Общее правило Лейбница

редактировать

В исчислении, общее правило Лейбница, названное в честь Готфрида Вильгельм Лейбниц обобщает правило произведения (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем указано, что если $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ равны $n {\ displaystyle n}$ $n$ -раз дифференцируемые функции, тогда продукт $fg {\ displaystyle fg}$ ${\ displaystyle fg}$ также $n {\ displaystyle n}$ $n$ -раз дифференцируемый и его $n {\ displaystyle n}$ $n$ th производная дается как

(fg) (n) = ∑ k = 0 n (nk) f (n - k) g (k), {\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} f ^ {(nk)} g ^ {(k)},}

{\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} f ^ {(nk)} g ^ {(k)},}

где $(nk) = n! к! (п - к)! {\ displaystyle {n \ select k} = {n! \ over k! (nk)!}}$ ${n \ choose k} = {n! \ над к! (nk)!}$ - это биномиальный коэффициент и $f (j) {\ displaystyle f ^ {(j)}}$ ${\ displaystyle f ^ {(j)}}$ обозначает j-ю производную от f (и, в частности, $f (0) = f {\ displaystyle f ^ {(0)} = f}$ ${\ displaystyle f ^ {(0)} = f}$ ).

Правило может быть доказано с помощью правила произведения и математической индукции.

Содержание

1 Вторая производная
2 Более двух факторов
3 Доказательство
4 Многопараметрическая исчисление
5 См. также
6 Ссылки

Вторая производная

Если, например, n = 2, правило дает выражение для второй производной произведения двух функций:

(fg) ″ (x) = ∑ k = 0 2 (2 k) f (2 - k) (x) g (k) (x) = f ″ (x) g (x) + 2 f ′ (x) g ′ (x) + f (x) g ″ (x). {\ displaystyle (fg) '' (x) = \ sum \ limits _ {k = 0} ^ {2} {{\ binom {2} {k}} f ^ {(2-k)} (x) g ^ {(k)} (x)} = f '' (x) g (x) + 2f '(x) g' (x) + f (x) g '' (x).}

(fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).

Больше чем два множителя

Формулу можно обобщить до произведения m дифференцируемых функций f 1,..., f m.

(f 1 f 2 ⋯ fm) (n) = ∑ к 1 + к 2 + ⋯ + км знак равно N (nk 1, к 2,…, км) ∏ 1 ≤ t ≤ mft (kt), {\ displaystyle \ left (f_ {1} f_ {2} \ cdots f_ { m} \ right) ^ {(n)} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m} = n} {n \ select k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} \ prod _ {1 \ leq t \ leq m} f_ {t} ^ {(k_ {t})} \,,}

\ left (f_ {1} f_ {2} \ cdots f_ {m } \ right) ^ {(n)} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + \ cdots + k_ {m} = n} {n \ select k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} \ prod _ {1 \ leq t \ leq m} f_ {t} ^ {(k_ {t})} \,,

где сумма распространяется на все m-кортежи ( k 1,..., k m) неотрицательных целых чисел с $∑ t = 1 mkt = n, {\ displaystyle \ sum _ {t = 1} ^ {m} k_ {t} = n,}$ ${\ displaystyle \ sum _ {t = 1} ^ {m} k_ {t} = n,}$ и

(nk 1, k 2,…, км) = n! к 1! к 2! ⋯ к м! {\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = {\ frac {n!} {k_ {1}! \, k_ {2}! \ cdots k_ { m}!}}}

{\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = {\ frac {n!} {K_ {1}! \, K_ {2}! \ Cdots k_ {m}!}}}

- это полиномиальные коэффициенты. Это похоже на многочленовую формулу из алгебры.

Доказательство

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Пусть $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ будет $n {\ displaystyle n}$ $n$ -times дифференцируемые функции. Базовый случай, когда $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ утверждает, что:

(fg) ′ = f ′ g + fg ′, {\ displaystyle (fg) '= f 'g + fg',}

(fg)'=f'g+fg',

, что является обычным правилом продукта и известно, что оно истинно. Затем предположим, что утверждение выполняется для фиксированного $n ≥ 1, {\ displaystyle n \ geq 1,}$ ${\ displaystyle п \ geq 1,}$ , то есть

(fg) (n) = ∑ k = 0 п (нк) е (п - к) г (к). {\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k)}. }

{\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} е ^ {(nk)} g ^ {(k)}.}

Тогда

(fg) (n + 1) = [∑ k = 0 n (nk) f (n - k) g (k)] ′ = ∑ k = 0 n (nk) f ( n + 1 - k) g (k) + ∑ k = 0 n (nk) f (n - k) g (k + 1) = ∑ k = 0 n (nk) f (n + 1 - k) g ( k) + ∑ k = 1 n + 1 (nk - 1) f (n + 1 - k) g (k) = (n 0) f (n + 1) g + ∑ k = 1 n (nk) f ( n + 1 - k) g (k) + ∑ k = 1 n (nk - 1) f (n + 1 - k) g (k) + (nn) fg (n + 1) = f (n + 1) g + (∑ k = 1 n [(nk - 1) + (nk)] f (n + 1 - k) g (k)) + fg (n + 1) = f (n + 1) g + ∑ k Знак равно 1 n (n + 1 k) f (n + 1 - k) g (k) + fg (n + 1) = ∑ k = 0 n + 1 (n + 1 k) f (n + 1 - k) г (к). {\ displaystyle {\ begin {align} (fg) ^ {(n + 1)} = \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ { (nk)} g ^ {(k)} \ right] '\\ = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k + 1)} \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + \ sum _ {k = 1 } ^ {n + 1} {\ binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} \\ = {\ binom {n} {0} } f ^ {(n + 1)} g + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k) } + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + {\ binom {n } {n}} fg ^ {(n + 1)} \\ = f ^ {(n + 1)} g + \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [{\ binom { n} {k-1}} + {\ binom {n} {k}} \ right] f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} \ right) + fg ^ {(n + 1)} \\ = f ^ {(n + 1)} g + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + fg ^ {(n + 1)} \\ = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} {\ binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}fg^{(n+1)}\\=f^{(n+1)}g+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+fg^{(n+1)}\\=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}\\=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}

Итак, утверждение справедливо для $n + 1, {\ displaystyle n + 1,}$ ${\ displaystyle n + 1,}$ и доказательство завершено.

Многопараметрическое исчисление

С помощью многоиндексной нотации для частных производных функций нескольких переменных правило Лейбница в более общем плане утверждает:

∂ α (fg) = ∑ β: β ≤ α (α β) (∂ β f) (∂ α - β g). {\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ beta \,: \, \ beta \ leq \ alpha} {\ alpha \ select \ beta} (\ partial ^ {\ beta} f) (\ partial ^ {\ alpha - \ beta} g).}

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ beta \,: \, \ beta \ leq \ alpha} {\ alpha \ choose \ beta} (\ partial ^ {\ beta} f) (\ partial ^ {\ alpha - \ beta} g).}

Эту формулу можно использовать для вывода формулы, которая вычисляет символ композиции дифференциальных операторов. Фактически, пусть P и Q - дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируются достаточно много раз) и $R = P ∘ Q. {\ displaystyle R = P \ circ Q.}$ ${\ displaystyle R = P \ circ Q.}$ Поскольку R также является дифференциальным оператором, символ R задается следующим образом:

R (x, ξ) = e - ⟨x, ξ⟩ R (e ⟨x, ξ⟩). {\ Displaystyle R (x, \ xi) = e ^ {- {\ langle x, \ xi \ rangle}} R (e ^ {\ langle x, \ xi \ rangle}).}

R (x, \ xi) = e ^ {- {\ langle x, \ xi \ rangle}} R (e ^ {\ langle x, \ xi \ rangle}).

Теперь прямое вычисление дает:

R (x, ξ) = ∑ α 1 α! (∂ ∂ ξ) α P (x, ξ) (∂ ∂ x) α Q (x, ξ). {\ Displaystyle R (х, \ xi) = \ sum _ {\ alpha} {1 \ over \ alpha!} \ left ({\ partial \ over \ partial \ xi} \ right) ^ {\ alpha} P (x, \ xi) \ left ({\ partial \ over \ partial x} \ right) ^ {\ alpha} Q (x, \ xi).}

R (x, \ xi) = \ sum _ {\ alpha} {1 \ over \ alpha!} \ left ({\ partial \ over \ partial \ xi} \ right) ^ {\ alpha} P (x, \ xi) \ left ({\ partial \ over \ partial x} \ right) ^ {\ alpha} Q (x, \ xi).

Эта формула обычно известна как формула Лейбница. Он используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым вызывая кольцевую структуру.

См. Также

Литература

^Олвер, Питер Дж. (2000). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Springer. стр. 318–319.