Вес (теория представлений)

редактировать

В поле математический в теории представлений, вес алгебры A над полем F является гомоморфизмом алгебры от A до F или, что эквивалентно, единицей -мерное представление A над F . Это алгебраический аналог мультипликативного символа группы . Однако важность этой концепции проистекает из ее применения к представлениям алгебр Ли и, следовательно, также к представлениям алгебраических и Группы Ли. В этом контексте вес представления является обобщением понятия собственного значения, а соответствующее собственное подпространство называется пространством весов .

Содержание

1 Мотивация и общая концепция
2 Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли
- 2.1 Вес представления
- 2.2 Действие корневых векторов
- 2.3 Целочисленный элемент
- 2.4 Частичное упорядочение в пространстве весов
- 2.5 Доминирующий вес
- 2.6 Теорема о старшем весе
- 2.7 Модуль старшего веса
3 См. Также
4 Примечания
5 Ссылки

Мотивация и общая концепция

Для данного набора S матриц, каждая из которых диагонализуема, и любые две из которых коммутируют, всегда можно одновременно диагонализировать все элементы S. Эквивалентно, для любого набора S взаимно коммутирующих полупростых линейных преобразований конечномерного векторное пространство V существует базис V, состоящий из одновременных собственных векторов всех элементов S. Каждый из этих общих собственных векторов v ∈ V определяет линейный функционал на подалгебре U в End (V), порожденный множеством эндоморфизмов S; этот функционал определяется как отображение, которое связывает с каждым элементом U его собственное значение в собственном векторе v. Это отображение также является мультипликативным и отправляет тождество в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебры U в базовое поле. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом понятия веса.

Это понятие тесно связано с идеей мультипликативного символа в теории групп, который является гомоморфизмом χ из группы G в мультипликативная группа поля поля F. Таким образом, χ: G → F удовлетворяет χ (e) = 1 (где e - тождественный элемент группы G) и

χ (gh) = χ (g) χ ( h) {\ displaystyle \ chi (gh) = \ chi (g) \ chi (h)}

\ chi (gh) = \ chi (g) \ чи (час)

для всех g, h в G.

Действительно, если G действует в векторном пространстве V над F каждое одновременное собственное подпространство для каждого элемента G, если таковое существует, определяет мультипликативный характер на G: собственное значение на этом общем собственном подпространстве каждого элемента группы.

Понятие мультипликативного символа может быть расширено до любой алгебры A над F, заменяя χ: G → F на линейное отображение χ: A → F с:

χ (ab) = χ (a) χ (b) {\ displaystyle \ chi (ab) = \ chi (a) \ chi (b)}

\ chi (ab) = \ chi (a) \ chi (b)

для всех a, b в A. Если алгебра A действует в векторном пространстве V над F на любое одновременное собственное подпространство, это соответствует гомоморфизм алгебры от A до F, присваивающий каждому элементу A его собственное значение.

Если A является алгеброй Ли (которая обычно не является ассоциативной алгеброй), то вместо требования мультипликативности символа требуется, чтобы она отображала любую скобку Ли в соответствующую коммутатор ; но поскольку F коммутативно, это просто означает, что это отображение должно обращаться в нуль на скобках Ли: χ ([a, b]) = 0. вес на алгебре Ли g над полем F является линейным отображением λ: g→ Fс λ ([x, y]) = 0 для все x, y в g . Любой вес на алгебре Ли g обращается в нуль на производной алгебре [g,g] и, следовательно, спускается до веса на абелевой алгебре Ли g/[g,g]. Таким образом, веса в первую очередь представляют интерес для абелевых алгебр Ли, где они сводятся к простому понятию обобщенного собственного значения для пространства коммутирующих линейных преобразований.

Если G является группой Ли или алгебраической группой, то мультипликативный характер θ: G → F индуцирует вес χ = dθ : g→ Fна своей алгебре Ли дифференцированием. (Для групп Ли это дифференцирование на единичном элементе группы G, а случай алгебраической группы - это абстракция с использованием понятия дифференцирования.)

Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Пусть $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ будет сложной полупростой алгеброй Ли и $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ подалгебра Картана в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . В этом разделе мы описываем концепции, необходимые для формулировки «теоремы о наивысшем весе», классифицирующей конечномерные представления $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . В частности, мы объясним понятие «доминирующий интегральный элемент». Сами представления описаны в статье по ссылке выше.

Вес представления

Пример весов представления алгебры Ли sl (3, C)

Пусть V - представление алгебры Ли $g {\ displaystyle { \ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ на C и пусть λ будет линейным функционалом на $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ . Тогда весовое пространство в V с весом λ является подпространством $V λ {\ displaystyle V _ {\ lambda}}$ $V _ {\ lambda}$ , заданным как

V λ: = {v ∈ V: ∀ H ∈ час, H ⋅ v знак равно λ (H) v} {\ displaystyle V _ {\ lambda}: = \ {v \ in V: \ forall H \ in {\ mathfrak {h}}, \ quad H \ cdot v = \ lambda (H) v \}}

{\ displaystyle V _ {\ lambda}: = \ {v \ in V: \ forall H \ in {\ mathfrak {h}}, \ quad H \ cdot v = \ lambda ( H) v \}}

A вес представления V - это линейный функционал λ такой, что соответствующее весовое пространство не равно нулю. Ненулевые элементы весового пространства называются весовыми векторами . Другими словами, весовой вектор является одновременным собственным вектором для действия элементов $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ с соответствующими собственными значениями, заданными λ.

Если V - прямая сумма его весовых пространств

V = ⨁ λ ∈ h ∗ V λ {\ displaystyle V = \ bigoplus _ {\ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ { *}} V _ {\ lambda}}

V = \ bigoplus _ {{\ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}} V _ {\ lambda}

тогда он называется весовым модулем; это соответствует наличию общего собственного базиса (базиса одновременных собственных векторов) для всех представленных элементов алгебры, то есть того, что они являются одновременно диагонализуемыми матрицами (см. диагонализуемая матрица ).

Если G группа с алгеброй Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , каждое конечномерное представление G индуцирует представление $g {\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . Тогда вес представления G - это просто вес ассоциированного представления $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . Существует тонкое различие между весами представлений групп и представлений алгебры Ли, которое состоит в том, что в этих двух случаях существует различное понятие условия целостности; увидеть ниже. (Условие целочисленности является более строгим в случае группы, отражая, что не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы.)

Действие корневых векторов

Если V является присоединенное представление элемента $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , ненулевые веса V называются корнями весовые пространства называются корневыми, а весовые векторы - корневыми векторами. Явно линейный функционал $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ на $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ называется корнем, если $α ≠ 0 {\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$ $\ alpha \ neq 0$ и существует ненулевое значение $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ такое, что

[H, X] = α (H) X {\ displaystyle [H, X] = \ alpha (H) X}

{\ displaystyle [H, X] = \ alpha (H) X}

для всех $H {\ displaystyle H}$ $H$ в $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ . Набор корней образует корневую систему.

С точки зрения теории представлений, значение корней и корневых векторов является следующим элементарным, но важным результатом: Если V является представлением $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , v - вектор весов с весом $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , а X - корневой вектор с корнем $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , тогда

H ⋅ (X ⋅ v) = [(λ + α) (H)] (X ⋅ v) {\ displaystyle H \ cdot (X \ cdot v) = [(\ lambda + \ alpha) (H)] (X \ cdot v)}

{ \ Displaystyle H \ cdot (X \ cdot v) = [(\ lambda + \ alpha) (H)] (X \ cdot v)}

для всех H в $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ . То есть $Икс ⋅ v {\ displaystyle X \ cdot v}$ ${\ displaystyle X \ cdot v}$ - это либо нулевой вектор, либо вектор весов с весом $λ + α {\ displaystyle \ lambda + \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lambda + \ alpha}$ . Таким образом, действие $X {\ displaystyle X}$ $X$ отображает пространство весов с весом $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ в пространство весов с весом $λ + α {\ displaystyle \ lambda + \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lambda + \ alpha}$ .

Целочисленный элемент

Алгебраически целые элементы (треугольная решетка), доминирующие интегральные элементы (черные точки) и фундаментальные веса для sl (3, C)

Пусть $h 0 ∗ {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0} ^ {*}}$ будет действительным подпространством $h ∗ {\ displaystyle {\ mathfrak {h }} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ генерируется корнями $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . Для вычислений удобно выбрать скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля, то есть относительно отражений о гиперплоскостях, ортогональных корням. Затем мы можем использовать этот внутренний продукт для идентификации $h 0 ∗ {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0} ^ {*}}$ с подпространством $h 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ из $h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ . С этой идентификацией корень, связанный с корнем $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , дается как

H α = 2 α ⟨α, α⟩ {\ displaystyle H _ {\ alpha} = 2 {\ frac {\ alpha} {\ langle \ alpha, \ alpha \ rangle}}}

{\ displaystyle H _ {\ alpha} = 2 {\ frac {\ alpha} {\ langle \ alpha, \ alpha \ rangle}}}

Теперь мы определяем два разных понятия целостности для элементов $h 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ . Мотивация для этих определений проста: веса конечномерных представлений $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ удовлетворяют первому условию целостности, в то время как если G - группа с В алгебре Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ веса конечномерных представлений G удовлетворяют второму условию целостности.

Элемент $λ ∈ h 0 {\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ является алгебраически целым, если

⟨λ, ЧАС α⟩ знак равно 2 ⟨λ, α⟩ ⟨α, α⟩ ∈ Z {\ displaystyle \ langle \ lambda, H _ {\ alpha} \ rangle = 2 {\ frac {\ langle \ lambda, \ alpha \ rangle} {\ langle \ alpha, \ alpha \ rangle}} \ in \ mathbf {Z}}

{\ displaystyle \ langle \ lambda, H _ {\ alpha} \ rangle = 2 {\ frac {\ langle \ lambda, \ alpha \ rangle} {\ langle \ alpha, \ alpha \ rangle}} \ in \ mathbf {Z}}

для всех корней $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . Мотивация для этого условия заключается в том, что сопутствующий корень $H α {\ displaystyle H _ {\ alpha}}$ $H_ {\ alpha}$ может быть идентифицирован с элементом H в стандартном $X, Y, H {\ displaystyle {X, Y, H}}$ ${\ displaystyle {X, Y, H}}$ базис для sl (2, C ) -подалгебры g . По элементарным результатам для sl (2, C ) собственные значения $H α {\ displaystyle H _ {\ alpha}}$ $H_ {\ alpha}$ в любом конечномерном представлении должны быть целыми. Мы заключаем, что, как указано выше, вес любого конечномерного представления $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ является алгебраически целым.

фундаментальные веса $ω 1,…, ω n {\ displaystyle \ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {n}$ определяются тем свойством, что они образуют основу $h 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ , двойственную к набору сопутствующих корней, связанных с простыми корнями. То есть фундаментальные веса определяются условием

2 ⟨ω i, α j⟩ ⟨α j, α j⟩ = δ i, j {\ displaystyle 2 {\ frac {\ langle \ omega _ {i}, \ alpha _ {j} \ rangle} {\ langle \ alpha _ {j}, \ alpha _ {j} \ rangle}} = \ delta _ {i, j}}

{\ displaystyle 2 { \ frac {\ langle \ omega _ {i}, \ alpha _ {j} \ rangle} {\ langle \ alpha _ {j}, \ alpha _ {j} \ rangle}} = \ delta _ {i, j} }

где $α 1, … Α n {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ { 1}, \ ldots \ alpha _ {n}}$ - простые корни. Тогда элемент $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ является алгебраически целым тогда и только тогда, когда он представляет собой целую комбинацию основных весов. Набор всех $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -интегральных весов представляет собой решетку в $h 0 {\ displaystyle {\ mathfrak { h}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ называется решеткой весов для $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ , обозначается $P (g) { \ displaystyle P ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle P ({\ mathfrak {g }})}$ .

На рисунке показан пример алгебры Ли sl (3, C), корневой системой которой является $A 2 {\ displaystyle A_ {2}}$ $A_ {2}$ корневая система. Есть два простых корня: $γ 1 {\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1 }$ и $γ 2 {\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ . Первый фундаментальный вес, $ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ , должен быть ортогонален $γ 2 {\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ $\ gamma _ {2}$ и должен проецироваться перпендикулярно половине $γ 1 {\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma _ {1 }$ , и аналогично для $ω 2 {\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ . Решетка весов тогда является треугольной решеткой.

Предположим теперь, что алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли группы Ли G. Тогда мы говорим, что $λ ∈ час 0 {\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ равно аналитически целому (G-интеграл), если для каждого t в $час {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ mathfrak {h}}$ такой, что $exp ⁡ (t) = 1 ∈ G {\ displaystyle \ exp (t) = 1 \ in G}$ ${\ displaystyle \ exp (t) = 1 \ in G}$ у нас есть $⟨λ, t⟩ ∈ 2 π я Z {\ displaystyle \ langle \ lambda, t \ rangle \ in 2 \ pi i \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ langle \ lambda, t \ rangle \ in 2 \ pi i \ mathbf {Z}}$ . Причина создания этого определения заключается в том, что если представление $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ возникает из представления G, то веса представления будут G- интеграл. Для полупроста G набор всех G-интегральных весов является подрешеткой P (G) ⊂ P ( $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ). Если G односвязный, то P (G) = P ( $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ). Если G не является односвязным, то решетка P (G) меньше, чем P ( $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ ) и их частное изоморфна фундаментальной группе группы G.

Частичное упорядочение в пространстве весов

Если положительные корни равны

α 1 {\ displaystyle \ alpha _ {1} }

\ alpha _ {1}

α 2 {\ displaystyle \ alpha _ {2}}

\ alpha _ {2}

α 3 {\ displaystyle \ alpha _ {3}}

\ alpha _ {3}

, заштрихованная область набор точек выше, чем

λ {\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

Теперь мы введем частичный порядок на множестве весов, который будет использован для формулировки теоремы о старшем весе, описывающей представления г . Напомним, что R - множество корней; Теперь мы исправляем набор $R + {\ displaystyle R ^ {+}}$ $R ^ {+}$ из положительных корней.

. Рассмотрим два элемента $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ и $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ из $h 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {0}}$ . Нас в основном интересует случай, когда $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ и $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ являются целыми, но это предположение не обязательно к определению, которое мы собираемся ввести. Затем мы говорим, что $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ выше, чем $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , что мы записываем как $μ ⪰ λ {\ displaystyle \ mu \ successq \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mu \ successq \ lambda}$ , если $μ - λ {\ displaystyle \ mu - \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mu - \ lambda}$ выражается как линейное комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами. Это означает, грубо говоря, что «выше» означает в направлении положительных корней. Мы эквивалентно говорим, что $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ «ниже», чем $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , который мы записываем как $λ ⪯ μ {\ displaystyle \ lambda \ prevq \ mu}$ ${\ displaystyle \ lambda \ prevq \ mu}$ .

Это только частичный порядок; легко может случиться так, что $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ ни выше, ни ниже, чем $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Доминантный вес

Интеграл элемент λ является доминирующим, если $⟨λ, γ⟩ ≥ 0 {\ displaystyle \ langle \ lambda, \ gamma \ rangle \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ langle \ lambda, \ gamma \ rangle \ geq 0}$ для каждого положительного корня γ. Эквивалентно, λ является доминирующей, если это неотрицательная целочисленная комбинация основных весов. В случае $A 2 {\ displaystyle A_ {2}}$ $A_ {2}$ доминирующие интегральные элементы находятся в 60-градусном секторе. Идея доминирования - это не то же самое, что быть выше нуля.

Набор всех λ (не обязательно целых) таких, что $⟨λ, γ⟩ ≥ 0 {\ displaystyle \ langle \ lambda, \ gamma \ rangle \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ langle \ lambda, \ gamma \ rangle \ geq 0}$ известна как фундаментальная камера Вейля, связанная с данным набором положительных корней.

Теорема наибольшего веса

Вес $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ представления $V {\ displaystyle V}$ $V$ из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ называется наивысшим весом, если любой другой вес $V {\ displaystyle V}$ $V$ ниже, чем $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Теория , классифицирующая конечномерные неприводимые представления из $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g }}}$ ${\ mathfrak {g}}$ с помощью «теоремы о наивысшем весе». Теорема гласит, что

(1) каждое неприводимое (конечномерное) представление имеет наивысший вес,

(2) наибольший вес всегда является доминирующим алгебраически целостным элементом,

(3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны, и

(4) каждый доминантный, алгебраически целостный элемент является старшим весом неприводимого представления.

Последний пункт - самый сложный. ; представления могут быть построены с использованием модулей Верма.

модуля наибольшего веса

Представление (не обязательно конечномерного) V $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ называется модулем наивысшего веса, если он генерируется вектором весов v ∈ V, который уничтожается действием всех положительных корневых пространств в $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ . Каждый неприводимый $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -модуль с наибольшим весом обязательно является модулем с наибольшим весом, но в бесконечномерном случае требуется модуль с наибольшим весом. не быть несводимым. Для каждого $λ ∈ h ∗ {\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ - не обязательно доминантного или интегрального - существует единственный (с точностью до изоморфизма) простой высший вес $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ -модуль с наибольшим весом λ, который обозначается L (λ), но этот модуль бесконечномерный, если λ не является доминирующим интегралом. Можно показать, что каждый модуль наивысшего веса с наибольшим весом λ является частным от модуля Верма M (λ). Это просто подтверждение свойства универсальности в определении модуля Верма.

Каждый конечномерный модуль старшего веса неприводим.

См. Также

Примечания

Ссылки