В математике, в частности теории групп, то свободный продукт представляет собой операцию, которая принимает два группы G и H и создает новую группу G * H. Результат содержит как G, так и H в качестве подгрупп, порождается элементами этих подгрупп и является « универсальной » группой, обладающей этими свойствами, в том смысле, что любые два гомоморфизма из G и H в группу K однозначно разлагаются через гомоморфизм от G * H с K. Если одна из групп G и H не тривиальна, свободное произведение всегда бесконечно. Построение свободного произведения по духу аналогично построению свободной группы (универсальной группы с заданным набором образующих).
Бесплатный продукт - это параллельный продукт в категории групп. То есть свободное произведение играет ту же роль в теории групп, что несвязное объединение в теории множеств или прямая сумма в теории модулей. Даже если группы коммутативны, их свободный продукт - нет, если только одна из двух групп не является тривиальной группой. Следовательно, свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп.
Свободный продукт играет важную роль в алгебраической топологии из - за теоремы ван Кампена, в котором говорится о том, что фундаментальная группа из союза двух линейно связных топологических пространств, пересечение которых также связно всегда является амальгамированное продукт фундаментальных групп пространств. В частности, фундаментальная группа суммы клина двух пространств (т. Е. Пространство, полученное соединением двух пространств вместе в одной точке) является просто свободным произведением фундаментальных групп пространств.
Свободные произведения также важны в теории Басса – Серра, изучении групп, действующих автоморфизмами на деревьях. В частности, любая группа, действующая с конечными стабилизаторами вершин на дереве, может быть построена из конечных групп с использованием объединенных свободных произведений и расширений HNN. Используя действие модулярной группы на определенную тесселяцию на гиперболической плоскости, то из этой теории, что модульная группа является изоморфной к свободному произведению циклических групп порядков 4 и 6 амальгамированных над циклической группой порядка 2.
Если G и H группы, слово в G и H является произведением вида
где каждый ев я либо элемент G или элемент Н. Такое слово можно сократить с помощью следующих операций:
Каждое сокращенное слово является чередующимся произведением элементов группы G и элементов H, например
Свободное произведение G * Н является группой, элементы которой являются уменьшенными словами в G и H, при операции конкатенации с последующим восстановлением.
Например, если G - бесконечная циклическая группа, а H - бесконечная циклическая группа, то каждый элемент G ∗ H является альтернированным произведением степеней x и y. В этом случае G ∗ H изоморфна свободной группе, порожденной x и y.
Предположим, что
является представлением для G (где S G - набор образующих, а R G - набор отношений), и предположим, что
является презентация для H. потом
То есть G ∗ H порождается генераторами G вместе с генераторами H, с отношениями, состоящими из отношений из G вместе с отношениями из H (предположим, что здесь нет противоречий в обозначениях, так что это фактически дизъюнктные объединения ).
Например, предположим, что G - циклическая группа порядка 4,
и H - циклическая группа порядка 5
Тогда G ∗ H - бесконечная группа
Поскольку в свободной группе нет отношений, свободный продукт свободных групп всегда является свободной группой. В частности,
где F n обозначает свободную группу на n образующих.
Другой пример - модульная группа. Он изоморфен свободному произведению двух циклических групп
Более общая конструкция бесплатного продукта с объединением, соответственно, представляет собой особый вид выталкивания в той же категории. Предположим, что и даны, как и раньше, вместе с мономорфизмами (т.е. гомоморфизмами инъективных групп ):
где - произвольная группа. Начни с бесплатного продукта и присоединяйся как отношения
за каждый ин. Другими словами, взять наименьшую нормальную подгруппу из, содержащую все элементы на левой стороне вышеприведенного уравнения, которые неявно рассматриваются в с помощью включений и в их свободном продукте. Свободное произведение с объединением и относительно и является фактор-группой
Слияние привело к отождествлению между in и in, элемент за элементом. Это конструкция, необходимая для вычисления фундаментальной группы двух связных пространств, соединенных линейно-связным подпространством, с ролью фундаментальной группы подпространства. См.: Теорема Зейферта – ван Кампена.
Karrass и Solitar дали описание подгрупп бесплатного продукта с объединением. Например, гомоморфизмы из и в фактор-группу, которые индуцированы и оба инъективны, как и индуцированный гомоморфизм из.
Бесплатные продукты с объединением и близкое к нему понятие расширения HNN являются основными строительными блоками в теории групп Басса – Серра, действующих на деревьях.
Аналогичным образом можно определить свободные произведения алгебраических структур, отличных от групп, включая алгебры над полем. Свободные произведения алгебр случайных величин играют ту же роль в определении « свободы » в теории свободной вероятности, что декартовы произведения играют в определении статистической независимости в классической теории вероятностей.