Гиперболическая ортогональность

Евклидова ортогональность сохраняется поворотом на левой диаграмме; гиперболическая ортогональность относительно гиперболы (B) сохраняется гиперболическим вращением в правой диаграмме

В геометрии отношение гиперболической ортогональности между двумя линиями, разделенными асимптотами гиперболы, является понятием, используемым в специальной теории относительности для определения одновременных событий. Два события будут одновременными, если они находятся на линии, гиперболически ортогональной определенной временной шкале. Эта зависимость от определенной временной шкалы определяется скоростью и является основой относительности одновременности.

Две прямые являются гиперболически ортогональными, если они являются отражениями друг друга над асимптотой данной гиперболы. На плоскости часто используются две особые гиперболы:

(A) xy = 1 с y = 0 в качестве асимптоты.

При отражении по оси x линия y = mx становится y = - mx.

В этом случае линии гиперболические ортогональными, если их наклоны являются аддитивными обратными.

(B) x ² - y ² = 1 с y = x в качестве асимптоты.

Для прямых y = mx с −1 lt; m lt;1, когда x = 1 / m, то y = 1.

Точка (1 / m, 1) на линии отражается через y = x до (1, 1 / m).

Следовательно, отраженная линия имеет наклон 1 / м, а наклоны гиперболических ортогональных линий обратны друг другу.

Отношение гиперболической ортогональности действительно применяется к классам параллельных прямых на плоскости, где любая конкретная линия может представлять класс. Таким образом, для данной гиперболы и асимптот А, пара линий (, б) гиперболическая ортогональной, если существует пара ( с, d) таким образом, что и с является отражением D через A. ${\ displaystyle a \ rVert c, \ b \ rVert d}$

Подобно перпендикулярности радиуса окружности касательной, радиус гиперболы гиперболически ортогонален касательной к гиперболе.

Билинейная форма используется для описания ортогональность в аналитической геометрии, с двумя элементами, ортогональных, когда их билинейной формы обращается в нуль. В плоскости комплексных чисел билинейная форма имеет вид, а в плоскости гиперболических чисел билинейная форма имеет вид${\ displaystyle z_ {1} = u + iv, \ quad z_ {2} = x + iy}$${\ displaystyle xu + yv}$ ${\ displaystyle w_ {1} = u + jv, \ quad w_ {2} = x + jy,}$${\ displaystyle xu-yv.}$

Векторы z 1 и z 2 в плоскости комплексных чисел и w 1 и w 2 в плоскости гиперболических чисел называются соответственно евклидовыми ортогональными или гиперболическими ортогональными, если их соответствующие внутренние произведения [билинейные формы] равны нулю.

Билинейная форма может быть вычислена как действительная часть комплексного произведения одного числа на сопряжение другого. затем

${\ displaystyle z_ {1} z_ {2} ^ {*} + z_ {1} ^ {*} z_ {2} = 0}$ влечет за собой перпендикулярность в комплексной плоскости, а

${\ displaystyle w_ {1} w_ {2} ^ {*} + w_ {1} ^ {*} w_ {2} = 0}$означает, что буквы w гиперболически ортогональны.

Понятие гиперболической ортогональности возникло в аналитической геометрии при рассмотрении сопряженных диаметров эллипсов и гипербол. если g и g ′ представляют собой наклоны сопряженных диаметров, то в случае эллипса и в случае гиперболы. Когда a = b, эллипс является окружностью, и сопряженные диаметры перпендикулярны, тогда как гипербола прямоугольная, а сопряженные диаметры гиперболо-ортогональны. ${\ displaystyle gg '= - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$${\ displaystyle gg '= {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$

В терминологии проективной геометрии операция взятия гиперболической ортогональной прямой является инволюцией. Предположим, что наклон вертикальной прямой обозначен как ∞, так что все прямые имеют наклон проективно продолженной вещественной прямой. Тогда какая бы гипербола (A) или (B) не использовалась, операция является примером гиперболической инволюции, где асимптота инвариантна. Гиперболически ортогональные прямые лежат в разных секторах плоскости, определяемых асимптотами гиперболы, таким образом, отношение гиперболической ортогональности является неоднородным отношением на множествах прямых на плоскости.

Так как Герман Минковский фонда «s для пространственно - временного исследования в 1908 году, концепция точек в пространстве - времени плоскости, гиперболического ортогональной к временной шкале (касательной к мировой линии ) используется для определения одновременности событий относительно временной шкалы. В развитии Минковского используется гипербола типа (B), описанная выше. Два вектора ( x1, y1, z1, t1) и ( x2, y2, z2, t2) нормальны (то есть гиперболически ортогональны), когда

${\ displaystyle c ^ {2} \ t_ {1} \ t_ {2} -x_ {1} \ x_ {2} -y_ {1} \ y_ {2} -z_ {1} \ z_ {2} = 0.}$

Когда c = 1 и y s и z s равны нулю, тогда x1 ≠ 0, t2 ≠ 0. ${\ displaystyle {\ frac {c \ t_ {1}} {x_ {1}}} = {\ frac {x_ {2}} {c \ t_ {2}}}}$

Для гиперболы с асимптотой A ее отражение в A дает сопряженную гиперболу. Любой диаметр исходной гиперболы отражается в сопряженный диаметр. Направления, обозначенные сопряженными диаметрами, взяты за оси пространства и времени в теории относительности. Как писал ET Whittaker в 1910 году, «[] гипербола остается неизменной, когда любая пара сопряженных диаметров берется за новые оси, и новая единица длины берется пропорциональна длине любого из этих диаметров». На этом принципе относительности он затем написал преобразование Лоренца в современной форме, используя скорость.

Эдвин Бидвелл Уилсон и Гилберт Н. Льюис разработали эту концепцию в рамках синтетической геометрии в 1912 году. Они отмечают, что «в нашей плоскости никакая пара перпендикулярных [гиперболо-ортогональных] линий не подходит для использования в качестве осей координат лучше, чем любая другая пара»

• Г. Д. Биркгоф (1923) Относительность и современная физика, страницы 62,3, Harvard University Press.
• Франческо Катони, Дино Боккалетти и Роберто Канната (2008) Математика пространства Минковского, Birkhäuser Verlag, Базель. См. Стр. 38, Псевдоортогональность.
• Роберт Голдблатт (1987) Ортогональность и геометрия пространства-времени, глава 1: Поездка на поезде Эйнштейна, Universitext Springer-Verlag ISBN   0-387-96519-X MR 0888161
• Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. WH Freeman amp; Co. стр.  58. ISBN   0-7167-0344-0.