Оператор вращения (квантовая механика)

В этой статье рассматривается оператор вращения , как это проявляется в квантовой механике.

Содержание

• 1 Квантово-механические вращения
• 2 Оператор трансляции
• 3 Относительно орбитального углового момента
• 4 Влияние на оператор спина и квантовые состояния
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Квантово-механические вращения

С каждым физическим вращением R мы постулируем квантовомеханический оператор вращения D (R), который вращает квантово-механические состояния.

$|\; \alpha ⟩\; R\; =\; D\; (R)\; |\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; \_\; \{R\}\; =\; D\; (R)\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$

В терминах генераторов вращения

$D\; (n\; ^,\; \varphi )\; =\; exp\; \; (\; -\; я\; \varphi \; N\; ^\; \cdot \; J\; \hslash ),\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\},\; \backslash \; phi)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-i\; \backslash \; phi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\})\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; right),\}$

где $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$- ось вращения, а $J\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{J\}\}$- угловой момент.

Оператор перевода

Rotation оператор $R\; \; (z,\; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; \backslash \; theta)\}$, где первый аргумент $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$указывает вращение оси, а второй $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$угол поворота, можно управлять с помощью оператора перевода $T\; \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\}$для бесконечно малых вращений, как описано ниже. Вот почему сначала показано, как оператор трансляции действует на частицу в позиции x (тогда частица находится в состоянии $|\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; \backslash \; rangle\}$согласно квантовой механике ).

Перевод частицы из позиции x в позицию x + a: $T\; \; (a)\; |\; x⟩\; =\; |\; x\; +\; a⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\; |\; x\; \backslash \; rangle\; =\; |\; x\; +\; a\; \backslash \; rangle\}$

Поскольку перевод 0 не меняет положение частицы, мы имеем (с 1 значением оператор идентичности, который ничего не делает):

$T\; \; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (0)\; =\; 1\}$

$T\; \; (a)\; T\; \; (\; да)\; |\; x⟩\; =\; T\; \; (a)\; |\; x\; +\; d\; a⟩\; =\; |\; x\; +\; a\; +\; d\; a⟩\; =\; T\; \; (a\; +\; d\; a)\; |\; x⟩\; \Rightarrow \; T\; \; (a)\; T\; \; (da)\; =\; T\; \; (a\; +\; da)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (da)\; |\; x\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\; |\; x\; +\; da\; \backslash \; rangle\; =\; |\; x\; +\; a\; +\; da\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a\; +\; da)\; |\; x\; \backslash \; rangle\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (da)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a\; +\; da)\}$

Тейлор развитие дает:

$T\; \; (da)\; =\; T\; \; (0)\; +\; d\; T\; \; (0)\; dada\; +\; \cdots \; =\; 1\; -\; я\; \hslash \; pxda\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (da)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (0)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (0)\}\; \{da\}\}\; da\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; p\_\; \{x\}\; da\}$

с

$px\; =\; i\; \hslash \; d\; T\; \; (0)\; da\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; имя\; оператора\; \{T\}\; (0)\}\; \{da\}\}\}$

Из этого следует:

$T\; \; (a\; +\; da)\; =\; T\; \; (a)\; T\; \; (da)\; =\; T\; \; (a)\; (1\; -\; я\; \hslash \; pxda)\; \Rightarrow \; [T\; \; (a\; +\; da)\; -\; T\; \; (a)]\; /\; da\; =\; d\; T\; da\; =\; -\; я\; \hslash \; px\; T\; \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a\; +\; da)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (da)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; p\_\; \{x\}\; da\; \backslash \; right)\; \backslash \; Стрелка\; вправо\; [\backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a\; +\; da)\; -\; \backslash \; operator\; имя\; \{T\}\; (a)]\; /\; da\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\}\; \{da\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; p\_\; \{x\}\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\}$

Это дифференциальное уравнение с решением

$T\; \; (a)\; =\; exp\; \; (-\; i\; \hslash \; pxa).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{exp\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; p\_\; \{x\}\; a\; \backslash \; right).\}$

Кроме того, предположим, что Гамильтониан $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$не зависит от положения $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Поскольку оператор перевода может быть записан в виде $px\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{x\}\}$и $[px,\; H]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [p\_\; \{x\},\; H\}\; ]\; =\; 0\}$, мы знаем, что $[H,\; T\; \; (a)]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; (a)]\; =\; 0.\}$Этот результат означает, что линейный импульс для системы сохраняется.

По отношению к орбитальному угловому моменту

Классически для углового момента $l\; =\; r\; \times \; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; =\; r\; \backslash \; times\; p.\}$То же самое в квантовой механике с учетом $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$в качестве операторов. Классически бесконечно малое вращение $dt\; \{\backslash \; displaystyle\; dt\}$вектора $r\; =\; (x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; (x,\; y,\; z)\}$вокруг оси z до $r\; \prime \; =\; (x\; \prime ,\; y\; \prime ,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \text{'}=\; (x\text{'},\; y\; \text{'},\; z)\}$без изменения z может быть выражен следующими бесконечно малыми переводами (используя приближение Тейлора ):

$x\; \prime \; =\; r\; cos\; \; (t\; +\; dt)\; =\; x\; -\; ydt\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \text{'}=\; r\; \backslash \; cos\; (\; t\; +\; dt)\; знак\; равно\; x-ydt\; +\; \backslash \; cdots\}$

$y\; \prime \; =\; r\; sin\; \; (t\; +\; dt)\; =\; y\; +\; xdt\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; r\; \backslash \; sin\; (t\; +\; dt)\; =\; y\; +\; xdt\; +\; \backslash \; cdots\}$

Из этого следует для состояний:

$R\; \; (z,\; dt)\; |\; р⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; dt)\; |\; r\; \backslash \; rangle\}$$=\; R\; \; (z,\; d\; t)\; |\; x,\; y,\; z⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; dt)\; |\; x,\; y,\; z\; \backslash \; rangle\}$$=\; |\; Икс\; -\; Y\; d\; T,\; Y\; +\; Икс\; d\; T,\; Z⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; |\; x-ydt,\; y\; +\; xdt,\; z\; \backslash \; rangle\}$$=\; T\; x\; \; (-\; y\; d\; t)\; T\; y\; \; (x\; d\; t)\; |\; x,\; y,\; z⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; (-\; ydt)\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{y\}\; (xdt)\; |\; x,\; y,\; z\; \backslash \; rangle\}$$=\; T\; x\; \; (-\; ydt)\; T\; y\; \; (xdt)\; |\; р⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; (-\; ydt)\; \backslash \; operatorname\; \{T\}\; \_\; \{y\}\; (xdt)\; |\; r\; \backslash \; rangle\}$

И, следовательно:

$R\; \; (z,\; dt)\; знак\; равно\; T\; Икс\; \; (-\; YDT)\; T\; Y\; \; (XDT)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{R\}\; (z,\; dt)\; =\; \backslash \; OperatorName\; \{T\}\; \_\; \{x\}\; (-\; YDT)\; \backslash \; OperatorName\; \{T\}\; \_\; \{\; y\}\; (xdt)\}$

Использование

$T\; k\; (a)\; =\; exp\; \; (-\; ihpka)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{k\}\; (a)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{h\; \}\}\; p\_\; \{k\}\; a\; \backslash \; right)\}$

сверху с $k\; =\; x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; x,\; y\}$и расширением Тейлора, мы получаем:

$R\; \; (z,\; dt)\; знак\; равно\; ехр\; \; [-\; ih\; (xpy\; -\; ypx)\; dt]\; =\; exp\; \; (-\; ihlzdt)\; =\; 1\; -\; ihlzdt\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; dt)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{h\}\}\; (xp\_\; \{y\}\; -yp\_\; \{x\})\; dt\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{h\}\}\; l\_\; \{z\}\; dt\; \backslash \; справа)\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{h\}\}\; l\_\; \{z\}\; dt\; +\; \backslash \; cdots\}$

с $lz\; =\; xpy\; -\; ypx\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{z\}\; =\; xp\_\; \{y\}\; -yp\_\; \{\; x\}\}$z-компонента углового момента согласно классическому перекрестному произведению.

Чтобы получить поворот на угол $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$строим следующее дифференциальное уравнение с использованием условия $R\; \; (z,\; 0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; 0)\; =\; 1\}$:

$R\; \; (z,\; t\; +\; dt)\; =\; R\; \; (z,\; t)\; р\; \; (z,\; dt)\; \Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; t\; +\; dt)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; t)\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; dt)\; \backslash \; Стрелка\; вправо\}$

$[R\; \; (z,\; t\; +\; dt)\; -\; R\; \; (z,\; t)]\; /\; dt\; =\; d\; R\; \; /\; dt\; =\; R\; \; (z,\; t)\; [R\; \; (z,\; dt)\; -\; 1\; ]\; /\; dt\; знак\; равно\; -\; ihlz\; R\; \; (z,\; t)\; \Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; t\; +\; dt)\; -\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; t)]\; /\; dt\; =\; d\; \backslash \; operatorname\; \{R\; \}\; /\; dt\; =\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; t)\; [\backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; dt)\; -1]\; /\; dt\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{h\}\}\; l\_\; \{z\}\; \backslash \; operatorname\; \{R\; \}\; (z,\; t)\; \backslash \; Rightarrow\}$

$R\; \; (z,\; t)\; =\; exp\; \; (-\; ihtlz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; t)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\; i\}\; \{h\}\}\; \backslash \; t\; \backslash \; l\_\; \{z\}\; \backslash \; right)\}$

Подобно оператору сдвига, если нам дан гамильтониан $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, который осесимметричен вокруг оси Z $[lz,\; H]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [l\_\; \{z\},\; H]\; =\; 0\}$подразумевает $[R\; \; (z,\; t),\; H]\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; operatorname\; \{R\}\; (z,\; t),\; H]\; =\; 0\}$. Этот результат означает, что угловой момент сохраняется.

Для углового момента вращения относительно оси Y мы просто заменяем $lz\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{z\}\}$на $S\; y\; =\; \hslash \; 2\; \sigma \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\}$, и мы получаем spin оператор вращения

$D\; \; (y,\; t)\; =\; exp\; \; (-\; it\; 2\; \sigma \; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{D\}\; (y,\; t)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-i\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; \backslash \; right).\}$

Влияние на оператор вращения и квантовые состояния

Операторы могут быть представлены матрицами. Из линейной алгебры известно, что некая матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$может быть представлена ​​в другом базисе посредством преобразования

$A\; \prime \; =\; PAP\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \text{'}=\; PAP\; ^\; \{-\; 1\}\}$

где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- матрица базисного преобразования. Если векторы $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$соответственно $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$являются осью z в ​​одном базисе, соответственно в другом, они перпендикулярны оси Ось y с определенным углом $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$между ними. Оператор вращения $S\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{b\}\}$в первом базисе затем может быть преобразован в оператор вращения $S\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{c\}\}$другого базиса посредством следующего преобразования:

$S\; c\; =\; D\; \; (y,\; t)\; S\; b\; D\; -\; 1\; \; (y,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{c\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{D\}\; (\; y,\; t)\; S\_\; \{b\}\; \backslash \; operatorname\; \{D\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (y,\; t)\}$

Из стандартной квантовой механики у нас есть известные результаты $S\; b\; |\; b\; +⟩\; =\; \hslash \; 2\; |\; b\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{b\}\; |\; b\; +\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; |\; b\; +\; \backslash \; rangle\}$и $S\; c\; |\; c\; +⟩\; =\; \hslash \; 2\; |\; c\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{c\}\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\}$где $|\; b\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; b\; +\; \backslash \; rangle\}$и $|\; c\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\}$- это верхние вращения в соответствующих базах. Итак, имеем:

$\hslash \; 2\; |\; c\; +⟩\; =\; S\; c\; |\; c\; +⟩\; =\; D\; \; (y,\; t)\; S\; b\; D\; -\; 1\; \; (y,\; t)\; |\; c\; +⟩\; \Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\; =\; S\_\; \{c\}\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{D\}\; (y,\; t)\; S\_\; \{b\}\; \backslash \; operatorname\; \{D\; \}\; ^\; \{-\; 1\}\; (y,\; t)\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\; \backslash \; Rightarrow\}$

$S\; b\; D\; -\; 1\; \; (y,\; t)\; |\; c\; +⟩\; =\; \hslash \; 2\; D\; -\; 1\; \; (y,\; t)\; |\; c\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{b\}\; \backslash \; operatorname\; \{D\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (y,\; t)\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{D\}\; ^\; \{-\; 1\; \}\; (y,\; t)\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\}$

Сравнение с $S\; b\; |\; b\; +⟩\; =\; \hslash \; 2\; |\; b\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{b\}\; |\; b\; +\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; |\; b\; +\; \backslash \; rangle\}$дает $|\; b\; +⟩\; =\; D\; -\; 1\; (y,\; t)\; |\; c\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; b\; +\; \backslash \; rangle\; =\; D\; ^\; \{-\; 1\}\; (y,\; t)\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\}$.

Это означает, что если состояние $|\; c\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; c\; +\; \backslash \; rangle\}$вращается вокруг оси y на угол $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, он становится состоянием $|\; b\; +⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; b\; +\; \backslash \; rangle\}$, результат, который можно обобщить на произвольные оси. Это важно, например, в неравенстве Белла Сакурая.

См. Также

• Симметрия в квантовой механике
• Сферический базис
• Оптическое фазовое пространство

Ссылки

• Л.Д. Ландау, Э.М.Лифшиц: Квантовая механика: нерелятивистская теория, Pergamon Press, 1985
• P.A.M. Дирак: принципы квантовой механики, Oxford University Press, 1958
• R.P. Фейнман, Р. Б. Лейтон и М. Сэндс: Лекции Фейнмана по физике, Эддисон-Уэсли, 1965