Перестановка матриц

В линейной алгебре две матрицы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$считаются коммутирующими, если $AB\; =\; BA\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; =\; BA\}$и, что эквивалентно, их commutator $[A,\; B]\; =\; AB\; -\; BA\; \{\backslash \; displaystyle\; [A,\; B]\; =\; AB-BA\}$равен нулю. Набор матриц $A\; 1,\dots ,\; A\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; A\_\; \{k\}\}$называется коммутируют, если они коммутируют попарно., что означает, что каждая пара матриц в наборе коммутирует друг с другом.

• 1 Характеристики и свойства
• 2 Примеры
• 3 История
• 4 Ссылки

• Коммутирующие матрицы сохраняют собственные подпространства друг друга. Как следствие, коммутирующие матрицы над алгебраически замкнутым полем являются одновременно треугольными, то есть существуют основания, над которыми они обе являются верхнетреугольными. Другими словами, если $A\; 1,\dots ,\; A\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; A\_\; \{k\}\}$коммутируют, существует матрица подобия $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$такой, что $P\; -\; 1\; A\; i\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; A\_\; \{i\}\; P\}$является верхним треугольником для всех $i\; \in \; \{1,\dots ,\; к\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; я\; \backslash \; в\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; k\; \backslash \}\}$. Обратное не обязательно верно, как показывает следующий контрпример:

$[1\; 2\; 0\; 3]\; [1\; 1\; 0\; 1]\; =\; [1\; 3\; 0\; 3]\; \ne \; [1\; 5\; 0\; 3]\; =\; [1\; 1\; 0\; 1]\; [\; 1\; 2\; 0\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 2\; \backslash \backslash \; 0\; 3\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 3\; \backslash \backslash \; 0\; 3\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 5\; \backslash \backslash \; 0\; 3\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 2\; \backslash \; \backslash \; 0\; 3\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Однако, если квадрат коммутатора двух матриц равен нулю, то есть $[A,\; B]\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [A,\; B]\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$, тогда верно обратное.

• Если матрицы $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$являются одновременно диагонализуемыми, то есть существует матрица сходства $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$такая, что $P\; -\; 1\; AP\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{\; -1\}\; AP\}$и $P\; -\; 1\; BP\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; BP\}$оба диагональные, тогда $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$перемещаются. Обратное не обязательно верно, поскольку одна из матриц не может быть диагонализуемой, например:

$[0\; 1\; 0\; 0]\; [1\; 0\; 0\; 1]\; =\; [1\; 0\; 0\; 1]\; [0\; 1\; 0\; 0],\; но\; [0\; 1\; 0\; 0]\; не\; диагонализуем.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; text\; \{but\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; text\; \{не\; диагонализируется.\}\; \}\}$

Однако если обе матрицы диагонализуемы, то они могут быть диагонализованы одновременно.

• Если одна из матриц обладает тем свойством, что ее минимальный многочлен совпадает с характеристическим многочленом (т. Е. Имеет максимальную степень), что, в частности, происходит, когда характеристический многочлен имеет только простые корни, тогда другая матрица может быть записана как многочлен от первой.
• Как прямое следствие одновременной триангулируемости, собственные значения двух коммутирующих комплексных матриц A, B с их алгебраическими кратностями (мультимножества корней их характеристических многочленов) можно сопоставить как $\alpha \; i\; \leftrightarrow \; \beta \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; beta\; \_\; \{\; i\}\}$таким образом, чтобы на мультимножестве собственных значений любого многочлена $P\; (A,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A,\; B)\}$в двух матрицах есть мультимножество значений $P\; (\alpha \; i\; \beta \; я)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Р\; (\backslash \; альфа\; \_\; \{я\},\; \backslash \; бета\; \_\; \{я\})\}$. Эта теорема принадлежит Фробениусу.
• Две эрмитовы матрицы коммутируют, если их собственные подпространства совпадают. В частности, две эрмитовы матрицы без нескольких собственных значений коммутируют, если они имеют один и тот же набор собственных векторов. Это следует из рассмотрения разложения по собственным значениям обеих матриц. Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- две эрмитовы матрицы. $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$имеют общие собственные подпространства, когда их можно записать как $A\; =\; U\; \Lambda \; 1\; U\; †\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\; =\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{1\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$и $B\; =\; U\; \Lambda \; 2\; U\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{2\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$. Отсюда следует, что

$A\; B\; =\; U\; \Lambda \; 1\; U\; †\; U\; \Lambda \; 2\; U\; †\; =\; U\; \Lambda \; 1\; \Lambda \; 2\; U\; †\; =\; U\; \Lambda \; 2\; \Lambda \; 1\; U\; †\; =\; U\; \Lambda \; 2\; U\; †\; U\; \Lambda \; 1\; U\; †\; =\; B\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; =\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{1\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{2\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{1\}\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{2\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\; \}\; =\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{2\}\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{1\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{2\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; U\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{1\}\; U\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; BA.\}$

• Свойство коммутации двух матриц не является транзитивным: матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$может коммутировать как с $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, а также $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$Между собой не ездят. Например, единичная матрица коммутирует со всеми матрицами, которые между ними не коммутируют. Если набор рассматриваемых матриц ограничен эрмитовыми матрицами без кратных собственных значений, то коммутативность транзитивна как следствие характеризации в терминах собственных векторов.
• Теорема Ли, которая показывает, что любое представление разрешимая алгебра Ли одновременно является верхней триангулируемой, может рассматриваться как обобщение.
• Матрица $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$коммутирует с любой другой матрицей тогда и только тогда, когда она - скалярная матрица, то есть матрица вида $\lambda \; \cdot \; I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; cdot\; I\}$, где $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- единичная матрица, а $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- скаляр.

• Единичная матрица коммутирует со всеми матрицами.
• Каждая диагональ матрица коммутирует со всеми другими диагональными матрицами.

• жордановы блоки коммутируют с верхнетреугольными матрицами, которые имеют то же значение вдоль полос.
• Если произведение двух симметричных матриц симметрично, то они должны совмещаться отключить звук.
• Циркулянтные матрицы коммутируют. Они образуют коммутативное кольцо, поскольку сумма двух циркулянтных матриц является циркулянтной.

Понятие коммутирующих матриц было введено Кэли в его мемуарах о теория матриц, которая также дала первую аксиоматизацию матриц. Первым значительным результатом, доказанным на них, был приведенный выше результат Фробениуса в 1878 году.