Теория персонажей

редактировать

В математике, более конкретно в теории групп, символ представления группы является функцией в группе group, которая связывает с каждым элементом группы след след соответствующей матрицы. Персонаж несет в себе важную информацию о репрезентации в более сжатой форме. Георг Фробениус первоначально разработал теорию представлений конечных групп, полностью основанную на характерах и без какой-либо явной матричной реализации самих представлений. Это возможно потому, что комплексное представление конечной группы определяется (с точностью до изоморфизма) ее характером. Ситуация с представлениями над полем положительной характеристики, так называемыми «модульными представлениями», более деликатна, но Ричард Брауэр разработал мощную теорию символов и в этом случае. Многие глубокие теоремы о структуре конечных групп используют символы модульных представлений.

Содержание

1 Приложения
2 Определения
3 Свойства
- 3.1 Арифметические свойства
4 Таблицы символов
- 4.1 Отношения ортогональности
- 4.2 Свойства таблицы символов
5 Индуцированные символы и взаимность Фробениуса
6 Разложение Макки
7 «Скрученное» измерение
8 Персонажи групп Ли и алгебр Ли
9 См. также
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Приложения

Символы неприводимых представлений кодируют многие важные свойства группы и, таким образом, могут использоваться для изучения ее структуры. Теория характеров - важный инструмент классификации конечных простых групп. Почти половина доказательства теоремы Фейта – Томпсона включает сложные вычисления с символьными значениями. Более простые, но все же важные результаты, использующие теорию характеров, включают теорему Бернсайда (с тех пор было найдено чисто теоретико-групповое доказательство теоремы Бернсайда, но это доказательство появилось более чем через полвека после первоначального доказательства Бернсайда) и теорема Ричарда Брауэра и Мичио Судзуки, утверждающая, что конечная простая группа не может иметь обобщенную группу кватернионов в качестве своей силовской 2-подгруппа.

Определения

Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем F, и пусть ρ: G → GL (V) - представление группы G на V. Символ числа ρ - это функция χ ρ : G → F, заданная как

χ ρ (g) знак равно Tr ⁡ (ρ (g)) {\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho (g))}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho } (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho (g))}

где Tr - trace.

Символ χ ρ называется неприводимым или простым, если ρ является неприводимым представлением. степень символа χ - это размер символа ρ; в нулевой характеристике это равно значению χ (1). Символ степени 1 называется линейным . Когда G конечна и F имеет нулевую характеристику, ядро характера χ ρ является нормальной подгруппой:

ker ⁡ χ ρ: = {g ∈ G ∣ χ ρ (g) знак равно χ ρ (1)}, {\ Displaystyle \ ker \ chi _ {\ rho}: = \ left \ lbrace g \ in G \ mid \ chi _ {\ rho} (g) = \ chi _ { \ rho} (1) \ right \ rbrace,}

{\ Displaystyle \ ker \ chi _ {\ rho}: = \ left \ lbrace g \ in G \ mid \ chi _ {\ rho} (g) = \ chi _ {\ rho} (1) \ right \ rbrace,}

который в точности является ядром представления ρ. Однако в общем случае этот характер не является гомоморфизмом групп.

Свойства

Символы - это функции класса, то есть каждая из них принимает постоянное значение в заданном классе сопряженности. Точнее, множество неприводимых характеров данной группы G в поле K образует базис K -векторного пространства всех функций классов G → K.
Изоморфные представления имеют одинаковые символы. Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 полупростые представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же символ.
Если представление является прямой суммой подпредставлений, то соответствующий символ является сумма характеров этих подпредставлений.
Если персонаж конечной группы G ограничен подгруппой H, то результатом также будет символ H.
Каждое значение символа χ (g) представляет собой сумму n m-ых корней из единицы, где n - степень (то есть размерность связанного векторного пространства) представления с символом χ, а m - приказ г. В частности, когда F = C, каждое такое значение символа является целым алгебраическим числом.
Если F = C и χ неприводимо, то

[G : CG (x)] χ (x) χ (1) {\ displaystyle [G: C_ {G} (x)] {\ frac {\ chi (x)} {\ chi (1)}}}

[G: C_ {G} (x)] {\ frac {\ chi (x)} {\ chi (1)}}

является целым алгебраическим числом для всех x в G.

Если F является алгебраически замкнутым и char (F) не делит порядок G, то количество неприводимых характеров G равно количеству классов сопряженности группы G. Кроме того, в этом случае степени неприводимых характеров являются делителями порядка G ( и они даже делят [G: Z (G)], если F = C).

Арифметические свойства

Пусть ρ и σ - представления группы G. Тогда справедливы следующие тождества:

χ ρ ⊕ σ = χ ρ + χ σ {\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ oplus \ sigma} = \ chi _ {\ rho} + \ chi _ {\ sigma}}

\ chi _ {\ rho \ oplus \ сигма} = \ чи _ {\ rho} + \ чи _ {\ sigma}

χ ρ ⊗ σ = χ ρ ⋅ χ σ {\ displaystyle \ chi _ {\ rho \ otimes \ sigma} = \ chi _ {\ rho} \ cdot \ chi _ {\ sigma}}

\ chi _ {\ rho \ otimes \ sigma} = \ chi _ {\ rho} \ cdot \ chi _ {\ sigma}

χ ρ ∗ = χ ρ ¯ {\ displaystyle \ chi _ {\ rh о ^ {*}} = {\ overline {\ chi _ {\ rho}}}}

\ chi _ {\ rho ^ {*} } = {\ overline {\ chi _ {\ rho}}}

χ A lt 2 ρ (g) = 1 2 [(χ ρ (g)) 2 - χ ρ (g 2)] {\ displaystyle \ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Alt} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ chi _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} - \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]}

\ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Alt} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ ch я _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} - \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]

χ S ym 2 ρ (g) = 1 2 [ (χ ρ (g)) 2 + χ ρ (g 2)] {\ displaystyle \ chi _ {\ scriptscriptstyle {\ rm {{Sym} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ chi _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} + \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]}

\ chi _ {{\ scriptscriptstyle {\ rm {{Sym} ^ {2}}}} \ rho} (g) = {\ tfrac {1} {2}} \ left [\ left (\ chi _ {\ rho} (g) \ right) ^ {2} + \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right]

, где ρ ⊕ σ - прямая сумма , ρ ⊗ σ - тензорное произведение, ρ означает сопряженное транспонирование ρ, а Alt - чередование произведения Alt ρ = ρ ∧ ρ и Sym - это симметричный квадрат, который определяется по формуле

ρ ⊗ ρ = (ρ ∧ ρ) ⊕ Sym 2 ρ {\ displaystyle \ rho \ otimes \ rho = \ left (\ rho \ wedge \ rho \ right) \ oplus {\ textrm {Sym}} ^ {2} \ rho}

\ rho \ otimes \ rho = \ left (\ rho \ wedge \ rho \ right) \ oplus {\ textrm {Sym}} ^ {2} \ rho

Таблицы символов

Неприводимые сложные символы конечная группа формирует таблицу символов, которая кодирует много полезных i Информация о группе G в компактном виде. Каждая строка помечена неприводимым представлением, а элементы в строке являются символами представления в соответствующем классе сопряженности G. Столбцы помечены (представителями) классов сопряженности G. Обычно первый строку символом тривиального представления, которое является тривиальным действием G в одномерном векторном пространстве: $ρ (g) = 1 {\ displaystyle \ rho (g) = 1}$ ${\ displaystyle \ rho (g) = 1}$ для всех $g ∈ G {\ displaystyle g \ in G}$ ${\ displaystyle g \ in G}$ . Таким образом, каждая запись в первой строке равна 1. Аналогичным образом принято маркировать первый столбец идентификатором. Следовательно, первый столбец содержит степень каждого неприводимого символа.

Вот таблица символов

C 3 = ⟨u ∣ u 3 = 1⟩, {\ displaystyle C_ {3} = \ langle u \ mid u ^ {3} = 1 \ rangle, }

C_ {3} = \ langle u \ mid u ^ {3} = 1 \ rangle,

циклическая группа с тремя элементами и образующей u:

	(1)	(u)	(u)
1	1	1	1
χ1	1	ω	ω
χ2	1	ω	ω

где ω - примитивный корень третьей степени из единицы.

Таблица символов всегда квадратная, потому что количество неприводимых представлений равно количеству классов сопряженности.

Отношения ортогональности

Пространство комплексных значений функции класса конечной группы G имеют естественный скалярный продукт:

⟨α, β⟩: = 1 | G | ∑ g ∈ G α (g) β (g) ¯ {\ displaystyle \ left \ langle \ alpha, \ beta \ right \ rangle: = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ alpha (g) {\ overline {\ beta (g)}}}

\ left \ langle \ alpha, \ beta \ right \ rangle: = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ alpha (g) {\ overline {\ beta (g)}}

где β (g) - комплексное сопряжение β (g). Относительно этого скалярного произведения неприводимые характеры образуют ортонормированный базис для пространства функций классов, и это дает соотношение ортогональности для строк таблицы символов:

⟨χ i, χ j⟩ = {0, если i ≠ j, 1, если i = j. {\ displaystyle \ left \ langle \ chi _ {i}, \ chi _ {j} \ right \ rangle = {\ begin {cases} 0 {\ t_dv {if}} i \ neq j, \\ 1 {\ t_dv {if}} i = j. \ end {ases}}}

\ left \ langle \ chi _ {i}, \ chi _ {j} \ right \ rangle = {\ begin {cases} 0 {\ t_dv {if}} i \ neq j, \\ 1 {\ t_dv {if}} i = j. \ end {cases}}

Для g, h в G применение того же скалярного произведения к столбцам таблицы символов дает:

∑ χ i χ i (g) χ i (h) ¯ = {| C G (г) |, если g, h сопряжены 0, иначе. {\ displaystyle \ sum _ {\ chi _ {i}} \ chi _ {i} (g) {\ overline {\ chi _ {i} (h)}} = {\ begin {cases} \ left | C_ { G} (g) \ right |, {\ t_dv {if}} g, h {\ t_dv {сопряжены}} \\ 0 {\ t_dv {в противном случае.}} \ End {cases}}}

\ sum _ {\ chi _ {i}} \ chi _ {i} (g) {\ overline {\ chi _ {i} (h)}} = {\ begin {cases} \ left | C_ {G} (g) \ right |, {\ t_dv {if}} g, h {\ t_dv {сопряжены}} \ \ 0 {\ t_dv {в противном случае.}} \ End {cases}}

где сумма ведется по всем неприводимым характерам χ i группы G и символу | C G (g) | обозначает порядок централизатора g. Обратите внимание: поскольку g и h сопряжены, если они находятся в одном столбце таблицы символов, это означает, что столбцы таблицы символов ортогональны.

Отношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

Разложение неизвестного символа как линейной комбинации неприводимых символов.
Создание полной таблицы символов, когда известны только некоторые из несократимых символов.
Нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы.
Нахождение порядка группы.

Свойства таблицы символов

Некоторые свойства группы G можно вывести из ее таблицы символов:

Порядок группы G задается суммой квадратов элементов первого столбца (степени неприводимых символов). (См. Теория представлений конечных групп # Применение леммы Шура.) В более общем смысле, сумма квадратов абсолютных значений элементов в любом столбце дает порядок централизатора элемента соответствующей сопряженности class.
Все нормальные подгруппы G (и, следовательно, независимо от того, является ли G простой) можно распознать из ее таблицы символов. Ядро характера χ - это множество элементов g в G, для которых χ (g) = χ (1); это нормальная подгруппа группы G. Каждая нормальная подгруппа группы G является пересечением ядер некоторых неприводимых характеров группы G.
Коммутаторная подгруппа группы G является пересечением ядра линейных символов группы G.
Если G конечна, то, поскольку таблица символов квадратная и имеет столько же строк, сколько классов сопряженности, отсюда следует, что G абелева тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженности является одноэлементным, если и только если таблица символов G: $| G | × | G | {\ displaystyle | G | \ times | G |}$ ${\ displaystyle | G | \ times | G |}$ , если каждый неприводимый символ является линейным.
Отсюда следует, используя некоторые результаты Ричарда Брауэра из теория модульного представления, что простые делители порядков элементов каждого класса сопряженности конечной группы могут быть выведены из ее таблицы символов (наблюдение Грэма Хигмана ).

Таблица символов не входит в общее определение группы до изоморфизма : например, кватернионная группа Q и диэдральная группа из 8 элементов, D 4, имеют одну и ту же таблицу символов. Брауэр спросил, определяет ли таблица символов вместе со знанием того, как распределены мощности элементов ее классов сопряженности конечную группу с точностью до изоморфизма. В 1964 году был дан ответ отрицательно на EC Dade.

Линейные представления G сами по себе являются группой под тензорным произведением, поскольку тензорное произведение 1-мерного векторного spa ces снова является одномерным. То есть, если $ρ 1: G → V 1 {\ displaystyle \ rho _ {1}: G \ to V_ {1}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1}: от G \ до V_ {1}}$ и $ρ 2: G → V 2 { \ displaystyle \ rho _ {2}: G \ to V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2}: G \ to V_ {2}}$ являются линейными представлениями, тогда $ρ 1 ⊗ ρ 2 (g) = (ρ 1 (g) ⊗ ρ 2 ( g)) {\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (g) = (\ rho _ {1} (g) \ otimes \ rho _ {2} (g))}$ ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2} (g) = (\ rho _ {1} (g) \ otimes \ rho _ {2} (g))}$ определяет новое линейное представление. Это дает начало группе линейных символов, называемой группой символов, при операции $[χ 1 ∗ χ 2] (g) = χ 1 (g) χ 2 (g) {\ displaystyle [\ чи _ {1} * \ чи _ {2}] (г) = \ чи _ {1} (г) \ чи _ {2} (г)}$ ${\ displaystyle [\ chi _ {1} * \ chi _ {2 }] (g) = \ chi _ {1} (g) \ chi _ {2} (g)}$ . Эта группа связана с символами Дирихле и анализом Фурье.

индуцированными символами и взаимностью Фробениуса

Предполагается, что символы, обсуждаемые в этом разделе, имеют комплексные значения. Пусть H - подгруппа конечной группы G. Для данного характера χ группы G пусть χ H обозначает его ограничение на H. Пусть θ - характер группы H. Фердинанд Георг Фробениус показал, как построить символ G из θ, используя то, что теперь известно как взаимность Фробениуса. Поскольку неприводимые характеры группы G образуют ортонормированный базис пространства комплекснозначных функций классов группы G, существует единственная функция класса θ группы G со свойством

⟨θ G, χ⟩ G = ⟨θ, χ H⟩ H {\ displaystyle \ langle \ theta ^ {G}, \ chi \ rangle _ {G} = \ langle \ theta, \ chi _ {H} \ rangle _ {H}}

\ langle \ theta ^ {G}, \ chi \ rangle _ {G} = \ langle \ theta, \ chi _ {H} \ rangle _ {H}

для каждого неприводимого символа χ группы G (крайний левый скалярный продукт предназначен для функций классов группы G, а крайний правый скалярный продукт - для функций классов группы H). Поскольку ограничение характера группы G на подгруппу H снова является характером группы H, из этого определения становится ясно, что θ является неотрицательной целочисленной комбинацией неприводимых характеров группы G, так что это действительно характер группы G. как характер группы G, индуцированный из θ. Определяющая формула взаимности Фробениуса может быть распространена на общие комплекснозначные функции классов.

Учитывая матричное представление ρ группы H, Фробениус позже дал явный способ построения матричного представления группы G, известного как представление , индуцированное из ρ, и записанное аналогично как ρ. Это привело к альтернативному описанию индуцированного характера θ. Этот индуцированный характер обращается в нуль на всех элементах группы G, которые не сопряжены ни с одним элементом из H. Поскольку индуцированный характер является классовой функцией группы G, только теперь необходимо описать его значения на элементах группы H. Если написать G как непересекающееся объединение правых смежных классов H, скажем

G = H t 1 ∪… ∪ H tn, {\ displaystyle G = Ht_ {1} \ cup \ ldots \ cup Ht_ {n},}

G = Ht_ {1} \ cup \ ldots \ cup Ht_ {n},

тогда, учитывая элемент h из H, имеем:

θ G (h) = ∑ i: tihti - 1 ∈ H θ (tihti - 1). {\ displaystyle \ theta ^ {G} (h) = \ sum _ {i \: \ t_ {i} ht_ {i} ^ {- 1} \ in H} \ theta \ left (t_ {i} ht_ {i } ^ {- 1} \ right).}

\ theta ^ {G} (h) = \ sum _ {i \: \ t_ {i} ht_ {i} ^ {- 1} \ in H} \ theta \ left (t_ {i} ht_ {i} ^ {- 1} \ right).

Поскольку θ является функцией класса H, это значение не зависит от конкретного выбора представителей смежного класса.

Это альтернативное описание индуцированного символа иногда позволяет явное вычисление на основе относительно небольшой информации о встраивании H в G и часто полезно для вычисления конкретных таблиц символов. Когда θ является тривиальным символом H, полученный индуцированный характер известен как символ перестановки группы G (на смежных классах H).

Общая техника индукции характера и более поздние усовершенствования нашли многочисленные применения в теории конечных групп и в других областях математики в руках математиков, таких как Эмиль Артин, Ричард Брауэр, Вальтер Фейт и Мичио Судзуки, а также сам Фробениус.

Разложение Макки

Разложение Макки было определено и исследовано Джорджем Макки в контексте групп Ли, но оно является мощным инструментом в теория характеров и теория представлений конечных групп. Его основная форма касается того, как характер (или модуль), индуцированный из подгруппы H конечной группы G, ведет себя при ограничении обратно на (возможно, другую) подгруппу K группы G, и использует разложение G на (H, K) -двойные классы смежности.

Если

G = ⋃ t ∈ TH t K {\ displaystyle G = \ bigcup _ {t \ in T} HtK}

G = \ bigcup _ {t \ in T} HtK

- несвязное объединение, а θ - функция сложного класса H, тогда формула Макки утверждает, что

(θ G) K = ∑ t ∈ T ([θ t] t - 1 H t ∩ K) K, {\ displaystyle \ left (\ theta ^ {G} \ right) _ {K} = \ sum _ {t \ in T} \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K}, }

\ left (\ theta ^ {G} \ right) _ {K} = \ sum _ {t \ in T} \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K},

где θ - функция классов tHt, определенная формулой θ (tht) = θ (h) для всех h в H. Существует аналогичная формула для ограничения индуцированного модуля на подгруппу, которая верна для представлений над любое кольцо и находит применение в самых разных алгебраических и топологических контекстах.

Разложение Макки в сочетании с взаимностью Фробениуса дает хорошо известную и полезную формулу для внутреннего произведения двух функций класса θ и ψ, индуцированных из соответствующих подгрупп H и K, полезность которых заключается в том, что оно зависит только от того, как сопряженные H и K пересекаются друг с другом. Формула (с ее выводом):

⟨θ G, ψ G⟩ = ⟨(θ G) K, ψ⟩ = ∑ t ∈ T ⟨([θ t] t - 1 H t ∩ K) K, ψ⟩ знак равно ∑ T ∈ T ⟨(θ t) T - 1 H t ∩ K, ψ t - 1 H t ∩ K⟩, {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ theta ^ {G}, \ psi ^ {G} \ right \ rangle = \ left \ langle \ left (\ theta ^ {G} \ right) _ {K}, \ psi \ right \ rangle \\ = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K}, \ psi \ right \ rangle \\ = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ theta ^ {t} \ right) _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K}, \ psi _ {t ^ {- 1 } Ht \ cap K} \ right \ rangle, \ end {align}}}

{\ begin {align} \ left \ langle \ theta ^ {G }, \ psi ^ {G} \ right \ rangle = \ left \ langle \ left (\ theta ^ {G} \ right) _ {K}, \ psi \ right \ rangle \\ = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ left [\ theta ^ {t} \ right] _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K} \ right) ^ {K}, \ psi \ right \ rangle \\ = \ sum _ {t \ in T} \ left \ langle \ left (\ theta ^ {t} \ right) _ {t ^ {- 1} Ht \ cap K}, \ psi _ {t ^ { -1} Ht \ cap K} \ right \ rangle, \ end {align}}

(где T - полный набор представителей (H, K) -двойных смежных классов, как и раньше). Эта формула часто используется, когда θ и ψ являются линейными символами, и в этом случае все скалярные произведения, появляющиеся в правой сумме, равны 1 или 0, в зависимости от того, имеют ли линейные символы θ и ψ такое же ограничение на tHt ∩ K. Если θ и ψ оба тривиальные символы, то скалярное произведение упрощается до | T |.

«Скрученное» измерение

Символ представления можно интерпретировать как «скрученное» измерение векторного пространства. Рассматривая характер как функцию элементов группы χ (g), его значение в тождестве является размерностью пространства, поскольку χ (1) = Tr (ρ (1)) = Tr (I V) = тусклый (V). Соответственно, можно рассматривать другие значения символа как «скрученные» измерения.

Можно найти аналоги или обобщения утверждений о размерах утверждений о символах или представлениях. Изощренный пример этого встречается в теории чудовищного самогона : j-инвариант - это градуированное измерение бесконечномерного градуированного представления Группа монстров, и замена измерения на символ дает серию Маккея – Томпсона для каждого элемента группы монстров.

Персонажи групп Ли и алгебр Ли

Если $G {\ displaystyle G}$ $G$ - группа Ли, а $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - конечномерное представление $G { \ displaystyle G}$ $G$ , символ $χ ρ {\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ из $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ определяется точно так же, как и для любой группы, как

χ ρ (g) = Tr ⁡ (ρ (g)) {\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho ( g))}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho } (g) = \ operatorname {Tr} (\ rho (g))}

Между тем, если $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли и $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ конечномерное представление $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , мы можем определить символ $χ ρ {\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ как

χ ρ (Икс) знак равно Тр ⁡ (е ρ (X)) {\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ operatorname {Tr} (e ^ {\ rho (X)})}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ operatorname {Tr} (e ^ {\ rho (X)})}

Персонаж будет удовлетворять $χ ρ (Ad g ⁡ (X)) = χ ρ (X) {\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (\ operatorname {Ad} _ {g} (X)) = \ chi _ { \ rho} (X)}$ ${\ displaystyle \ c привет _ {\ rho} (\ operatorname {Ad} _ {g} (X)) = \ chi _ {\ rho} (X)}$ для всех $g {\ displaystyle g}$ $g$ в связанной группе Ли $G {\ displaystyle G}$ $G$ и все $Икс ∈ g {\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$ $X \ in \ mathfrak g$ . Если у нас есть представление группы Ли и связанное с ним представление алгебры Ли, символ $χ ρ {\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ представления алгебры Ли связан с характером $Икс ρ {\ displaystyle \ mathrm {X} _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {X} _ {\ rho}}$ представления группы по формуле

χ ρ (X) = X ρ (e X) {\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ mathrm {X} _ {\ rho} (e ^ {X})}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (X) = \ mathrm {X} _ {\ rho} (e ^ {X})}

Предположим теперь, что $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ - сложная полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h} }$ . Значение символа $χ ρ {\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ неприводимого представления $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ определяется своими значениями на $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h} }$ . Ограничение символа $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h} }$ может быть легко вычислено в терминах весовых пространств следующим образом:

χ ρ (ЧАС) знак равно ∑ λ м λ е λ (H), H ∈ H {\ Displaystyle \ chi _ {\ rho} (H) = \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} e ^ {\ lambda (H)}, \ quad H \ in {\ mathfrak {h}}}

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (H) = \ sum _ {\ lambda} m _ {\ lambda} e ^ {\ lambda (H)}, \ quad H \ in {\ mathfrak {h}}}

, где сумма вычисляется по всем весам $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ из $ρ { \ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ и где $m λ {\ displaystyle m _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle m _ {\ lambda}}$ - кратность $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

(Ограничение на $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h} }$ of the) можно вычислить более явно по формуле символа Вейля.

См. Также

Неприводимое представление § Приложения в теоретической физике и химии
Схемы ассоциации, комбинаторное обобщение теории групповых характеров.
Теория Клиффорда, введенная А. Х. Клиффорд в 1937 г. дает информацию об ограничении комплексного неприводимого характера конечной группы G на нормальную подгруппу N.
Формула Фробениуса
Вещественный элемент, элемент группы g такой, что χ (g) - действительное число для всех символов χ

Ссылки

Внешние ссылки

Символ на PlanetMath.org.