Специальная унитарная группа

редактировать

В математике специальная унитарная группа степени n, обозначенная SU (n), является Группа Ли из n × n унитарных матриц с определителем 1.

(Более общие унитарные матрицы могут иметь комплексные детерминанты с абсолютным значением 1, а не вещественным 1 в частном случае.)

Групповая операция - матрица умножение. Специальная унитарная группа - это подгруппа унитарной группы U (n), состоящая из всех унитарных матриц размера n × n. Как компактная классическая группа, U (n) - это группа, которая сохраняет стандартный скалярный продукт на $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ . Сама она является подгруппой общей линейной группы, $SU ⁡ (n) ⊂ U ⁡ (n) ⊂ GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {SU} (n) \ subset \ operatorname {U} (n) \ subset \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {C})}$ $\operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C})$ .

Группы SU (n) находят широкое применение в Стандартной модели физика элементарных частиц, особенно SU (2) в электрослабом взаимодействии и SU (3) в квантовой хромодинамике.

Простейший случай, SU (1), - это тривиальная группа , имеющая только один элемент. Группа SU (2) изоморфна группе кватернионов с нормой 1 и, таким образом, диффеоморфна группе 3-сфера. Поскольку единичные кватернионы могут использоваться для представления поворотов в трехмерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм от SU (2) к группа вращения SO (3), ядро которой равно {+ I, -I}. SU (2) также идентичен одной из групп симметрии спиноров , Spin (3), что позволяет спинорное представление вращений.

Содержание

1 Свойства
2 Алгебра Ли
- 2.1 Фундаментальное представление
- 2.2 Присоединенное представление
3 Группа SU (2)
- 3.1 Диффеоморфизм с S
- 3.2 Изоморфизм с единичные кватернионы
- 3.3 Связь с пространственными вращениями
- 3.4 Алгебра Ли
4 Группа SU (3)
- 4.1 Топология
- 4.2 Теория представлений
- 4.3 Алгебра Ли
5 Структура алгебры Ли
6 Обобщенная специальная унитарная группа
- 6.1 Пример
7 Важные подгруппы
8 Группа SU (1,1)
9 См. Также
10 Сноски
11 Цитаты
12 Ссылки

Свойства

Специальная унитарная группа SU (n) является действительной группой Ли (но не комплексной группой Ли ). Его размер как вещественного многообразия равен n - 1. Топологически он компактный и односвязный. С алгебраической точки зрения это простая группа Ли (то есть ее алгебра Ли проста; см. Ниже).

центр группы SU (n) изоморфна циклической группе $Z / n Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ и состоит из диагональных матриц ζ I вместо ζ корня n из единицы и I единичная матрица размера n × n.

Его группа внешних автоморфизмов для n ≥ 3 равна $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , а группа внешних автоморфизмов группы SU (2) - это тривиальная группа.

Максимальный тор ранга n - 1 задается набором диагональных матриц с определителем 1. Вейль группа - это симметричная группа Sn, которая представлена матрицами перестановки со знаком (знаки необходимы для обеспечения того, чтобы определитель был равен 1).

алгебра Ли группы SU (n), обозначаемая $su (n) {\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}$ ${\mathfrak {su}}(n)$ , можно отождествить с набором бесследных антиэрмитовых комплексных матриц n × n, с регулярным коммутатором в качестве скобки Ли. Физики элементарных частиц часто используют другое, эквивалентное представление: набор бесследовых эрмитовых n × n комплексных матриц со скобкой Ли, заданной как −i, умноженное на коммутатор.

Алгебра Ли

Алгебра Ли $su (n) {\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}$ ${\mathfrak {su}}(n)$ of $SU ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$ $\operatorname {SU} (n)$ состоит из $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n\times n$ косоэрмитовых матриц с нулевым следом. Эта (настоящая) алгебра Ли имеет размерность $n 2 - 1 {\ displaystyle n ^ {2} -1}$ $n^{2}-1$ . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в разделе «Структура алгебры Ли».

Фундаментальное представление

В физической литературе принято отождествлять алгебру Ли с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц с нулевым следом. Другими словами, алгебра Ли физиков отличается от алгебры математиков в $i {\ displaystyle i}$ $i$ раз. Используя это соглашение, можно затем выбрать генераторы T a, которые являются бесследными эрмитовыми комплексными матрицами размера n × n, где:

T a T b = 1 2 n δ ab I n + 1 2 ∑ с = 1 n 2 - 1 (ifabc + dabc) T c {\ displaystyle T_ {a} T_ {b} = {\ frac {1} {2n}} \ delta _ { ab} I_ {n} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {c = 1} ^ {n ^ {2} -1} \ left (if_ {abc} + d_ {abc} \ right) T_ {c}}

T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)T_{c}

, где f являются структурными константами и антисимметричны по всем индексам, в то время как d-коэффициенты симметричны по всем индексам.

Как следствие, антикоммутатор и коммутатор:

{T a, T b} = 1 n δ ab I n + ∑ c = 1 n 2 - 1 dabc T c [T a, T b] = i ∑ c = 1 n 2 - 1 fabc T c. {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ {T_ {a}, T_ {b} \ right \} = {\ frac {1} {n}} \ delta _ {ab} I_ {n} + \ сумма _ {c = 1} ^ {n ^ {2} -1} {d_ {abc} T_ {c}} \\\ left [T_ {a}, T_ {b} \ right] = i \ sum _ {c = 1} ^ {n ^ {2} -1} f_ {abc} T_ {c} \,. \ end {align}}}

{\displayst yle {\begin{aligned}\left\{T_{a},T_{b}\right\}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\\\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}\,.\end{aligned}}}

Коэффициент $i {\ displaystyle i}$ $i$ в соотношениях коммутации возникает из соглашения физики и не присутствует при использовании соглашения математиков.

Мы также можем взять

∑ c, e = 1 n 2 - 1 dacedbce = n 2 - 4 n δ ab {\ displaystyle \ sum _ {c, e = 1} ^ {n ^ { 2} -1} d_ {ace} d_ {bce} = {\ frac {n ^ {2} -4} {n}} \ delta _ {ab}}

\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}

в качестве соглашения о нормализации.

Присоединенное представление

В (n - 1) -мерном присоединенном представлении генераторы представлены матрицами (n - 1) × (n - 1), элементы которого определяются самими структурными константами:

(T a) jk = - ifajk. {\ displaystyle \ left (T_ {a} \ right) _ {jk} = - if_ {ajk}.}

\left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.

Группа SU (2)

SU (2) - это следующая группа,

SU ⁡ (2) = {(α - β ¯ β α ¯): α, β ∈ C, | α | 2 + | β | 2 = 1}, {\ displaystyle \ operatorname {SU} (2) = \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ alpha - {\ overline {\ beta}} \\\ beta {\ overline {\ alpha }} \ end {pmatrix}}: \ \ \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {C}, | \ alpha | ^ {2} + | \ beta | ^ {2} = 1 \ right \} ~,}

\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha -{\overline {\beta }}\\\beta {\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha,\beta \in \mathbb {C},|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,

где верхняя черта обозначает комплексное сопряжение.

диффеоморфизм с S
Если мы рассматриваем $α, β {\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ $\alpha,\beta$ как пару в $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb{C}^2$ , где $α = a + bi {\ displaystyle \ alpha = a + bi}$ $\alpha =a+bi$ и $β = c + di {\ displaystyle \ beta = c + di}$ $\beta =c+di$ , тогда уравнение $| α | 2 + | β | 2 = 1 {\ displaystyle | \ alpha | ^ {2} + | \ beta | ^ {2} = 1}$ $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$ становится

$a 2 {\ displaystyle \ \ \ a ^ {2}}$ $\ \ \ a^{2}$ $+ {\ displaystyle +}$ $+$ $b 2 {\ displaystyle b ^ {2}}$ $b^{2}$ $+ {\ displaystyle +}$ $+$ $c 2 {\ displaystyle c ^ {2}}$ $c^{2}$ $+ {\ displaystyle +}$ $+$ $d 2 = 1 {\ displaystyle d ^ {2} = 1}$ $d^{2}=1$

Это уравнение 3-сферы S. Это также можно увидеть с помощью вложения: карта
$φ: C 2 → M ⁡ (2, C) φ (α, β) = (α - β ¯ β α ¯), {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ varphi \ двоеточие \ mathbb {C} ^ {2} \ to \ operatorname {M} (2, \ mathbb {C}) \\ [5pt] \ varphi (\ alpha, \ beta) = {\ begin {pmatrix} \ alpha - {\ overline {\ beta}} \\\ beta {\ overline {\ alpha}} \ end {pmatrix}}, \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C})\\[5pt]\varphi (\alpha,\beta)={\begin{pmatrix}\alpha -{\overline {\beta }}\\\beta {\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$
где $M ⁡ (2, C) {\ displaystyle \ operatorname {M} (2, \ mathbb {C})}$ $\operatorname {M} (2,\mathbb {C})$ обозначает набор комплексных матриц 2 на 2, является инъективным вещественным линейным отображением (с учетом $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\mathbb{C}^2$ диффеоморфный от до $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\mathbb {R} ^{4}$ и $M ⁡ (2, C) {\ displaystyle \ operatorname {M} (2, \ mathbb {C})}$ $\operatorname {M} (2,\mathbb {C})$ , диффеоморфный $R 8 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {8}}$ ${\mathbb {R}}^{8}$ ). Следовательно, ограничение φ на 3-сферу (поскольку модуль равен 1), обозначенное S, является вложением 3-сферы на компактное подмногообразие $M ⁡ (2, C) {\ displaystyle \ operatorname {M} (2, \ mathbb {C})}$ $\operatorname {M} (2,\mathbb {C})$ , а именно φ (S) = SU (2).

Следовательно, как многообразие S диффеоморфно SU (2), что показывает, что SU (2) односвязно и что S можно наделить структурой компакта, связная группа Ли.

Изоморфизм с единичными кватернионами
Комплексная матрица:
$(a + bic + di - c + dia - bi) (a, b, c, d ∈ R) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a + bi c + di \\ - c + di a-bi \ end {pmatrix}} \ quad (a, b, c, d \ in \ mathbb {R })}$ ${\begin{pmatrix}a+bic+di\\-c+dia-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R})$
может быть отображен в кватернион :
$a 1 ^ + bi ^ + cj ^ + dk ^ {\ displaystyle a \, {\ hat {1}} + b \, {\ hat {i}} + c \, {\ hat {j}} + d \, {\ hat {k}}}$ $a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}$
Это отображение на самом деле является изоморфизмом. Кроме того, определитель матрицы - это квадратная норма соответствующего кватерниона. Ясно, что любая матрица в SU (2) имеет такой вид, и, поскольку она имеет определитель 1, соответствующий кватернион имеет норму 1. Таким образом, SU (2) изоморфен единичным кватернионам .

Отношение к пространственным поворотам

Каждый единичный кватернион естественно связан с пространственным вращением в трех измерениях, а произведение двух кватернионов связано с составом связанных вращений. Более того, каждое вращение возникает таким образом ровно из двух единичных кватернионов. Вкратце: существует сюръективный гомоморфизм 2: 1 из SU (2) в SO (3) ; следовательно, SO (3) изоморфна фактор-группе SU (2) / {± I}, многообразие, лежащее в основе SO (3), получается отождествлением антиподальных точек 3-сферы S, а SU ( 2) - это универсальная крышка СО (3).

Алгебра Ли

Алгебра Ли в SU (2) состоит из $2 × 2 {\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2\times 2$ косоэрмитова матрицы с нулевой трассой. Явно это означает

s u (2) = {(i a - z ¯ z - i a): a ∈ R, z ∈ C}. {\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) = \ left \ {{\ begin {pmatrix} i \ a - {\ overline {z}} \\ z -i \ a \ end {pmatrix}}: \ a \ in \ mathbb {R}, z \ in \ mathbb {C} \ right \} ~.}

{\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a-{\overline {z}}\\z-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R},z\in \mathbb {C} \right\}~.

Затем алгебра Ли порождается следующими матрицами:

u 1 = (0 ii 0), u 2 знак равно (0 - 1 1 0), u 3 знак равно (i 0 0 - i), {\ displaystyle u_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 i \\ i 0 \ end {pmatrix}}, \ quad u_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}, \ quad u_ {3} = {\ begin {pmatrix} i 0 \\ 0 -i \ end {pmatrix}} ~, }

u_{1}={\begin{pmatrix}0i\\i0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0-1\\10\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i0\\0-i\end{pmatrix}}~,

, которые имеют форму указанного выше общего элемента.

Они удовлетворяют кватернионным отношениям $u 2 u 3 = - u 3 u 2 = u 1, {\ displaystyle u_ {2} \ u_ {3} = - u_ { 3} \ u_ {2} = u_ {1} ~,}$ $u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,$ $u 3 u 1 = - u 1 u 3 = u 2, {\ displaystyle u_ {3} \ u_ {1} = - u_ {1} \ u_ {3} = u_ {2} ~,}$ $u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,$ и $u 1 u 2 = - u 2 u 1 = u 3. {\ displaystyle u_ {1} u_ {2} = - u_ {2} \ u_ {1} = u_ {3} ~.}$ $u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.$ Таким образом, скобка коммутатора определяется как

[u 3, u 1] = 2 u 2, [u 1, u 2] = 2 u 3, [u 2, u 3] = 2 u 1. {\ displaystyle \ left [u_ {3}, u_ {1} \ right] = 2 \ u_ {2}, \ quad \ left [u_ {1}, u_ {2} \ right] = 2 \ u_ {3}, \ quad \ left [u_ {2}, u_ {3} \ right] = 2 \ u_ {1} ~.}

\left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.

Вышеупомянутые генераторы связаны с матрицами Паули посредством $U 1 знак равно я σ 1, U 2 знак равно - я σ 2 {\ Displaystyle u_ {1} = я \ \ sigma _ {1} ~, \, u_ {2} = - я \ \ sigma _ {2}}$ $u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}$ и $u 3 = + i σ 3. {\ displaystyle u_ {3} = + i \ \ sigma _ {3} ~.}$ $u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.$ Это представление обычно используется в квантовой механике для представления спина элементарных частиц, таких как электроны. Они также служат единичными векторами для описания наших трех пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации.

Алгебра Ли служит для разработки представлений SU (2).

Группа SU (3)

$SU (3) {\ displaystyle SU (3)}$ $SU(3)$ является 8-мерной простой группой Ли, состоящей из всех 3 × 3 унитарные матрицы с определителем 1.

Топология

Группа $S U (3) {\ displaystyle SU (3)}$ $SU(3)$ является односвязной компактной группой Ли. Его топологическую структуру можно понять, отметив, что SU (3) действует транзитивно на единичной сфере $S 5 {\ displaystyle S ^ {5}}$ $S^{5}$ в $C 3 = R 6 {\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {3} = \ mathbb {R} ^ {6}}$ $\mathbb {C} ^{3}=\mathbb {R} ^{6}$ . Стабилизатор произвольной точки на сфере изоморфен SU (2), который топологически является 3-сферой. Отсюда следует, что SU (3) - это пучок волокон над базой $S 5 {\ displaystyle S ^ {5}}$ $S^{5}$ с волокном $S 3 {\ стиль отображения S ^ {3}}$ $S^{3}$ . Поскольку слои и база односвязны, тогда простая связность SU (3) следует из стандартного топологического результата (длинная точная последовательность гомотопических групп для расслоений).

$SU (2) {\ displaystyle SU (2)}$ $SU(2)$ -группы по $S 5 {\ displaystyle S ^ {5}}$ $S^{5}$ классифицируются по $π 4 (S 3) = Z 2 {\ displaystyle \ pi _ {4} (S ^ {3}) = \ mathbb {Z} _ {2}}$ $\pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} _{2}$ , поскольку любой такой набор может можно построить, глядя на тривиальные связки в двух полушариях $SN 5, SS 5 {\ displaystyle S_ {N} ^ {5}, S_ {S} ^ {5}}$ $S_{N}^{5},S_{S}^{5}$ и глядя на функция перехода на их пересечении, которая гомотопически эквивалентна $S 4 {\ displaystyle S ^ {4}}$ $S^4$ , поэтому

$SN 5 ∩ SS 5 ≃ S 4 {\ displaystyle S_ {N} ^ {5} \ cap S_ {S} ^ {5} \ simeq S ^ {4}}$ $S_{N}^{5}\cap S_{S}^{5}\simeq S^{4}$

Затем все такие переходные функции классифицируются по гомотопическим классам отображений

$[S 4, SU (2)] ≅ [S 4, S 3] знак равно π 4 (S 3) ≅ Z / 2 {\ displaystyle [S ^ {4}, SU (2)] \ cong [S ^ {4}, S ^ {3}] = \число Пи _ {4} (S ^ {3}) \ cong \ mathbb {Z} / 2}$ $[S^{4},SU(2)]\cong [S^{4},S^{3}]=\pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2$

и как $π 4 (SU (3)) = {0} {\ displaystyle \ pi _ {4} (SU (3)) = \ {0 \}}$ $\pi _{4}(SU(3))=\{0\}$ , а не $Z / 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$ $\mathbb {Z} /2$ , $SU (3) {\ displaystyle SU ( 3)}$ $SU(3)$ не может быть тривиальным набором $SU (2) × S 5 ≅ S 3 × S 5 {\ displaystyle SU (2) \ times S ^ {5} \ cong S ^ {3 } \ times S ^ {5}}$ $SU(2)\times S^{5}\cong S^{3}\times S^{5}$ , и поэтому он должен быть уникальным нетривиальным (скрученным) пучком. Это можно показать, посмотрев на индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах.

Теория представлений

Теория представлений $S U (3) {\ displaystyle SU (3)}$ $SU(3)$ хорошо изучена. Описание этих представлений с точки зрения комплексифицированной алгебры Ли $sl ⁡ (3; C) {\ displaystyle \ operatorname {sl} (3; \ mathbb {C})}$ $\operatorname {sl} (3;\mathbb {C})$ , можно найти в статьях по представлениям алгебры Ли или коэффициентам Клебша – Гордана для SU (3).

алгебры Ли

Генераторы T алгебры Ли $су (3) {\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (3)}$ ${\mathfrak {su}}(3)$ из $SU (3) {\ displaystyle SU (3)}$ $SU(3)$ в определяющее (физическое, эрмитово) представление:

T a = λ a 2, {\ displaystyle T_ {a} = {\ frac {\ lambda _ {a}} {2}} ~,}

T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,

где λ, матрицы Гелл-Манна, являются SU (3) аналогом матриц Паули для SU (2):

λ 1 = (0 1 0 1 0 0 0 0 0), λ 2 = (0 - i 0 i 0 0 0 0 0), λ 3 = (1 0 0 0 - 1 0 0 0 0), λ 4 = (0 0 1 0 0 0 1 0 0), λ 5 = (0 0 - i 0 0 0 i 0 0), λ 6 = (0 0 0 0 0 1 0 1 0), λ 7 = (0 0 0 0 0 - i 0 i 0), λ 8 = 1 3 (1 0 0 0 1 0 0 0 - 2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ lambda _ {1} = {} {\ begin {pmatrix} 0 1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}}, \ lambda _ {2} = {} {\ begin {pmatrix} 0 -i 0 \\ i 0 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}}, \ lambda _ {3} = {} {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 -1 0 \\ 0 0 0 \ end {pmatrix}}, \\ [6pt] \ lambda _ {4} = {} {\ begin {pmatrix} 0 0 1 \\ 0 0 0 \\ 1 0 0 \ end {pmatrix}}, \ lambda _ {5} = {} {\ begin {pmatrix} 0 0 -i \\ 0 0 0 \\ i 0 0 \ end {pmatrix}}, \\ [6pt] \ lambda _ {6} = {} {\ begin {pmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 1 \\ 0 1 0 \ end {pmatrix}}, \ lambda _ {7} = {} {\ begin {pmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 0 -i \\ 0 i 0 \ end {pmatrix}}, \ lambda _ {8} = { \ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -2 \ end {pmatrix}}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\lambda _{1}={}{\begin{pmatrix}010\\100\\000\end{pmatrix}},\lambda _{2}={}{\begin{pmatrix}0-i0\\i00\\000\end{pmatrix}},\lambda _{3}={}{\begin{pmatrix}100\\0-10\\000\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}{\begin{pmatrix}001\\000\\100\end{pmatrix}},\lambda _{5}={}{\begin{pmatrix}00-i\\000\\i00\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}{\begin{pmatrix}000\\001\\010\end{pmatrix}},\lambda _{7}={}{\begin{pmatrix}000\\00-i\\0i0\end{pmatrix}},\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}100\\010\\00-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Эти λ a охватывает все бесследные эрмитовы матрицы H алгебры Ли, как требуется. Обратите внимание, что λ 2, λ 5, λ 7 антисимметричны.

Они подчиняются соотношению

[T a, T b] = i ∑ c = 1 8 fabc T c, {T a, T b} = 1 3 δ ab I 3 + ∑ c = 1 8 dabc T c, {\ displaystyle {\ begin {align} \ left [T_ {a}, T_ {b} \ right] = i \ sum _ {c = 1} ^ {8} f_ {abc} T_ { c}, \\\ left \ {T_ {a}, T_ {b} \ right \} = {\ frac {1} {3}} \ delta _ {ab} I_ {3} + \ sum _ {c = 1} ^ {8} d_ {abc} T_ {c}, \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}

или, эквивалентно,

{λ a, λ b} = 4 3 δ ab I 3 + 2 ∑ с = 1 8 dabc λ с {\ displaystyle \ {\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b} \} = {\ frac {4} {3}} \ delta _ {ab} I_ {3} +2 \ sum _ {c = 1} ^ {8} {d_ {abc} \ lambda _ {c}}}

\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}

f - это структурные константы алгебры Ли, заданные как

е 123 = 1 {\ displaystyle f_ {123} = 1}

f_{123}=1

f 147 = - f 156 = f 246 = f 257 = f 345 = - f 367 = 1 2 {\ displaystyle f_ {147} = - f_ { 156} = f_ {246} = f_ {257} = f_ {345} = - f_ {367} = {\ frac {1} {2}}}

f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}

f 458 = f 678 = 3 2 {\ displaystyle f_ {458} = f_ {678} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}

, а все остальные f abc, не связанные с ними перестановкой, равны нулю. В общем, они исчезают, если они не содержат нечетное количество индексов из набора {2, 5, 7}.

Симметричные коэффициенты d принимают значения

d 118 = d 228 = d 338 = - d 888 = 1 3 {\ displaystyle d_ {118} = d_ {228} = d_ {338} = - d_ {888} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}

d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}

d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = - 1 2 3 {\ displaystyle d_ {448} = d_ {558} = d_ {668} = d_ {778} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {3) }}}}}

d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}

d 344 = d 355 = - d 366 = - d 377 = - d 247 = d 146 = d 157 = d 256 = 1 2. {\ displaystyle d_ {344} = d_ {355} = - d_ {366} = - d_ {377} = - d_ {247} = d_ {146} = d_ {157} = d_ {256} = {\ frac { 1} {2}} ~.}

d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}={\frac {1}{2}}~.

Они обращаются в нуль, если число индексов из набора {2, 5, 7} нечетное.

Общий групповой элемент SU (3), порожденный бесследной эрмитовой матрицей 3 × 3 H, нормированной как tr (H) = 2, может быть выражен как матричный полином второго порядка от H:

exp ⁡ (i θ H) = [- 1 3 I sin ⁡ (φ + 2 π 3) sin ⁡ (φ - 2 π 3) - 1 2 3 H sin ⁡ (φ) - 1 4 H 2] exp ⁡ (2 3 i θ sin ⁡ (φ)) cos ⁡ (φ + 2 π 3) cos ⁡ (φ - 2 π 3) + [- 1 3 I sin ⁡ (φ) sin ⁡ (φ - 2 π 3) - 1 2 3 H sin ⁡ (φ + 2 π 3) - 1 4 H 2] exp ⁡ (2 3 i θ sin ⁡ (φ + 2 π 3)) cos ⁡ (φ) cos ⁡ (φ - 2 π 3) + [ - 1 3 I sin ⁡ (φ) sin ⁡ (φ + 2 π 3) - 1 2 3 H sin ⁡ (φ - 2 π 3) - 1 4 H 2] exp ⁡ (2 3 i θ sin ⁡ (φ - 2 π 3)) соз ⁡ (φ) соз ⁡ (φ + 2 π 3) {\ Displaystyle {\ begin {align} \ exp (я \ theta H) = {} \ left [- {\ frac {1} {3}} I \ sin \ left (\ varphi + {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \ sin \ left (\ varphi - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {3}}}} ~ H \ sin (\ varphi) - {\ frac {1} {4}} ~ H ^ {2} \ right] {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} ~ i \ theta \ sin (\ varphi) \ right)} {\ cos \ left (\ varphi + {\ frac {2 \ pi } {3}} \ right) \ cos \ left (\ varphi - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right)}} \\ [6pt] {} + \ left [- {\ frac {1 } {3}} ~ I \ sin (\ varphi) \ sin \ left (\ varphi - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {3 }}}} ~ H \ sin \ left (\ varphi + {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) - {\ frac {1} {4}} ~ H ^ {2} \ right] { \ frac {\ exp \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} ~ i \ theta \ sin \ left (\ varphi + {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \ right)} {\ cos (\ varphi) \ cos \ left (\ varphi - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right)}} \\ [6pt] {} + \ left [- {\ frac {1} {3}} ~ I \ sin (\ varphi) \ sin \ left (\ varphi + {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {3}}}} ~ H \ sin \ left (\ varphi - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) - {\ frac {1} {4}} ~ H ^ {2} \ right] {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} ~ i \ theta \ sin \ left (\ varphi - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \ right)} {\ cos (\ varphi) \ cos \ left (\ varphi + {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right)}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\exp(i\theta H)= {}\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi)\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi)\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\r ight)}{\cos(\varphi)\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}

где

φ ≡ 1 3 [arccos ⁡ (3 3 2 det H) - π 2]. {\ displaystyle \ varphi \ Equiv {\ frac {1} {3}} \ left [\ arccos \ left ({\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} \ det H \ right) - { \ frac {\ pi} {2}} \ right].}

\varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].

Структура алгебры Ли

Как отмечалось выше, алгебра Ли $su (n) {\ displaystyle {\ mathfrak {su} } (n)}$ ${\mathfrak {su}}(n)$ из $SU ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$ $\operatorname {SU} (n)$ состоит из $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n\times n$ косоэрмитовы матрицы с нулевым следом.

комплексификация алгебры Ли $su (n) {\ displaystyle {\ mathfrak { su}} (n)}$ ${\mathfrak {su}}(n)$ равно $sl (n; C) {\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n; \ mathbb {C})}$ ${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C})$ , пространство всех комплексных матриц $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n\times n$ с нулевым следом. Затем подалгебра Картана состоит из диагональных матриц с нулевым следом, которые мы отождествляем с векторами в $C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\mathbb C}^{n}$ , сумма элементов которых равна нулю. Корни тогда состоят из всех n (n - 1) перестановок (1, −1, 0,..., 0).

Выбор простых корней :

(1, - 1, 0,…, 0, 0), (0, 1, - 1,…, 0, 0), ⋮ (0, 0, 0,…, 1, - 1). {\ Displaystyle {\ begin {align} (1, -1,0, \ точки, 0,0), \\ (0,1, -1, \ точки, 0,0), \\ \ vdots \\ (0,0,0, \ dots, 1, -1). \ End {align}}}

{\begin{aligned}(1,-1,0,\dots,0,0),\\(0,1,-1,\dots,0,0),\\\vdots \\(0,0,0,\dots,1,-1).\end{aligned}}

Итак, SU (n) имеет ранг n - 1 и его Dynkin диаграмма задается как A n − 1, цепочка из n - 1 узлов: ... . Его матрица Картана равна

(2 - 1 0… 0 - 1 2 - 1… 0 0 - 1 2… 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0… 2). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 -1 0 \ dots 0 \\ - 1 2 -1 \ dots 0 \\ 0 -1 2 \ dots 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 0 \ dots 2 \ end {pmatrix}}.}

{\begin{pmatrix}2-10\dots 0\\-12-1\dots 0\\0-12\dots 0\\\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots \\000\dots 2\end{pmatrix}}.

Ее группа Вейля или группа Кокстера - это симметрическая группа Sn, группа симметрии симплекса (n - 1) - .

Обобщенная специальная унитарная группа

Для поля F, обобщенная специальная унитарная группа над F, SU (p, q; F), является группой всех линейных преобразований детерминанта 1 векторного пространства ранга n = p + q над F, которые оставляют неизменной невырожденную, эрмитову форму подписи (p, q). Эту группу часто называют специальной унитарной группой сигнатуры p q над F . Поле F может быть заменено коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем.

В частности, зафиксируйте эрмитову матрицу A сигнатуры pq в $GL ⁡ (n, R) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {R})}$ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R})$ , тогда все

M ∈ SU ⁡ (p, q, R) {\ displaystyle M \ in \ operatorname {SU} (p, q, \ mathbb {R})}

M\i n \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R})

удовлетворяет

M ∗ AM = A det M = 1. {\ displaystyle {\ begin { выровненный} M ^ {*} AM = A \\\ det M = 1. \ end {align}}}

{\begin{aligned}M^{*}AM=A\\\det M=1.\end{aligned}}

Часто можно увидеть запись SU (p, q) без ссылки на кольцо или поле; в данном случае упоминается кольцо или поле $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ , и это дает одну из классических групп Ли. Стандартный выбор для A, когда $F = C {\ displaystyle \ operatorname {F} = \ mathbb {C}}$ $\operatorname {F} =\mathbb {C}$ равно

A = [0 0 i 0 I n - 2 0 - i 0 0]. {\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 0 i \\ 0 I_ {n-2} 0 \\ - i 0 0 \ end {bmatrix}}.}

A={\begin{bmatrix}00i\\0I_{n-2}0\\-i00\end{bmatrix}}.

Однако могут быть лучшие варианты для A для определенных размеров, которые демонстрируют больше поведения при ограничении до подстрок $C {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ .

Пример

Важным примером этого типа группы является модульная группа Пикара $SU ⁡ (2, 1; Z [i]) {\ displaystyle \ operatorname {SU} (2,1; \ mathbb {Z} [i])}$ $\operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])$ который действует (проективно) на комплекс гиперболическое пространство второй степени, так же, как $SL ⁡ (2, 9; Z) {\ displaystyle \ operatorname {SL} (2,9; \ mathbb {Z})}$ $\operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z})$ действует (проективно) на вещественном гиперболическом пространстве размерности два. В 2005 году Габор Франксикс и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область действия этой группы на HC.

Еще одним примером является $SU ⁡ (1, 1; C) { \ displaystyle \ operatorname {SU} (1,1; \ mathbb {C})}$ $\operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C})$ , который изоморфен $SL ⁡ (2, R) {\ displaystyle \ operatorname {SL} (2, \ mathbb {R})}$ $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R})$ .

Важные подгруппы

В физике специальная унитарная группа используется для представления бозонных симметрий. В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы SU (n), которые важны в физике GUT, для p>1, n - p>1,

SU ⁡ (n) ⊃ SU ⁡ (p) × SU ⁡ (n - p) × U ⁡ (1), {\ displaystyle \ operatorname {SU} (n) \ supset \ operatorname {SU} (p) \ times \ operatorname {SU} (np) \ times \ operatorname {U} (1),}

\operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),

где × обозначает прямое произведение, а U (1), известная как круговая группа, является мультипликативной группой всех комплексных чисел с абсолютным значением 1.

Для полноты, существуют также ортогональные и симплектические подгруппы,

SU ⁡ (n) ⊃ SO ⁡ (n), SU ⁡ (2 n) ⊃ Sp ⁡ (п). {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ OperatorName {SU} (n) \ supset \ operatorname {SO} (n), \\\ operatorname {SU} (2n) \ supset \ operatorname {Sp} (n). \ end {align}}}

{\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}

Поскольку ранг SU (n) равен n - 1, а U (1) равен 1, полезная проверка состоит в том, что сумма рангов подгруппы меньше или равны рангу исходной группы. SU (n) является подгруппой различных других групп Ли,

SO ⁡ (2 n) ⊃ SU ⁡ (n) Sp ⁡ (n) ⊃ SU ⁡ (n) Spin ⁡ (4) = SU ⁡ (2) × SU ⁡ (2) E 6 ⊃ SU ⁡ (6) E 7 ⊃ SU ⁡ (8) G 2 ⊃ SU ⁡ (3) {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {SO} (2n) \ supset \ operatorname {SU} (n) \\\ operatorname {Sp} (n) \ supset \ operatorname {SU} (n) \\\ operatorname {Spin} (4) = \ operatorname {SU} (2) \ раз \ operatorname {SU} (2) \\\ operatorname {E} _ {6} \ supset \ operatorname {SU} (6) \\\ operatorname {E} _ {7} \ supset \ operatorname {SU} (8) \\\ operatorname {G} _ {2} \ supset \ operatorname {SU} (3) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}

См. спин-группа и простой Группы Ли для E 6, E 7 и G 2.

Существуют также случайные изоморфизмы : SU (4) = Spin (6), SU (2) = Spin (3) = Sp (1) и U (1) = Spin (2) = SO (2).

Наконец, можно упомянуть, что SU (2) - это группа двойного накрытия SO (3), отношение, которое играет важную роль в теории вращений 2- спиноры в нерелятивистской квантовой механике.

Группа SU (1,1)

$SU (1, 1) = {[uvv ∗ u ∗] ∈ M (2, C): uu * - vv * = 1}, {\ displaystyle SU (1,1) = \ left \ {{\ begin {bmatrix} u v \\ v ^ {*} u ^ {*} \ end {bmatrix}} \ in M (2, \ mathbb {C}): \ uu ^ {*} - vv ^ {*} \ = \ 1 \ right \} ~, ~}$ $SU(1,1)=\left\{{\begin{bmatrix}uv\\v^{*}u^{*}\end{bmatrix}}\in M(2,\mathbb {C}):\ uu^{*}-vv^{*}\ =\ 1\right\}~,~$ где $u ∗ {\ displaystyle ~ u ^ {*} ~}$ $~u^{*}~$ обозначает комплексное сопряжение комплексного числа u.

Эта группа локально изоморфна SO (2,1) и SL (2, ℝ), где числа, разделенные запятой, относятся к сигнатуре квадратичной формы сохранено группой. Выражение $uu ∗ - vv ∗ {\ displaystyle ~ uu ^ {*} - vv ^ {*} ~}$ $~uu^{*}-vv^{*}~$ в определении SU (1,1) является эрмитовой формой, который становится изотропной квадратичной формой, когда u и v расширяются с их действительными компонентами. Раннее появление этой группы было как «единичная сфера» кокватернионов, представленных Джеймсом Коклом в 1852 году. Пусть

j = [0 1 1 0], k = [1 0 0 - 1], i = [0 1 - 1 0]. {\ Displaystyle J \, = \, {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {bmatrix}} \,, \ quad k \, = {\ begin {bmatrix} 1 \; ~ 0 \\ 0 -1 \ end {bmatrix}} \,, \ quad i \, = \, {\ begin {bmatrix} \; ~ 0 1 \\ - 1 0 \ end {bmatrix}} ~.}

j\,=\,{\begin{bmatrix}01\\10\end{bmatrix}}\,,\quad k\,={\begin{bmatrix}1\;~0\\0-1\end{bmatrix}}\,,\quad i\,=\,{\begin{bmatrix}\;~01\\-10\end{bmatrix}}~.

Тогда $jk = [ 0–1 1 0] = - я, {\ displaystyle ~ j \, k = {\ begin {bmatrix} 0 -1 \\ 1 \; ~ 0 \ end {bmatrix}} = - i ~, ~}$ $~j\,k={\begin{bmatrix}0-1\\1\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~$ $ijk = I 2 ≡ [1 0 0 1], {\ displaystyle ~ i \, j \, k \, = \, I_ {2} \, \ Equiv \, {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {bmatrix}} ~, ~}$ $~i\,j\,k\,=\,I_{2}\,\ equiv \,{\begin{bmatrix}10\\01\end{bmatrix}}~,~$ единичная матрица 2 × 2, $ki = j, {\ displaystyle ~ k \, i \, = \, j ~,}$ $~k\,i\,=\,j~,$ и $ij = k, {\ displaystyle \; i \, j = k \ ;,}$ $\;i\,j=k\;,$ и элементы i, j и k все антикоммутируют, например регулярные кватернионы. Также $i {\ displaystyle i}$ $i$ по-прежнему является квадратным корнем из −I 2 (отрицательное значение из единичной матрицы), тогда как $j 2 = k 2 = + I 2 {\ displaystyle ~ j ^ {2} = k ^ {2} = + I_ {2} ~}$ $~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~$ нет, в отличие от кватернионов. Для обоих кватернионов и кокватернионов все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные I 2, называемые единичным (со) кватернионом, а иногда и явно обозначенные как 1.

Кокватернион $q = w + xi + yj + zk {\ displaystyle ~ q \, = \, w + x \, i + y \, j + z \, k ~}$ $~q\,=\,w+x\,i+y\,j+z\,k~$ со скаляром w, имеет сопряженное $q = w - xi - yj - zk {\ displaystyle ~ q \, = \, wx \, iy \, jz \, k ~}$ $~q\,=\,w-x\,i-y\,j-z\,k~$ аналогично кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма: $q q ∗ = w 2 + x 2 - y 2 - z 2. {\ displaystyle ~ q \, q ^ {*} \, = \, w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} ~.}$ $~q\,q^{*}\,=\,w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}~.$

Обратите внимание, что 2 -лист гиперболоид ${xi + yj + zk: x 2 - y 2 - z 2 = 1} {\ displaystyle ~ \ {xi + yj + zk: x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = 1 \} ~}$ $~\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\}~$ соответствует мнимым единицам в алгебре, так что любую точку p на этом гиперболоиде можно использовать как полюс синусоидальной волны согласно формуле Эйлера.

Гиперболоид устойчив относительно SU (1,1), иллюстрируя изоморфизм с SO (2,1). Изменчивость полюса волны, как отмечалось в исследованиях поляризации, может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом $p ≠ ± я {\ Displaystyle ~ р \ neq \ pm я ~}$ $~p\neq \pm i~$ . Модель сферы Пуанкаре, используемая с 1892 года, сравнивается с моделью двухлистного гиперболоида.

Когда элемент SU (1,1) интерпретируется как преобразование Мёбиуса, он оставляет единичный диск стабильным, поэтому эта группа представляет движения модели диска Пуанкаре геометрии гиперболической плоскости. В самом деле, для точки [z, 1 ] на комплексной проективной прямой действие SU (1,1) определяется как

[ z, 1] [uvv * u *] = [uz + v *, vz + u *] ∼ [uz + v * vz + u *, 1] {\ displaystyle {\ bigl [} \; z, \; 1 \; {\ bigr]} \, {\ begin {bmatrix} u v \\ v ^ {*} u ^ {*} \ end {bmatrix}} \, = \, [\; u \, z + v ^ { *}, \, v \, z + u ^ {*} \;] \, \ Thicksim \, \ left [\; {\ frac {uz + v ^ {*}} {vz + u ^ {*}} }, \, 1 \; \ right]}

{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{bmatrix}uv\\v^{*}u^{*}\end{bmatrix}}\,=\,[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,\thicksim \,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]

, поскольку в проективных координатах $[uz + v ∗, vz + u ∗] ∼ [uz + v ∗ vz + u ∗, 1 ]. {\ displaystyle [\; u \, z + v ^ {*}, \; v \, z + u ^ {*} \;] \, \ Thicksim \, \ left [\; {\ frac {\, u \, z + v ^ {*} \,} {v \, z + u ^ {*}}}, \; 1 \; \ right] ~.}$ $[\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;]\,\thicksim \,\left[\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right]~.$

Запись $suv + suv ¯ = 2 ℜ (внедорожник), {\ Displaystyle \; внедорожник + {\ overline {suv}} \, = \, 2 \, \ Re \, {\ bigl (} \, внедорожник \, {\ bigr)} \ ;,}$ $\;suv+{\overline {suv}}\,=\,2\,\Re \,{\bigl (}\,suv\,{\bigr)}\;,$ арифметика комплексных чисел показывает

| u z + v ∗ | 2 = S + z z ∗ и | v z + u ∗ | 2 = S + 1, {\displaystyle {\bigl |}\,u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}\,=\,S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}\,v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}\,=\,S+1~,}

{\bigl |}\,u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}\,=\,S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}\,v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}\,=\,S+1~,

where $S = v v ∗ ( z z ∗ + 1) + 2 ℜ ( u v z). {\displaystyle ~S\,=\,v\,v^{*}(z\,z^{*}+1)+2\,\Re \,{\bigl (}\,uvz\,{\bigr)}~.}$ $~S\,=\,v\,v^{*}(z\,z^{*}+1)+2\,\Re \,{\bigl (}\,uvz\,{\bigr)}~.$ Therefore, $z z ∗ < 1 ⟹ | u z + v ∗ | < | v z + u ∗ | {\displaystyle ~z\,z^{*}<1~\implies ~{\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}~}$ $~z\,z^{*}<1~\implies ~{\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}~$ so that their ratio lies in the open disk.