Прямая сумма

редактировать

Операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты

Прямая сумма - это операция из абстрактной алгебры, ветви математики. Например, прямая сумма $R ⊕ R {\ displaystyle \ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}$ , где $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ - реальное координатное пространство, - декартова плоскость, $R 2 {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$ . Чтобы увидеть, как прямая сумма используется в абстрактной алгебре, рассмотрим более элементарную структуру в абстрактной алгебре, абелеву группу . Прямая сумма двух абелевых групп $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ является другой абелевой группой $A ⊕ B {\ displaystyle A \ oplus B}$ $A \ oplus B$ , состоящий из упорядоченных пар $(a, b) {\ displaystyle (a, b)}$ $(a,b)$ где $a ∈ A {\ displaystyle a \ in A}$ $a \ in A$ и $b ∈ B {\ displaystyle b \ in B}$ $b \ in B$ . (Эта упорядоченная пара, что сбивает с толку, также называется декартовым произведением двух групп.) Чтобы добавить упорядоченные пары, мы определяем сумму $(a, b) + (c, d) {\ displaystyle ( a, b) + (c, d)}$ $(a, b) + (c, d)$ быть $(a + c, b + d) {\ displaystyle (a + c, b + d)}$ $(a + c, b + d)$ ; другими словами, сложение определяется по координатам. Аналогичный процесс можно использовать для формирования прямой суммы любых двух алгебраических структур, таких как кольца, модули и векторные пространства.

Мы также можем формировать прямые суммы с любым конечным числом слагаемых, например $A ⊕ B ⊕ C {\ displaystyle A \ oplus B \ oplus C}$ $A \ oplus B \ oplus C$ , при условии $A, B, {\ displaystyle A, B, }$ $A, B,$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ - это одни и те же типы алгебраических структур (то есть все группы, кольца, векторные пространства и т. Д.). Это основано на том факте, что прямая сумма является от ассоциативного до изоморфизма. То есть $(A ⊕ B) ⊕ C ≅ A ⊕ (B ⊕ C) {\ displaystyle (A \ oplus B) \ oplus C \ cong A \ oplus (B \ oplus C)}$ ${\ displaystyle (A \ oplus B) \ oplus C \ cong A \ oplus (B \ oplus C)}$ для любых алгебраических структур $A {\ displaystyle A}$ $A$ , $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ того же типа. Прямая сумма также коммутативна с точностью до изоморфизма, т.е. $A ⊕ B ≅ B ⊕ A {\ displaystyle A \ oplus B \ cong B \ oplus A}$ ${\ displaystyle A \ oplus B \ cong B \ oplus A}$ для любого алгебраического структуры $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ одного типа.

В случае двух слагаемых или любого конечного числа слагаемых прямая сумма такая же, как прямое произведение. Если арифметическая операция записывается как +, как это обычно бывает в абелевых группах, то мы используем прямую сумму. Если арифметическая операция записана как × или ⋅ или с использованием сопоставления (как в выражении $x y {\ displaystyle xy}$ $xy$ ), мы используем прямое произведение.

В случае, когда объединяется бесконечно много объектов, большинство авторов проводят различие между прямой суммой и прямым произведением. В качестве примера рассмотрим прямую сумму и прямое произведение бесконечного числа вещественных прямых. Элемент в прямом произведении представляет собой бесконечную последовательность, например (1,2,3,...), но в прямой сумме должно быть требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю, поэтому последовательность (1, 2,3,...) будет элементом прямого продукта, но не прямой суммы, а (1,2,0,0,0,...) будет элементом обоих. В более общем смысле, если используется знак +, все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю, в то время как при использовании некоторой формы умножения все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны 1. Говоря техническим языком, если слагаемые $( A i) i ∈ I {\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in I}}$ $(A_i) _ {i \ in I}$ , прямая сумма $⨁ i ∈ IA i {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ в I} A_ {i}}$ $\ bigoplus_ {i \ in I} A_i$ определяется как набор кортежей $(ai) i ∈ I {\ displaystyle (a_ {i}) _ {i \ in I}}$ $(a_i) _ {i \ in I}$ с $ai ∈ A i {\ displaystyle a_ {i} \ in A_ {i}}$ $a_i \ in A_i$ таким, что $ai = 0 {\ displaystyle a_ {i} = 0}$ $a_i = 0$ для всех, кроме конечного числа i. Прямая сумма $⨁ i ∈ IA i {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i}}$ $\ bigoplus_ {i \ in I} A_i$ содержится в прямом произведении $∏ i ∈ IA i {\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i}}$ $\ prod_ {i \ in I} A_i$ , но обычно он строго меньше, когда набор индексов $I {\ displaystyle I}$ $I$ бесконечно, потому что прямые произведения не имеют ограничения, что все координаты, кроме конечного числа, должны быть равны нулю.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Внутренние и внешние прямые суммы
2 Типы прямой суммы
- 2.1 Прямая сумма абелевых групп
- 2.2 Прямая сумма модулей
- 2.3 Прямая сумма представлений групп
- 2.4 Прямая сумма колец
- 2.5 Прямая сумма в категориях
3 Гомоморфизмы
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки

Примеры

Можно представить себе плоскость xy, двумерное векторное пространство как прямая сумма двух одномерных векторных пространств, а именно осей x и y. В этой прямой сумме оси x и y пересекаются только в начале координат (нулевом векторе). Сложение определяется по координатам, то есть $(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) + (x_ {2}, y_ {2}) = (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2})}$ $(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ , что является то же, что и сложение вектора.

Для двух структур $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ их прямая сумма записывается как $А ⊕ В {\ Displaystyle A \ oplus B}$ $A \ oplus B$ . Дано проиндексированное семейство структур $A i {\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$ , проиндексированных с помощью $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ , прямая сумма может быть записана в виде $A = ⨁ i ∈ IA i {\ displaystyle \ textstyle A = \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i}}$ $\ textstyle A = \ bigoplus_ {i \ in I} A_i$ . Каждый A i называется прямым слагаемым числа A. Если набор индексов конечен, прямая сумма такая же, как прямое произведение. В случае групп, если групповая операция записывается как $+ {\ displaystyle +}$ $+$ , используется фраза «прямая сумма», а если групповая операция записывается как $∗ {\ displaystyle *}$ $*$ используется фраза «прямой продукт». Когда набор индексов бесконечен, прямая сумма не совпадает с прямым произведением, поскольку прямая сумма имеет дополнительное требование, чтобы все координаты, кроме конечного числа, были равны нулю.

Внутренние и внешние прямые суммы

Различают внутренние и внешние прямые суммы, хотя они изоморфны. Если сначала определены факторы, а затем прямая сумма определяется в терминах факторов, у нас есть внешняя прямая сумма. Например, если мы определим действительные числа $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ , а затем определим $R ⊕ R {\ displaystyle \ mathbf {R} \ oplus \ mathbf { R}}$ $\ mathbf {R} \ oplus \ mathbf {R}$ прямая сумма называется внешней.

Если, с другой стороны, мы сначала определим некоторую алгебраическую структуру $S {\ displaystyle S}$ $S$ , а затем напишем $S {\ displaystyle S}$ $S$ как прямую сумму двух подструктур $V {\ displaystyle V}$ $V$ и $W {\ displaystyle W}$ $W$ , тогда прямая сумма называется внутренней. В этом случае каждый элемент $S {\ displaystyle S}$ $S$ однозначно выражается как алгебраическая комбинация элемента $V {\ displaystyle V}$ $V$ и элемент $W {\ displaystyle W}$ $W$ . В качестве примера внутренней прямой суммы рассмотрим $Z 6 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6}}$ (целые числа по модулю шесть), элементы которого равны ${0, 1, 2, 3, 4, 5} {\ displaystyle \ {0,1,2,3,4,5 \}}$ $\ {0, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ . Это можно выразить как внутреннюю прямую сумму $Z 6 = {0, 2, 4} ⊕ {0, 3} {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6} = \ {0,2,4 \} \ oplus \ {0,3 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {6} = \ {0,2,4 \} \ oplus \ {0,3 \}}$ .

Типы прямой суммы

Прямая сумма абелевых групп

прямая сумма абелевых групп является типичным примером прямая сумма. Даны две абелевы группы $(A, ∘) {\ displaystyle (A, \ circ)}$ ${\ displaystyle (A, \ circ)}$ и $(B, ∙) {\ displaystyle (B, \ bullet)}$ ${\ displaystyle (B, \ bullet)}$ , их прямая сумма $A ⊕ B {\ displaystyle A \ oplus B}$ $A \ oplus B$ совпадает с их прямым продуктом, то есть базовым набором является декартово произведение $A × B {\ displaystyle A \ times B}$ $A \ times B$ , а групповая операция $⋅ {\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ определяется как компонент- мудрый:

(a 1, b 1) ⋅ (a 2, b 2) = (a 1 ∘ a 2, b 1 ∙ b 2) {\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) \ cdot (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} \ circ a_ {2}, b_ {1} \ bullet b_ {2})}

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) \ cdot (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} \ circ a_ { 2}, b_ {1} \ bullet b_ {2})}

Это определение обобщается на прямые суммы конечного числа абелевых групп.

Для бесконечного семейства абелевых групп A i для i ∈ I прямая сумма

⨁ i ∈ IA i {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i}}

{\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i}}

- это собственная подгруппа прямого продукта. Он состоит из элементов $(ai) ∈ ∏ j ∈ IA j {\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}) \ in \ prod _ {j \ in I} A_ {j}}$ ${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}) \ in \ prod _ {j \ in I} A_ {j}}$ такой, что a i является элементом идентичности A i для всех, кроме конечного числа i.

Прямая сумма модулей

Прямая сумма modules - это конструкция, которая объединяет несколько модулей в новый модуль.

Наиболее известные примеры этой конструкции встречаются при рассмотрении векторных пространств, которые являются модулями над полем. Конструкция также может быть расширена до банаховых пространств и гильбертовых пространств.

Прямая сумма представлений групп

Прямая сумма представлений групп обобщает прямая сумма базовых модулей, добавление к нему группового действия. В частности, для группы G и двух представлений V и W группы G (или, в более общем смысле, двух G-модулей ), прямая сумма представлений есть V ⊕ W с покомпонентным действием g ∈ G, т. е.

g · (v, w) = (g · v, g · w).

Прямая сумма колец

Некоторые авторы говорят о прямой сумме $R ⊕ S {\ displaystyle R \ oplus S}$ $R \ oplus S$ двух колец, когда имеют в виду прямое произведение $R × S {\ displaystyle R \ times S}$ $R \ times S$ , но этого следует избегать, поскольку $R × S {\ displaystyle R \ times S}$ $R \ times S$ не получает естественных гомоморфизмов колец из R и S: в частности, отображение $R → R × S {\ displaystyle R \ to R \ times S}$ $R \ to R \ times S$ , отправляющее r в (r, 0), не является гомоморфизмом кольца, поскольку оно не может отправить 1 к (1,1) (предполагая, что 0 ≠ 1 в S). Таким образом, $R × S {\ displaystyle R \ times S}$ $R \ times S$ не является копродуктом в категории колец, и его не следует записывать как прямую сумму. (Копроизведение в категории коммутативных колец - это тензорное произведение колец. В категории колец копроизведение задается конструкцией, аналогичной свободному произведению групп.)

Использование терминологии и обозначений прямой суммы особенно проблематично при работе с бесконечными семействами колец: Если $(R i) i ∈ I {\ displaystyle (R_ {i}) _ {i \ in I}}$ $( R_i) _ {я \ in I}$ - бесконечный набор нетривиальных колец, тогда прямая сумма базовых аддитивных групп может быть оснащена почленным умножением, но это дает rng, т. е. кольцо без мультипликативной единицы.

Прямая сумма в категориях

аддитивная категория - это абстракция свойств категории модулей. В такой категории конечные продукты и копроизведения согласуются, и прямая сумма равна любому из них, ср. побочный продукт.

Общий случай: в теории категорий прямая сумма часто, но не всегда, является сопродуктом в категории математических объектов. обсуждаемый. Например, в категории абелевых групп прямая сумма является копроизведением. То же самое и в категории модулей.

Гомоморфизмы

Прямая сумма $⨁ i ∈ IA i {\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i}}$ $\ bigoplus_ {i \ in I} A_i$ имеет проекция гомоморфизм $π j: ⨁ i ∈ IA i → A j {\ displaystyle \ pi _ {j} \ двоеточие \, \ bigoplus _ {i \ in I} A_ { i} \ к A_ {j}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {j} \ двоеточие \, \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i} \ to A_ {j}}$ для каждого j в I и копроекции $α j: A j → ⨁ i ∈ IA i {\ displaystyle \ alpha _ {j} \ двоеточие \, A_ {j} \ to \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {j} \ двоеточие \, A_ {j} \ to \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i}}$ для каждого j в I. Учитывая другую алгебраическую структуру $B {\ displaystyle B}$ $B$ (с той же дополнительной структурой) и гомоморфизмами $gj: A j → B {\ displaystyle g_ {j} \ двоеточие A_ {j} \ to B}$ $g_j \ двоеточие A_j \ to B$ для каждого j в I существует уникальный гомоморфизм $g: ⨁ i ∈ IA i → B {\ displaystyle g \ двоеточие \, \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i} \ to B}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие \, \ bigoplus _ {i \ in I} A_ {i} \ to B}$ , называемый суммой из g j, так что $g α j = gj {\ displaystyle g \ alpha _ {j} = g_ {j}}$ $g \ alpha_j = g_j$ для всех j. Таким образом, прямая сумма - это копродукт в соответствующей категории.

См. Также

Примечания

Ссылки

Лэнг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001