Присоединенное представление

редактировать

В математике, присоединенное представление (или присоединенное действие ) группы Ли G - это способ представления элементов группы в виде линейных преобразований групповой алгебры Ли, рассматриваемой как векторное пространство. Например, если G $GL (n, R) {\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}$ , группа Ли вещественных обратимых n x n матриц, то присоединенное представление - это групповой гомоморфизм, который отправляет обратимую матрицу размера n на n $g {\ displaystyle g}$ $g$ в эндоморфизм векторного пространства всех линейных преобразований $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ определяется по: $x ↦ gxg - 1 {\ displaystyle x \ mapsto gxg ^ {- 1}}$ $x \ mapsto gxg ^ {- 1}$ .

Для любой группы Ли это естественное представление получается линеаризацией (т. Е. Взятием дифференциала ) действия группы G на себя посредством сопряжения. Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Производная Ad
2 Присоединенное представление алгебры Ли
3 Структурные константы
4 Примеры
5 Свойства
6 Корни полупростой группы Ли
- 6.1 Пример SL (2, R)
7 Варианты и аналоги
8 Примечания
9 Ссылки

Определение

Пусть G - группа Ли, и пусть

Ψ: G → Aut ⁡ (G) {\ displaystyle \ Psi: G \ to \ operatorname {Aut} (G)}

{\ displaystyle \ Psi: G \ to \ operatorname {Aut} (G)}

- отображение g ↦ Ψ g, где Aut (G) - группа автоморфизмов группы G и Ψ g : G → G, заданный внутренним автоморфизмом (спряжение)

Ψ g (h) = ghg ​​- 1. {\ displaystyle \ Psi _ {g} (h) = ghg ​​^ {- 1} ~.}

\ Psi _ {g} (h) = ghg ​​^ {{- 1}} ~.

Это Ψ является гомоморфизмом группы Ли.

Для каждого g в G определите Ad g быть производной от Ψ g в начале координат:

Ad g = (d Ψ g) e: T e G → T e G {\ displaystyle \ имя оператора {Ad} _ {g} = (d \ Psi _ {g}) _ {e}: T_ {e} G \ rightarrow T_ {e} G}

\ operatorname {Ad} _ {g} = (d \ Psi _ {g}) _ {e}: T_ {e} G \ rightarrow T_ {e} G

где d - дифференциал, а $g = T e G {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ ${ \ displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {e} G}$ - это касательное пространство в начале координат e (e является тождественным элементом группы G). Так как $Ψ g {\ displaystyle \ Psi _ {g}}$ $\ Psi _ {g}$ - автоморфизм группы Ли, Ad g - автоморфизм алгебры Ли; то есть обратимое линейное преобразование из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ в себя, которое сохраняет скобку Ли. Кроме того, поскольку $g ↦ Ψ g {\ displaystyle g \ mapsto \ Psi _ {g}}$ ${\ displaystyle g \ mapsto \ Psi _ {g}}$ является гомоморфизмом группы, $g ↦ Ad g {\ displaystyle g \ mapsto \ operatorname { Ad} _ {g}}$ ${\ displaystyle g \ mapsto \ operatorname {Ad} _ {g}}$ тоже является гомоморфизмом групп. Следовательно, отображение

A d: G → A ut (g), g ↦ A dg {\ displaystyle \ mathrm {Ad} \ двоеточие G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}}), \, g \ mapsto \ mathrm {Ad} _ {g}}

\ mathrm { Ad} \ двоеточие G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}}), \, g \ mapsto \ mathrm {Ad} _ {g}

- это представление группы, называемое присоединенным представлением группы G.

Если G является погруженная подгруппа Ли общей линейной группы $GL n (C) {\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ $\ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})$ ( называется иммерслинейной группой Ли), то алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ состоит из матриц, а экспоненциальное отображение является матричным экспоненциальным $exp ⁡ (X) = e X {\ displaystyle \ operatorname {exp} (X) = e ^ {X}}$ $\ operatorname {exp} (X) = e ^ {X}$ для матриц X с малыми операторными нормами. Таким образом, для g в G и малого X в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , взяв производную от $Ψ g (exp ⁡ (t X)) = получить Икс g - 1 {\ displaystyle \ Psi _ {g} (\ Operatorname {exp} (tX)) = ge ^ {tX} g ^ {- 1}}$ $\ Psi _ {g} (\ operatorname {exp} (tX)) = ge ^ {tX } g ^ {- 1}$ при t = 0, получаем :

Ad g ⁡ (X) = g X g - 1 {\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {g} (X) = gXg ^ {- 1}}

\ operatorname {Ad} _ {g} (X) = gXg ^ {- 1}

где справа указаны товары матриц. Если $G ⊂ GL n (C) {\ displaystyle G \ subset \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle G \ subset \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$ является замкнутой подгруппой (то есть G является матричная группа Ли), то эта формула верна для всех g в G и всех X в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Вкратце, присоединенное представление является представлением изотропии, связанный с действием сопряжения G вокруг элемента идентичности G.

Производная Ad

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению своей алгебры Ли, взяв производную в единице.

Взяв производную сопряженного отображения

A d: G → A ut (g) {\ displaystyle \ mathrm {Ad}: G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g} })}

{\ displaystyle \ mathrm {Ad}: G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}})}

в элементе тождества дает присоединенное представление алгебры Ли $g = Lie ⁡ (G) {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Lie} (G)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Lie} (G)}$ из G:

ad: g → D er (g) x ↦ ad x = d (Ad) e (x) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm { ad}: \, {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}}) \\ \, x \ mapsto \ operatorname {ad} _ {x} = d (\ OperatorName {Ad}) _ {e} (x) \ end {align}}}

{\ displaystyle { \ begin {align} \ mathrm {ad}: \, {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}}) \\ \, x \ mapsto \ operatorname {ad} _ {x} = d (\ operatorname {Ad}) _ {e} (x) \ end {align}}}

где $D er (g) = Lie ⁡ (Aut ⁡ (g)) {\ displaystyle \ mathrm {Der} ( {\ mathfrak {g}}) = \ operatorname {Lie} (\ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}}))}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Der} ({\ mathfrak { g}}) = \ operatorname {Lie} (\ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}}))}$ - алгебра Ли $A ut (g) {\ displaystyle \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}})}$ $\ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}})$ который может быть идентифицирован с алгеброй производных из $g {\ displaystyle {\ mathfrak { g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . Можно показать, что

adx (y) = [x, y] {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} (y) = [x, y] \,}

\ mathrm {ad} _ {x} ( у) = [х, у] \,

для всех $x, y ∈ g {\ displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$ $x, y \ in {\ mathfrak {g}}$ , где правая часть задается (индуцируется) скобкой Ли векторных полей. Напомним, что, рассматривая $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ как алгебру Ли левоинвариантных векторных полей на G, скобка на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ задается как: для левоинвариантных векторных полей X, Y,

[X, Y] = lim t → 0 1 t (d φ - t (Y) - Y) {\ displaystyle [X, Y] = \ lim _ {t \ to 0} {1 \ over t} (d \ varphi _ {- t} (Y) -Y)}

{\ displaystyle [X, Y] = \ lim _ {t \ to 0} { 1 \ over t} (d \ varphi _ {- t} (Y) -Y)}

где $φ t: G → G {\ displaystyle \ varphi _ {t}: G \ to G}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {t}: G \ to G}$ обозначает поток, генерируемый X. Как оказалось, $φ t (g) = g φ t (e) {\ displaystyle \ varphi _ {t} (g) = g \ varphi _ {t} (e)}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {t} (g) = g \ varphi _ {t} (e)}$ , примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ODE определяя поток. То есть $φ t = R φ t (e) {\ displaystyle \ varphi _ {t} = R _ {\ varphi _ {t} (e)}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {t} = R_ { \ varphi _ {t} (e)}}$ где $R h {\ displaystyle R_ {h}}$ ${\ displaystyle R_ {h}}$ обозначает правильное умножение на $h ∈ G {\ displaystyle h \ in G}$ ${\ displaystyle h \ in G}$ . С другой стороны, поскольку $Ψ g = R g - 1 ∘ L g {\ displaystyle \ Psi _ {g} = R_ {g ^ {- 1}} \ circ L_ {g}}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {g} = R_ {g ^ {- 1}} \ circ L_ {g}}$ , по правилу цепочки,

Ad g ⁡ (Y) = d (R g - 1 ∘ L g) (Y) = d R g - 1 (d L g (Y)) = d R g - 1 (Y) {\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {g} (Y) = d (R_ {g ^ {- 1}} \ circ L_ {g}) (Y) = dR_ {g ^ {- 1} } (dL_ {g} (Y)) = dR_ {g ^ {- 1}} (Y)}

{\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {g} (Y) = d ( R_ {g ^ {- 1}} \ circ L_ {g}) (Y) = dR_ {g ^ {- 1}} (dL_ {g} (Y)) = dR_ {g ^ {- 1}} (Y)}

, поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,

[X, Y] = lim t → 0 1 t (Ad φ t (e) ⁡ (Y) - Y) {\ displaystyle [X, Y] = \ lim _ {t \ to 0} { 1 \ over t} (\ operatorname {Ad} _ {\ varphi _ {t} (e)} (Y) -Y)}

{\ displaystyle [X, Y] = \ lim _ { t \ to 0} {1 \ over t} (\ operatorname {Ad} _ {\ varphi _ {t} (e)} (Y) -Y)}

что и нужно было показать.

Таким образом, $adx {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x}}$ $\ mathrm {ad} _ {x}$ совпадает с тем же, что определено в #Adjoint представление алгебры Ли ниже. Объявление и объявление связаны посредством экспоненциальной карты : в частности, Ad exp (x) = exp (ad x) для всех x в алгебре Ли. Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы группы Ли и алгебры Ли через экспоненциальное отображение.

Если G - иммерслинейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как уже отмечалось ранее, $Ad g ⁡ (Y) = g Y g - 1 {\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {g} (Y) = gYg ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {g} (Y) = gYg ^ {- 1}}$ и, следовательно, с $g = et Икс {\ displaystyle g = e ^ {tX}}$ ${\ displaystyle g = e ^ { tX}}$ ,

Ad et X ⁡ (Y) = et XY e - t X {\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {e ^ {tX}} (Y) = e ^ {tX} Ye ^ {- tX}}

{\ displaystyle \ operatorname {Ad} _ {e ^ {tX}} (Y) = е ^ {tX} Ye ^ {- tX}}

Взяв производную от этого в $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , мы имеем:

ad X ⁡ Y = XY - YX {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {X} Y = XY-YX}

{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {X} Y = XY-YX}

Общий случай также можно вывести из линейного случая: действительно, пусть $G '{\ displaystyle G' }$ $G'$ - иммерслинейная группа Ли, имеющая ту же алгебру Ли, что и у G. Тогда производная Ad в единице для G и производная G 'совпадают; следовательно, без ограничения общности G можно считать G '.

Обозначение верхнего / нижнего регистра широко используется в литературе. Так, например, вектор x в алгебре $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ генерирует векторное поле X в группе G. Аналогичным образом, сопряженная карта ad x y = [x, y] векторов в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ гомоморфна Lie производная LXY = [X, Y] векторных полей на группе G, рассматриваемой как многообразие.

Далее см. производную экспоненциального отображения.

Присоединенное представление алгебры Ли

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ - алгебра Ли над некоторым полем. Дан элемент x алгебры Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , определяется сопряженное действие x на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\ mathfrak {g}}$ как карта

ad x: g → g с объявлением x ⁡ (y) = [x, y] {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} \ qquad {\ text {with}} \ qquad \ operatorname {ad} _ {x} (y) = [x, y]}

\ operatorname {ad} _ {x}: {\ mathfrak {g }} \ to {\ mathfrak {g}} \ qquad {\ text {with}} \ qquad \ operatorname {ad} _ {x} (y) = [x, y]

для всех y в $г {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( $объявление x {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x}}$ также часто обозначается как $ad ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$ $\ operatorname {ad} (x)$ .) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение

ad: g → End ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ operatorname {End} ({\ mathfrak {g}})}

\ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to \ operatorname {End } ({\ mathfrak {g}})

задается x ↦ ad x. Внутри End $(g) {\ displaystyle ({\ mathfrak {g}})}$ $({\ mathfrak {g}})$ скобка, по определению, задается коммутатором двух операторов:

[T, S] = T ∘ S - S ∘ T {\ displaystyle [T, S] = T \ circ SS \ circ T}

{\ displaystyle [T, S ] = T \ circ SS \ circ T}

, где $∘ {\ displaystyle \ circ}$ $\ circ$ обозначает композицию линейные карты. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 {\ displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0}

[x, [y, z] ] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

принимает форму

([ad x, ad y]) (Z) знак равно (объявление [Икс, Y]) (Z) {\ Displaystyle \ влево ([\ OperatorName {ad} _ {x}, \ OperatorName {AD} _ {Y}] \ справа) (г) = \ left (\ operatorname {ad} _ {[x, y]} \ right) (z)}

\ left ([\ operatorname {ad} _ {x}, \ operatorname {ad} _ {y}] \ right) (z) = \ left (\ operatorname {ad} _ {{[x, y]}} \ right) (z)

где x, y и z - произвольные элементы $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Это последнее тождество говорит, что ad является гомоморфизмом алгебр Ли; т.е. линейное отображение, переводящее скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g} }}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Если $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ является конечномерным, то End $(g) {\ displaystyle ({\ mathfrak {g} })}$ $({\ mathfrak {g}})$ изоморфна $gl (g) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})$ , алгебре Ли общая линейная группа векторного пространства $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ и если за основу выбрана ее основа, композиция соответствует матричное умножение.

На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ является модулем над собой.

Ядро ad - это center of $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ (перефразируя Определение). С другой стороны, для каждого элемента z в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , ad z подчиняется закону Лейбница :

δ ([x, y]) = [δ (x), y] + [x, δ (y)] {\ displaystyle \ delta ([x, y]) = [\ delta (x), y] + [x, \ delta (y)]}

\ delta ([x, y]) = [\ delta (x), y] + [x, \ delta (y)]

для всех x и y в алгебре (повторение тождества Якоби). То есть объявление z является производным, а изображение $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ под объявлением подалгебра Der $(g) {\ displaystyle ({\ mathfrak {g}})}$ $({\ mathfrak {g}})$ , пространство всех производных $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} }$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Когда $g = Lie ⁡ (G) {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Lie} (G)}$ ${\ mathfrak {g}} = \ operatorname {Lie} (G)$ является алгеброй Ли группы Ли G, ad - это разность Ad в элементе идентичности G (см. #Derivative of Ad выше).

Существует следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров $α, β {\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ $\ alpha, \ beta$ и элементов алгебры Ли $x, y, z {\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ ,

(ad x - α - β) n [y, z] = ∑ i = 0 n (ni) [(ad x - α) iy, (объявление x - β) n - iz] {\ displaystyle (\ operatorname {ad} _ {x} - \ alpha - \ beta) ^ {n} [y, z] = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ binom {n} {i}} [(\ operatorname {ad} _ {x} - \ alpha) ^ {i} y, (\ operatorname {ad} _ {x} - \ beta) ^ {ni} z]}

{\ displaystyle (\ operatorname {ad} _ {x} - \ alpha - \ beta) ^ {n} [y, z] = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ binom {n} { i}} [(\ operatorname {ad} _ {x} - \ alpha) ^ {i} y, (\ operatorname {ad} _ {x} - \ beta) ^ {ni} z]}

Структурные константы

Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть пусть {e} будет набором базисных векторов для алгебры с

[e i, e j] = ∑ k c i j k e k. {\ displaystyle [e ^ {i}, e ^ {j}] = \ sum _ {k} {c ^ {ij}} _ {k} e ^ {k}.}

[e ^ {i}, e ^ {j}] = \ sum _ {k} {c ^ {{ij}}} _ {k} e ^ {k}.

Тогда матричные элементы для ad e задаются как

[ad ei] kj = cijk. {\ displaystyle {\ left [\ operatorname {ad} _ {e ^ {i}} \ right] _ {k}} ^ {j} = {c ^ {ij}} _ {k} ~.}

{\ left [\ operatorname {ad} _ {{e ^ {i}}} \ right] _ {k}} ^ {j} = {c ^ {{i j}}} _ {k} ~.

Таким образом, например, присоединенное представление su (2) является определяющим представлением , поэтому (3) .

Примеры

Если G абелева размерности n, присоединенное представление группы G является тривиальным n-мерным представлением.
Если G является матричной группой Ли (т. е. замкнутой подгруппой GL (n,)), то ее Алгебра Ли - это алгебра матриц размера n × n с коммутатором для скобки Ли (то есть подалгебра в $gln (C) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (\ mathbb {C}) }$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n} ({\ mathbb C})$ ). В этом случае сопряженная карта задается как Ad g (x) = gxg.
Если G равно SL (2, R) (вещественные матрицы 2 × 2 с определитель 1) алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2 × 2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием группы G посредством линейной подстановки в пространстве. двоичных (т. е. 2 переменных) квадратичных форм.

Свойства

В следующей таблице обобщены свойства различных карт, упомянутых в определении

$Ψ: G → A ut (G) { \ Displaystyle \ Psi \ двоеточие G \ к \ mathrm {Aut} (G) \,}$ $\ Psi \ двоеточие G \ to \ mathrm {Aut} (G) \,$	$Ψ g: G → G {\ displaystyle \ Psi _ {g} \ двоеточие G \ к G \,}$ $\ Psi _ {g} \ двоеточие G \ to G \,$
Гомоморфизм группы Ли: $Ψ gh = Ψ g Ψ h {\ displaystyle \ Psi _ {gh} = \ Psi _ {g} \ Psi _ {h}}$ $\ Psi _ {gh} = \ Psi _ {g} \ Psi _ {h}$	Автоморфизм группы Ли: $Ψ g ( ab) знак равно Ψ g (a) Ψ g (b) {\ displaystyle \ Psi _ {g} (ab) = \ Psi _ {g} (a) \ Psi _ {g} (b)}$ $\ Psi _ {g} (ab) = \ Psi _ {g} (a) \ Psi _ {g} (b)$ $(Ψ g) - 1 знак равно Ψ g - 1 {\ displaystyle (\ Psi _ {g}) ^ {- 1} = \ Psi _ {g ^ {- 1}}}$ $(\ Psi _ {g}) ^ {- 1} = \ Psi _ {g ^ {- 1}}$
$A d: G → A ut (g) {\ displaystyle \ mathrm {Ad} \ двоеточие G \ to \ mathrm {Au t} ({\ mathfrak {g}})}$ $\ mathrm {Ad} \ двоеточие G \ to \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g} })$	$A dg: g → g {\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {g} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g} }}$ $\ mathrm {Ad} _ {g} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}$
Гомоморфизм группы Ли: $A dgh = A dg A dh {\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {gh} = \ mathrm {Ad} _ {g} \ mathrm {Ad} _ {h} }$ $\ mathrm {Ad } _ {gh} = \ mathrm {Ad} _ {g} \ mathrm {Ad} _ {h}$	Автоморфизм алгебры Ли: $A dg {\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {g}}$ $\ mathrm {Ad} _ {g}$ линейный $(A dg) - 1 = A dg - 1 {\ displaystyle (\ mathrm {Ad} _ {g}) ^ {- 1} = \ mathrm {Ad} _ {g ^ {- 1}}}$ $(\ mathrm {Ad} _ {g}) ^ {- 1} = \ mathrm {Ad} _ {g ^ {- 1}}$ $A dg [x, y] = [A dgx, A dgy ] {\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {g} [x, y] = [\ mathrm {Ad} _ {g} x, \ mathrm {Ad} _ {g} y]}$ $\ mathrm {Ad} _ {g} [x, y] = [\ mathrm {Ad} _ {g} x, \ mathrm {Ad} _ {g} y]$
$ad: g → D er (g) {\ displaystyle \ mathrm {ad} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}})}$ $\ mathrm {ad} \ Colon {\ mathfrak {g}} \ to \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g }})$	$adx: g → g {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$ $\ mathrm {ad } _ {x} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}$
гомоморфизм алгебры Ли: $ad {\ displaystyle \ mathrm {ad}}$ $\ mathrm {ad}$ линейно $ad [x, y] = [adx, ady] {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {[x, y]} = [\ mathrm {ad} _ {x}, \ mathrm {ad} _ {y}]}$ $\ mathrm {ad } _ {[x, y]} = [\ mathrm {ad} _ {x}, \ mathrm {ad} _ {y}]$	Вывод алгебры Ли: $adx {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x}}$ $\ mathrm {ad} _ {x}$ является линейным $adx [y, z] = [adxy, z] + [y, adxz] {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} [y, z] = [\ mathrm {ad} _ {x} y, z] + [y, \ mathrm {ad} _ {x} z]}$ $\ mathrm {ad} _ {x} [y, z] = [\ mathrm {ad} _ {x} y, z] + [y, \ mathrm {ad } _ {x} z]$

образ группы G при присоединенном представлении обозначается Ad (G). Если G связно, ядро присоединенного представления совпадает с ядром Ψ, которое является просто центром группы G. Следовательно, присоединенное представление связная группа Ли G точна тогда и только тогда, когда G бесцентровая. В более общем смысле, если G не связно, то ядро сопряженного отображения является централизатором компонента тождества G0группы G. По первой теореме об изоморфизме мы имеем

A d (G) ≅ G / ZG (G 0). {\ displaystyle \ mathrm {Ad} (G) \ cong G / Z_ {G} (G_ {0}).}

\ mathrm {Ad} (G) \ cong G / Z_ {G} (G_ {0 }).

Дана конечномерная вещественная алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , согласно третьей теореме Ли, существует связная группа Ли $Int ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g} })}$ $\ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}})$ , алгебра Ли которого является образом сопряженного представления $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ (т.е. $Lie ⁡ ( Int ⁡ (g)) = объявление ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {Lie} (\ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}})) = \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {g}})}$ $\ operatorname {Lie} (\ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}})) = \ OperatorName {ad} ({\ mathfrak {g}})$ .) Это называется присоединенной группой из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

Теперь, если $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ - алгебра Ли связной группы Ли G, тогда $Int ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g} })}$ $\ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}})$ - изображение присоединенного представления G: $Int ⁡ (g) = Ad ⁡ (G) {\ displaystyle \ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}}) = \ oper atorname {Ad} (G)}$ $\ operatorname {Int} ({\ mathfrak {g}}) = \ operatorname {Ad} (G)$ .

Корни полупростой группы Ли

Если G полупростой, ненулевые веса формы присоединенного представления корневая система. (В общем, прежде чем продолжить, нужно перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL (n, R ). Мы можем взять группу диагональных матриц diag (t 1,..., t n) как наш максимальный тор T. Сопряжение элементом T отправляет

[a 11 a 12 ⋯ a 1 na 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an 1 an 2 ⋯ ann] ↦ [a 11 t 1 t 2 - 1 a 12 ⋯ t 1 tn - 1 a 1 nt 2 t 1 - 1 a 21 a 22 ⋯ t 2 tn - 1 a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ tnt 1 - 1 an 1 tnt 2 - 1 an 2 ⋯ ann]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} \ cdots a_ {1n} \\ a_ {21} a_ {22} \ cdots a_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_ {n1} a_ {n2} \ cdots a_ {nn} \\\ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} a_ {11} t_ {1} t_ {2} ^ {-1} a_ {12} \ cdots t_ {1} t_ {n} ^ {- 1} a_ {1n} \\ t_ {2} t_ {1} ^ {- 1} a_ {21} и a_ {22 } \ cdots t_ {2} t_ {n} ^ {- 1} a_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ t_ {n} t_ {1} ^ {- 1} a_ {n1} t_ {n} t_ {2} ^ {- 1} a_ {n2} \ cdots a_ {nn} \\\ end {bmatrix}}.}

{\ begin {bmatrix} a_ {11} a_ {12} \ cdots a_ {1n} \\ a_ {21} a_ {22} \ cdots a_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_ {n1} a_ {n2} \ cdots a_ {nn} \\\ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} a_ {11} t_ {1} t_ {2} ^ {- 1} a_ {12} \ cdots t_ {1} t_ {n} ^ {- 1} a_ {1n} \\ t_ {2} t_ {1} ^ {- 1} a_ {21} a_ {22} \ cdots t_ {2} t_ {n} ^ {- 1} a_ {2n} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ t_ {n} t_ {1} ^ {- 1} a_ {n1 } t_ {n} t_ {2} ^ {- 1} a_ {n2} \ cdots a_ {nn} \\\ end {bmatrix}}.

Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебру Ли группы G и с собственными векторами t itjна различных недиагональных элементах. Корни G - это веса diag (t 1,..., t n) → t itj. Это объясняет стандартное описание корневой системы G = SL n(R) как набор векторов формы e i−ej.

Пример SL (2, R)

При вычислении корневой системы для одного из простейших случаев групп Ли группа SL (2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:

[abcd] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} a b \\ c d \\\ end {bmatrix}}

вещественными числами a, b, c, d и ad - bc = 1.

Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли, или максимальный тор T, задается подмножеством всех матриц вида

[t 1 0 0 t 2] = [t 1 0 0 1 / t 1] = [exp ⁡ (θ) 0 0 exp ⁡ ( - θ)] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t_ {1} 0 \\ 0 t_ {2} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} t_ {1} 0 \\ 0 1 / t_ { 1} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ exp (\ theta) 0 \\ 0 \ exp (- \ theta) \\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} t_ {1} 0 \\ 0 t_ {2} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} t_ {1} 0 \\ 0 1 / t_ {1} \\\ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ exp (\ theta) 0 \\ 0 \ exp (- \ theta) \\\ end {bmatrix}}

с $t 1 t 2 знак равно 1 {\ displaystyle t_ {1} t_ {2} = 1}$ $t_ {1} t_ {2} = 1$ . Алгебра Ли максимального тора - это подалгебра Картана, состоящая из матриц

[θ 0 0 - θ] = θ [1 0 0 0] - θ [0 0 0 1] = θ (e 1 - e 2). {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ theta 0 \\ 0 - \ theta \\\ end {bmatrix}} = \ theta {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 0 \\\ end {bmatrix}} - \ theta {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 0 1 \\\ end {bmatrix}} = \ theta (e_ {1} -e_ {2}).}

{\ begin {bmatrix} \ theta 0 \\ 0 - \ theta \ \\ end {bmatrix}} = \ theta {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 0 \\\ end {bmatrix}} - \ theta {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 0 1 \\\ end {bmatrix}} = \ theta (e_ {1} -e_ {2}).

Если мы сопрягаем элемент SL (2, R) с помощью элемент максимального тора получаем

[t 1 0 0 1 / t 1] [abcd] [1 / t 1 0 0 t 1] = [at 1 bt 1 c / t 1 d / t 1] [ 1 / t 1 0 0 t 1] = [abt 1 2 ct 1-2 d] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} t_ {1} 0 \\ 0 1 / t_ {1} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 / t_ {1} 0 \\ 0 t_ {1} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} at_ {1} bt_ {1} \\ c / t_ {1} d / t_ {1} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 / t_ {1} 0 \\ 0 t_ {1 } \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a bt_ {1} ^ {2} \\ ct_ {1} ^ {- 2} d \\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} t_ {1} 0 \\ 0 1 / t_ {1} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \\\ конец {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 / t_ {1} 0 \\ 0 t_ {1} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} at_ {1} bt_ {1} \\ c / t_ {1} d / t_ {1} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 / t_ {1} 0 \\ 0 t_ {1} \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a bt_ {1} ^ {2} \\ ct_ {1} ^ {- 2} d \\\ end {bmatrix}}

Матрицы

[1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 0 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ 0 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 1 0 \\\ end {bmatrix }}}

{\ begin {bmatrix} 1 0 \\ 0 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 0 1 \\\ end {bmatrix} } {\ begin {bmatrix} 0 1 \\ 0 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 1 0 \\\ end {bmatrix}}

а Тогда re 'собственные векторы' операции сопряжения с собственными значениями $1, 1, t 1 2, t 1-2 {\ displaystyle 1,1, t_ {1} ^ {2}, t_ {1} ^ {- 2 }}$ $1,1, t_ {1} ^ {2}, t_ {1} ^ {- 2}$ . Функция Λ, которая дает $t 1 2 {\ displaystyle t_ {1} ^ {2}}$ $t_ {1} ^ {2}$ , является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, определяющая θ - вес алгебры Ли с весовым пространством, заданным оболочкой матриц.

Приятно показать мультипликативность персонажа и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL (3, R ).

Варианты и аналоги

Присоединенное представление также может быть определено для алгебраических групп над любым полем.

Коприсоединенное представление - противоположное представление присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в коприсоединенном представлении является симплектическим многообразием. Согласно философии теории представлений, известной как метод орбит (см. Также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть проиндексированы каким-то образом своими коприсоединенными орбитами. Это отношение наиболее близко к случаю нильпотентных групп Ли.

Примечания

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.