Линейная независимость

Свойство подмножеств базиса векторного пространства Линейно независимые векторы в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$ Линейно зависимые векторы на плоскости в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$.

В теории векторных пространств, набор из векторов называется линейно зависимым, если хотя бы один из векторов в наборе может быть определен как линейная комбинация других; если ни один вектор в наборе не может быть записан таким образом, то векторы называются линейно независимыми . Эти концепции являются центральными для определения размерности.

Векторное пространство может быть конечномерным или бесконечномерным в зависимости от количества линейно независимых базисные векторы. Определение линейной зависимости и возможность определять, является ли подмножество векторов в векторном пространстве линейной зависимостью, являются центральными для определения базиса для векторного пространства.

• 1 Определение
  • 1.1 Бесконечные измерения
• 2 Геометрическое значение
• 3 Оценка линейной независимости
  • 3.1 Векторы в R
  • 3.2 Векторы в R
  • 3.3 Альтернативный метод с использованием определителей
  • 3.4 Больше векторов, чем размерностей
• 4 Естественные базисные векторы
  • 4.1 Доказательство
• 5 Линейная независимость базисных функций
  • 5.1 Доказательство
• 6 Пространство линейных зависимостей
• 7 Аффинная независимость
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Последовательность векторов $(v\; 1\; \to ,\; v\; 2\; \to ,\dots ,\; vk\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{1\}\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{2\}\}\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{k\}\}\})\}$из векторного пространства V называется линейно зависимым, если существуют скаляры $a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; ak\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; a\_\; \{k\}\}$, не все нули, такие, что

$a\; 1\; v\; 1\; \to \; +\; a\; 2\; v\; 2\; \to \; +\; \cdots \; +\; akvk\; \to \; =\; 0\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{1\}\}\; \}\; +\; a\_\; \{2\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{k\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{k\}\}\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{0\}\},\}$

где $0\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{0\}\; \}\}$обозначает нулевой вектор.

Обратите внимание: если не все скаляры равны нулю, то хотя бы один ненулевой, скажем, $a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$, и в этом случае это уравнение можно записать в виде

$v\; 1\; \to \; =\; -\; a\; 2\; a\; 1\; v\; 2\; \to \; +\; \cdots \; +\; -\; aka\; 1\; vk\; \to .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-a\_\; \{2\}\}\; \{a\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{-\; a\_\; \{k\}\}\; \{a\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{k\}\}\}.\}$

Таким образом, $v\; 1\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{1\}\}\}\}$показано как линейная комбинация остальных векторов.

Последовательность векторов $(v\; 1\; \to ,\; v\; 2\; \to ,\dots ,\; vn\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{1\}\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{2\})\; \}\},\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{n\}\}\})\}$называется линейно независимым, если уравнение

$a\; 1\; v\; 1\; \to \; +\; a\; 2\; v\; 2\; \to \; +\; \cdots \; +\; anvn\; \to \; =\; 0\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{1\}\}\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \{\backslash \; vec\; \{v\_\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; \{\backslash \; vec\; \{\; v\_\; \{n\}\}\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{0\}\},\}$

может быть удовлетворено только $ai\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; =\; 0\}$для $я\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; n\}$. Это означает, что ни один вектор в последовательности не может быть представлен как линейная комбинация остальных векторов в последовательности. Другими словами, последовательность векторов линейно независима, если единственное представление $0\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{0\}\}\}$в виде линейной комбинации векторов является тривиальным представлением в все скаляры $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$равны нулю. Еще более кратко, последовательность векторов является линейно независимой тогда и только тогда, когда $0\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{0\}\}\}$может быть представлена ​​как линейная комбинация ее векторов в уникальном путь.

Альтернативное определение, согласно которому последовательность векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда некоторый вектор в этой последовательности может быть записан как линейная комбинация других векторов, полезно только тогда, когда последовательность содержит два или более векторов. Когда последовательность не содержит векторов или только один вектор, используется исходное определение.

Бесконечные измерения

Чтобы позволить количеству линейно независимых векторов в векторном пространстве быть счетно бесконечным, полезно определить линейную зависимость следующим образом. В более общем смысле, пусть V будет векторным пространством над полем K, и пусть {v i | i ∈ I} - семейство элементов V , индексированных множеством I. Семейство линейно зависимо над K, если существует непустое конечное подмножество J ⊆ I и семья {a j | j ∈ J} элементов K, все ненулевые, такие, что

$\sum \; j\; \in \; J\; ajvj\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; \backslash \; in\; J\}\; a\_\; \{j\}\; v\_\; \{j\}\; =\; 0.\; \}$

Набор X элементов множества V линейно независим, если соответствующее семейство {x} x∈X линейно независимо. Эквивалентно, семейство является зависимым, если член находится в замыкании линейного промежутка остальной части семейства, т.е. член является линейной комбинацией остальной части семейства.. Тривиальный случай пустого семейства следует рассматривать как линейно независимый, чтобы теоремы применялись.

Набор векторов, который является линейно независимым и охватывает некоторое векторное пространство, образует базис для этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех многочленов от x над вещественными числами имеет (бесконечное) подмножество {1, x, x,...} в качестве основы.

Географический пример может помочь прояснить концепцию линейной независимости. Человек, описывающий местоположение определенного места, может сказать: «Это в 3 милях к северу и в 4 милях к востоку отсюда». Этой информации достаточно для описания местоположения, поскольку географическую систему координат можно рассматривать как двумерное векторное пространство (без учета высоты и кривизны поверхности Земли). Человек может добавить: «Это место в 5 милях к северо-востоку отсюда». Хотя это последнее утверждение верно, в нем нет необходимости.

В этом примере вектор «3 мили на север» и вектор «4 мили на восток» линейно независимы. Другими словами, северный вектор не может быть описан в терминах восточного вектора, и наоборот. Третий вектор «5 миль к северо-востоку» представляет собой линейную комбинацию двух других векторов, и он делает набор векторов линейно зависимым, то есть один из трех векторов не нужен.

Также обратите внимание, что если высота не игнорируется, становится необходимым добавить третий вектор к линейно независимому набору. В общем, для описания всех местоположений в n-мерном пространстве требуется n линейно независимых векторов.

Векторы в R

Три вектора: Рассмотрим набор векторов v 1 = (1, 1), v 2 = (−3, 2) и v 3 = (2, 4), то условие линейной зависимости ищет набор ненулевых скаляров, таких что

$a\; 1\; \{1\; 1\}\; +\; a\; 2\; \{-\; 3\; 2\}\; +\; a\; 3\; \{2\; 4\}\; =\; \{0\; 0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; -3\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; +\; a\_\; \{3\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\},\}$

или

$[1\; -\; 3\; 2\; 1\; 2\; 4]\; \{a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\}\; =\; \{0\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -3\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; 4\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Строка уменьшите это матричное уравнение, вычтя первую строку из второй, чтобы получить,

$[1\; -\; 3\; 2\; 0\; 5\; 2]\; \{a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\}\; =\; \{0\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -3\; 2\; \backslash \backslash \; 0\; 5\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Продолжите сокращение строки: (i) разделив вторую строку на 5, а затем (ii) умножив на 3 и прибавив к первой строке, то есть

$[1\; 0\; 16/5\; 0\; 1\; 2/5]\; \{a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\}\; =\; \{0\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 16/5\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 2/5\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\; \}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Теперь мы можем изменить это уравнение, чтобы получить

$[1\; 0\; 0\; 1]\; \{a\; 1\; a\; 2\}\; =\; \{a\; 1\; a\; 2\}\; =\; -\; a\; 3\; \{16/5\; 2/5\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{\; 1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; -\; a\_\; \{3\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 16/5\; \backslash \backslash \; 2/5\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

который показывает, что не- ноль a i существуют такие, что v 3 = (2, 4) может быть определено в терминах v 1 = (1, 1), v 2 = (−3, 2). Таким образом, три вектора линейно зависимы.

Два вектора: Теперь рассмотрим линейную зависимость двух векторов v 1 = (1, 1), v 2 = (−3, 2) и проверьте,

$a\; 1\; \{1\; 1\}\; +\; a\; 2\; \{-\; 3\; 2\}\; =\; \{0\; 0\},\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; -3\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\},\}$

или

$[1\; -\; 3\; 1\; 2]\; \{a\; 1\; a\; 2\}\; =\; \{0\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -3\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

То же сокращение строки, представленное выше, дает

$[1\; 0\; 0\; 1]\; \{a\; 1\; a\; 2\}\; =\; \{0\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Это показывает, что a i = 0, что означает, что векторы v 1 = (1, 1) и v 2 = (−3, 2) линейно независимы.

Векторы в R

Чтобы определить, являются ли три вектора в R,

$v\; 1\; =\; \{1\; 4\; 2\; -\; 3\},\; v\; 2\; =\; \{7\; 10\; -\; 4\; -\; 1\},\; v\; 3\; =\; \{-\; 2\; 1\; 5\; -\; 4\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; -\; 3\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 7\; \backslash \backslash \; 10\; \backslash \backslash \; -\; 4\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; -2\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 5\; \backslash \backslash \; -\; 4\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

линейно зависимы, образуют матричное уравнение,

$[1\; 7\; -\; 2\; 4\; 10\; 1\; 2\; -\; 4\; 5\; -\; 3\; -\; 1\; -\; 4]\; \{a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\}\; =\; \{0\; 0\; 0\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 7\; -2\; \backslash \backslash \; 4\; 10\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; -4\; 5\; \backslash \backslash \; -\; 3\; -1\; -4\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Сократите это уравнение в строке, чтобы получить,

$[1\; 7\; -\; 2\; 0\; -\; 18\; 9\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0]\; \{a\; 1\; a\; 2\; a\; 3\}\; =\; \{0\; 0\; 0\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 7\; -2\; \backslash \backslash \; 0\; -18\; 9\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{3\; \}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Перегруппируйте, чтобы найти v 3 и получить,

$[1\; 7\; 0–18]\; \{a\; 1\; a\; 2\}\; =\; -\; a\; 3\; \{-\; 2\; 9\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 7\; \backslash \backslash \; 0\; -18\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; a\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}\; =\; -\; a\_\; \{3\}\; \{\; \backslash \; begin\; \{Bmatrix\}\; -2\; \backslash \backslash \; 9\; \backslash \; end\; \{Bmatrix\}\}.\}$

Это уравнение легко решается, чтобы определить ненулевое значение a i,

$a\; 1\; =\; -\; 3\; a\; 3/2,\; a\; 2\; =\; a\; 3\; /\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; =\; -\; 3a\_\; \{3\}\; /\; 2,\; a\_\; \{2\}\; =\; a\_\; \{3\}\; /\; 2,\}$

, где a 3 можно выбрать произвольно. Таким образом, векторы v 1, v 2 и v 3 являются линейно зависимыми.

Альтернативный метод с использованием определителей

Альтернативный метод основан на том факте, что n векторов в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$линейно независимытогда и только тогда, когда определитель матрицы , сформированной путем взятия векторов в качестве своих столбцов, не равен нулю.

В этом случае матрица, образованная векторами, имеет вид

$A\; =\; [1\; -\; 3\; 1\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -3\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Мы можем записать линейную комбинацию столбцов как

$A\; \Lambda \; =\; [1\; -\; 3\; 1\; 2\; ]\; [\lambda \; 1\; \lambda \; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; Lambda\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -3\; \backslash \backslash \; 1\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\; \}.\}$

Нас интересует, будет ли AΛ = 0 для некоторого ненулевого вектора Λ. Это зависит от определителя A, который равен

$det\; A\; =\; 1\; \cdot \; 2-1\; \cdot \; (-\; 3)\; =\; 5\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; A\; =\; 1\; \backslash \; cdot\; 2-1\; \backslash \; cdot\; (-3)\; =\; 5\; \backslash \; neq\; 0.\}$

Поскольку определитель отличен от нуля, векторы (1, 1) и (−3, 2) линейно независимы.

В противном случае предположим, что у нас есть m векторов с n координатами, причем m < n. Then A is an n×m matrix and Λ is a column vector with m entries, and we are again interested in AΛ = 0. Как мы видели ранее, это эквивалентно списку из n уравнений. Рассмотрим первые m строк A, первые m уравнений; любое решение полного списка уравнений должно быть верным и для сокращенного списка. Фактически, если 〈i 1,..., i m 〉 - это любой список из m строк, то уравнение должно выполняться для этих строк.

$A\; ⟨i\; 1,\dots ,\; i\; m⟩\; \Lambda \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\{\backslash \; langle\; i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{m\}\}\; \backslash \; rangle\}\; \backslash \; Lambda\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}.\}$

Более того, верно обратное. То есть, мы можем проверить, являются ли m векторов линейно зависимыми, проверяя,

$det\; A\; ⟨i\; 1,\dots ,\; im⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; A\; \_\; \{\{\backslash \; langle\; i\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; i\_\; \{m\}\}\; \backslash \; rangle\}\; =\; 0\}$

для всех возможных списков из m строк. (В случае m = n для этого требуется только один определитель, как указано выше. Если m>n, то согласно теореме векторы должны быть линейно зависимыми.) Этот факт ценен для теории; в практических расчетах доступны более эффективные методы.

Векторов больше, чем размеров

Если векторов больше, чем размеров, векторы линейно зависимы. Это проиллюстрировано в приведенном выше примере трех векторов в R.

Пусть V = R и рассмотрим следующие элементы в V, известные как естественный базис векторов:

$e\; 1\; =\; (1,\; 0,\; 0,\dots ,\; 0)\; e\; 2\; =\; (0,\; 1,\; 0,\dots ,\; 0)\; ⋮\; en\; =\; (0,\; 0,\; 0,\dots ,\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; =\; (1,0,0,\; \backslash \; ldots,\; 0)\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; =\; (0,\; 1,0,\; \backslash \; ldots,\; 0)\; \backslash \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\}\; =\; (0,0,0,\; \backslash \; ldots,\; 1).\; \backslash \; End\; \{matrix\}\}\}$

Тогда e1, e2,..., enлинейно независимы.

Доказательство

Предположим, что a 1, a 2,..., a n являются элементами R такой, что

$a\; 1\; e\; 1\; +\; a\; 2\; e\; 2\; +\; \cdots \; +\; anen\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}.\}$

Поскольку

$a\; 1\; e\; 1\; +\; a\; 2\; e\; 2\; +\; \cdots \; +\; anen\; =\; (a\; 1,\; a\; 2,\dots ,\; an),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\}\; =\; (a\_\; \{1\},\; a\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}),\}$

, тогда a i = 0 для всех i в {1,..., n}.

Пусть $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$будет векторным пространством всех дифференцируемых функций. действительной переменной $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Затем функции $et\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{t\}\}$и $e\; 2\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2t\}\}$в $V\; \{\; \backslash \; displaystyle\; V\}$линейно независимы.

Доказательство

Предположим, $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- два действительных числа, например что

$aet\; +\; be\; 2\; t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ae\; ^\; \{t\}\; +\; be\; ^\; \{2t\}\; =\; 0\}$

Возьмем первую производную вышеуказанного уравнения так, чтобы

$aet\; +\; 2\; было\; 2\; t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; ae\; ^\; \{t\}\; +\; 2be\; ^\; \{2t\}\; =\; 0\}$

для всех значений t. Нам нужно показать, что $a\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 0\}$и $b\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 0\}$. Для этого мы вычитаем первое уравнение из второго, получая $b\; e\; 2\; t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; be\; ^\; \{2t\}\; =\; 0\}$. Поскольку $e\; 2\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2t\}\}$не равно нулю для некоторого t, $b\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 0\}$. Отсюда следует, что $a\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 0\}$тоже. Следовательно, согласно определению линейной независимости, $et\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{t\}\}$и $e\; 2\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2t\}\}$линейно независимы.

A линейная зависимость или линейная связь между векторами v1,..., vn- это кортеж (a1,..., a n) с n скалярными компонентами такими, что

$a\; 1\; v\; 1\; +\; \cdots \; +\; anvn\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}.\}$

Если такая линейная зависимость существует хотя бы с ненулевой компонентой, то n векторов линейно зависимы. Линейные зависимости между v1,..., vnобразуют векторное пространство.

Если векторы выражаются их координатами, то линейные зависимости являются решениями однородной системы линейных уравнений с координатами векторов в качестве коэффициентов. базис векторного пространства линейных зависимостей, следовательно, может быть вычислен с помощью исключения Гаусса.

Набор векторов называется аффинно зависимым, если хотя бы один из векторов в наборе может быть определен как аффинная комбинация других. В противном случае набор называется аффинно независимым . Любая аффинная комбинация - это линейная комбинация; поэтому каждое аффинно зависимое множество линейно зависимо. Наоборот, любое линейно независимое множество аффинно независимое.

Рассмотрим набор из m векторов $(v\; 1,\dots ,\; vm)\; \{\backslash \; displaystyle\; (v\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; v\_\; \{m\})\}$размера n каждый и рассмотрим набор из m расширенных векторов $((1\; v\; 1),\dots ,\; (1\; vm))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; binom\; \{1\}\; \{v\_\; \{1\}\}\},\; \backslash \; ldots,\; \{\backslash \; binom\; \{1\}\; \{v\_\; \{m\}\}\})\}$размером n + 1 каждый. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда расширенные векторы линейно независимы.

См. Также: аффинное пространство.

• Matroid - Абстрактная структура, которая моделирует и обобщает линейная независимость

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Линейно зависимые функции в WolframMathWorld.
• Учебное пособие и интерактивная программа по линейной независимости.
• Введение в линейную независимость в KhanAcademy.