Теория представлений SU (2)

В изучении теории представлений о группах Ли, изучение представлений SU (2) имеет основополагающее значение для изучения представлений полупростых групп Ли. Это первый случай группы Ли, которая одновременно является компактной и неабелевой группой. Первое условие подразумевает, что теория представлений дискретна: представления являются прямыми суммами набора основных неприводимых представлений (регулируемых теоремой Питера – Вейля ). Второй означает, что будут существовать неприводимые представления в размерностях больше 1.

SU (2) - универсальная накрывающая группа группы SO (3), и поэтому ее теория представлений включает в себя ее представление посредством сюръективного гомоморфизма к ней. Это лежит в основе значения SU (2) для описания нерелятивистского спина в теоретической физике ; см. ниже другой физический и исторический контекст.

Как показано ниже, конечномерные неприводимые представления SU (2) индексируются неотрицательным целым числом и имеют размерность. В физической литературе представления обозначаются количеством, где тогда либо целое, либо полуцелое число, а размерность -. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle l = m / 2}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle 2l + 1}$

• 1 Представления алгебры Ли
  • 1.1 Вещественные и комплексифицированные алгебры Ли
  • 1.2 Веса и структура представления
  • 1.3 Элемент Казимира
• 2 Представления групп
  • 2.1 Действия над полиномами
  • 2.2 Персонажи
  • 2.3 Связь с представлениями SO (3)
• 3 Другой подход
• 4 Важнейшие неприводимые представления и их приложения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Смотрите также: Специальная линейная алгебра Ли § Теория представлений

Представления группы находятся на рассмотрении представлений, в алгебре Ли SU (2). Поскольку группа SU (2) односвязна, каждое представление ее алгебры Ли может быть интегрировано в представление группы; мы дадим явную конструкцию представлений на групповом уровне ниже. Ссылка на этот материал - раздел 4.6 ( Hall 2015). ${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (2)}$

Вещественные и комплексифицированные алгебры Ли

Реальная алгебра Ли имеет базис, задаваемый формулой ${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (2)}$

${\ displaystyle u_ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; i \\ i amp; 0 \ end {bmatrix}} \ qquad u_ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 amp; -1 \\ 1 amp; 0 \ end {bmatrix}} \ qquad u_ {3} = {\ begin {bmatrix} i amp; 0 \\ 0 amp; -i \ end {bmatrix}} ~,}$

(Эти базисные матрицы связаны с матрицами Паули посредством и) ${\ Displaystyle и_ {1} = + я \ \ sigma _ {1} ~, \, и_ {2} = - я \ \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle u_ {3} = + i \ \ sigma _ {3} ~.}$

Матрицы представляют собой кватернионы :

${\ displaystyle u_ {1} \, u_ {1} = - I \,; ~~ \ quad u_ {2} \, u_ {2} = - I \,; ~~ \ quad u_ {3} \, u_ {3} = - I \,;}$

${\ displaystyle u_ {1} \, u_ {2} = + u_ {3} \,; \ quad u_ {2} \, u_ {3} = + u_ {1} \,; \ quad u_ {3} \, u_ {1} = + u_ {2} \,;}$

${\ displaystyle u_ {2} \, u_ {1} = - u_ {3} \,; \ quad u_ {3} \, u_ {2} = - u_ {1} \,; \ quad u_ {1} \, u_ {3} = - u_ {2} \,.}$

где I - стандартная единичная матрица 2 × 2:${\ displaystyle ~~ I = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 \ end {bmatrix}} \,.}$

Следовательно, коммутаторные скобки матриц удовлетворяют

${\ displaystyle [u_ {1}, u_ {2}] = 2u_ {3} \,; \ quad [u_ {2}, u_ {3}] = 2u_ {1} \,; \ quad [u_ {3}, u_ {1}] = 2u_ {2} \,.}$

Тогда удобно перейти к комплексифицированной алгебре Ли

${\ Displaystyle \ mathrm {su} (2) + я \, \ mathrm {su} (2) = \ mathrm {sl} (2; \ mathbb {C})}$.

(Косые самосопряженные матрицы с нулевым следом плюс самосопряженные матрицы с нулевым следом дают все матрицы с нулевым следом.) Пока мы работаем с представлениями, этот переход от вещественной алгебры Ли к комплексифицированной алгебре безвреден. Причина перехода к комплексификации состоит в том, что она позволяет нам построить хороший базис типа, которого нет в реальной алгебре Ли. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (2)}$

Комплексифицированная алгебра Ли порождается тремя элементами, и, задаваемый ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {i}} u_ {3}; \ quad X = {\ frac {1} {2i}} (u_ {1} -iu_ {2}); \ quad Y = {\ frac {1} {2i}} (u_ {1} + iu_ {2}),}$

или, явно,

${\ displaystyle H = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; -1 \ end {bmatrix}}; \ quad X = {\ begin {bmatrix} 0 amp; 1 \\ 0 amp; 0 \ end {bmatrix}}; \ quad Y = { \ begin {bmatrix} 0 amp; 0 \\ 1 amp; 0 \ end {bmatrix}} ~.}$

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

${\ Displaystyle [H, X] = 2X, \ quad [H, Y] = - 2Y, \ quad [X, Y] = H}$.

До 2 раза, то элементы, и могут быть идентифицированы с операторами углового момента, и, соответственно. Фактор 2 - это несоответствие между математическими и физическими соглашениями; мы попытаемся упомянуть оба соглашения в следующих результатах. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle J _ {+}}$${\ displaystyle J _ {-}}$

Веса и структура представительства

В этом случае собственные значения называются весами представления. Следующий элементарный результат является ключевым этапом анализа. Предположим, что это собственный вектор для с собственным значением, то есть, что. потом ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle H \ cdot v = \ alpha v}$

${\ displaystyle {\ begin {align} H \ cdot (X \ cdot v) amp; = (\ alpha +2) X \ cdot v \\ [3pt] H \ cdot (Y \ cdot v) amp; = (\ alpha - 2) Y \ cdot v \ end {выровнено}}}$

Другими словами, является либо нулевым вектором, либо собственным вектором для с собственным значением и является либо нулем, либо собственным вектором для с собственным значением. Таким образом, оператор действует как оператор повышения, увеличивая вес на 2, в то время как действует как оператор опускания. ${\ Displaystyle X \ cdot v}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ alpha +2}$${\ Displaystyle Y \ cdot v}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ alpha -2}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Предположим теперь, что это неприводимое конечномерное представление комплексифицированной алгебры Ли. Тогда может иметь только конечное число собственных значений. В частности, должно быть собственное значение со свойством, которое не является собственным значением. Позвольте быть собственным вектором для с собственным значением: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ lambda +2}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle H \ cdot v_ {0} = \ lambda v_ {0}}$.

Тогда мы должны иметь

${\ Displaystyle X \ cdot v_ {0} = 0}$,

иначе указанное выше тождество сообщило бы нам, что это собственный вектор с собственным значением. ${\ Displaystyle X \ cdot v_ {0}}$${\ displaystyle \ lambda +2}$

Теперь определим «цепочку» векторов следующим образом: ${\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, \ ldots}$

${\ displaystyle v_ {k} = Y ^ {k} \ cdot v_ {0}}$.

Простое рассуждение по индукции показывает, что

${\ Displaystyle X \ cdot v_ {k} = k (\ lambda - (k-1)) v_ {k-1}}$

для всех. Теперь, если это не нулевой вектор, это собственный вектор для с собственным значением. Поскольку, опять же, имеет только конечное число собственных векторов, мы заключаем, что он должен быть равен нулю для некоторых (а затем и для всех). ${\ Displaystyle к = 1,2, \ ldots}$${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda -2k}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v_ {l}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle v_ {k} = 0}$${\ displaystyle kgt; l}$

Позвольте быть последним ненулевым вектором в цепочке; то есть, но. Тогда, конечно, и в соответствии с указанным выше тождеством с, мы имеем ${\ displaystyle v_ {m}}$${\ displaystyle v_ {m} \ neq 0}$${\ displaystyle v_ {m + 1} = 0}$${\ Displaystyle X \ cdot v_ {м + 1} = 0}$${\ Displaystyle к = м + 1}$

${\ displaystyle 0 = X \ cdot v_ {m + 1} = (m + 1) (\ lambda -m) v_ {m}}$.

Поскольку есть хотя бы одно и, мы заключаем, что оно должно быть равно неотрицательному целому числу. ${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle v_ {m} \ neq 0}$${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle m}$

Таким образом, мы получаем такую ​​цепочку векторов, которая действует как ${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {m}}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y \ cdot v_ {m} = 0; \ quad Y \ cdot v_ {k} = v_ {k + 1} \ quad (k lt;m)}$

и действует как ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle X \ cdot v_ {0} = 0, \ quad X \ cdot v_ {k} = k (m- (k-1)) v_ {k-1} \ quad (kgt; 0)}$

и действует как ${\ displaystyle H}$

${\ Displaystyle H \ cdot v_ {k} = (m-2k) v_ {k}}$.

(В приведенных выше формулах мы заменили его известным в настоящее время значением.) ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle m}$

Поскольку векторы являются собственными векторами для с различными собственными значениями, они должны быть линейно независимыми. Кроме того, оболочка, очевидно, инвариантна относительно действия комплексифицированной алгебры Ли. Поскольку предполагается неприводимым, этот промежуток должен быть полностью из. Таким образом, мы получаем полное описание того, как должно выглядеть неприводимое представление; то есть базис для пространства и полное описание того, как действуют генераторы алгебры Ли. И наоборот, для любого мы можем построить представление, просто используя приведенные выше формулы и проверяя выполнение коммутационных соотношений. Затем можно показать, что это представление неприводимо. ${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {m}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle м \ geq 0}$

Вывод: для каждого неотрицательного целого числа существует уникальное неприводимое представление с наибольшим весом. Каждое неприводимое представление эквивалентно одному из них. Представление с наибольшим весом имеет размерность с весами, каждый из которых имеет кратность один. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m + 1}$${\ Displaystyle м, м-2, \ ldots, - (м-2), - м}$

Элемент Казимира

Теперь введем (квадратичный) элемент Казимира, задаваемый формулой ${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C = - \ left (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2} \ right)}$.

Мы можем рассматривать как элемент универсальной обертывающей алгебры или как оператор в каждом неприводимом представлении. Рассматривая как оператор представление с наивысшим весом, мы можем легко вычислить, что коммутирует с каждым из них. Таким образом, по лемме Шура, действует как скалярное кратное единице для каждого. Мы можем записать в терминах основы следующее: ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle u_ {i}}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle c_ {m}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {H, X, Y}}$

${\ Displaystyle C = (X + Y) ^ {2} - (- X + Y) ^ {2} + H ^ {2}}$,

что упрощает

${\ displaystyle C = 4YX + H ^ {2} + 2H}$.

Собственное значение в представлении с наивысшим весом можно вычислить, применив его к вектору наивысшего веса, который аннулируется с помощью. Таким образом, мы получаем ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle c_ {m} = m ^ {2} + 2m = m (m + 2)}$.

В физической литературе Казимир нормирован как. Пометка вещи с точки зрения, собственное значение из затем вычисляется как ${\ displaystyle C '= C / 4}$${\ displaystyle l = m / 2}$${\ displaystyle d_ {l}}$${\ displaystyle C '}$

${\ displaystyle d_ {l} = {\ frac {1} {4}} (2l) (2l + 2) = l (l + 1)}$.

Действия над полиномами

Поскольку SU (2) односвязен, общий результат показывает, что каждое представление его (комплексифицированной) алгебры Ли порождает представление самой SU (2). Однако желательно дать явную реализацию представлений на групповом уровне. Представления групп могут быть реализованы на пространствах многочленов от двух комплексных переменных. То есть для каждого неотрицательного целого числа мы обозначаем пространство однородных многочленов степени от двух комплексных переменных. Тогда размерность равна. На каждом из них существует естественное действие SU (2), задаваемое формулой ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle V_ {m}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle V_ {m}}$${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle V_ {m}}$

${\ Displaystyle [U \ cdot p] (z) = p \ left (U ^ {- 1} z \ right), \ quad z \ in \ mathbb {C} ^ {2}, \, U \ in \ mathrm {SU} (2)}$.

Ассоциированное представление алгебры Ли - это просто то, что описано в предыдущем разделе. (См. Здесь явную формулу действия алгебры Ли на пространстве многочленов.)

Персонажи

Характер некоторого представления функция задается ${\ Displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ mathrm {GL} (V)}$${\ displaystyle \ mathrm {X}: G \ rightarrow \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {X} (g) = \ mathrm {trace} (\ Pi (g))}$.

Характеры играют важную роль в теории представлений компактных групп. Легко видеть, что символ является функцией класса, то есть инвариантным относительно сопряжения.

В случае SU (2) тот факт, что характер является функцией класса, означает, что он определяется своим значением на максимальном торе, состоящем из диагональных матриц в SU (2). Поскольку неприводимое представление со старшим весом имеет веса, легко видеть, что ассоциированный характер удовлетворяет ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle м, м-2, \ ldots, - (м-2), - м}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} amp; 0 \\ 0 amp; e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = e ^ {im \ theta} + e ^ {i (m-2) \ theta} + \ cdots e ^ {- i (m-2) \ theta} + e ^ {- im \ theta}.}$

Это выражение представляет собой конечный геометрический ряд, который можно упростить до

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} amp; 0 \\ 0 amp; e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {\ mathrm {sin} ((m + 1) \ theta)} {\ mathrm {sin} (\ theta)}}.}.$

Это последнее выражение - всего лишь формулировка формулы характера Вейля для случая SU (2).

На самом деле, следуя первоначальному анализу теории представлений компактных групп Вейлем, можно полностью классифицировать представления с групповой точки зрения, вообще не используя представления алгебры Ли. При таком подходе формула характера Вейля играет важную роль в классификации наряду с теоремой Питера – Вейля. Случай SU (2) в этой истории описан здесь.

Связь с представлениями SO (3)

См. Также: Группа вращения SO (3) § Связь между SO (3) и SU (2) и проективное представление

Обратите внимание, что либо все веса представления четные (если четные), либо все веса нечетные (если нечетные). С физической точки зрения это различие важно: представления с четными весами соответствуют обычным представлениям группы вращений SO (3). Напротив, представления с нечетным весом соответствуют двузначному (спинориальному) представлению SO (3), также известному как проективные представления. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

По правилам физики четность соответствует целому числу, а нечетность - полуцелому числу. Эти два случая описываются как целочисленное вращение и полуцелое вращение соответственно. Представления с нечетными положительными значениями являются точными представлениями SU (2), в то время как представления SU (2) с неотрицательными и четными значениями не являются точными. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

См. В примере теорему Бореля – Вейля – Ботта.

Основная статья: Группа вращений SO (3) § Замечание по алгебре Ли

Представления SU (2) описывают нерелятивистский спин, поскольку он является двойным покрытием группы вращений трехмерного евклидова пространства. Релятивистский спин описывается теорией представлений SL 2 ( C), супергруппы SU (2), которая аналогичным образом покрывает SO ⁺ (1; 3), релятивистскую версию группы вращений. SU (2) -симметрия также поддерживает концепции изобарического спина и слабого изоспина, все вместе известные как изоспин.

Представление с (т.е. в соответствии с физическим соглашением) - это 2- представление, фундаментальное представление SU (2). Когда элемент SU (2) записывается в виде комплекса 2 × 2 матрицы, это просто умножение на столбец 2-векторов. Это известно в физике как спин 1/2, а исторически - как умножение кватернионов (точнее, умножение на единичный кватернион). Это представление также можно рассматривать как двузначное проективное представление группы вращений SO (3). ${\ displaystyle m = 1}$${\ displaystyle l = 1/2}$

Представление с (т.е.) является 3 представлением, присоединенным представлением. Он описывает трехмерные вращения, стандартное представление SO (3), поэтому для него достаточно действительных чисел. Физики используют его для описания массивных частиц со спином 1, таких как векторные мезоны, но его важность для теории спина намного выше, поскольку он привязывает спиновые состояния к геометрии физического 3-пространства. Это представление появилось одновременно с 2, когда Уильям Роуэн Гамильтон ввел версоры, свой термин для элементов SU (2). Обратите внимание, что Гамильтон не использовал стандартную терминологию теории групп, так как его работа предшествовала развитию групп Ли. ${\ displaystyle m = 2}$${\ displaystyle l = 1}$

Представление (т.е.) используется в физике элементарных частиц для определенных барионов, таких как Δ. ${\ displaystyle m = 3}$${\ displaystyle l = 3/2}$

• Оператор вращения (векторное пространство)
• Оператор вращения (квантовая механика)
• Теория представлений SO (3)
• Связь между SO (3) и SU (2)
• теория представлений SL 2 ( R)
• Электрослабое взаимодействие
• Группа вращений SO (3) § Замечание об алгебре Ли

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN   978-3319134666
• Жерар т Хоофт (2007), Группы Ли в физике, глава 5 «Лестничные операторы»
• Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и приложения, Лекционные заметки по физике, 708, Springer, ISBN   3540362363