Скобка лжи векторных полей

редактировать

В математической области дифференциальной топологии, скобка Ли векторных полей, также известная как скобка Якоби – Ли или коммутатор векторных полей - это оператор, который присваивает любым двум векторным полям X и Y на гладком многообразии M третье векторное поле, обозначенное [X, Y].

Концептуально скобка Ли [X, Y] является производной от Y вдоль потока, генерируемого X, и иногда обозначается $LXY {\ displaystyle {\ mathcal {L }} _ {X} Y}$ ${\ mathcal {L}} _ {X} Y$ («Производная Ли от Y по X»). Это обобщается на производную Ли любого тензорного поля вдоль потока, генерируемого X.

Скобка Ли представляет собой R-билинейную операцию и превращает множество всех гладких векторных полей на многообразии M в (бесконечномерную) алгебру Ли.

Скобка Ли играет важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальная топология, например, в теореме об интегрируемости Фробениуса, а также является фундаментальной в геометрической теории нелинейных систем управления.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Векторные поля как производные
- 1.2 Расходы и пределы
- 1.3 В координатах
2 Свойства
3 Примеры
4 Приложения
5 Обобщения
6 Ссылки

Определения

Существует три концептуально различных, но эквивалентных подхода к определению скобки Ли:

Векторные поля как производные

Каждое гладкое векторное поле X на многообразии M можно рассматривать как дифференциал оператор, действующий на гладкие функции C (M). Действительно, каждое гладкое векторное поле X становится производной на C (M), когда мы определяем X (f) как функцию, значение которой в точке p является производной по направлению функции f в точке p в направлении X (p). Кроме того, любой вывод на C (M) возникает из единственного гладкого векторного поля X.

В общем, коммутатор $δ 1 ∘ δ 2 - δ 2 ∘ δ 1 { \ displaystyle \ delta _ {1} \ circ \ delta _ {2} - \ delta _ {2} \ circ \ delta _ {1}}$ $\ delta _ {1} \ circ \ delta _ {2} - \ delta _ {2} \ circ \ delta _ {1}$ любых двух производных $δ 1 {\ displaystyle \ delta _ {1}}$ $\ delta _ {1}$ и $δ 2 {\ displaystyle \ delta _ {2}}$ $\ delta _ {2}$ снова является производным, где $∘ {\ displaystyle \ circ }$ $\ circ$ обозначает композицию операторов. Это можно использовать для определения скобки Ли как векторного поля, соответствующего коммутаторному дифференцированию:

[X, Y] (f) = X (Y (f)) - Y (X (f)) для всех f ∈ С ∞ (М). {\ displaystyle [X, Y] (е) = X (Y (f)) - Y (X (f)) \; \; {\ text {для всех}} f \ in C ^ {\ infty} (M).}

[X, Y] (f) = X (Y (f)) - Y (Икс (е)) \; \; {\ текст {для всех}} е \ в C ^ {\ infty} (M).

Потоки и ограничения

Пусть $Φ t X {\ displaystyle \ Phi _ {t} ^ {X}}$ $\ Phi _ {t} ^ {X}$ будет потоком, ассоциированного с векторным полем X, и пусть D обозначает оператор производной касательной карты. Тогда скобку Ли X и Y в точке x ∈ M можно определить как производную Ли :

[X, Y] x = (LXY) x: = lim t → 0 (D Φ - t X) Y Φ t X (x) - Y xt = ddt | t = 0 (D Φ - t X) Y Φ t X (x). {\ displaystyle [X, Y] _ {x} \ = \ ({\ mathcal {L}} _ {X} Y) _ {x} \: = \ \ lim _ {t \ to 0} {\ frac { (\ mathrm {D} \ Phi _ {- t} ^ {X}) Y _ {\ Phi _ {t} ^ {X} (x)} \, - \, Y_ {x}} {t}} \ = \ \ left. {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {t = 0} (\ mathrm {D} \ Phi _ {- t} ^ {X}) Y _ {\ Phi _ {t} ^ {X} (x)}.}

{\ displaystyle [X, Y] _ {x} \ = \ ({\ mathcal {L}} _ {X} Y) _ {x} \: = \ \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {(\ mathrm {D} \ Phi _ {- t} ^ {X}) Y _ {\ Phi _ {t} ^ { X} (x)} \, - \, Y_ {x}} {t}} \ = \ \ left. {\ Tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ { t = 0} (\ mathrm {D} \ Phi _ {- t} ^ {X}) Y _ {\ Phi _ {t} ^ {X} (x)}.}

Это также измеряет отказ потока в последовательных направлениях $X, Y, - X, - Y {\ displaystyle X, Y, -X, -Y}$ ${\ displaystyle X, Y, -X, -Y}$ для возврата в точку x:

[X, Y] x = 1 2 d 2 dt 2 | t = 0 (Φ - t Y ∘ Φ - t X ∘ Φ t Y ∘ Φ t X) (x) = d d t | t = 0 (Φ - t Y ∘ Φ - t X ∘ Φ t Y ∘ Φ t X) (x). {\ displaystyle [X, Y] _ {x} \ = \ \ left. {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right | _ {t = 0} (\ Phi _ {- t} ^ {Y} \ circ \ Phi _ {- t} ^ {X} \ circ \ Phi _ {t} ^ {Y } \ circ \ Phi _ {t} ^ {X}) (x) \ = \ \ left. {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {t = 0 } (\ Phi _ {\! - {\ sqrt {t}}} ^ {Y} \ circ \ Phi _ {\! - {\ sqrt {t}}} ^ {X} \ circ \ Phi _ {\! {\ sqrt {t}}} ^ {Y} \ circ \ Phi _ {\! {\ sqrt {t}}} ^ {X}) (x).}

{\ displaystyle [X, Y ] _ {x} \ = \ \ left. {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right | _ {t = 0} (\ Phi _ {- t} ^ {Y} \ circ \ Phi _ {- t} ^ {X} \ circ \ Phi _ {t} ^ {Y} \ circ \ Phi _ { t} ^ {X}) (x) \ = \ \ left. {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {t = 0} (\ Phi _ {\ ! - {\ sqrt {t}}} ^ {Y} \ circ \ Phi _ {\! - {\ sqrt {t}}} ^ {X} \ circ \ Phi _ {\! {\ sqrt {t}} } ^ {Y} \ circ \ Phi _ {\! {\ Sqrt {t}}} ^ {X}) (x).}

В координатах

Хотя приведенные выше определения скобки Ли являются внутренними (независимо от выбора координат на многообразии M), на практике часто требуется вычислить скобку в терминах конкретной системы координат ${xi} { \ Displaystyle \ {x ^ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {x ^ {i} \}}$ . Мы пишем $∂ i = ∂ ∂ xi {\ displaystyle \ partial _ {i} = {\ tfrac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {i} = {\ tfrac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}$ для соответствующего локального базиса касательного пучка, так что общие векторные поля могут быть записаны $X = ∑ i = 1 n X i ∂ i {\ displaystyle \ textstyle X = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X ^ {i } \ partial _ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle X = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X ^ {i} \ partial _ {i }}$ и $Y = ∑ я = 1 N Y i ∂ i {\ displaystyle \ textstyle Y = \ sum _ {i = 1} ^ {n} Y ^ {i} \ partial _ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle Y = \ sum _ {i = 1} ^ {n} Y ^ {i} \ partial _ {i}}$ для гладких функций $X i, Y i: M → R {\ displaystyle X ^ {i}, Y ^ {i}: M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X ^ {i}, Y ^ {i}: M \ to \ mathbb {R}}$ . Тогда скобка Ли может быть вычислена как:

[X, Y]: = ∑ i = 1 n (X (Y i) - Y (X i)) ∂ i = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n (X j ∂ j Y i - Y j ∂ j X i) ∂ i. {\ Displaystyle [X, Y]: = \ сумма _ {я = 1} ^ {п} \ влево (X (Y ^ {я}) - Y (X ^ {я}) \ вправо) \ partial _ {я } = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left (X ^ {j} \ partial _ {j} Y ^ {i} -Y ^ {j } \ partial _ {j} X ^ {i} \ right) \ partial _ {i}.}

{\ displaystyle [X, Y]: = \ сумма _ {i = 1} ^ {n} \ left (X (Y ^ {i}) - Y (X ^ {i}) \ right) \ partial _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left (X ^ {j} \ partial _ {j} Y ^ {i} -Y ^ {j} \ partial _ {j} X ^ {i } \ right) \ partial _ {i}.}

Если M является (открытым подмножеством) R, то векторные поля X и Y можно записать как гладкие карты вида $X: M → R n {\ displaystyle X: M \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $X: M \ to {\ mathbb {R}} ^ {n}$ и $Y: M → R n {\ displaystyle Y: M \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $Y: M \ to {\ mathbb {R}} ^ {n}$ и скобка Ли $[X, Y]: M → R n {\ displaystyle [X, Y]: M \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $[X, Y]: M \ to {\ mathbb {R}} ^ {n}$ определяется выражением:

[X, Y]: = JYX - JXY {\ displaystyle [X, Y]: = J_ {Y} X-J_ {X} Y}

[X, Y]: = J_ {Y} X-J_ {X} Y

где $JY {\ displaystyle J_ {Y}}$ $J_{Y}$ и $JX {\ displaystyle J_ {X}}$ $J_ {X}$ являются n × n матрицей Якоби, умножающими n × 1 вектор-столбцы X и Y.

Свойства

Скобка Ли векторных полей оснащает вещественное векторное пространство $V = Γ (TM) {\ displaystyle V = \ Gamma (TM)}$ $V = \ Gamma (TM)$ всех векторных полей на M (т. Е. Гладких участков касательный пучок $TM → M {\ displaystyle TM \ to M}$ ${\ displaystyle TM \ to M}$ ) со структурой алгебры Ли, что означает, что [•, •] является отображением $V × V → V {\ displaystyle V \ times V \ to V}$ ${\ displaystyle V \ times V \ to V }$ с:

R-билинейностью
антисимметрией, $[X, Y] = - [Y, X] {\ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$ ${\ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$
тождество Якоби, $[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0. {\ displaystyle [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0.}$ ${\ displaystyle [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0.}$

An Непосредственным следствием второго свойства является то, что $[X, X] = 0 {\ displaystyle [X, X] = 0}$ ${\ displaystyle [X, X] = 0}$ для любого $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Кроме того, для скобок Ли существует «правило продукта ». Учитывая гладкую (скалярнозначную) функцию f на M и векторное поле Y на M, мы получаем новое векторное поле fY, умножая вектор Y x на скаляр f (x) в каждой точке x ∈ M. Тогда:

$[X, f Y] = X (f) Y + f [X, Y], {\ displaystyle [X, fY] \ = \ X \! (F) \, Y \, + \, f \, [X, Y],}$ ${\ displaystyle [X, fY] \ = \ X \ ! (е) \, Y \, + \, е \, [X, Y],}$

где мы умножаем скалярную функцию X (f) на векторное поле Y, а скалярную функцию f на векторное поле [X, Y]. Это превращает векторные поля со скобкой Ли в алгеброид Ли.

Исчезновение скобки Ли для X и Y означает, что следование потокам в этих направлениях определяет поверхность, вложенную в M, с X и Y в качестве координатного вектора. поля:

Теорема: $[X, Y] = 0 {\ displaystyle [X, Y] = 0 \,}$ $[X, Y] = 0 \,$ тогда и только тогда, когда потоки X и Y коммутируют локально, то есть $(Φ T Y Φ s X) (x) = (Φ s X Φ t Y) (x) {\ displaystyle (\ Phi _ {t} ^ {Y} \ Phi _ {s} ^ {X}) (x) = (\ Phi _ {s} ^ {X} \, \ Phi _ {t} ^ {Y}) (x)}$ $(\ Phi _ {t} ^ { Y} \ Phi _ {s} ^ {X}) (x) = (\ Phi _ {{s}} ^ {X} \, \ Phi _ {t} ^ {Y}) (x)$ для всех x ∈ M и достаточно малых s, t.

Это частный случай теоремы об интегрируемости Фробениуса.

Примеры

Для группы Ли G соответствующая алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ - касательное пространство в тождестве $T e G {\ displaystyle T_ {e} G}$ ${\ displaystyle T_ {e} G}$ , которое можно отождествить с векторным пространством левоинвариантных векторных полей на G. Скобка Ли двух левоинвариантных векторных полей также является левоинвариантной, что определяет операцию скобки Якоби – Ли $[⋅, ⋅]: g × g → g {\ displaystyle [\, \ cdot \,, \, \ cdot \,]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle [\, \ cdot \,, \, \ cdot \,]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$ .

Для матричной группы Ли, элементами которой являются матрицы $g ∈ G ⊂ M n × n (R) {\ displaystyle g \ in G \ subset M_ {n \ times n} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle g \ in G \ subset M_ {n \ times n} (\ mathbb {R})}$ , каждое касательное пространство может быть представлено в виде матриц: $T g G = g ⋅ TIG ⊂ M n × n (R) {\ displaystyle T_ {g} G = g \ cdot T_ {I} G \ subset M_ {n \ times n} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle T_ {g} G = g \ cdot T_ {I} G \ subset M_ {n \ times n} (\ mathbb {R})}$ , где $⋅ {\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ означает умножение матриц, а I - единичная матрица. Инвариантное векторное поле, соответствующее $X ∈ g = TIG {\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}} = T_ {I} G}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}} = T_ {I} G}$ , задается как $X g = g ⋅ Икс ∈ T g G {\ displaystyle X_ {g} = g \ cdot X \ in T_ {g} G}$ ${\ displaystyle X_ {g} = g \ cdot X \ in T_ {g} G}$ , а вычисление показывает скобку Ли на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ соответствует обычному коммутатору матриц:

[X, Y] = X ⋅ Y - Y ⋅ X. {\ displaystyle [X, Y] \ = \ X \ cdot Y-Y \ cdot X.}

{\ displaystyle [X, Y] \ = \ X \ cdot YY \ cdot X.}

Приложения

Скобка Якоби – Ли важна для доказательства (STLC) без сноса.

Обобщения

Как упоминалось выше, производная Ли может рассматриваться как обобщение скобки Ли. Другим обобщением скобки Ли (до векторнозначных дифференциальных форм ) является скобка Фрелихера – Нийенхейса.

Литература

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Исайя, Пантелис (2009), «Контролируемая парковка [Спросите экспертов]», IEEE Control Systems Magazine, 29 (3): 17–21, 132, doi : 10.1109 / MCS.2009.932394
(2002), Nonlinear Systems (3-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис Холл, ISBN 0-13-067389-7
Коларж, И., Михор, П., и Словак, Дж. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии, Springer-Verlag CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка ) Подробное обсуждение скобок Ли и общей теории производных Ли.
Lang, S. (1995)), Дифференциальные и римановы многообразия, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1 Для обобщений на бесконечные измерения.
Льюис, Эндрю Д., Примечания по (нелинейному) управлению Теория (PDF)
Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387 -90894-3