Дифференциал функции

Понятие в исчислении

В исчислении дифференциал представляет основную часть изменения функции y = f (x) относительно изменений в независимой переменной. Дифференциал dy определяется выражением

$dy\; =\; f\; \prime \; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx,\}$

где $f\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; (x)\}$- производная функции f по x, а dx - дополнительная действительная переменная (так что dy является функцией x и dx). Обозначения таковы, что выполняется уравнение

$dy\; =\; dydxdx\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

, где производная представлена ​​в нотации Лейбница dy / dx, и это согласуется с рассмотрением производной как частного дифференциалов. Также пишут

$d\; f\; (x)\; =\; f\; \prime \; (x)\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (x)\; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста приложения и требуемого уровня математической строгости. Область этих переменных может иметь особое геометрическое значение, если дифференциал рассматривается как конкретная дифференциальная форма, или аналитическое значение, если дифференциал рассматривается как линейное приближение к приращению функции. Традиционно переменные dx и dy считаются очень маленькими (бесконечно малыми ), и такая интерпретация сделана строго в нестандартном анализе.

• 1 История и использование
• 2 Определение
• 3 Дифференциалы в нескольких переменных
  • 3.1 Применение полного дифференциала к оценке ошибки
• 4 Дифференциалы высшего порядка
• 5 Свойства
• 6 Общая формулировка
• 7 Другие подходы
• 8 Примеры и приложения
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Дифференциал был впервые введен посредством интуитивного или эвристического определения Готфридом Вильгельмом Лейбниц, который думал о дифференциале dy как о бесконечно малом (или бесконечно малом ) изменении значения y функции, соответствующем бесконечно малому изменению dx в аргументе функции x. По этой причине мгновенная скорость изменения y относительно x, которая представляет собой значение производной функции, обозначается дробью

$dydx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\; \}\; \{dx\}\}\}$

в так называемой нотации Лейбница для производных. Фактор dy / dx не бесконечно мал; скорее это действительное число.

. Использование бесконечно малых в этой форме широко критиковалось, например, в известной брошюре Аналитик епископа Беркли. Огюстен-Луи Коши (1823) определил дифференциал, не обращаясь к атомизму бесконечно малых Лейбница. Вместо этого Коши, следуя Даламберу, перевернул логический порядок Лейбница и его последователей: сама производная стала фундаментальным объектом, определяемым как предел разностных коэффициентов, а дифференциалы затем были определены в терминах этого. То есть можно было определить дифференциал dy выражением

$dy\; =\; f\; \prime \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx\}$

, в котором dy и dx просто новые переменные, принимающие конечные действительные значения, а не фиксированные бесконечно малые, как у Лейбница.

Согласно Бойеру (1959, стр. 12), подход Коши был значительным логическим улучшением по сравнению с бесконечно малым подходом. Лейбница, потому что вместо обращения к метафизическому понятию бесконечно малых величин dy и dx теперь можно было значимо манипулировать точно так же, как и любыми другими реальными величинами. Общий концептуальный подход Коши к дифференциалам остается стандартным в современных аналитических методах лечения, хотя последнее слово о строгости, полностью современное понятие предела, в конечном итоге было связано с Карлом Вейерштрассом.

В физиотерапии, например применяемой Согласно теории термодинамики, точка зрения бесконечно малых все еще преобладает. Курант и Джон (1999, стр. 184) примиряют физическое использование бесконечно малых дифференциалов с их математической невозможностью следующим образом. Дифференциалы представляют собой конечные ненулевые значения, которые меньше степени точности, необходимой для конкретной цели, для которой они предназначены. Таким образом, «физические бесконечно малые» не должны обращаться к соответствующей математической бесконечно малой величине, чтобы иметь точный смысл.

После развития в двадцатом веке математического анализа и дифференциальной геометрии стало ясно, что понятие дифференциала функции может быть расширено множеством способов.. В реальном анализе более желательно иметь дело непосредственно с дифференциалом как с главной частью приращения функции. Это непосредственно ведет к понятию, что дифференциал функции в точке является линейным функционалом приращения Δx. Этот подход позволяет разрабатывать дифференциал (как линейную карту) для множества более сложных пространств, что в конечном итоге приводит к появлению таких понятий, как Фреше или производная Гато. Аналогичным образом, в дифференциальной геометрии дифференциал функции в точке является линейной функцией касательного вектора («бесконечно малое смещение»), что демонстрирует его как своего рода one-form: внешняя производная функции. В нестандартном исчислении дифференциалы рассматриваются как бесконечно малые, которые сами по себе могут быть поставлены на строгую основу (см. дифференциал (бесконечно малый) ).

Дифференциал функции ƒ (x) в точке x 0.

Дифференциал определяется в современных трактовках дифференциального исчисления следующим образом. Дифференциал функции f (x) одной действительной переменной x - это функция df двух независимых вещественных переменных x и Δx, заданная как

$d\; f\; (x,\; \Delta \; x)\; =\; d\; e\; f\; f\; \text{'}(x)\; \Delta \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (x,\; \backslash \; Delta\; x)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; x.\}$

Один или оба аргумента могут быть подавлены, т.е. можно увидеть df (x) или просто df. Если y = f (x), дифференциал также можно записать как dy. Поскольку dx (x, Δx) = Δx, принято писать dx = Δx, так что выполняется следующее равенство:

$df\; (x)\; =\; f\; \prime \; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (x)\; =\; f\; \text{'}(\; x)\; \backslash ,\; dx\}$

Это понятие дифференциала широко применимо, когда ищется линейное приближение к функции, в которой значение приращения Δx достаточно мало. Точнее, если f - дифференцируемая функция в точке x, то разница значений y

$\Delta \; y\; =\; deff\; (x\; +\; \Delta \; x)\; -\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; y\; \{\; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; rm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; f\; (x\; +\; \backslash \; Delta\; x)\; -f\; (x)\}$

удовлетворяет

$\Delta \; y\; =\; f\; \prime \; (x)\; \Delta \; x\; +\; \epsilon \; =\; df\; (x)\; +\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; y\; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; x\; +\; \backslash \; varepsilon\; =\; df\; (x)\; +\; \backslash \; varepsilon\; \backslash ,\}$

, где ошибка ε в приближении удовлетворяет ε / Δx → 0 как Δx → 0. Другими словами, мы имеем приблизительную идентичность

$\Delta \; y\; \approx \; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; y\; \backslash \; приблизительно\; dy\}$

, в которой ошибка может быть сделана сколь угодно малой относительно Δx, ограничив Δx значением быть достаточно маленьким; то есть

$\Delta \; y\; -\; dy\; \Delta \; x\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; y-dy\}\; \{\backslash \; Delta\; x\}\}\; \backslash \; to\; 0\}$

при Δx → 0. По этой причине, дифференциал функции известен как основная (линейная) часть в приращении функции: дифференциал - это линейная функция приращения Δx, и хотя ошибка ε может быть нелинейным, он быстро стремится к нулю, когда Δx стремится к нулю.

Оператор \ Функция	$f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$	$f\; (x,\; y,\; u\; (x,\; y),\; v\; (x,\; y))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y,\; u\; (x,\; y),\; v\; (x,\; y))\}$
дифференциальный	1: $df\; =\; deffx\; \prime \; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; f\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\}\}\; \{=\}\}\; f\; \text{'}\_\; \{x\}\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}$	2: $dxf\; =\; deffx\; \prime \; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \_\; \{x\}\; \backslash !\; f\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\}\}\; \{=\}\}\; f\; \text{'}\_\; \{x\}\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}$ 3: $df\; =\; deffx\; \prime \; dx\; +\; fy\; \prime \; dy\; +\; fu\; \prime \; du\; +\; fv\; \prime \; dv\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; f\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\}\}\; \{=\}\}\; f\; \text{'}\_\; \{x\}\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\; +\; f\text{'}\; \_\; \{y\}\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; y\; +\; f\; \text{'}\_\; \{u\}\; \backslash \; имя\; оператора\; \{d\}\; \backslash !\; u\; +\; f\; \text{'}\_\; \{v\}\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; v\}$
Частная производная	$fx\; \prime \; =\; (1)\; dfdx\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; \_\; \{x\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{(1)\}\}\; \{\}\}\; \{=\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; f\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}\}\}$	$fx\; \prime \; =\; (2)\; dxfdx\; знак\; равно\; \partial \; е\; \partial \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; \text{'}\_\; \{x\}\; \{\backslash \; ov\; erset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{(2)\}\}\; \{\}\}\; \{=\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \_\; \{x\}\; \backslash !\; f\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}\}\; =\; \{\; \backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\}$
Полная производная	$dfdx\; =\; (1)\; fx\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; f\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\; \}\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{(1)\}\}\; \{\}\}\; \{=\}\}\; f\; \text{'}\_\; \{x\}\}$	$dfdx\; =\; (3)\; fx\; \prime \; +\; fu\; \prime \; dudx\; +\; fv\; \prime \; dvdx;\; (fy\; \prime \; dydx\; =\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; f\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}\}\; \{\backslash \; overset\; \{\backslash \; underset\; \{\backslash \; mathrm\; \{(3)\}\}\; \{\; \}\}\; \{=\}\}\; f\; \text{'}\_\; \{x\}\; +\; f\text{'}\; \_\; \{u\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; u\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}\}\; +\; f\; \text{'}\_\; \{v\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; v\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; x\}\};\; (f\; \text{'}\_\; \{y\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; y\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\; \}\; \backslash !\; x\}\}\; =\; 0)\}$

Следуя Goursat (1904, I, §15), для функций более чем одной независимой переменной

$y\; =\; f\; (x\; 1,\dots ,\; xn),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}),\; \backslash ,\}$

частный дифференциал y по любой из переменных x 1 - это основная часть изменения y в результате изменения dx 1 в этой одной переменной. Таким образом, частный дифференциал равен

$\partial \; y\; \partial \; x\; 1\; dx\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; dx\_\; \{1\}\}$

с участием частной производной из y относительно x 1. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным равна полному дифференциалу

$dy\; =\; \partial \; y\; \partial \; x\; 1\; dx\; 1\; +\; \cdots \; +\; \partial \; y\; \partial \; xndxn,\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; dx\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; dx\_\; \{n\},\}$

который является главная часть изменения y в результате изменения независимых переменных x i.

Точнее, в контексте многомерного исчисления, следуя Куранту (1937b), если f - дифференцируемая функция, то определение дифференцируемости, приращение

$\Delta \; y\; =\; deff\; (x\; 1\; +\; \Delta \; x\; 1,\dots ,\; xn\; +\; \Delta \; xn)\; -\; f\; (x\; 1,\dots ,\; xn)\; =\; \partial \; y\; \partial \; x\; 1\; \Delta \; Икс\; 1\; +\; \cdots \; +\; \partial \; Y\; \partial \; xn\; \Delta \; xn\; +\; \epsilon \; 1\; \Delta \; x\; 1\; +\; \cdots \; +\; \epsilon \; n\; \Delta \; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; y\; \{\}\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; f\; (x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}\; +\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{n\})\; -\; f\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\; \backslash \; \backslash \; \{\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; Дельта\; x\_\; \{n\}\; +\; \backslash \; varepsil\; на\; \_\; \{1\}\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{n\}\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, где члены ошибки ε i имеют тенденцию до нуля, когда приращения Δx i вместе стремятся к нулю. Тогда полный дифференциал строго определяется как

$d\; y\; =\; \partial \; y\; \partial \; x\; 1\; \Delta \; x\; 1\; +\; \cdots \; +\; \partial \; y\; \partial \; x\; n\; \Delta \; x\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; Дельта\; x\_\; \{n\}.\}$

Поскольку в этом определении

$dxi\; (\Delta \; x\; 1,\dots ,\; \Delta \; xn)\; =\; \Delta \; xi,\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{i\}\; (\backslash \; Delta\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; точек,\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{n\})\; =\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{i\},\}$

у одного есть

$dy\; =\; \partial \; y\; \partial \; x\; 1\; dx\; 1\; +\; \cdots \; +\; \partial \; y\; \partial \; xndxn.\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; \backslash ,\; dx\_\; \{n\}.\}$

Как и в случае с одной переменной, приблизительное тождество имеет место

$dy\; \approx \; \Delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; Delta\; y\}$

, в котором может быть сделана общая ошибка сколь угодно маленьким относительно $\Delta \; x\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; \Delta \; xn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Delta\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; \}\}\}$сосредоточив внимание на достаточно малых приращениях.

Применение общей разницы к оценке ошибки

При измерении полная разность используется в оценке ошибки Δf функции f на основе ошибок Δx, Δy,... параметров x, y,.... Предполагая, что интервал достаточно короткий, чтобы изменение было приблизительно линейным:

Δf (x) = f '(x) × Δx

и что все переменные независимы, тогда для всех переменных

$\Delta \; f\; =\; fx\; \Delta \; x\; +\; fy\; \Delta \; y\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; f\_\; \{x\}\; \backslash \; Delta\; x\; +\; f\_\; \{y\}\; \backslash \; Delta\; y\; +\; \backslash \; cdots\}$

Это связано с тем, что производная f x по конкретному параметру x дает чувствительность функции f к изменению x, в частности ошибку Δx. Поскольку предполагается, что они независимы, анализ описывает наихудший сценарий. Используются абсолютные значения ошибок компонентов, поскольку после простого вычисления производная может иметь отрицательный знак. Из этого принципа выводятся правила ошибок суммирования, умножения и т. Д., Например:

Пусть f (a, b) = a × b;

Δf = f a Δa + f b Δb; оценка производных

Δf = bΔa + aΔb; делением на f, которое равно a × b

Δf / f = Δa / a + Δb / b

То есть при умножении общая относительная ошибка является суммой относительных погрешности параметров.

Чтобы проиллюстрировать, как это зависит от рассматриваемой функции, рассмотрим случай, когда вместо этого функция f (a, b) = a ln b. Затем можно вычислить, что оценка ошибки составляет

Δf / f = Δa / a + Δb / (b ln b)

с дополнительным коэффициентом ln b, не обнаруженным в случае простого продукта. Этот дополнительный фактор имеет тенденцию делать ошибку меньше, поскольку ln b не так велик, как голое b.

Дифференциалы высшего порядка функции y = f (x) одной переменной x могут быть определены как:

$d\; 2\; y\; =\; d\; (dy)\; знак\; равно\; d\; (f\; \prime \; (x)\; dx)\; =\; (df\; \prime \; (x))\; dx\; =\; f\; ″\; (x)\; (dx)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{2\}\; y\; =\; d\; (dy)\; =\; d\; (f\; \text{'}(\; x)\; dx)\; =\; (df\; \text{'}(x))\; dx\; =\; f\text{'}\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; (dx)\; ^\; \{2\},\}$

и, в общем,

$dny\; =\; f\; (n)\; (x)\; (dx)\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{n\}\; y\; =\; f\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; \backslash ,\; (dx)\; ^\; \{n\}.\}$

Неформально это мотивирует обозначение Лейбница для производных более высокого порядка

$f\; (\; п)\; (х)\; =\; dnfdxn.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\; f\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}.\}$

Когда самой независимой переменной x разрешено зависеть от других переменных, то выражение становится более сложным, так как оно должно включать в себя также дифференциалы более высокого порядка по x. Так, например,

$d\; 2\; y\; =\; f\; ″\; (x)\; (dx)\; 2\; +\; f\; \prime \; (x)\; d\; 2\; xd\; 3\; y\; =\; f\; ‴\; (x)\; (dx)\; 3\; +\; 3\; f\; ″\; (x)\; dxd\; 2\; Икс\; +\; F\; \text{'}(Икс)\; d\; 3\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Выровнено\}\; d\; ^\; \{2\}\; y\; =\; f\text{'}\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; (dx)\; ^\; \{2\}\; +\; f\text{'}\; (x)\; d\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \backslash \; d\; ^\; \{3\}\; y\; =\; f\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; (dx)\; ^\; \{3\}\; +\; 3f\text{'}\; \text{'}(x)\; dx\; \backslash ,\; d\; ^\; \{2\}\; x\; +\; f\text{'}\; (x)\; d\; ^\; \{3\}\; x\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и так далее.

Аналогичные соображения применимы к определению дифференциалов более высокого порядка функций нескольких переменных. Например, если f является функцией двух переменных x и y, то

$dnf\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; \partial \; nf\; \partial \; xk\; \partial \; yn\; -\; k\; (dx)\; k\; (dy)\; n\; -\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{n\}\; f\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{n\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{nk\}\}\}\; (dx)\; ^\; \{k\}\; (dy)\; ^\; \{nk\},\}$

где $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \}$- биномиальный коэффициент. Для большего количества переменных справедливо аналогичное выражение, но с соответствующим полиномиальным разложением, а не биномиальным разложением.

Дифференциалы более высокого порядка в нескольких переменных также становятся более сложными, когда независимым переменным разрешается зависят от других переменных. Например, для функции f от x и y, которая может зависеть от вспомогательных переменных,

$d\; 2\; f\; =\; (\partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; (dx)\; 2\; +\; 2\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; \partial \; ydxdy\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2\; (dy)\; 2)\; +\; \partial \; f\; \partial \; xd\; 2\; x\; +\; \partial \; f\; \partial \; yd\; 2\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{2\}\; f\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; (dx)\; ^\; \{2\}\; +2\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial)\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \backslash \; partial\; y\}\}\; dx\; \backslash ,\; dy\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; (dy)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; y.\}$

Из-за этого Адамар 1935, который сделал вывод:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

$d\; 2\; z\; =\; rdx\; 2\; +\; 2\; sdxdy.\; +\; tdy\; 2?\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{2\}\; z\; =\; r\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{2\}\; +\; 2s\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; +\; t\; \backslash ,\; dy\; ^\; \{2\}\; \backslash ,?\}$

A mon avis, rien du tout.

То есть: Наконец, что означает или представляет равенство [...]? На мой взгляд, вообще ничего. Несмотря на этот скептицизм, дифференциалы более высокого порядка действительно стали важным инструментом анализа.

В этих контекстах дифференциал n-го порядка функции f, применяемой к приращению Δx, определяется как

$dnf\; (x,\; \Delta \; x)\; =\; dndtnf\; (x\; +\; t\; \Delta \; x)\; |\; t\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{n\}\; f\; (x,\; \backslash \; Delta\; x)\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dt\; ^\; \{n\}\}\}\; f\; (x\; +\; t\; \backslash \; Delta\; x)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\}$

или эквивалентное выражение, например

$lim\; t\; \to \; 0\; \Delta \; t\; \Delta \; xnftn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \_\; \{t\; \backslash \; Delta\; x\}\; ^\; \{n\}\; f\}\; \{t\; ^\; \{n\}\}\}\}$

где $\Delta \; t\; \Delta \; xnf\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{t\; \backslash \; Delta\; x\}\; ^\; \{n\}\; f\}$- n-я прямая разность с приращением tΔx.

Это определение также имеет смысл, если f является функцией нескольких переменных (для простоты взято здесь как векторный аргумент). Тогда n-й дифференциал, определенный таким образом, является однородной функцией степени n в векторном приращении Δx. Кроме того, ряд Тейлора функции f в точке x задается формулой

$f\; (x\; +\; \Delta \; x)\; \sim \; f\; (x)\; +\; df\; (x,\; \Delta \; x)\; +\; 1\; 2\; d\; 2\; f\; (\; х,\; \Delta \; х)\; +\; \cdots \; +\; 1\; п!\; dnf\; (x,\; \Delta \; x)\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; \backslash \; Delta\; x)\; \backslash \; sim\; f\; (x)\; +\; df\; (x,\; \backslash \; Delta\; x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; d\; ^\; \{2\}\; f\; (x,\; \backslash \; Delta\; x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; d\; ^\; \{n\}\; f\; (x,\; \backslash \; Delta\; x)\; +\; \backslash \; cdots\}$

Высший порядок Gateaux производная обобщает эти соображения на бесконечномерные пространства.

Ряд свойств дифференциала прямо следует из соответствующих свойств производной, частной производной и полной производной. К ним относятся:

• Линейность : для констант a и b и дифференцируемых функций f и g

$d\; (a\; f\; +\; b\; g)\; =\; a\; d\; f\; +\; b\; d\; g.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (af\; +\; bg)\; =\; a\; \backslash ,\; df\; +\; b\; \backslash ,\; dg.\}$

• Правило продукта : для двух дифференцируемых функций f и g

$d\; (f\; g)\; =\; f\; d\; g\; +\; g\; d\; f.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (fg)\; =\; f\; \backslash ,\; dg\; +\; g\; \backslash ,\; df.\}$

Операция d с этими двумя свойствами известна в абстрактной алгебре как вывод. Они подразумевают правило мощности

$d\; (fn)\; =\; nfn\; -\; 1\; df\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (f\; ^\; \{n\})\; =\; nf\; ^\; \{n-1\}\; df\}$

Кроме того, различные формы правило цепочки соблюдается с возрастающей степенью общности:

• Если y = f (u) - дифференцируемая функция переменной u, а u = g (x) - дифференцируемая функция от x, то

$dy\; =\; f\; \prime \; (u)\; du\; =\; f\; \prime \; (g\; (x))\; g\; \prime \; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; f\; \text{'}(u)\; \backslash ,\; du\; =\; f\text{'}\; (g\; (x))\; g\; \text{'}(x)\; \backslash ,\; dx.\}$

• Если y = f (x 1,..., x n) и все переменные x 1,..., x n зависят от другой переменной t, затем от цепное правило для частных производных,

$dy\; =\; dydtdt\; =\; \partial \; y\; \partial \; x\; 1\; dx\; 1\; +\; \cdots \; +\; \partial \; y\; \partial \; xndxn\; =\; \partial \; y\; \partial \; x\; 1\; dx\; 1\; dtdt\; +\; \cdots \; +\; \partial \; y\; \partial \; xndxndtdt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; dy\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; dt\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; dx\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; dx\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{1\; \}\}\; \{dt\}\}\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{n\}\}\; \{dt\}\}\; \backslash ,\; dt.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Эвристически правило цепочки для нескольких переменных можно понять, разделив обе части этого уравнения на бесконечно малую величину dt.

• Справедливы более общие аналогичные выражения, в которых промежуточные переменные x i зависят от более чем одной переменной.

Для функции f: R→ Rмежду двумя евклидовыми пространствами можно разработать непротиворечивое понятие дифференциала. Пусть x,Δx∈ Rбудет парой евклидовых векторов. Приращение функции f равно

$\Delta \; f\; =\; f\; (x\; +\; \Delta \; x)\; -\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\; -f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}).\}$

Если существует матрица m × n A такое, что

$\Delta \; е\; =\; A\; \Delta \; x\; +\; \Vert \; \Delta \; x\; \Vert \; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; A\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; \backslash \; |\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; \backslash \; varepsilon\}\}\}$

, в котором вектор ε → 0 при Δ x → 0, тогда f по определению дифференцируема в точке x . Матрица A иногда известна как матрица Якоби, а линейное преобразование, которое связывает с приращением Δ x∈ Rвектор AΔ x∈ R, в этой общей настройке известно как дифференциал df (x) функции f в точке x. Это в точности производная Фреше, и ту же конструкцию можно заставить работать для функции между любыми банаховыми пространствами.

. Другая плодотворная точка зрения - определить дифференциал непосредственно как своего рода производная по направлению :

$df\; (x,\; h)\; =\; lim\; t\; \to \; 0\; f\; (x\; +\; th)\; -\; f\; (x)\; t\; =\; ddtf\; (x\; +\; th)\; |\; T\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{h\})\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; t\; \backslash \; mathbf\; \{h\})\; -f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}\; \{t\}\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; t\; \backslash \; mathbf\; \{h\})\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\},\}$

который уже используется для определения дифференциалов более высокого порядка (и наиболее близок к определению, данному Коши). Если t представляет время и x положение, тогда h представляет скорость вместо смещения, как мы до сих пор его рассматривали. Это дает еще одно уточнение понятия дифференциала: он должен быть линейной функцией кинематической скорости. Набор всех скоростей через данную точку пространства известен как касательное пространство, и поэтому df дает линейную функцию на касательном пространстве: дифференциальную форму. При такой интерпретации дифференциал f известен как внешняя производная и имеет широкое применение в дифференциальной геометрии, поскольку понятие скоростей и касательного пространства имеет смысл на любом дифференцируемое многообразие. Если, кроме того, выходное значение f также представляет положение (в евклидовом пространстве), то размерный анализ подтверждает, что выходное значение df должно быть скоростью. Если рассматривать дифференциал таким образом, то он известен как продвижение вперед, поскольку он «толкает» скорости из исходного пространства в скорости в целевом пространстве.

Хотя понятие наличия бесконечно малого приращения dx не совсем четко определено в современном математическом анализе, существует множество методов для определения бесконечно малый дифференциал, так что дифференциал функции может быть обработан способом, который не противоречит нотации Лейбница. К ним относятся:

• Определение дифференциала как разновидности дифференциальной формы, в частности, внешней производной функции. Бесконечно малые приращения затем идентифицируются с векторами в касательном пространстве в точке. Этот подход популярен в дифференциальной геометрии и связанных областях, поскольку он легко обобщается на отображения между дифференцируемыми многообразиями.
• Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец. Этот подход популярен в алгебраической геометрии.
• Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий инфинитезимальный анализ и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи из теории топосов используются, чтобы скрыть механизмы, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые числа.
• Дифференциалы как бесконечно малые в системах гиперреальных чисел, которые являются расширениями действительных чисел, которые содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые предложенный Абрахамом Робинсоном.

Дифференциалы могут быть эффективно использованы в численном анализе для изучения распространения экспериментальных ошибок в расчетах и, следовательно, общей числовой устойчивости задачи (Courant 1937a). Предположим, что переменная x представляет собой результат эксперимента, а y - результат численного вычисления, примененного к x. Вопрос в том, в какой степени ошибки в измерении x влияют на результат вычисления y. Если x известен с точностью до Δx своего истинного значения, то теорема Тейлора дает следующую оценку ошибки Δy при вычислении y:

$\Delta \; y\; =\; f\; \prime \; (x)\; \Delta \; x\; +\; (\Delta \; x)\; 2\; 2\; f\; ″\; (\xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; y\; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash \; Delta\; x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; Delta\; x)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; f\text{'}\; \text{'}(\backslash \; xi)\}$

где ξ = x + θΔx для некоторого 0 < θ < 1. If Δx is small, then the second order term is negligible, so that Δy is, for practical purposes, well-approximated by dy = f'(x)Δx.

Дифференциал часто бывает полезен для переписывания дифференциального уравнения

$dydx\; =\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\; \}\}\; =\; g\; (x)\}$

в форме

$dy\; =\; g\; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; dy\; =\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx,\}$

, в частности, когда нужно разделите переменные.

1. ^Подробное историческое описание дифференциала см. в Boyer 1959, особенно на странице 275, где представлен вклад Коши по этому вопросу. Сокращенный отчет появляется в Клайн 1972, Глава 40.
2. ^Коши явно отрицал возможность фактических бесконечно малых и бесконечных величин (Boyer 1959, pp. 273–275) и взял радикально другая точка зрения, что «переменная величина становится бесконечно малой, когда ее числовое значение неограниченно уменьшается таким образом, чтобы сходиться к нулю» (Коши 1823, стр. 12; перевод из Boyer 1959, с. 273).
3. ^Boyer 1959, p. 275
4. ^Boyer 1959, p. 12: «Определенные таким образом дифференциалы являются только новыми переменными, а не фиксированными бесконечно малыми…»
5. ^Курант 1937a, II, §9: «Здесь мы просто мимоходом отметим, что можно использовать это приближенное представление приращения Δy линейным выражением hf (x) для построения логически удовлетворительного определения «дифференциала», как это было сделано, в частности, Коши ».
6. ^Boyer 1959, p. 284
7. ^См., Например, влиятельные трактаты Courant 1937a, Kline 1977, Goursat 1904 и Hardy 1905 harvnb ошибка: нет цели: CITEREFHardy1905 (справка ). Третичные источники для этого определения включают также Толстов 2001 harvnb error: no target: CITEREFTolstov2001 (help ) и Itô 1993, §106.
8. ^Коши 1823. См. Также, например, Goursat 1904, I, §14.
9. ^Goursat 1904, I, §14
10. ^В частности, для бесконечномерной голоморфии (Hille Phillips 1974) и численного анализа через исчисление конечных разностей.
11. ^Goursat 1904, I, §17
12. ^Goursat 1904, I, §§14,16
13. ^Eisenbud Harris 1998.
14. ^См. Kock 2006 и Moerdijk Reyes 1991.
15. ^См. Robinson 1996 и Keisler 1986.

• Boyer, Carl B. (1959), История математического анализа и его концептуальное развитие, Нью-Йорк: Dover Publications, MR 0124178.
• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les Applications du Calcul infinitésimal, заархивировано из исходного 04.05.2009, извлечено 19.08.2009.
• Курант, Ричард (1937a), Дифференциальный и интегральный исчисление. Vol. I, Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558.
• Курант, Ричард (1937b), Дифференциальное и интегральное исчисление. Vol. II, Wiley Classics Library, Нью-Йорк: John Wiley Sons (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-471-60840-0, MR 1009559.
• Курант, Ричард ; Джон, Фриц (1999), Introduction to Calculus and Analysis Volume 1, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65058-X, MR 1746554
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Фреше, Морис (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 3, 42 : 293–323, ISSN 0012- 9593, MR 1509268.
• Гурса, Эдуард (1904), Курс математического анализа: Том 1: Производные и дифференциалы, определенные интегралы, разложение в ряды, приложения к геометрии, Э. Р. Хедрик, Нью-Йорк: Dover Publications (опубликовано в 1959 г.), MR 0106155.
• Адамар, Жак (1935 г.), «La notion de différentiel dans l'enseignement», Mathematical Gazette, XIX (236): 341–342, JSTOR 3606323.
• Харди, Годфри Гарольд (1908), Курс чистой математики, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09227-2.
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, MR 0423094.
• Ито, Киёси (1993), Энциклопедический словарь математики (2-е изд.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4.
• Клайн, Моррис (1977), "Глава 13 : Дифференциалы и закон среднего », Исчисление: интуитивный и физический подход, Джон Уайли и сыновья.
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней (3-й ред.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN 978-0-19-506136-9
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: подход бесконечно малых (2-е изд.).
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
• Мурдейк, И. ; Рейес, Г. (1991), Модели для гладкого инфинитезимального анализа, Springer-Verlag.
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3.
• Толстов Г.П. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.

• Differential Of A Function в Wolfram Demonstrations Project