В поле математики называется абстрактной алгеброй, алгебра с делением - это, грубо говоря, алгебра над полем, в котором деление, кроме нуля, всегда возможно.
Формально мы начинаем с ненулевой алгебры D над полем. Мы называем D алгеброй с делением, если для любого элемента a в D и любого ненулевого элемента b в D существует ровно один элемент x в D с a = bx и ровно один элемент y в D такой, что a = yb.
Для ассоциативных алгебр определение можно упростить следующим образом: ненулевая ассоциативная алгебра над полем является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда он имеет мультипликативный единичный элемент 1, и каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный (то есть элемент x с ax = xa = 1).
Самыми известными примерами ассоциативных алгебр с делением являются конечномерные вещественные алгебры (то есть алгебры над полем R из вещественные числа, которые являются конечными - размерными как векторное пространство над вещественными числами). Теорема Фробениуса утверждает, что с до изоморфизма существует три таких алгебры: сами вещественные числа (размерность 1), поле комплексных чисел (размер 2) и кватернионы (размер 4).
Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что если D - алгебра с конечным делением, то D является конечным полем.
над алгебраически замкнутым полем K (например, комплексные числа C), не существует конечномерных ассоциативных алгебр с делением, кроме самой K.
Ассоциативные алгебры с делением не имеют делителей нуля. Конечномерная единичная ассоциативная алгебра (над любым полем) является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда у нее нет делителей нуля.
Когда A является ассоциативной унитальной алгеброй над полем F и S является простым модулем над A, тогда эндоморфизм кольцо группы S является алгеброй с делением над F; всякая ассоциативная алгебра с делением над F возникает таким образом.
центр ассоциативной алгебры с делением D над полем K - это поле, содержащее K. Размерность такой алгебры над ее центром, если она конечна, является совершенным квадратом. : он равен квадрату размерности максимального подполя поля D над центром. Для данного поля F классы эквивалентности Брауэра простых (содержащих только тривиальные двусторонние идеалы) ассоциативных алгебр с делением с центром в F и конечномерными над F можно превратить в группу, группа Брауэра поля F.
Один из способов построения конечномерных ассоциативных алгебр с делением над произвольными полями дается с помощью алгебр кватернионов (см. Также кватернионы ).
Для бесконечномерных ассоциативных алгебр с делением наиболее важными являются те случаи, когда пространство имеет разумную топологию. См., Например, нормированные алгебры с делением и банаховы алгебры.
Если алгебра с делением не считается ассоциативной, обычно используется более слабое условие (например, альтернативность или ассоциативность мощности ). Список таких условий см. В алгебре над полем.
Над вещественными числами имеются (с точностью до изоморфизма) только две унитарные коммутативные конечномерные алгебры с делением: сами вещественные числа и комплексные числа. Конечно, оба они ассоциативны. В качестве неассоциативного примера рассмотрим комплексные числа с умножением, определенным путем взятия комплексного сопряжения обычного умножения:
Этот представляет собой коммутативную неассоциативную алгебру с делением размерности 2 над вещественными числами и не имеет единичного элемента. Существует бесконечно много других неизоморфных коммутативных, неассоциативных, конечномерных вещественных алгебр с делением, но все они имеют размерность 2.
На самом деле каждая конечномерная вещественная коммутативная алгебра с делением либо 1-, либо 2-х мерный. Это известно как теорема Хопфа и было доказано в 1940 году. В доказательстве используются методы из топологии. Хотя более позднее доказательство было найдено с использованием алгебраической геометрии, прямого алгебраического доказательства нет. Основная теорема алгебры является следствием теоремы Хопфа.
Отбросив требование коммутативности, Хопф обобщил свой результат: любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность, равную степени 2.
Более поздние работы показали, что на самом деле любая конечномерная вещественная алгебра алгебра с делением должна иметь размерность 1, 2, 4 или 8. Это было независимо доказано Мишелем Кервером и Джоном Милнором в 1958 году, опять же с использованием методов алгебраической топологии, в частности K-теория. Адольф Гурвиц показал в 1898 году, что тождество справедливо только для размерностей 1, 2, 4 и 8. (См. теорему Гурвица.) Проблема построения трехмерной алгебры с делением была решена несколькими ранними математиками. Кеннет О. Мэй исследовал эти попытки в 1966 году.
Любая реальная конечномерная алгебра с делением над вещественными числами должна быть
О размерности конечномерной алгебры с делением A над полем K известно следующее: