Двойное представление

Представление группы

В математике, если G является группой и ρ - это линейное представление его в векторном пространстве V, то двойственное представление ρ * определяется в двойственном векторном пространстве V * следующим образом:

ρ * (g) - это транспонирование для ρ (g), то есть ρ * (g) = ρ (g) для всех g ∈ G.

Двойное представление также известно как контрагредиентное представление .

Если g является алгеброй Ли и π является ее представлением в векторном пространстве V, то двойственное представление π * определяется над дуальным векторным пространством V * следующим образом:

π * (X) = −π (X) для всех X ∈ g.

Мотивом для этого определения является то, что представление алгебры Ли, связанное с двойственное представление группы Ли вычисляется по приведенной выше формуле. Но определение двойственного представления алгебры Ли имеет смысл, даже если оно не исходит из представления группы Ли.

В обоих случаях двойственное представление - это представление в обычном смысле.

• 1 Свойства
  • 1.1 Неприводимость и вторые двойственные
  • 1.2 Унитарные представления
  • 1.3 Случаи SU (2) и SU (3)
  • 1.4 Общие полупростые алгебры Ли
• 2 Мотивация
• 3 Пример
• 4 Обобщение
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Неприводимость и второе двойственное

Если (конечномерное) представление неприводимо, то двойственное представление также неприводимо, но не обязательно изоморфно исходному представлению. С другой стороны, двойственный к двойственному любому представлению изоморфен исходному представлению.

Унитарные представления

Рассмотрим унитарное представление $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, и будем работать в ортонормированной основе. Таким образом, $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$отображает $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$в группу унитарных матриц. Тогда абстрактное транспонирование в определении двойного представления можно отождествить с обычным транспонированием матрицы. Поскольку сопряженная матрица является комплексно сопряженной транспонированной матрицы, транспонированная матрица является сопряженной сопряженной. Таким образом, $\rho \; \ast \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; ^\; \{*\}\; (g)\}$является комплексно сопряженным к присоединенному обратному к $\rho \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (g)\}$. Но поскольку $\rho \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (g)\}$считается унитарным, сопряженное к обратному к $\rho \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (g)\}$просто $\rho \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (g)\}$.

Результатом этого обсуждения является то, что при работе с унитарными представлениями в ортонормированном базисе $\rho \; \ast \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; ^\; \{*\}\; (g)\}$- это просто комплексное сопряжение $\rho \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (g)\}$.

SU Случаи (2) и SU (3)

В теории представлений SU (2) двойственное к каждому неприводимому представлению оказывается изоморфным представлению. Но для представлений SU (3) двойственное неприводимое представление с меткой $(m\; 1,\; m\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; (m\_\; \{1\},\; m\_\; \{2\})\}$- это неприводимое представление с меткой $(m\; 2,\; m\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (m\_\; \{2\},\; m\_\; \{1\})\}$. В частности, стандартное трехмерное представление SU (3) (с наивысшим весом $(1,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1,0)\}$) не изоморфно его двойственному. В теории кварков в физической литературе стандартное представление и двойственное ему представление называются «$3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$» и «$3\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{3\}\}\}$. "

Два неизоморфных двойственных представления SU (3) со старшими весами (1,2) и (2,1)

Общие полупростые алгебры Ли

В общем, в теории представлений полупростых алгебр Ли (или тесно связанной теории представлений компактных групп Ли ) веса двойственного представления являются отрицательными весами исходного представления. (См. Рисунок.) Теперь, для данной алгебры Ли, если это должно случиться, что оператор $-\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; -I\}$является элементом группы Вейля, то веса каждого представления автоматически инвариантны относительно отображения $\mu \; \mapsto \; -\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; mapsto\; -\; \backslash \; mu\}$. Для таких алгебр Ли любое неприводимое представление будет изоморфно своему двойственному. (Это ситуация для SU (2), где группа Вейля равна $\{I,\; -\; I\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{I,\; -I\; \backslash \}\}$.) Алгебры Ли с этим свойством включить нечетные ортогональные алгебры Ли $так\; \; (2\; n\; +\; 1;\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{so\}\; (2n\; +\; 1;\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$(type $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\}$) и симплектические алгебры Ли $sp\; \; (n;\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{sp\}\; (n;\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$(введите $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\}$).

Если для данной алгебры Ли $-\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; -I\}$не принадлежит группе Вейля, то двойственное к неприводимому представлению в общем случае не будет изоморфным к исходному представлению. Чтобы понять, как это работает, отметим, что всегда существует уникальный элемент группы Вейля $w\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{0\}\}$, отображающий негатив фундаментальной камеры Вейля. в фундаментальную камеру Вейля. Тогда, если у нас есть неприводимое представление с наивысшим весом $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, наименьший вес двойного представления будет $-\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; mu\}$. Из этого следует, что наивысший вес двойного представления будет $w\; 0\; \cdot \; (-\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; (-\; \backslash \; mu)\; \backslash ,\}$. Поскольку мы предполагаем, что $-\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; -I\}$не входит в группу Вейля, $w\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{0\}\}$не может быть $-\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; -I\}$, что означает, что карта $\mu \; \mapsto \; w\; 0\; \cdot \; (-\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; mapsto\; w\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; (-\; \backslash \; mu)\}$не является тождеством. Конечно, может случиться так, что для некоторых специальных вариантов $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$мы можем иметь $\mu \; =\; w\; 0\; \cdot \; (-\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; w\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; (-\; \backslash \; mu)\}$. Например, присоединенное представление всегда изоморфно своему двойственному.

В случае SU (3) (или его комплексифицированной алгебры Ли, $sl\; \; (3;\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{sl\}\; (3;\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\}$), мы можем выбрать основание, состоящее из двух корней $\{\alpha \; 1,\; \alpha \; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\; \backslash \}\}$под углом 120 градусов, так что третий положительный корень равен $\alpha \; 3\; =\; \alpha \; 1\; +\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\; \}\}$. В этом случае элемент $w\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{0\}\}$является отражением относительно линии, перпендикулярной $\alpha \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{3\}\}$. Тогда карта $\mu \; \mapsto \; w\; 0\; \cdot \; (-\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; mapsto\; w\_\; \{0\}\; \backslash \; cdot\; (-\; \backslash \; mu)\}$является отражением относительно линии, проходящей через $\alpha \; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{3\}\}$. Тогда самодвойственные представления - это те, которые лежат вдоль линии через $\alpha \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{3\}\}$. Это представления с метками вида $(m,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; (m,\; m)\}$, которые представляют собой представления, весовые диаграммы которых представляют собой правильные шестиугольники.

В теории представлений как векторы в V, так и линейные функционалы в V * рассматриваются как векторы-столбцы, так что представление может действовать (путем умножения матриц) слева. Учитывая базис для V и двойственный базис для V *, действие линейного функционала φ на v, φ (v) может быть выражено умножением матриц,

$⟨\phi ,\; v⟩\; \equiv \; \phi \; (v)\; =\; \phi \; T\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; varphi,\; v\; \backslash \; rangle\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; varphi\; (v)\; =\; \backslash \; varphi\; ^\; \{T\}\; v\}$,

, где верхний индекс T означает транспонирование матрицы. Для согласованности требуется

$⟨\rho \; \ast \; (g)\; \phi ,\; \rho \; (g)\; v⟩\; =\; ⟨\phi ,\; v⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; rho\}\; ^\; \{*\}\; (g)\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; rho\; (g)\; v\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; varphi,\; v\; \backslash \; rangle.\}$

Согласно данному определению,

$⟨\; \rho \; \ast \; (g)\; \phi ,\; \rho \; (g)\; v⟩\; =\; ⟨\rho \; (g\; -\; 1)\; T\; \phi ,\; \rho \; (g)\; v⟩\; =\; (\rho \; (g\; -\; 1)\; T\; \phi )\; T\; \rho \; (g)\; v\; =\; \phi \; T\; \rho \; (g\; -\; 1)\; \rho \; (g)\; v\; =\; \phi \; T\; v\; =\; ⟨\phi ,\; v⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; rho\}\; ^\; \{*\}\; (g)\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; rho\; (g)\; v\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; rho\; (g\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{T\}\; \backslash \; varphi,\; \backslash \; rho\; (\; g)\; v\; \backslash \; rangle\; =\; (\backslash \; rho\; (g\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{T\}\; \backslash \; varphi)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; rho\; (g)\; v\; =\; \backslash \; varphi\; ^\; \{T\}\; \backslash \; rho\; (g\; ^\; \{-\; 1\})\; \backslash \; rho\; (g)\; v\; =\; \backslash \; varphi\; ^\; \{T\}\; v\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; varphi,\; v\; \backslash \; rangle.\}$

Для представления алгебры Ли выбирается согласованность с возможным представлением группы. В общем случае, если Π - представление группы Ли, то π, заданное формулой

$\pi \; (X)\; =\; d\; d\; t\; \Pi \; (e\; t\; X)\; |\; т\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (X)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; Pi\; (e\; ^\; \{tX\})\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}.\}$

является представлением своей алгебры Ли. Если Π * двойственно, то соответствующее ему представление алгебры Ли π * задается формулой

$\pi \; \ast \; (X)\; =\; d\; d\; t\; \Pi \; \ast \; (e\; t\; X)\; |\; t\; =\; 0\; =\; d\; d\; t\; \Pi \; (e\; -\; t\; X)\; T\; |\; t\; =\; 0\; =\; -\; \pi \; (X)\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; ^\; \{*\}\; (X)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; Pi\; ^\; \{*\}\; (e\; ^\; \{tX\})\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; Pi\; (e\; ^\; \{-\; tX\})\; ^\; \{T\}\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; -\; \backslash \; pi\; (X)\; ^\; \{T\}.\}$

Рассмотрим группу $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$комплексных чисел с абсолютным значением 1. Все неприводимые представления одномерны, что является следствием леммы Шура. Неприводимые представления параметризуются целыми числами $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и задаются явно как

$\rho \; n\; (e\; i\; \theta )\; =\; [e\; i\; n\; \theta ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{n\}\; (e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\})\; =\; [e\; ^\; \{in\; \backslash \; theta\}].\}$

Двойное представление для $\rho \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{n\; \}\}$тогда является обратным транспонированию этой матрицы по порядку, то есть

$\rho \; n\; \ast \; (ei\; \theta )\; =\; [e\; -\; in\; \theta ]\; =\; \rho \; -\; n\; (ei\; \theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{n\}\; ^\; \{*\}\; (e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\})\; =\; [e\; ^\; \{-\; in\; \backslash \; theta\}]\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{-\; n\}\; (e\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}).\}$

То есть двойственное представление $\rho \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{n\}\}$равно $\rho \; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\; -n\}\}$.

Общий кольцевой модуль не допускает двойного представления. Однако модули алгебр Хопфа работают.

• Комплексно-сопряженное представление
• Тензорное произведение представлений
• Формула характера Кириллова

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и Представления: Элементарное Введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.

1. ^Лекция 1 из Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
2. ^Hall 2015 Раздел 4.3.3
3. ^Лекция 8 из Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
4. ^Hall 2015 Упражнение 6 главы 4
5. ^Hall 2015 Упражнение 3 главы 6
6. ^Hall 2015 Упражнение 10 главы 10
7. ^Холл 2015 Упражнение 10 главы 10
8. ^Холл 2015 Упражнение 3 главы 6
9. ^Лекция 1, страница 4 из Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
10. ^Лекция 8, стр. 111 из Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.