Исключение Гаусса

Исключение Гаусса, также известный как сокращение строки, представляет собой алгоритм в линейной алгебре для решения системы линейных уравнений. Обычно под ним понимается последовательность операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов. Этот метод также можно использовать для нахождения ранга матрицы, для вычисления детерминанта матрицы и для вычисления обратного значения обратимой квадратной матрицы. Метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Некоторые частные случаи этого метода - хотя и представлены без доказательства - были известны китайским математикам еще примерно в 179 году нашей эры.

Чтобы выполнить сокращение строки в матрице, используется последовательность операций с элементарной строкой для изменения матрицы до тех пор, пока нижний левый угол матрицы не будет заполнен нулями, насколько это возможно. возможный. Существует три типа операций с элементарными строками:

• Замена двух строк,
• Умножение строки на ненулевое число,
• Добавление кратного одной строки к другой строке.

Использование В результате этих операций матрица всегда может быть преобразована в верхнюю треугольную матрицу и фактически в матрицу, которая находится в эшелоне строки в форме. Когда все ведущие коэффициенты (крайний левый ненулевой элемент в каждой строке) равны 1, и каждый столбец, содержащий ведущий коэффициент, имеет нули в другом месте, матрица называется сокращенной формой эшелона строк. Эта окончательная форма уникальна; другими словами, он не зависит от последовательности использованных операций со строками. Например, в следующей последовательности операций со строками (где на каждом шаге может выполняться несколько элементарных операций) третья и четвертая матрицы - это матрицы в форме эшелона строк, а конечная матрица - это уникальная сокращенная форма эшелона строк.

$[1\; 3\; 1\; 9\; 1\; 1\; -\; 1\; 1\; 3\; 11\; 5\; 35]\; \to \; [1\; 3\; 1\; 9\; 0\; -\; 2\; -\; 2\; -\; 8\; 0\; 2\; 2\; 8]\; \to \; [1\; 3\; 1\; 9\; 0\; -\; 2\; -\; 2\; -\; 8\; 0\; 0\; 0\; 0]\; \to \; [1\; 0\; -\; 2\; -\; 3\; 0\; 1\; 1\; 4\; 0\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 1\; 3\; 1\; 9\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; -1\; 1\; \backslash \backslash \; 3\; 11\; 5\; 35\; \backslash \; end\; \{\; array\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 1\; 3\; 1\; 9\; \backslash \backslash \; 0\; -2\; -2\; -8\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; 2\; 8\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\; \backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 1\; 3\; 1\; 9\; \backslash \backslash \; 0\; -2\; -2\; -8\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 1\; 0\; -\; 2\; -3\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 1\; 4\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

Использование операций со строками для преобразования матрицы в сокращенную форму эшелона строк иногда называют исключением Гаусса – Жордана . Некоторые авторы используют термин гауссовское исключение для обозначения процесса до тех пор, пока он не достигнет своей верхней треугольной или (нередуцированной) формы эшелона строк. По вычислительным причинам при решении систем линейных уравнений иногда предпочтительнее остановить операции со строками до того, как матрица будет полностью сокращена.

Содержание

• 1 Определения и пример алгоритма
  • 1.1 Операции со строками
  • 1.2 Форма эшелона
  • 1.3 Пример алгоритма
• 2 История
• 3 Приложения
  • 3.1 Вычислительные детерминанты
  • 3.2 Нахождение обратной матрицы
  • 3.3 Вычисление рангов и оснований
• 4 Вычислительная эффективность
  • 4.1 Обобщения
• 5 Псевдокод
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Определения и пример алгоритма

Процесс сокращения строки использует операции с элементарной строкой и может быть разделен на две части. Первая часть (иногда называемая прямым исключением) приводит данную систему к форме эшелона строк, по которой можно определить, нет ли решений, единственного решения или бесконечного множества решений. Вторая часть (иногда называемая обратной заменой ) продолжает использовать операции со строками, пока не будет найдено решение; другими словами, матрица преобразуется в сокращенный ряд строк.

Другая точка зрения, которая оказывается очень полезной для анализа алгоритма, заключается в том, что сокращение строки приводит к разложению матрицы исходной матрицы. Операции с элементарными строками можно рассматривать как умножение слева от исходной матрицы на элементарные матрицы. В качестве альтернативы последовательность элементарных операций, сокращающих одну строку, может рассматриваться как умножение на матрицу Фробениуса . Затем первая часть алгоритма вычисляет разложение LU, тогда как вторая часть записывает исходную матрицу как произведение однозначно определенной обратимой матрицы и однозначно определенной уменьшенной матрицы эшелона строк.

Операции со строками

Есть три типа операций с элементарными строками, которые могут выполняться со строками матрицы:

1. Поменять местами две строки.
2. Умножить строку на ненулевой скаляр.
3. Добавить к одной строке скаляр, кратный другой.

Если матрица связана с системой линейных уравнений, то эти операции не выполняются. изменить набор решений. Следовательно, если целью является решение системы линейных уравнений, то использование этих операций со строками может облегчить задачу.

Форма эшелона

Для каждой строки в матрице, если строка не состоит только из нулей, то крайний левый ненулевой элемент называется ведущим коэффициентом (или опорным) этой строки. Таким образом, если два ведущих коэффициента находятся в одном столбце, то для обнуления одного из этих коэффициентов можно использовать строковую операцию типа 3. Затем, используя операцию перестановки строк, всегда можно упорядочить строки так, чтобы для каждой ненулевой строки ведущий коэффициент находился справа от ведущего коэффициента строки выше. Если это так, то говорят, что матрица находится в эшелоне строки формы . Таким образом, нижняя левая часть матрицы содержит только нули, а все нулевые строки находятся ниже ненулевых строк. Слово «эшелон» используется здесь, потому что можно примерно представить строки, ранжированные по их размеру, причем самые большие находятся вверху, а самые маленькие - внизу.

Например, следующая матрица находится в форме эшелона строк, и ее ведущие коэффициенты показаны красным:

$[0\; 2\; 1\; -\; 1\; 0\; 0\; 3\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \; color\; \{red\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{2\}\}\; 1\; -1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; color\; \{red\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{3\}\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Он имеет эшелонированную форму, потому что нулевая строка находится внизу, а ведущий коэффициент второй строки (в третьем столбце) находится справа от ведущего коэффициента первой строки (во втором столбец).

Матрица называется сокращенной формой эшелона строк, если, кроме того, все ведущие коэффициенты равны 1 (что может быть достигнуто с помощью операции элементарной строки типа 2), и в каждом столбце, содержащем ведущий коэффициент, все остальные записи в этом столбце равны нулю (что может быть достигнуто с помощью элементарных операций со строками типа 3).

Пример алгоритма

Предположим, цель состоит в том, чтобы найти и описать набор решений следующей системы линейных уравнений :

$2\; x\; +\; y\; -\; z\; =\; 8\; (\; L\; 1)\; -\; 3\; x\; -\; y\; +\; 2\; z\; =\; -\; 11\; (L\; 2)\; -\; 2\; x\; +\; y\; +\; 2\; z\; =\; -\; 3\; (L\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; 2x\; \{\}\; +\; \{\; \}\; y\; \{\}\; -\; \{\}\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 8\; \backslash \; qquad\; (L\_\; \{1\})\; \backslash \backslash \; -\; 3x\; \{\}\; -\; \{\}\; y\; \{\}\; +\; \{\}\; 2z\; \{\}\; =\; \{\}\; -\; 11\; \backslash \; qquad\; (L\_\; \{2\})\; \backslash \backslash \; -\; 2x\; \{\}\; +\; \{\}\; y\; \{\}\; +\; \{\}\; 2z\; \{\}\; =\; \{\}\; -\; 3\; \backslash \; qquad\; (L\_\; \{3\})\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$

В таблице ниже процесс сокращения строк применяется одновременно к системе уравнений и связанной с ней расширенной матрице . На практике системы обычно не рассматриваются в терминах уравнений, а вместо этого используется расширенная матрица, которая больше подходит для компьютерных манипуляций. Процедуру сокращения строки можно резюмировать следующим образом: исключить x из всех уравнений ниже L 1, а затем исключить y из всех уравнений ниже L 2. Это преобразует систему в треугольную форму. Затем, используя обратную подстановку, можно решить каждую неизвестную.

Система уравнений	Операции со строками	Расширенная матрица
$2\; x\; +\; y\; -\; z\; =\; 8\; -\; 3\; x\; -\; y\; +\; 2\; z\; =\; -\; 11\; -\; 2\; x\; +\; y\; +\; 2\; z\; =\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; 2x\; \{\}\; +\; \{\}\; y\; \{\}\; -\; \{\}\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 8\; \backslash \backslash \; -\; 3x\; \{\}\; -\; \{\}\; y\; \{\}\; +\; \{\; \}\; 2z\; \{\}\; =\; \{\}\; -\; 11\; \backslash \backslash \; -\; 2x\; \{\}\; +\; \{\}\; y\; \{\}\; +\; \{\}\; 2z\; \{\}\; =\; \{\}\; -\; 3\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$		$[2\; 1\; -\; 1\; 8\; -\; 3\; -\; 1\; 2\; -\; 11\; -\; 2\; 1\; 2\; -\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 2\; 1\; -1\; 8\; \backslash \backslash \; -\; 3\; -1\; 2\; -11\; \backslash \backslash \; -\; 2\; 1\; 2\; -3\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$
$2\; x\; +\; y\; -\; z\; =\; 8\; 1\; 2\; y\; +\; 1\; 2\; z\; =\; 1\; 2\; y\; +\; z\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; 2x\; \{\}\; +\; \{\}\; y\; \{\}\; -\; \{\}\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 8\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; y\; \{\}\; +\; \{\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; z\; \{\}\; =\; \{\; \}\; 1\; \backslash \backslash \; 2y\; \{\}\; +\; \{\}\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 5\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$	$L\; 2\; +\; 3\; 2\; L\; 1\; \to \; L\; 2\; L\; 3\; +\; L\; 1\; \to \; L\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{2\}\}\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; L\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{3\}\; +\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; L\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$	$[2\; 1\; -\; 1\; 8\; 0\; 1\; 2\; 1\; 2\; 1\; 0\; 2\; 1\; 5]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 2\; 1\; -1\; 8\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; 1\; 5\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$
$2\; x\; +\; y\; -\; z\; =\; 8\; 1\; 2\; y\; +\; 1\; 2\; Z\; знак\; равно\; 1\; -\; Z\; знак\; равно\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; 2x\; \{\}\; +\; \{\}\; y\; \{\}\; -\; \{\}\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 8\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; y\; \{\}\; +\; \{\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 1\; \backslash \backslash \; -\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 1\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$	$L\; 3\; +\; -\; 4\; L\; 2\; \to \; L\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{3\; \}\; +\; -\; 4L\_\; \{2\}\; \backslash \; к\; L\_\; \{3\}\}$	$[2\; 1\; -\; 1\; 8\; 0\; 1\; 2\; 1\; 2\; 1\; 0\; 0\; -\; 1\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 2\; 1\; -1\; 8\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$
Матрица теперь находится в форме эшелона (также называемой треугольной формой)
$2\; x\; +\; y\; =\; 7\; 1\; 2\; y\; =\; 3\; 2\; -\; z\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; 2x\; \{\}\; +\; \{\}\; y\; \{\; \}\; =\; \{\}\; 7\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; y\; \{\}\; =\; \{\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; -\; \{\}\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; 1\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$	$L\; 2\; +\; 1\; 2\; L\; 3\; \to \; L\; 2\; L\; 1\; -\; L\; 3\; \to \; L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; L\_\; \{3\}\; \backslash \; to\; L\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{1\}\; -L\_\; \{3\}\; \backslash \; to\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	$[2\; 1\; 0\; 7\; 0\; 1\; 2\; 0\; 3\; 2\; 0\; 0\; -\; 1\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 2\; 1\; 0\; 7\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; 0\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -1\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$
$2\; x\; +\; y\; =\; 7\; y\; =\; 3\; z\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; 2x\; \{\}\; +\; \{\}\; y\; \backslash \; quad\; \{\}\; =\; \{\}\; 7\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; quad\; \{\}\; =\; \{\}\; 3\; \backslash \backslash \; \backslash \; quad\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; -\; 1\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$	$2\; L\; 2\; \to \; L\; 2\; -\; L\; 3\; \to \; L\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; 2L\_\; \{2\}\; \backslash \; к\; L\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; -\; L\_\; \{3\}\; \backslash \; к\; L\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	$[2\; 1\; 0\; 7\; 0\; 1\; 0\; 3\; 0\; 0\; 1\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 2\; 1\; 0\; 7\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 3\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; -1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$
$x\; =\; 2\; y\; =\; 3\; z\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{alignat\}\; \{4\}\; x\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \{\}\; =\; \{\}\; 2\; \backslash \backslash \; \backslash \; quad\; y\; \backslash \; quad\; \{\}\; =\; \{\}\; 3\; \backslash \backslash \; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; z\; \{\}\; =\; \{\}\; -\; 1\; \backslash \; end\; \{alignat\}\}\}$	$L\; 1\; -\; L\; 2\; \to \; L\; 1\; 1\; 2\; L\; 1\; \to \; L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{1\}\; -L\_\; \{\; 2\}\; \backslash \; в\; L\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; в\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$	$[1\; 0\; 0\; 2\; 0\; 1\; 0\; 3\; 0\; 0\; 1–1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rrr\; |\; r\}\; 1\; 0\; 0\; 2\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 3\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; -1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

Во втором столбце описывается какие строковые операции были только что выполнены. Итак, на первом этапе x исключается из L 2 путем добавления 3 / 2L 1 к L 2. Затем x удаляется из L 3 путем добавления L 1 к L 3. Эти операции со строками помечены в таблице как

$L\; 2\; +\; 3\; 2\; L\; 1\; \to \; L\; 2,\; L\; 3\; +\; L\; 1\; \to \; L\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{3\}\; \{2\}\}\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; L\_\; \{2\},\; \backslash \backslash \; L\_\; \{3\}\; +\; L\_\; \{1\}\; \backslash \; to\; L\_\; \{3\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Как только y также удаляется из третьей строки, результатом является система линейных уравнений в треугольной форме, и, таким образом, первая часть алгоритма завершена. С вычислительной точки зрения быстрее решать переменные в обратном порядке, этот процесс известен как обратная подстановка. Видно, что решение z = −1, y = 3 и x = 2. Таким образом, существует единственное решение исходной системы уравнений.

Вместо остановки, когда матрица находится в эшелонированной форме, можно продолжить, пока матрица не перейдет в сокращенную эшелонированную форму, как это сделано в таблице. Процесс уменьшения строки до уменьшения матрицы иногда называют исключением Гаусса – Жордана, чтобы отличить его от остановки после достижения эшелонированной формы.

История

Метод исключения Гаусса появляется - хотя и без доказательства - в китайском математическом тексте Глава восьмая: Прямоугольные массивы из Девять глав по математике Статья. Его использование проиллюстрировано в восемнадцати задачах с двумя-пятью уравнениями. Первое упоминание о книге под этим названием датируется 179 годом нашей эры, но некоторые ее части были написаны примерно в 150 году до нашей эры. Это комментировал Лю Хуэй в III веке.

Европейский метод основан на записях Исаака Ньютона. В 1670 году он написал, что во всех известных ему книгах по алгебре не хватает уроков по решению одновременных уравнений, которые затем преподал Ньютон. Кембриджский университет в конце концов опубликовал заметки как Arithmetica Universalis в 1707 году, спустя много времени после того, как Ньютон оставил академическую жизнь. Примечания были широко имитированы, что сделало (то, что сейчас называют) методом исключения Гаусса стандартным уроком в учебниках алгебры к концу 18 века. Карл Фридрих Гаусс в 1810 году разработал обозначение для симметричного исключения, которое было принято в 19 веке профессиональными ручными компьютерами для решения обычных уравнений задач наименьших квадратов. Алгоритм, которому преподают в средней школе, был назван в честь Гаусса только в 1950-х годах из-за путаницы в истории предмета.

Некоторые авторы используют термин гауссовское исключение только для обозначения процедуры до тех пор, пока матрица имеет эшелонированную форму и используется термин исключение Гаусса – Жордана для обозначения процедуры, которая заканчивается в форме сокращенного эшелона. Это название используется потому, что это разновидность метода исключения по Гауссу, описанного Вильгельмом Джорданом в 1888 году. Однако этот метод также упоминается в статье Клазена, опубликованной в том же году. Джордан и Класен, вероятно, независимо открыли метод исключения Гаусса – Жордана.

Приложения

Исторически первым применением метода сокращения строк является решение систем линейных уравнений. Вот еще несколько важных приложений алгоритма.

Вычисление определителей

Чтобы объяснить, как метод исключения Гаусса позволяет вычислить определитель квадратной матрицы, мы должны вспомнить, как операции с элементарными строками изменяют определитель:

• Обмен двух строк умножается. определитель на −1
• Умножение строки на ненулевой скаляр умножает определитель на тот же скаляр
• Добавление к одной строке скалярного числа, кратного другому, не меняет определителя.

Если Исключение Гаусса, примененное к квадратной матрице A, дает матрицу B эшелона строк, пусть d будет произведением скаляров, на которые был умножен определитель, с использованием вышеуказанных правил. Тогда определитель A - это частное по d произведения элементов диагонали B:

$det\; (A)\; =\; \prod \; diag\; \; (B)\; d.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (A)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; prod\; \backslash \; operatorname\; \{diag\}\; (B)\}\; \{d\}\}.\}$

С точки зрения вычислений для матрицы размера n × n этому методу требуется только O (n) арифметические операции, при использовании формулы Лейбница для определителей требуется O (n!) операций (количество слагаемых в формуле), а рекурсивное разложение Лапласа требует O ( 2) операции (количество вычисляемых подопределителей, если ни один не вычисляется дважды). Даже на самых быстрых компьютерах эти два метода непрактичны или почти неосуществимы при n выше 20.

Нахождение обратной матрицы

Можно использовать вариант исключения Гаусса, называемый исключением Гаусса – Жордана. для нахождения обратной матрицы, если она существует. Если A является квадратной матрицей размера n × n, то можно использовать сокращение строки для вычисления ее обратной матрицы, если она существует. Сначала единичная матрица размера n × n дополняется справа от A, образуя блочную матрицу n × 2n [A | Я]. Теперь, применяя элементарные операции со строками, найдите приведенную форму этой матрицы размера n × 2n. Матрица A обратима тогда и только тогда, когда левый блок можно свести к единичной матрице I; в этом случае правый блок конечной матрицы - A. Если алгоритм не может уменьшить левый блок до I, то A не обратим.

$T\; =\; [a\; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; 0\; 0\; b\; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; 0\; 0\; 0\; c\; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; \ast \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; d\; \ast \; \ast \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; е\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\; *\; *\; *\; *\; *\; *\; *\; *\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; b\; *\; *\; *\; *\; *\; *\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; c\; *\; *\; *\; *\; *\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; d\; *\; *\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; e\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix60\}\}\; где,\},\; а\; a,\; b,\; c,\; d,\; e\; -\; ненулевые\; элементы.\; Эта\; матрица\; эшелона\; T\; содержит\; обширную\; информацию\; об\; A:\; ранг\; матрицы\; A\; равен\; 5,\; так\; как\; в\; T\; есть\; 5\; ненулевых\; строк;\; векторное\; пространство\; ,\; охватываемое\; столбцами\; A,\; имеет\; базис,\; состоящий\; из\; его\; столбцов\; 1,\; 3,\; 4,\; 7\; и\; 9\; (столбцы\; с\; a,\; b,\; c,\; d,\; e\; в\; T)\; и\; Звездочки\; показывают,\; как\; другие\; столбцы\; A\; могут\; быть\; записаны\; как\; линейные\; комбинации\; базовых\; столбцов.\; Это\; является\; следствием\; распределенностискалярного\; произведенияв\; выражении\; линейной\; картыкак\; матрицы.$

. Все это применимо также к сокращенной форме эшелона строк, которая является конкретной строкой. формат эшелона.

Вычислительная эффективность

Количество арифметических операций, необходимых для выполнения сокращения строки, является одним из способов измерения вычислительной эффективности алгоритма. Например, для решения системы из n уравнений для n неизвестных путем выполнения строковых операций над матрицей до тех пор, пока она не будет в эшелонированной форме, а затем решения для каждого неизвестного в обратном порядке, требуется n (n + 1) / 2 делений, (2n + 3n - 5n) / 6 умножений и (2n + 3n - 5n) / 6 вычитаний, всего примерно 2n / 3 операций. Таким образом, он имеет арифметическую сложность O (n); см. Обозначение Big O.

Эта арифметическая сложность является хорошей мерой времени, необходимого для всего вычисления, когда время для каждой арифметической операции приблизительно постоянно. Это тот случай, когда коэффициенты представлены числами с плавающей запятой или когда они принадлежат конечному полю. Если коэффициенты представляют собой точно представленные целые или рациональные числа, промежуточные элементы могут расти экспоненциально, поэтому битовая сложность будет экспоненциальной. Однако существует вариант исключения Гаусса, называемый алгоритм Барейсса, который позволяет избежать этого экспоненциального роста промежуточных элементов и с той же арифметической сложностью O (n) имеет битовую сложность O ( п).

Этот алгоритм можно использовать на компьютере для систем с тысячами уравнений и неизвестными. Однако для систем с миллионами уравнений стоимость становится непомерно высокой. Эти большие системы обычно решаются с использованием итерационных методов. Для систем, коэффициенты которых следуют регулярному образцу, существуют специальные методы (см. система линейных уравнений ).

Чтобы преобразовать матрицу размера n × n в упрощенную форму с помощью строковых операций, необходимо n арифметических операций, что примерно на 50% больше шагов вычислений.

Одной из возможных проблем является числовой нестабильность, вызванная возможностью деления на очень маленькие числа. Если, например, ведущий коэффициент одной из строк очень близок к нулю, то для уменьшения строки матрицы необходимо разделить на это число. Это означает, что любая ошибка, существующая для числа, близкого к нулю, будет усилена. Исключение Гаусса численно устойчиво для матриц с диагональным преобладанием или положительно определенных. Для общих матриц исключение Гаусса обычно считается стабильным при использовании частичного поворота, хотя есть примеры стабильных матриц, для которых оно нестабильно.

Обобщения

Исключение Гаусса может быть выполнено для любого поля , а не только для действительных чисел.

Алгоритм Бухбергера является обобщением метода исключения Гаусса на системы полиномиальных уравнений. Это обобщение во многом зависит от понятия мономиального порядка. Выбор порядка переменных уже подразумевается в методе исключения Гаусса, что проявляется как выбор работы слева направо при выборе положений поворота.

Вычисление ранга тензора порядка больше 2 является NP-трудным. Следовательно, если P ≠ NP, не может быть полиномиального времени аналога исключения Гаусса для тензоров более высокого порядка (матрицы являются массивом представлениями тензоров второго порядка).

Псевдокод

Как объяснено выше, исключение Гаусса преобразует заданную матрицу A размера m × n в матрицу в форме эшелон строки.

в следующем псевдокоде, A [i, j]обозначает элемент матрицы A в строке i и столбце j с индексами, начинающимися с 1. Преобразование выполняется на месте, что означает, что исходная матрица теряется, так как в конечном итоге заменен на рядный.

h: = 1 / * Инициализация сводной строки * / k: = 1 / * Инициализация сводного столбца * / при h ≤ m и k ≤ n / * Найти k-ю точку поворота: * / i_max: = argmax (i = h... m, abs (A [i, k])) if A [i_max, k] = 0 / * Без поворота в этом столбце, перейти к следующему столбцу * / k: = k + 1 elseпоменять местами строки (h, i_max) / * Сделать для всех строк ниже pivot: * / for i = h + 1... m: f: = A [i, k] / A [h, k] / * Заполните нулями нижнюю часть сводный столбец: * / A [i, k]: = 0 / * Выполнить для всех оставшихся элементов в текущей строке: * / для j = k + 1... n: A [i, j] : = A [i, j] - A [h, j] * f / * Увеличить сводную строку и столбец * / h: = h + 1 k: = k + 1

Этот алгоритм немного отличается от один из рассмотренных ранее, путем выбора точки поворота с наибольшим абсолютным значением. Такой частичный поворот может потребоваться, если в точке поворота элемент матрицы равен нулю. В любом случае выбор максимально возможного абсолютного значения оси поворота улучшает числовую стабильность алгоритма, когда с плавающей запятой используется для представления чисел.

По завершении этой процедуры матрица будет в эшелонированной форме, и соответствующая система может быть решена с помощью обратной замены.

См. Также

• Fangcheng (математика)

Примечания

1. ^Кэлинджер (1999), стр. 234–236
2. ^Тимоти Гауэрс; Джун Барроу-Грин; Имре Лидер (8 сентября 2008 г.). Принстонский компаньон по математике. Издательство Принстонского университета. п. 607. ISBN 978-0-691-11880-2.
3. ^Grcar (2011a), стр. 169-172
4. ^Grcar (2011b), стр. 783-785
5. ^Лауритцен, стр. 3
6. ^Grcar (2011b), стр. 789
7. ^Althoen, Steven C.; Маклафлин, Ренат (1987), «Редукция Гаусса – Джордана: краткая история», The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 94 (2): 130–142, doi : 10.2307 / 2322413, ISSN 0002-9890, JSTOR 2322413
8. ^Farebrother ( 1988), с. 12.
9. ^Фанг, Синь Гуй; Хавас, Джордж (1997). «О наихудшей сложности целочисленного исключения Гаусса» (PDF). Материалы международного симпозиума 1997 г. по символьным и алгебраическим вычислениям. ISSAC '97. Кихеи, Мауи, Гавайи, США: ACM. С. 28–31. doi : 10.1145 / 258726.258740. ISBN 0-89791-875-4.
10. ^Дж. Б. Фрали, Р. А. Борегар, Линейная алгебра. Эддисон-Уэсли Паблишинг Компани, 1995, Глава 10.
11. ^Голуб и Ван Лоан (1996), §3.4.6.
12. ^Хиллар, Кристофер; Лим, Лек-Хенг (2007-11-07). «Большинство тензорных задач NP-трудны». arXiv : 0911.1393 [cs.CC ].

Ссылки

В Викиучебнике Линейная алгебра есть страница по теме: Исключение Гаусса

• Аткинсон, Кендалл А. (1989), Введение в численный анализ (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley Sons, ISBN 978-0471624899.
• Болч, Гюнтер; Грейнер, Стефан; де Меер, Германн; Триведи, Кишор С. (2006), Сети массового обслуживания и Марковские цепи: моделирование и оценка производительности с помощью компьютерных приложений (2-е изд.), Wiley-Interscience, ISBN 978 -0-471-79156-0.
• Кэллинджер, Рональд (1999), Контекстная история математики, Прентис Холл, ISBN 978-0-02-318285 -3.
• Фарбратер, Р.В. (1988), Вычисления линейных наименьших квадратов, СТАТИСТИКА: Учебники и монографии, Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-7661-9.
• Лауритцен, Нильс, Выпуклость для студентов: от Фурье и Моцкина до Куна и Такера.
• Голуб, Джин Х. ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Matrix Computations (3-е изд.), Джонс Хопкинс, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Grcar, Джозеф Ф. (2011a), «Как обычное исключение стало исключением по Гауссу», Historia Mathematica, 38 (2): 163–218, arXiv : 0907.2397, doi : 10.1016 / j.hm.2010.06.003
• Гркар, Джозеф Ф. (2011b), «Математики исключения Гаусса» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 58 (6): 782–792
• Хайэм, Николас (2002), Точность и стабильность численных алгоритмов (2-е изд.), SIAM, ISBN 978-0-89871-521-7.
• Кац, Виктор Дж. (2004), История математики, Краткая версия, Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-321-16193-2.
• Кав, Аутар; Калу, Эгву (2010). «Численные методы с приложениями: Глава 04.06 Исключение Гаусса» (PDF) (1-е изд.). Университет Южной Флориды.
• Липсон, Марк; Lipschutz, Seymour (2001), Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума, Нью-Йорк: McGraw-Hill, pp. 69–80, ISBN 978-0- 07-136200-9.
• Пресс, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 2.2», Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978 -0-521-88068-8