Простая группа Ли

редактировать

связная неабелева группа Ли G, не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп

В математике a простая группа Ли - это связная неабелева группа Ли G, которая не имеет нетривиальных связанных нормальных подгрупп.

вместе с коммутативной группой Ли действительных чисел, $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , и группой комплексных чисел с единичной величиной, U (1) (единичный круг) простые группы Ли дают атомарные «блоки», составляющие все (конечномерные) связные группы Ли, посредством операции расширения группы. Многие часто встречающиеся группы Ли либо просты, либо «близки» к простоте: например, так называемая «специальная линейная группа » SL (n) матриц размера n на n с определителем, равным 1, проста. для всех n>1.

Эквивалентное определение простой группы Ли следует из соответствия Ли : связная группа Ли проста, если ее алгебра Ли является простой. Важным техническим моментом является то, что простая группа Ли может содержать дискретные нормальные подгруппы, поэтому быть простой группой Ли отличается от того, чтобы быть простой как абстрактная группа.

Простые группы Ли включают в себя множество классических групп Ли, которые обеспечивают теоретико-групповую основу для сферической геометрии, проективной геометрии и связанных с ними геометрий в смысле программы Феликса Кляйна на Эрлангене . В ходе классификации простых групп Ли выяснилось, что существует также несколько исключительных возможностей, не соответствующих какой-либо известной геометрии. Эти исключительные группы составляют множество специальных примеров и конфигураций в других разделах математики, а также в современной теоретической физике.

Содержание

1 Классификация простых групп Ли
- 1.1 Полная классификация
- 1.2 Компактная ложь группы
  - 1.2.1 Серия A
  - 1.2.2 Серия B
  - 1.2.3 Серия C
  - 1.2.4 Серия D
  - 1.2.5 Исключительные случаи
2 Просто зашнурованные группы
3 См. Также
4 Ссылки

Классификация простых групп Ли

Полная классификация

Простые группы Ли полностью классифицированы. Классификация обычно состоит из нескольких шагов, а именно:

Классификация простых комплексных алгебр Ли Классификация простых алгебр Ли над комплексными числами с помощью диаграмм Дынкина.
Классификация простых вещественных алгебр Ли Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет несколько вещественных форм, классифицируемых дополнительными украшениями ее диаграммы Дынкина, называемой диаграммами Сатаке, после Ичиро Сатаке.
Классификация бесцентровых простых групп Ли Для каждой (действительной или сложной) простой алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ существует уникальная "бесцентровая" простая группа Ли $G { \ displaystyle G}$ $G$ с алгеброй Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ и с тривиальным center.
Классификация простой лжи группы

Можно показать, что фундаментальная группа любой группы Ли является дискретной коммутативной группой. Дана (нетривиальная) подгруппа $K ⊂ π 1 (G) {\ displaystyle K \ subset \ pi _ {1} (G)}$ ${\ displaystyle K \ subset \ pi _ {1} (G)}$ фундаментальной группы некоторой группы Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ , можно использовать теорию покрывающих пространств, чтобы построить новую группу $G ~ K {\ displaystyle {\ tilde {G}} ^ {K }}$ ${\ displaystyle {\ tilde {G} } ^ {K}}$ с $K {\ displaystyle K}$ $K$ в центре. Теперь любую (действительную или комплексную) группу Ли можно получить, применяя эту конструкцию к бесцентровым группам Ли. Обратите внимание, что действительные группы Ли, полученные таким образом, могут не быть действительными формами какой-либо комплексной группы. Очень важным примером такой реальной группы является метаплектическая группа, которая появляется в теории и физике бесконечномерных представлений. Когда в качестве $K ⊂ π 1 (G) {\ displaystyle K \ subset \ pi _ {1} (G)}$ ${\ displaystyle K \ subset \ pi _ {1} (G)}$ берется полная фундаментальная группа, получается группа Ли $G ~ K = π 1 (G) {\ displaystyle {\ tilde {G}} ^ {K = \ pi _ {1} (G)}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {G}} ^ {K = \ pi _ {1} (G)}}$ - универсальное покрытие бесцентровой группы Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ и просто связано. В частности, каждой (действительной или комплексной) алгебре Ли также соответствует уникальная связная и односвязная группа Ли $G ~ {\ displaystyle {\ tilde {G}}}$ ${\ tilde {G}}$ с этой алгеброй Ли, называемой «односвязной группой Ли», связанной с $g. {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}.}$ ${\ mathfrak {g}}.$

Компактные группы Ли

Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет уникальную вещественную форму, которой соответствующая бесцентровая группа Ли компактна. Оказывается, односвязная группа Ли в этих случаях также компактна. Компактные группы Ли имеют особенно податливую теорию представлений из-за теоремы Питера – Вейля. Как и простые комплексные алгебры Ли, бесцентровые компактные группы Ли классифицируются диаграммами Дынкина (впервые классифицированы Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном ).

Для бесконечных (A, B, C, D) серий диаграмм Дынкина односвязная компактная группа Ли, ассоциированная с каждой диаграммой Дынкина, может быть явно описана как матричная группа с соответствующей бесцентровой компактной группой Ли, описанной как фактор по подгруппе скалярных матриц.

Серии

A1, A 2,...

Arассоциированы с односвязной компактной группой специальной унитарной группой, SU (r + 1) и в качестве связанной с ней бесцентровой компактной группы проективная унитарная группа PU (r + 1).

B series

B2, B 3,...

Brимеет в качестве ассоциированных бесцентровых компактных групп нечетные специальные ортогональные группы, SO (2r + 1). Однако эта группа не является односвязной: ее универсальная (двойная) оболочка - это Спиновая группа.

серии C

C3, C 4,...

Crсвязана просто связная группа группа унитарных симплектических матриц, Sp (r) и в качестве связанной с ней бесцентровой группы группа Ли PSp (r) = Sp (r) / {I, −I} проективных унитарных симплектических матриц.

Серия D

D4, D 5,...

Drимеет в качестве связанной компактной группы четные специальные ортогональные группы, SO ( 2r) и в качестве связанной с ней бесцентровой компактной группы проективная специальная ортогональная группа PSO (2r) = SO (2r) / {I, −I}. Как и серия B, SO (2r) не является односвязным; его универсальной оболочкой снова является спиновая группа, но последняя снова имеет центр (см. ее статью).

Диаграмма D 2 - это два изолированных узла, то же самое, что и A 1 ∪ A 1, и это совпадение соответствует покрывающей карте гомоморфизм из SU (2) × SU (2) в SO (4), задаваемый умножением кватернионов ; см. кватернионы и пространственное вращение. Таким образом, SO (4) не простая группа. Кроме того, диаграмма D 3 такая же, как A 3, что соответствует гомоморфизму покрывающего отображения из SU (4) в SO (6).

Исключительные случаи

В дополнение к четырем семействам A i, B i, C i и D i выше, имеется пять так называемых исключительных диаграмм Дынкина G2, F4, E6, E7 и E8 ; этим исключительным диаграммам Дынкина также соответствуют односвязные бесцентровые компактные группы. Однако группы, связанные с исключительными семействами, описать сложнее, чем группы, связанные с бесконечными семействами, в основном потому, что в их описаниях используются исключительные объекты. Например, группа, связанная с G 2, является группой автоморфизмов октонионов, а группа, связанная с F 4, является группой автоморфизмов некоторого Алгебра Альберта.

См. Также E7½.

Группы с простыми связями

A группа с простыми связями - это группа Ли, диаграмма Дынкина которой содержит только простые связи, и поэтому все ненулевые корни соответствующей алгебры Ли имеют одинаковую длину. Группы серий A, D и E просто зашнурованы, но никакие группы типов B, C, F или G просто зашнурованы.

См. Также

Литература

Джейкобсон, Натан (1971). Исключительные алгебры Ли (1-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.

Фултон, Уиллиам и Харрис, Джо (2004). Теория представлений: первый курс. Спрингер. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9