Вращение-½

Тип материи Отдельная точка в пространстве может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после поворота на 360 ° спираль переворачивается между ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Он возвращается к своей исходной конфигурации после полного вращения на 720 °.

В квантовой механике, спин является внутренним свойством всех элементарных частиц. Все известные фермионы, частицы, составляющие обычную материю, имеют спин 1/2. Число вращения описывает, сколько симметричных граней имеет частица за один полный оборот; спин 1/2 означает, что частица должна быть полностью повернута дважды (на 720 °), прежде чем она приобретет ту же конфигурацию, что и при запуске.

Частицы, имеющие чистый спин 1/2, включают протон, нейтрон, электрон, нейтрино и кварки. Динамика объектов со спином 1/2 не может быть точно описана с помощью классической физики ; они относятся к числу простейших систем, для описания которых требуется квантовая механика. Таким образом, изучение поведения систем со спином 1/2 составляет центральную часть квантовой механики.

• 1 Эксперимент Штерна – Герлаха
• 2 Общие свойства
• 3 Связь с принцип неопределенности
• 4 Математическое описание
  • 4.1 Комплексная фаза
  • 4.2 NRQM (нерелятивистская квантовая механика)
    • 4.2.1 Наблюдаемые
  • 4.3 RQM (релятивистская квантовая механика)
    • 4.3.1 Наблюдаемые
• 5 Спин как следствие сочетания квантовой теории и специальной теории относительности
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна – Герлаха. Пучок атомов проходит через сильный пучок, который затем разделяется на N частей в зависимости от собственного углового момента атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок разделялся на две части - поэтому основное состояние не могло быть целым числом, потому что даже если собственный угловой момент атомов был наименьшим (ненулевым) целым числом возможно, 1, луч будет разделен на 3 части, соответствующие атомам с L z = −1, +1 и 0, где 0 просто значение, которое, как известно, находится между -1 и +1 одновременно являясь целым целым числом и, следовательно, действительным квантованным числом спина в этом случае. Существование этого гипотетического «дополнительного шага» между двумя поляризованными квантовыми состояниями потребовало бы третьего квантового состояния; третий луч, которого не наблюдается в эксперименте. Был сделан вывод, что атомы серебра имеют чистый собственный угловой момент 1/2.

Эвристическое изображение конусов углового момента спина для частицы со спином 1/2.

Объекты со спином 1/2 - это все фермионы (факт, объясняемый теоремой спин-статистики ) и удовлетворяющие принципу исключения Паули. Частицы со спином 1/2 могут иметь постоянный магнитный момент вдоль направления их спина, и этот магнитный момент вызывает электромагнитные взаимодействия, которые зависят от спина. Одним из таких эффектов, который сыграл важную роль в открытии спина, является эффект Зеемана, расщепление спектральной линии на несколько компонентов в присутствии статического магнитного поля.

В отличие от более сложных квантово-механических систем, спин частицы со спином 1/2 может быть выражен как линейная комбинация всего двух собственных состояний или эйгенспинорс. Их традиционно называют ускорением вверх и вниз. Благодаря этому квантово-механические спиновые операторы могут быть представлены как простые 2 × 2 матрицы. Эти матрицы называются матрицами Паули..

Операторы создания и уничтожения могут быть построены для объектов со спином 1/2; они подчиняются тем же соотношениям коммутации, что и другие операторы углового момента.

Одним из следствий обобщенного принципа неопределенности является то, что Операторы проекции спина (которые измеряют спин в заданном направлении, таком как x, y или z) не могут быть измерены одновременно. Физически это означает, что неясно, вокруг какой оси вращается частица. Измерение z-компоненты спина уничтожает любую информацию о x- и y-компонентах, которая могла быть получена ранее.

Частица со спином 1/2 характеризуется квантовым числом углового момента для спина s, равного 1/2. В решениях уравнения Шредингера угловой момент квантуется в соответствии с этим числом, так что полный спиновый угловой момент

$S\; =\; 1\; 2\; (1\; 2\; +\; 1)\; \hslash \; =\; 3\; 2\; \hslash .\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; \backslash \; hbar\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 3\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; hbar.\}$

Однако наблюдаемая тонкая структура, когда электрон наблюдается вдоль одной оси, такой как ось z, квантуется с точки зрения a магнитное квантовое число, которое можно рассматривать как квантование компоненты вектора этого полного углового момента, которое может иметь только значения ± 1 / 2ħ.

Обратите внимание, что эти значения углового момента являются функциями только приведенной постоянной Планка (угловой момент любого фотона ), без зависимости от массы или заряда.

Комплексная фаза

Математически квантово-механический спин не описывается вектором , как в классическом угловом моменте. Он описывается комплексным вектором с двумя компонентами, называемым спинором . Есть тонкие различия между поведением спиноров и векторов при вращении координат, происходящие из поведения векторного пространства над сложным полем.

Когда спинор вращается на 360 ° (один полный оборот), он трансформируется в свое отрицательное, а затем после дальнейшего поворота на 360 ° он снова возвращается к своему исходному значению. Это связано с тем, что в квантовой теории состояние частицы или системы представлено сложной амплитудой вероятности (волновая функция ) ψ, и когда система измеряется, вероятность обнаружения системы в состоянии ψ равно | ψ | = ψ * ψ, квадрат абсолютного значения амплитуды. С математической точки зрения квантовое гильбертово пространство несет проективное представление группы вращений SO (3).

Предположим, что детектор, который можно вращать, измеряет частицу, в которой вероятность обнаружения некоторого состояния зависит от вращения детектора. Когда система поворачивается на 360 °, наблюдаемый выходной сигнал и физика остаются такими же, как и первоначально, но амплитуды изменяются для частицы со спином 1/2 в −1 раз или сдвиг фазы на половину. 360 °. При вычислении вероятностей -1 возводится в квадрат, (-1) = 1, поэтому предсказанная физика такая же, как и в исходном положении. Кроме того, в частице со спином 1/2 имеется только два спиновых состояния, и амплитуды для обоих изменяются на один и тот же коэффициент -1, поэтому интерференционные эффекты идентичны, в отличие от случая для более высоких спинов. Комплексные амплитуды вероятностей представляют собой нечто вроде теоретической конструкции, которую нельзя непосредственно наблюдать.

Если бы амплитуды вероятности повернулись на ту же величину, что и детектор, то они изменились бы с коэффициентом -1, когда оборудование было повернуто на 180 °, что при возведении в квадрат дало бы тот же результат, что и в начале., но эксперименты показывают, что это неверно. Если детектор повернуть на 180 °, результат для частиц со спином 1/2 может отличаться от того, каким он был бы, если бы его не повернуть, поэтому коэффициент половинный необходим, чтобы предсказания теории соответствовали экспериментам.

Что касается более прямых доказательств, физические эффекты разницы между вращением частицы со спином 1/2 на 360 ° по сравнению с 720 ° экспериментально наблюдались в классических экспериментах по нейтронной интерферометрии. В частности, если пучок ориентированных по спину частиц со спином 1/2 разделяется, и только один из пучков вращается вокруг оси его направления движения, а затем рекомбинируется с исходным пучком, наблюдаются различные интерференционные эффекты в зависимости от угол поворота. В случае поворота на 360 ° наблюдаются эффекты компенсации, тогда как в случае поворота на 720 ° лучи усиливают друг друга.

NRQM (нерелятивистская квантовая механика)

квантовое состояние частицы со спином 1/2 может быть описано двухкомпонентным комплексным вектором, называемым спинором. Наблюдаемые состояния частицы затем находятся с помощью операторов спина S x, S y и S z и оператора полного спина S.

Наблюдаемые

Когда спиноры используются для описания квантовых состояний, три спиновых оператора (S x, S y, S z,) могут быть описывается матрицами 2 × 2, называемыми матрицами Паули, у которых собственные значения равны ± / 2.

Например, оператор проекции вращения S z влияет на измерение вращения в направлении z.

$S\; z\; знак\; равно\; \hslash \; 2\; \sigma \; z\; знак\; равно\; \hslash \; 2\; [1\; 0\; 0\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Два собственных значения S z, ± ħ / 2, тогда соответствуют следующие собственные спины:

$\chi \; +\; =\; [1\; 0]\; =\; |\; s\; z\; =\; +\; 1\; 2⟩\; =\; |\; \uparrow ⟩\; =\; |\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \{s\_\; \{z\}\; \{=\}\; \{+\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1)\; \}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; |\; \{\backslash \; uparrow\}\; \backslash \; rangle\; =\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$

$\chi \; -\; =\; [0\; 1]\; =\; |\; s\; z\; =\; -\; 1\; 2⟩\; =\; |\; \downarrow ⟩\; =\; |\; 1⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \{s\_\; \{z\}\; \{=\}\; \{-\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; |\; \{\backslash \; downarrow\}\; \backslash \; rangle\; =\; |\; 1\; \backslash \; rangle.\}$

Эти векторы образуют полную основу для гильбертова пространства, описывающего спин-1/2 частица. Таким образом, линейные комбинации этих двух состояний могут представлять все возможные состояния спина, в том числе в направлениях x и y.

операторы лестничной диаграммы :

$S\; +\; =\; \hslash \; [0\; 1\; 0\; 0],\; S\; -\; =\; \hslash \; [0\; 0\; 1\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{+\}\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; S\; \_\; \{-\}\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Поскольку S ±=Sx± i S y, следует, что S x = 1/2 (S + + S -) и S y = 1 / 2i (S + - S -). Таким образом:

$S\; x\; =\; \hslash \; 2\; \sigma \; x\; =\; \hslash \; 2\; [0\; 1\; 1\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$S\; y\; =\; \hslash \; 2\; \sigma \; y\; =\; \hslash \; 2\; [0\; -\; ii\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{y\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -i\; \backslash \backslash \; i\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Их нормализованные собственные спины можно найти обычным способом. Для S x они равны:

$\chi \; +\; (x)\; =\; 1\; 2\; [1\; 1]\; =\; |\; sx\; =\; +\; 1\; 2⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; ^\; \{(x)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \{s\_\; \{x\}\; \{=\}\; \{+\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$

$\chi \; -\; (x)\; =\; 1\; 2\; [1\; -\; 1]\; =\; |\; sx\; =\; -\; 1\; 2⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; ^\; \{(x)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \backslash \; end\; \{\; bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \{s\_\; \{x\}\; \{=\}\; \{-\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$

Для S y, это:

$\chi \; +\; (y)\; =\; 1\; 2\; [1\; i]\; =\; |\; sy\; =\; +\; 1\; 2⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{+\}\; ^\; \{(y)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; i\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \{s\_\; \{y\}\; \{=\}\; \{+\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$

$\chi \; -\; (y)\; =\; 1\; 2\; [1\; -\; i]\; =\; |\; sy\; =\; -\; 1\; 2⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{-\}\; ^\; \{(y)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; -\; i\; \backslash \; end\; \{\; bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \{s\_\; \{y\}\; \{=\}\; \{-\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$

RQM (релятивистская квантовая механика)

В то время как NRQM определяет спин 1/2 с двумя измерениями в гильбертовом пространстве с динамикой, которая описывается в трехмерном пространстве и времени, релятивистская квантовая механика определяет спин с четырьмя измерениями в гильбертовом пространстве и динамику, описываемую 4-мерное пространство-время.

Наблюдаемые

Вследствие четырехмерной природы пространства-времени в теории относительности релятивистская квантовая механика использует матрицы 4 × 4 для описания операторов спина и наблюдаемых.

Когда физик Поль Дирак попытался изменить уравнение Шредингера так, чтобы оно было в соответствии с теорией относительности Эйнштейна , он обнаружил, что это возможно только при включении матриц в результат в g Уравнение Дирака, подразумевающее, что волна должна иметь несколько компонентов, ведущих к вращению.

• Проективное представление

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Фейнман, Ричард (1963). «Том III, глава 6. Отверните половину». Лекции Фейнмана по физике. Калтех.
• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога в реальность. Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.

• Средства массовой информации, связанные с Spin-½ на Wikimedia Commons