до изоморфизма существует три таких алгебры: сами вещественные числа (размерность 1), поле комплексных чисел (размер 2) и кватернионы (размер 4).

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что если D - алгебра с конечным делением, то D является конечным полем.

над алгебраически замкнутым полем K (например, комплексные числа C), не существует конечномерных ассоциативных алгебр с делением, кроме самой K.

Ассоциативные алгебры с делением не имеют делителей нуля. Конечномерная единичная ассоциативная алгебра (над любым полем) является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда у нее нет делителей нуля.

Когда A является ассоциативной унитальной алгеброй над полем F и S является простым модулем над A, тогда эндоморфизм кольцо группы S является алгеброй с делением над F; всякая ассоциативная алгебра с делением над F возникает таким образом.

центр ассоциативной алгебры с делением D над полем K - это поле, содержащее K. Размерность такой алгебры над ее центром, если она конечна, является совершенным квадратом. : он равен квадрату размерности максимального подполя поля D над центром. Для данного поля F классы эквивалентности Брауэра простых (содержащих только тривиальные двусторонние идеалы) ассоциативных алгебр с делением с центром в F и конечномерными над F можно превратить в группу, группа Брауэра поля F.

Один из способов построения конечномерных ассоциативных алгебр с делением над произвольными полями дается с помощью алгебр кватернионов (см. Также кватернионы ).

Для бесконечномерных ассоциативных алгебр с делением наиболее важными являются те случаи, когда пространство имеет разумную топологию. См., Например, нормированные алгебры с делением и банаховы алгебры.

Не обязательно ассоциативные алгебры с делением

Если алгебра с делением не считается ассоциативной, обычно используется более слабое условие (например, альтернативность или ассоциативность мощности ). Список таких условий см. В алгебре над полем.

Над вещественными числами имеются (с точностью до изоморфизма) только две унитарные коммутативные конечномерные алгебры с делением: сами вещественные числа и комплексные числа. Конечно, оба они ассоциативны. В качестве неассоциативного примера рассмотрим комплексные числа с умножением, определенным путем взятия комплексного сопряжения обычного умножения:

a ∗ b = a b ¯. {\ displaystyle a * b = {\ overline {ab}}.}a * b = {\ overline {ab}}.

Этот представляет собой коммутативную неассоциативную алгебру с делением размерности 2 над вещественными числами и не имеет единичного элемента. Существует бесконечно много других неизоморфных коммутативных, неассоциативных, конечномерных вещественных алгебр с делением, но все они имеют размерность 2.

На самом деле каждая конечномерная вещественная коммутативная алгебра с делением либо 1-, либо 2-х мерный. Это известно как теорема Хопфа и было доказано в 1940 году. В доказательстве используются методы из топологии. Хотя более позднее доказательство было найдено с использованием алгебраической геометрии, прямого алгебраического доказательства нет. Основная теорема алгебры является следствием теоремы Хопфа.

Отбросив требование коммутативности, Хопф обобщил свой результат: любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность, равную степени 2.

Более поздние работы показали, что на самом деле любая конечномерная вещественная алгебра алгебра с делением должна иметь размерность 1, 2, 4 или 8. Это было независимо доказано Мишелем Кервером и Джоном Милнором в 1958 году, опять же с использованием методов алгебраической топологии, в частности K-теория. Адольф Гурвиц показал в 1898 году, что тождество qq ¯ = сумма квадратов {\ displaystyle q {\ overline {q}} = {\ text {сумма квадратов}}}{\ displaystyle q {\ overline {q}} = {\ text { сумма квадратов}}} справедливо только для размерностей 1, 2, 4 и 8. (См. теорему Гурвица.) Проблема построения трехмерной алгебры с делением была решена несколькими ранними математиками. Кеннет О. Мэй исследовал эти попытки в 1966 году.

Любая реальная конечномерная алгебра с делением над вещественными числами должна быть

  • изоморфной R или C, если унитарный и коммутативный (эквивалентно: ассоциативный и коммутативный)
  • изоморфен кватернионам, если некоммутативен, но ассоциативен
  • , изоморфен октонионам, если неассоциативен, но альтернатива.

О размерности конечномерной алгебры с делением A над полем K известно следующее:

  • dim A = 1, если K алгебраически замкнуто,
  • dim A = 1, 2, 4 или 8, если K вещественно замкнутый, и
  • Если K не является ни алгебраически, ни вещественно замкнутым, то существует бесконечно много измерений, в которых существуют алгебры с делением над K.

См. Также

Примечания

  1. ^Лам (2001), с. 203
  2. ^Кон (2003), Предложение 5.4.5, стр. 150
  3. ^Роджер Пенроуз (2005). Дорога к реальности. Винтаж. ISBN 0-09-944068-7., p.202
  4. ^Кеннет О. Мэй (1966) «Невозможность деления алгебры векторов. в трехмерном пространстве », American Mathematical Monthly 73 (3): 289–91 doi : 10.2307 / 2315349

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 09:46:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте