Символ (математика)

редактировать

В математике символ (чаще всего) является особым видом функции из группы в поле (например, комплексные числа ). Есть как минимум два различных, но пересекающихся значения. Другие варианты использования слова «персонаж» почти всегда уточняются.

Содержание

1 Мультипликативный символ
2 Символ представления
- 2.1 Альтернативное определение
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Мультипликативный символ

A мультипликативный символ (или линейный символ, или просто символ ) в группе G является гомоморфизмом группы от G к мультипликативной группе поля (Артин 1966), обычно поле комплексных чисел. Если G - любая группа, то множество Ch (G) этих морфизмов образует абелеву группу при поточечном умножении.

Эта группа упоминается как группа символов группы G. Иногда рассматриваются только унитарные символы (таким образом, изображение находится в единичном круге ); другие такие гомоморфизмы называются квазихарактерами. Символы Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения.

Мультипликативные символы линейно независимы, то есть если $χ 1, χ 2,…, χ n {\ displaystyle \ chi _ {1}, \ chi _ {2}, \ ldots, \ chi _ {n}}$ $\ chi _ {1}, \ chi _ {2}, \ ldots, \ chi _ {n}$ - разные символы в группе G, затем из $a 1 χ 1 + a 2 χ 2 +… + an χ n = 0 {\ displaystyle a_ { 1} \ chi _ {1} + a_ {2} \ chi _ {2} + \ ldots + a_ {n} \ chi _ {n} = 0}$ $a_ {1} \ chi _ {1} + a_ {2} \ chi _ {2} + \ ldots + a_ {n} \ chi _ {n} = 0$ следует, что $a 1 = a 2 = ⋯ = an = 0 {\ displaystyle a_ {1} = a_ {2} = \ cdots = a_ {n} = 0}$ $a_ {1} = a_ { 2} = \ cdots = a_ {n} = 0$ .

Символ представления

Символ $χ: G → F {\ displaystyle \ chi: G \ rightarrow F}$ ${\ displaystyle \ chi: G \ rightarrow F}$ представления $ϕ: G → GL (V) {\ displaystyle \ phi \ двоеточие G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ ${\ displaystyle \ phi \ двоеточие G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ группы G на конечномерном векторном пространстве V над полем F - это след представление $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ (Серр 1977), т.е.

$χ ϕ (g) = T r (ϕ (g)) {\ displaystyle \ chi _ {\ phi} (g) = Tr (\ phi (g))}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ phi} (г) = Tr (\ phi (g))}$ для $g ∈ G {\ displaystyle g \ in G}$ $г \ ин G$

В общем, след не гомоморфные группы sm, и набор трасс не образует группу. Символы одномерных представлений идентичны одномерным представлениям, поэтому указанное выше понятие мультипликативного символа можно рассматривать как частный случай многомерных символов. Изучение представлений с использованием символов называется «теорией символов », и в этом контексте одномерные символы также называются «линейными символами».

Альтернативное определение

Если ограничено конечной абелевой группой с $1 × 1 {\ displaystyle 1 \ times 1}$ ${\ displaystyle 1 \ times 1}$ представлением в $С {\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ (т.е. $GL (V) = GL (1, C) {\ displaystyle GL (V) = GL (1, \ mathbb {C })}$ ${\ displaystyle GL (V) = GL (1, \ mathbb {C})}$ ) следующее альтернативное определение будет эквивалентно приведенному выше (для абелевых групп каждое матричное представление разлагается на прямую сумму из $1 × 1 {\ displaystyle 1 \ times 1}$ ${\ displaystyle 1 \ times 1}$ представления. Для неабелевой группы исходное определение было бы более общим, чем это):

символ $χ { \ displaystyle \ chi}$ $\ chi$ группы $(G, ⋅) {\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ - отображение $χ: G → C {\ displaystyle \ chi: G \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ чи: G \ rightarrow \ mathbb {C}}$ так, что $χ (x ⋅ y) = χ (x) χ (y) {\ displaystyle \ chi (x \ cdot y) = \ хи (х) \ хи (у)}$ ${\ displaystyle \ chi (x \ cdot y) = \ chi (x) \ чи (у)}$ для всех $х, y ∈ G {\ displaystyle x, y \ in G}$ ${\ displaystyle x, y \ in G}$

Если $G {\ displaystyle G }$ $G$ - конечный Абелева группа, персонажи играют роль гармоник. Для бесконечной абелевой группы указанное выше будет заменено на $χ: G → T {\ displaystyle \ chi: G \ rightarrow \ mathbb {T}}$ ${\ displaystyle \ chi: G \ rightarrow \ mathbb {T}}$ где $T {\ displaystyle \ mathbb {T}}$ $\ mathbb {T}$ - это группа кругов.

См. Также

Ссылается на

^"символ в nLab". ncatlab.org. Проверено 31 октября 2017 г.

Артин, Эмиль (1966), Теория Галуа, Математические лекции в Нотр-Даме, номер 2, Артур Нортон Милграм (перепечатанные Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Лекции, прочитанные в университете Нотр-Дам
Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп, Тексты для выпускников по математике, 42, Перевод со второго французского издания Леонарда Л. Скотта, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4684- 9458-7, ISBN 0-387-90190-6, MR 0450380

Внешние ссылки