Войти
В математике, А представление является очень общее соотношение, которое выражает сходство (или эквивалентностей) между математическими объектами или структурами. Грубо говоря, можно сказать, что набор Y математических объектов представляет собой другой набор X объектов, при условии, что свойства и отношения, существующие между представляющими объектами y i, некоторым согласованным образом соответствуют тем, которые существуют среди соответствующих представленных объектов x i.. Более конкретно, задано множество Π свойств и отношений, A Π -представление некоторой структуры X представляет собой структуру Y, которая является образом X под гомоморфизмом, сохраняющий П. Этикетки представление иногда также применяется к самому гомоморфизм (например, групповой гомоморфизм в теории групп ).
Пожалуй, наиболее хорошо развитый примером этого общего понятия является подполе абстрактной алгебры называемой теорией представлений, который изучает представляющие элементы алгебраических структур с помощью линейных преобразований из векторных пространств.
Хотя термин « теория представлений» хорошо известен в алгебраическом смысле, о котором говорилось выше, существует множество других применений термина « представление» в математике.
Активная область теории графов - исследование изоморфизмов между графами и другими структурами. Ключевой класс таких проблем проистекает из того факта, что, как и смежность в неориентированных графах, пересечение множеств (или, точнее, не дизъюнктность ) является симметричным отношением. Это приводит к изучению графов пересечений бесчисленных семейств множеств. Один основополагающий результат здесь, из - за Пола Эрдеша и его коллег, является то, что каждый п - вершина графа может быть представлена в терминах пересечения среди подмножеств некоторого множества размера не более чем п 2 /4.
Представление графа с помощью таких алгебраических структур, как его матрица смежности и лапласиана матрицы приводит к области спектральной теории графов.
Двойственным к наблюдению выше, что каждый граф является графом пересечений, является тот факт, что каждое частично упорядоченное множество (также известное как poset) изоморфно набору множеств, упорядоченных отношением включения (или включения ) ⊆. Некоторые посеты, которые возникают как порядки включения для естественных классов объектов, включают булевы решетки и порядки размерности n.
Многие частичные порядки возникают из (и, следовательно, могут быть представлены) коллекциями геометрических объектов. Среди них n -ball заказов. Порядки с одним шаром - это порядки с интервалом вложения, а порядки с двумя шарами - это так называемые порядки окружности - множества, представимые в терминах включения между дисками на плоскости. Особенно хорошим результатом в этой области является характеристика плоских графов, как тех графов, у которых отношения инцидентности вершин к ребрам являются порядками окружностей.
Есть также геометрические представления, не основанные на включении. В самом деле, одним из наиболее изученных классов среди них являются интервальные порядки, которые представляют частичный порядок в терминах того, что можно было бы назвать непересекающимся приоритетом интервалов на вещественной прямой : каждый элемент x чугуна представлен интервалом [ x 1, x 2 ], такая, что для любых y и z в ЧУМ, y ниже z тогда и только тогда, когда y 2 lt; z 1.
В логике возможность представления алгебр в виде реляционных структур часто используется для доказательства эквивалентности алгебраической и реляционной семантики. Примеры этого включают в себя представление Стоун о булевых алгебрах в качестве полех множеств, представление Esakia в о гейтинговых алгебрах как гейтинговая алгебра множеств, и изучение представимых алгебр отношений и изображаемых цилиндрических алгебры.
При определенных обстоятельствах, одна функция F : X → Y является одновременно изоморфизмом из нескольких математических структур на X. Поскольку каждую из этих структур можно интуитивно представить себе как значение образа Y (одна из вещей, которые Y пытается нам сказать), это явление называется многозначностью - термин, заимствованный из лингвистики. Вот некоторые примеры многозначности:
