Гиперболоид

редактировать

Не путать с гиперболическим параболоидом, седловидной поверхностью.

Гиперболоид одного листа

Гиперболоид из двух листов

В геометрии, A гиперболоид вращения, иногда называется круговым гиперболоидом, является поверхность генерируется путем вращения гиперболы вокруг одной из его главных осей. Гиперболоид является поверхностью, полученной из гиперболоида вращения, деформируя его с помощью направленных скейлингов, или в более общем случае, из аффинного преобразования.

Гиперболоида представляет собой поверхность второго порядка, то есть поверхность определяется как нулевой набор из более полинома степени два в трех переменных. Среди квадратичных поверхностей гиперболоид характеризуется тем, что он не является конусом или цилиндром, имеет центр симметрии и пересекает множество плоскостей в гиперболы. Гиперболоид имеет три попарно перпендикулярные оси симметрии и три попарно перпендикулярные плоскости симметрии.

Для данного гиперболоида, если выбрать декартову систему координат, оси которой являются осями симметрии гиперболоида, а начало координат - центром симметрии гиперболоида, то гиперболоид может быть определен одним из двух следующих уравнений:

{\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1, }

{\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1, }

или же

{\ displaystyle {x ^ {2} \ над a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = - 1.}

{\ displaystyle {x ^ {2} \ над a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = - 1.}

Обе поверхности асимптотичны конусу уравнения

{\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0. }

{\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0. }

Поверхность является гиперболоидом вращения тогда и только тогда, когда В противном случае оси определены однозначно ( до замены оси x и оси y). ${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}.}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}.}$

Есть два вида гиперболоидов. В первом случае ( +1 в правой части уравнения): однополостный гиперболоид, также называемый гиперболическим гиперболоидом. Это связная поверхность с отрицательной гауссовой кривизной в каждой точке. Это означает, что около каждой точки пересечение гиперболоида и его касательной плоскости в этой точке состоит из двух ветвей кривой, которые имеют различные касательные в этой точке. В случае однополостного гиперболоида эти ветви кривых являются линиями, и, следовательно, однополостный гиперболоид представляет собой двояковыпуклую поверхность.

Во втором случае ( −1 в правой части уравнения): двухлистный гиперболоид, также называемый эллиптическим гиперболоидом. Поверхность имеет две компоненты связности и положительную гауссову кривизну в каждой точке. Таким образом, поверхность является выпуклой в том смысле, что касательная плоскость в каждой точке пересекает поверхность только в этой точке.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Параметрические представления
- 1.1 Обобщенные уравнения
2 свойства
- 2.1 Гиперболоид одного листа
  - 2.1.1 Линии на поверхности
  - 2.1.2 Плоские разрезы
- 2.2 Гиперболоид двух листов
- 2.3 Другие свойства
  - 2.3.1 Симметрии
  - 2.3.2 Кривизна
3 Более чем в трех измерениях
4 Гиперболоидные структуры
5 Отношение к сфере
6 См. Также
7 ссылки
8 Внешние ссылки

Параметрические представления

Анимация гиперболоида вращения

Можно определить декартовы координаты для гиперболоидов, аналогично сферическим координатам, сохраняя азимутальный угол θ ∈ [0, 2 π), но изменяя наклон v в гиперболические тригонометрические функции :

Одноповерхностный гиперболоид: v ∈ (−∞, ∞)

{\ displaystyle {\ begin {align} x amp; = a \ cosh v \ cos \ theta \\ y amp; = b \ cosh v \ sin \ theta \\ z amp; = c \ sinh v \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x amp; = a \ cosh v \ cos \ theta \\ y amp; = b \ cosh v \ sin \ theta \\ z amp; = c \ sinh v \ end {align}}}

Двухповерхностный гиперболоид: v ∈ [0, ∞)

{\ displaystyle {\ begin {align} x amp; = a \ sinh v \ cos \ theta \\ y amp; = b \ sinh v \ sin \ theta \\ z amp; = \ pm c \ cosh v \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x amp; = a \ sinh v \ cos \ theta \\ y amp; = b \ sinh v \ sin \ theta \\ z amp; = \ pm c \ cosh v \ end {align}}}

гиперболоид одного листа: создание вращающейся гиперболой (вверху) и линией (внизу: красный или синий)

гиперболоид одного листа: плоские сечения

Следующее параметрическое представление включает гиперболоиды одного листа, двух листов и их общий граничный конус, каждый с осью -осью в качестве оси симметрии: ${\ displaystyle z}$ $z$

${\ displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = \ left ({\ begin {array} {lll} a {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ cos t \\ b {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ sin t \\ cs \ end {array}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = \ left ({\ begin {array} {lll} a {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ cos t \\ b {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ sin t \\ cs \ end {array}} \ right)}$

Так как получается гиперболоид из одного листа, ${\ displaystyle dgt; 0}$ $dgt; 0$
Для гиперболоида из двух листов и ${\ displaystyle d lt;0}$ ${\ displaystyle d lt;0}$
Для двойного конуса. ${\ displaystyle d = 0}$ $d = 0$

Можно получить параметрическое представление гиперболоида с другой координатной осью в качестве оси симметрии, перетасовывая положение члена к соответствующему компоненту в приведенном выше уравнении. ${\ displaystyle cs}$ ${\ displaystyle cs}$

Обобщенные уравнения

В более общем смысле, произвольно ориентированный гиперболоид с центром в точке v определяется уравнением

{\ Displaystyle (\ mathbf {xv}) ^ {\ mathrm {T}} A (\ mathbf {xv}) = 1,}

({\ mathbf {xv}}) ^ {{\ mathrm {T}}} A ({\ mathbf {xv}}) = 1,

где A - матрица, а x, v - векторы.

В собственных векторах из А определяют основные направления гиперболоида и собственные значения матрицы А являются обратными квадратами полуосей:, и. Однолистовой гиперболоид имеет два положительных собственных значения и одно отрицательное собственное значение. Двухлистный гиперболоид имеет одно положительное собственное значение и два отрицательных собственных значения. ${\ displaystyle {1 / a ^ {2}}}$ ${1 / а ^ {2}}$ ${\ displaystyle {1 / b ^ {2}}}$ ${1 / b ^ {2}}$ ${\ displaystyle {1 / c ^ {2}}}$ ${1 / c ^ {2}}$

Характеристики

Гиперболоид одного листа

Линии на поверхности

Гиперболоид из одного листа состоит из двух пучков линий. Это двояковыпуклая поверхность.

Если гиперболоид имеет уравнение, то прямые ${\ displaystyle {x ^ {2} \ над a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ над a ^ {2}} + {y ^ {2} \ над b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$

{\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {\ pm}: {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} a \ cos \ alpha \\ b \ sin \ alpha \\ 0 \ end {pmatrix }} + t \ cdot {\ begin {pmatrix} -a \ sin \ alpha \\ b \ cos \ alpha \\\ pm c \ end {pmatrix}} \, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ 0 \ leq \ alpha \ leq 2 \ pi \}

{\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {\ pm}: {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} a \ cos \ alpha \\ b \ sin \ alpha \\ 0 \ end {pmatrix }} + t \ cdot {\ begin {pmatrix} -a \ sin \ alpha \\ b \ cos \ alpha \\\ pm c \ end {pmatrix}} \, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ 0 \ leq \ alpha \ leq 2 \ pi \}

содержатся в поверхности.

В случае, если гиперболоид является поверхностью вращения и может быть создан путем вращения одной из двух линий или, которые наклонены к оси вращения (см. Рисунок). Это свойство называется теоремой Рена. Более распространенная генерация однополостного гиперболоида вращения - это вращение гиперболы вокруг своей малой полуоси (см. Рисунок; вращение гиперболы вокруг своей другой оси дает двухлистную гиперболу вращения). ${\ displaystyle a = b}$ $а = б$ ${\ displaystyle g_ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle g_ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle g_ {0} ^ {-}}$ ${\ displaystyle g_ {0} ^ {-}}$

Гиперболоид из одного листа проективно эквивалентен гиперболическому параболоиду.

Плоские секции

Для простоты рассмотрены плоские сечения единичного гиперболоида с уравнением. Поскольку гиперболоид в общем положении является аффинным образом единичного гиперболоида, результат применим и к общему случаю. ${\ displaystyle \ H_ {1}: x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ H_ {1}: x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 1}$

Плоскость с наклоном меньше 1 (1 - наклон прямых на гиперболоиде) пересекается по эллипсу, ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_ {1}$
Самолет с наклоном, равным 1, содержащей начало пересекается в паре параллельных линий, ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_ {1}$
Плоскость с наклоном 1, не содержащая начала координат, пересекается по параболе, ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_ {1}$
Тангенциальная плоскость пересекает в паре пересекающихся линий, ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_ {1}$
Не-касательная плоскость с наклоном больше, чем 1 пересекает в гиперболы. ${\ displaystyle H_ {1}}$ $H_ {1}$

Очевидно, что любой однополостный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. Круглый раздел ).

Гиперболоид из двух листов

гиперболоид двух листов: создание вращением гиперболы

гиперболоид двух листов: плоские сечения

Гиперболоид двух листов не содержит линий. Обсуждение плоских сечений можно провести для единичного гиперболоида двух листов с помощью уравнения

{\ displaystyle H_ {2}: \ x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1}

{\ displaystyle H_ {2}: \ x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1}

который может быть создан вращающейся гиперболой вокруг одной из своих осей (той, которая пересекает гиперболу)

Плоскость с наклоном меньше 1 (1 - наклон асимптот порождающей гиперболы) пересекается либо по эллипсу, либо по точке, либо вообще не пересекается, ${\ displaystyle H_ {2}}$ $H_ {2}$
Плоскость с наклоном 1, содержащая начало координат (середину гиперболоида), не пересекается, ${\ displaystyle H_ {2}}$ $H_ {2}$
Плоскость с уклоном 1, не содержащая начала координат, пересекается по параболе, ${\ displaystyle H_ {2}}$ $H_ {2}$
Самолет с наклоном больше, чем 1 пересекает в гиперболы. ${\ displaystyle H_ {2}}$ $H_ {2}$

Очевидно, что любой двухлистный гиперболоид вращения содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. Круглый раздел ).

Замечание: Гиперболоид из двух листов проективно эквивалентен сфере.

Прочие свойства

Симметрии

Гиперболоиды с уравнениями : ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1, \ quad {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } - {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = - 1 \}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1, \ quad {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } - {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = - 1 \}$

точки, симметричные началу координат,
симметричны координатным плоскостям и
вращение симметрично оси z и симметрично любой плоскости, содержащей ось z, в случае (гиперболоид вращения). ${\ displaystyle a = b}$ $а = б$

Кривизна

В то время как гауссова кривизна гиперболоида одного листа отрицательна, кривизна двухлистного гиперболоида положительна. Несмотря на свою положительную кривизну, гиперболоид из двух листов с другой подходящей метрикой также может использоваться в качестве модели для гиперболической геометрии.

Более чем в трех измерениях

Воображаемые гиперболоиды часто встречаются в математике более высоких измерений. Например, в псевдоевклидовом пространстве используется квадратичная форма :

{\ displaystyle q (x) = \ left (x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} \ right) - \ left (x_ {k + 1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right), \ quad k lt;n.}

{\ displaystyle q (x) = \ left (x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} \ right) - \ left (x_ {k + 1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right), \ quad k lt;n.}

Когда c - любая константа, то часть пространства, заданная формулой

{\ Displaystyle \ lbrace х \: \ q (х) = с \ rbrace}

\ lbrace x \: \ q (x) = c \ rbrace

называется гиперболоидом. Вырожденный случай соответствует c = 0.

В качестве примера рассмотрим следующий отрывок:

... векторы скорости всегда лежат на поверхности, которую Минковский называет четырехмерным гиперболоидом, поскольку, выраженное в терминах чисто вещественных координат ( y 1,..., y 4), его уравнение имеет вид y² _{1+ y² _{2+ y² _{3- у² _{4= −1, аналог гиперболоида y² _{1+ y² _{2- у² _{3= −1 трехмерного пространства.}}}}}}}

Однако термин квазисфера также используется в этом контексте, поскольку сфера и гиперболоид имеют некоторую общность (см. Раздел « Связь со сферой» ниже).

Гиперболоидные структуры

Основная статья: Гиперболоидная структура

В строительстве используются однополостные гиперболоиды, структуры которых называются гиперболоидными структурами. Гиперболоид - это двояковыпуклая поверхность ; таким образом, он может быть построен из прямых стальных балок, что дает прочную конструкцию с меньшими затратами, чем другие методы. Примеры включают градирни, особенно электростанций, и многие другие конструкции.

Галерея однополостных гиперболоидных структур
Аджигольский маяк, Украина, 1911.
Башня порта Кобе, Япония, 1963 год.
Планетарий Джеймса С. Макдоннелла Научного центра Сент-Луиса, Сент-Луис, штат Миссури, 1963 год.
Диспетчерская вышка международного аэропорта Ньюкасла, Ньюкасл-апон-Тайн, Англия, 1967 год.
Передающая башня Ештед, Чехия, 1968 год.
Собор Бразилиа, Бразилия, 1970 год.
Гиперболоидная водонапорная башня с тороидальным резервуаром, Цеханув, Польша, 1972 год.
Рой Томсон Холл, Торонто, Канада, 1982.
THTR-300 градирни для теперь выведена из эксплуатации ториевого ядерного реактора в Hamm -Uentrop, Германия, 1983.
Corporation Street Bridge, Манчестер, Англия, 1999.
Killesberg смотровая башня, Штутгарт, Германия, 2001.
BMW Welt, (BMW World), музей и место проведения мероприятия, Мюнхен, Германия, 2007.
Canton Tower, Китай, 2010.
Essarts-ле-Руа водонапорная башня, Франция.

Отношение к сфере

В 1853 году Уильям Роуэн Гамильтон опубликовал свои « Лекции о кватернионах», в которых были представлены бикватернионы. Следующий отрывок со страницы 673 показывает, как Гамильтон использует алгебру бикватернионов и векторы из кватернионов для создания гиперболоидов из уравнения сферы :

... уравнение единичной сферы ρ ² + 1 = 0, и изменим вектор ρ на бивекторную форму, такую как σ + τ √ −1. Уравнение сферы затем распадается на систему из двух следующих:

σ ² - τ ² + 1 = 0, S. στ = 0 ;

и предлагает рассматривать σ и τ как два действительных и прямоугольных вектора, так что

Т τ = ( Т σ ² - 1) ^1/2.

Отсюда легко сделать вывод, что если мы предположим σ λ

{\ displaystyle \ parallel}

\ parallel

, где λ - вектор в данной позиции, новый действительный вектор σ + τ закончится на поверхности двуполостного и равностороннего гиперболоида ; и что если, с другой стороны, принять τ λ

{\ displaystyle \ parallel}

\ parallel

, то геометрическое место конца вещественного вектора σ + τ будет равносторонним, но однополостным гиперболоидом. Таким образом, изучение этих двух гиперболоидов очень просто через бикватернионы связано с изучением сферы;...

В этом отрывке S - это оператор, задающий скалярную часть кватерниона, а T - «тензор», теперь называемый нормой, кватерниона.

Современный взгляд на объединение сферы и гиперболоида использует идею конического сечения как среза квадратичной формы. Вместо конической поверхности требуются конические гиперповерхности в четырехмерном пространстве с точками p = ( w, x, y, z) ∈ R ^4, определяемыми квадратичными формами. Сначала рассмотрим коническую гиперповерхность

{\ Displaystyle P = \ lbrace p \: \ w ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ rbrace}

P = \ lbrace p \: \ w ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ rbrace

а также

{\ Displaystyle H_ {r} = \ lbrace p \: \ w = r \ rbrace,}

H_ {r} = \ lbrace p \: \ w = r \ rbrace,

которая является гиперплоскостью.

Тогда это сфера радиуса r. С другой стороны, коническая гиперповерхность ${\ displaystyle P \ cap H_ {r}}$ $P \ cap H_ {r}$

{\ Displaystyle Q = \ lbrace p \: \ w ^ {2} + z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} \ rbrace}

Q = \ lbrace p \: \ w ^ {2} + z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} \ rbrace

при условии, что это гиперболоид.

{\ displaystyle Q \ cap H_ {r}}

Q \ cap H_ {r}

В теории квадратичных форм, А блок квази-сфера является подмножеством квадратичного пространства X, состоящее из х ∈ Х такая, что квадратичная норма х равна единице.

Смотрите также

Воспроизвести медиа Шуховская гиперболоидная башня (1898 г.) в Выксе, Россия

Рекомендации

Вильгельм Блашке (1948) Analytische Geometrie, Kapital V: "Quadriken", Wolfenbutteler Verlagsanstalt.
Дэвид А. Браннан, М. Ф. Эсплен и Джереми Дж. Грей (1999) Геометрия, стр. 39–41 Cambridge University Press.
HSM Coxeter (1961) Введение в геометрию, стр. 130, John Wiley amp; Sons.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболоид». MathWorld.