Нелинейное управление

редактировать

Теория управления для нелинейных или изменяющихся во времени систем

Обратная связь система управления. Желательно, чтобы управлять системой (часто называемым растением), поэтому его выход следует требуемому опорному сигналу. Датчик контролирует выходной сигнал, а контроллер вычитает фактический выходной сигнал из желаемого эталонного выхода и подает этот сигнал ошибки в систему, чтобы приблизить выходной сигнал к эталонному. В нелинейной системе управления по крайней мере один из блоков, система, датчик или контроллер является нелинейным.

Теория нелинейного управления - это область теории управления, которая имеет дело с системами, которые нелинейный, изменяющийся во времени или и то, и другое. Теория управления - это междисциплинарная отрасль инженерии и математики, которая занимается поведением динамических систем с входными данными и тем, как изменять выходные данные путем изменения входных данных с помощью обратной связи., прямая связь или. Управляемая система называется «завод ». Один из способов сделать вывод системы следовать желаемого опорного сигнала, чтобы сравнить выход завода на желаемый результат, и обеспечить обратной связи на завод для изменения выхода приблизить его к желаемому выход.

Теория управления делится на две части. Теория линейного управления применяется к системам, состоящим из устройств, которые подчиняются принципу суперпозиции. Они управляются линейными дифференциальными уравнениями. Основным подклассом являются системы, которые, кроме того, имеют параметры, которые не меняются со временем, называемые линейно-инвариантными во времени (LTI) системами. Эти системы могут быть решены с помощью мощных универсальных математических методов частотной области, таких как преобразование Лапласа, преобразование Фурье, Z-преобразование, график Боде, корневой годограф и критерий устойчивости Найквиста.

Нелинейная теория управления охватывает более широкий класс систем, которые не подчиняются принципу суперпозиции. Это применимо к более реальным системам, потому что все реальные системы управления нелинейны. Эти системы часто управляются нелинейными дифференциальными уравнениями. Математические методы, которые были разработаны для их решения, более строгие и гораздо менее общие, часто применяемые только к узким категориям систем. К ним относятся теория предельного цикла, отображения Пуанкаре, теория устойчивости Ляпунова и , описывающая функции. Если интерес представляют только решения вблизи устойчивой точки, нелинейные системы часто можно линеаризовать, аппроксимируя их линейной системой, полученной путем расширения нелинейного решения в ряд , а затем линейными методами. может быть использован. Нелинейные системы часто анализируются с использованием численных методов на компьютерах, например, с помощью моделирования их работы с использованием языка моделирования. Даже если объект является линейным, нелинейный контроллер часто может иметь привлекательные особенности, такие как более простая реализация, более высокая скорость, большая точность или пониженная энергия управления, что оправдывает более сложную процедуру проектирования.

Примером нелинейной системы управления является система отопления, управляемая термостатом. Система отопления здания, такая как печь, нелинейно реагирует на изменения температуры; он либо «включен», либо «выключен», у него нет точного управления в зависимости от разницы температур, которое было бы у пропорционального (линейного) устройства. Поэтому печь выключена до тех пор, пока температура не упадет ниже уставки «включения» термостата, когда он включается. Из-за тепла, добавляемого печью, температура повышается до тех пор, пока не достигнет заданного значения «выключение» термостата, который отключает печь, и цикл повторяется. Это циклическое изменение температуры вокруг заданной температуры называется предельным циклом и характерно для нелинейных систем управления.

Содержание

1 Свойства нелинейных систем
2 Анализ и управление нелинейными системами
3 Анализ нелинейной обратной связи - проблема Лурье
- 3.1 Задача абсолютной устойчивости
4 Теоретические результаты в нелинейных control
- 4.1 Теорема Фробениуса
5 См. также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Свойства нелинейных систем

Некоторые свойства нелинейных динамических систем являются

Они не следуют принципу суперпозиции (линейность и однородность).
Они могут иметь несколько изолированных точек равновесия.
Они могут проявлять такие свойства, как предельный цикл, бифуркация, хаос.
Конечное время ухода: решения нелинейных систем могут существовать не всегда.

Анализ и управление нелинейными системами

Существует несколько хорошо разработанных методов анализа нелинейных систем обратной связи:

Описание функции Метод
Метод фазовой плоскости
Устойчивость Ляпунова Анализ
Si Метод регулярных возмущений
критерий Попова и круговой критерий для абсолютной устойчивости
Теорема о центральном многообразии
Теорема о малом усилении

Также существуют методы проектирования управления для нелинейных систем. Их можно подразделить на методы, которые пытаются рассматривать систему как линейную систему в ограниченном диапазоне операций и используют (хорошо известные) методы линейного проектирования для каждой области:

Планирование усиления

Те, которые пытаются ввести вспомогательные нелинейная обратная связь таким образом, что система может рассматриваться как линейная для целей проектирования управления:

Линеаризация обратной связи

И методы на основе Ляпунова :

Анализ нелинейной обратной связи - проблема Лурье

Блок-схема задачи Лурье

Ранняя задача анализа нелинейной системы обратной связи была сформулирована А. И. Лурье. Системы управления, описываемые проблемой Лурье, имеют прямой путь, который является линейным и инвариантным во времени, и путь обратной связи, который содержит статическую нелинейность без памяти, возможно, изменяющуюся во времени.

Линейная часть может быть охарактеризована четырьмя матрицами (A, B, C, D), а нелинейная часть - это Φ (y) с $Φ (y) y ∈ [a, b], a < b ∀ y {\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Phi (y)} {y}} \ in [a, b], \ quad a <b \ quad \ forall y }$ (секторная нелинейность).

Задача абсолютной устойчивости

Рассмотрим:

(A, B) управляемый, а (C, A) наблюдаемый
два действительных числа a, b с a < b, defining a sector for function Φ

Задача Лурье (также известная как проблема абсолютной устойчивости) состоит в том, чтобы вывести условия, включающие только передаточную матрицу H (s) и {a, b}, такие что x = 0 является глобально равномерно асимптотически устойчивым равновесием системы.

Есть две хорошо известные ошибочные гипотезы по проблеме абсолютной устойчивости:

Графически эти гипотезы можно интерпретировать в терминах графических ограничений на график Φ (y) xy или также на график dΦ / dy x Φ / y. Существуют контрпримеры к гипотезам Айзермана и Калмана, такие, что нелинейность относится к области линейной устойчивости, а единственное устойчивое равновесие сосуществует с устойчивым периодическим решением - скрытое колебание.

Есть две основные теоремы, касающиеся проблемы Лурье, которые дают достаточные условия абсолютной устойчивости:

критерий круга (расширение критерия устойчивости Найквиста для линейных систем)
критерий Попова.

Теоретические результаты в нелинейном управлении

Теорема Фробениуса

Теорема Фробениуса - это глубокий результат в дифференциальной геометрии. Применительно к нелинейному управлению он говорит следующее: Для системы вида

x ˙ = ∑ i = 1 kfi (x) ui (t) {\ displaystyle {\ dot {x}} = \ sum _ { я = 1} ^ {k} f_ {i} (x) u_ {i} (t) \,}

{\ точка {x}} = \ сумма _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) u_ {i} (t) \,

где $x ∈ R n {\ displaystyle x \ in R ^ {n}}$ $x \ in R ^ {n}$ , $f 1,…, fk {\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}}$ $f_ {1}, \ dots, f_ {k}$ - векторные поля, принадлежащие распределению $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ и $ui (t) {\ displaystyle u_ {i} (t)}$ $u_ {i} (t)$ - это управляющие функции, интегральные кривые $x {\ displaystyle x}$ $x$ ограничены многообразием размерности $m {\ displaystyle m}$ $m$ , если $span ⁡ (Δ) = m {\ displaystyle \ operatorname {span} (\ Delta) = m}$ ${\ displaystyle \ operatorname { span} (\ Delta) = m}$ и $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ - это инволютивное распределение.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Wolfram языковые функции для нелинейных систем управления