Войти
В математике квадратичная форма над полем F называется изотропной, если существует ненулевой вектор, на котором форма равна нулю. В противном случае квадратичная форма анизотропна. Точнее, если q - квадратичная форма на векторном пространстве V над F, то ненулевой вектор v в V называется изотропным, если q ( v) = 0. Квадратичная форма изотропна тогда и только тогда, когда существует ненулевой изотропный вектор (или нулевой вектор ) для этой квадратичной формы.
Предположим, что ( V, q) - квадратичное пространство, а W - подпространство. Тогда W называется изотропным подпространством в V, если некоторый вектор в нем изотропен, полностью изотропным подпространством, если все векторы в нем изотропны, и анизотропным подпространством, если оно не содержит никаких (ненулевых) изотропных векторов. В индекс изотропности квадратичного пространства - это максимум размерностей полностью изотропных подпространств.
Квадратичная форма q на конечномерном вещественном векторном пространстве V является анизотропной тогда и только тогда, когда q является определенной формой :
В более общем смысле, если квадратичная форма невырождена и имеет сигнатуру ( a, b), то ее индекс изотропии равен минимуму a и b. Важный пример изотропной формы над вещественными числами встречается в псевдоевклидовом пространстве.
Пусть F - поле характеристики, отличной от 2, и V = F 2. Если мы рассмотрим общий элемент ( х, у) из V, то квадратичные формы д = х и г = х 2 - у 2 эквивалентны, так как существует линейное преобразование на V, что делает Q выглядеть г, и наоборот. Очевидно, ( V, q) и ( V, r) изотропны. Этот пример в теории квадратичных форм называется гиперболической плоскостью. В общем случае F = действительные числа, и в этом случае { x ∈ V : q ( x) = ненулевая константа} и { x ∈ V : r ( x) = ненулевая константа} являются гиперболами. В частности, { x ∈ V : r ( x) = 1} - единичная гипербола. Обозначение ⟨1⟩ ⊕ ⟨− 1⟩ использовалось Милнором и Хусемоллером для гиперболической плоскости, поскольку знаки членов двумерного полинома r выставлены.
Аффинная гиперболическая плоскость была описана Эмилем Артиным как квадратичное пространство с базисом { M, N }, удовлетворяющим M 2 = N 2 = 0, NM = 1, где произведения представляют квадратичную форму.
Через поляризационное тождество квадратичная форма связана с симметричной билинейной формой B ( u, v) = 1/4( q ( u + v) - q ( u - v)).
Два вектора U и V является ортогональным, когда B ( U, V) = 0. В случае гиперболической плоскости, так у и v является гиперболическими ортогональны.
Пространство квадратичной формы расщепляется (или метаболически), если существует подпространство, равное его собственному ортогональному дополнению ; эквивалентно, индекс изотропии равен половине размерности. Гиперболическая плоскость является примером, а над полем характеристики, не равной 2, каждое расщепленное пространство представляет собой прямую сумму гиперболических плоскостей.
С точки зрения классификации квадратичных форм, анизотропные пространства являются основными строительными блоками для квадратичных пространств произвольной размерности. Для общего поля F классификация анизотропных квадратичных форм является нетривиальной задачей. Напротив, с изотропными формами обычно намного проще обращаться. По теореме Витта о разложении каждое внутреннее пространство продукта над полем является ортогональной прямой суммой расщепленного пространства и анизотропного пространства.
