Анализ экспериментальной неопределенности

редактировать

Анализ экспериментальной неопределенности - это метод, который анализирует производные значения на основе неопределенностей в экспериментально измеренных величинах, которые используются в некоторой математического отношения («модель ») для вычисления производной формы. Модель, используемая для преобразования измерений в производную деятельность, обычно на основе фундаментальныхпринциповах или инженерной дисциплины.

Неопределенность состоит из двух компонентов, а именно из-за ущерба (связанного с точностью ) и неизбежного случайного отклонения, возникающего при выполнении повторных измерений (связанного с точностью ). Измеренные величины могут иметь с ущербом, и они, безусловно, имеют случайные вариации, необходимо решить, как они «распространяются» на неопределенность производной величины. Анализ неопределенностичасто называют «распространением ошибки ».

Будет видно, что это сложная и иногда трудноразрешимая проблема при детальном рассмотрении. К счастью, достигаются приближенные решения, достигаются очень полезные результаты, и эти приближения будут обсуждаться в практическом экспериментальном примере.

Содержание

1 Введение
2 Анализ систематической ошибки / нарушения / чувствительности
- 2.1 Введение
- 2.2 Ошибки чувствительности
- 2.3 Прямое (точное)вычисление с ущербом
- 2.4 Линеаризованное приближение; Введение
- 2.5 Линеаризованное приближение; примерного изменения
- 2.6 Линеаризованное приближение; пример частичного изменения
- 2.7 Таблица результатов
3 Случайная погрешность / точность
- 3.1
- 3.2 Производственная величина PDF
- 3.3 Линеаризованные аппроксимации для среднего и дисперсии производной величины
- 3.4 Матричный формат приближение дисперсии
- 3.5 Линеаризованное приближение: простой пример длядисперсии
- 3.6 Линеаризованное приближение: пример маятника, среднее
- 3.7 Линеаризованное приближение: пример маятника, дисперсия
- 3.8 Линеаризованное приближение: пример маятника, относительная погрешность ()
- 3.9 Линеаризованное приближение: пример маятника, проверка симуляции
4 Выбор метода анализа данных
- 4.1 Введение
- 4.2 Размер выборки
5 Обсуждение
6 Вывод уравнений распространения ошибок
- 6.1 Краткое описание процедуры
- 6.2 Многомерный рядТейлора
- 6.3 Пример разложения: p = 2
- 6.4 Аппроксимация для среднего z
- 6.5 Аппроксимация для дисперсии z
7 Таблица выбранных соотношений н еопределенности
- 7.1 Одномерный случай 1
- 7.2 Одномерный случай 2
- 7.3 Одномерный случай 3
- 7.4 Многомерный случай 1
- 7.5 Многомерный случай 2
8 Галерея рисунков
9 См. также
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Введение

Вместо того, чтобы использовать набор условий, эта статья будет размещенанатестовой экспериментальной неопределенности лабораторного эксперимента студентов по физике, в котором маятник используется для оценки значения локального ускорение свободного падения постоянная g. Соответствующее уравнение для идеализированного простого маятника примерно таково:

T = 2 π L g [1 + 1 4 sin 2 ⁡ (θ 2)] E q (1) {\ displaystyle T \, = \, 2 \, \ pi \, {\ sqrt {L \ over g}} \, \, \ left [{1 \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 4} \ sin ^ {2} \ left ({ \ theta \over 2}\ right) \,} \ right] {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (1)}}}

T\,=\,2\,\pi \,\sqrt {{L \over g}} \,\,\left[ {1\,\,\, + \,\,\,{1 \over 4}\sin ^2 \left( {{\theta \over 2}} \right)\,} \right]{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(1) }}

где T - период колебаний (секунды), L - длина (метры), а θ - начальный угол. Временная θ - единственная зависящая от времени координата этой системы, может быть лучше использовать θ 0 для обозначения начального (начального) угла смещения, но это будет более удобно для обозначения, чтобы опустить нижний индекс. Решая уравнение (1) относительно константы g,

g ^ = 4 π2 LT 2 [1+ 1 4 sin 2 ⁡ (θ 2)] 2 E q (2) {\ displaystyle {\ hat {g}} \, = \, {{4 \, \ pi ^ {2} L} \ over {T ^ {2}}} \, \, \ left [{\, 1 \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 4} \ sin ^ {2} \ left ({\ theta \ over 2} \ right) \,} \ right] ^ {2} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (2)}}}

\hat g\, = \,{{4\,\pi ^2 L} \over {T^2 }}\,\,\left[ {\,1\,\,\, + \,\,\,{1 \over 4}\sin ^2 \left( {{\theta \over 2}} \right)\,} \right]^2{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(2)}}

Это уравнение или модель, которая будет работать для оценки g по наблюдаемым данным. Будет некоторое небольшое смещение, внесенное в оценку из-за того, что член в скобках - это только первые двачлена ряда, но в практических экспериментах это смещение может быть и будет таким: игнорируется.

Процедура состоит в том, чтобы измерить длину L маятника и выполнить повторные измерения периода T, каждый раз начиная с движения маятника с одного и того же начального угла с нарушением θ. Повторные измерения T усредняются и используются в уравнении (2) для получения оценки g. Уравнение (2) является средством перехода от измеренных величин L, T и θ к производнойвеличине g.

Обратите внимание, что альтернативным подходом было бы преобразование всех индивидуальных измерений T в оценке с использованием уравнения (2), а затем усреднение этих значений g для получения окончательного результата. Это было бы нецелесообразно без какой-либо формы механизированных вычислительных возможностей (например, компьютера или калькулятора), как объем численных расчетов при оценке уравнений (2) для многих случаев утомительным и подверженным ошибкам. Какой изэтих подходовявляетсяпредпочтительным в статистическом смысле, будет рассмотрен ниже.

Анализ систематических ошибок / с ущерба / чувствительности

Введение

Сначала будут рассмотрены возможные источники ущерба. Необходимо измерить три величины: (1) длину маятника от точки его подвеса до центра масс «боба»; (2) период колебаний; (3) начальный угол с ущерба. Предполагается, что в этом эксперименте длина фиксирована и должна быть измерена один раз, хотя можно было быпровестиповторныеизмерения и усреднить результаты.

Первый угол должен быть установлен для каждого повторного измерения периода T, и этот угол должен быть постоянным. Часто начальный угол сохраняется небольшим (менее примерно 10 градусов), так что поправка на этот угол считается незначительной; т.е. член в скобках в уравнении (2) равным единице. Однако для изучаемого здесь эксперимента эта поправка представляет интерес, так как типичное начальное значение ущерба может составлять от30 до 45градусов.

Предположим, что это был случай, неизвестный ученикам, что размеры были слишком малы, скажем, на 5 мм. Это могло произойти из-за неисправного измерительного устройства (например, измерительной линейки) или, что более вероятно, из-за систематической ошибки при использовании этого устройства при измерении L. Это могло произойти, если бы студенты забыли измерить центр масс боба, а вместо этого постоянно измеряется до точки, где к нему прикреплена веревка.Такимобразом, этаошибка не случайна; это происходит каждый раз, когда измеряется длина.

Далее, период колебания T может страдать от систематической ошибки, если, например, ученики постоянно неправильно рассчитывают возвратно-поступательные движения маятника, чтобы получить целое число циклов. (Часто экспериментальная процедура требует отсчета времени для нескольких циклов, например, пяти или десятичного, а не только одного цифрового секундомера.), Который они использовали, былаэлектронная проблема, ион постоянно считывал слишком большое значение, скажем, на 0,02 секунды. Конечно, будут также случайные временные вариации; этот вопрос будет рассмотрен позже. Здесь беспокойство последовательная, систематическая, неслучайная ошибка периода колебания маятника.

Наконец, начальный угол можно измерить с помощью простого транспортира. Трудно позиционировать и считывать начальный угол с высокой точностью (или прецизионностью, если на то пошло; это измерение имеетплохую воспроизводимость ). Предположим, что учащиеся постоянно устанавливаетюттир, так что значение угла слишком мало, скажем, на 5 градусов транспортируется. Тогда все начальные угловые измерения смещаются на эту часть.

Ошибки чувствительности

Однако известны ошибки, пока эксперимент продолжается. Если бы было известно, например, что измерения были занижены на 5 мм, студенты могли либо исправить свою ошибку измерения, либо добавить 5 мм к своим данным, чтобыустранитьсмещение. Скорее, более важно изучить эффекты неслучайных систематических ошибок до проведения эксперимента. Это форма анализа чувствительности.

Идея состоит в том, чтобы получить или частичное изменение производной величины, здесь g, при условии, что измеренные величины смещены на некоторую заданную величину. Например, если начальный угол был постоянно малым на 5 градусов, как это повлияло бы на расчетное значение g? Если длина постоянно меньше на 5 мм, как изменится оценкаg? Еслиизмерения периода слишком велики на 0,02 секунды, насколько изменится расчетное значение постоянно g? Что произойдет с оценкой g, если эти с проблемами возникают в различных комбинациях?

Одна из причин для изучения этих вопросов заключается в том, что план эксперимента в смысле того, какое оборудование и процедуры будут рассмотрены (а не в статистическом смысле, который будет рассмотрен позже), зависит от относительного систематических ошибок в измеряемых величинах.Еслисмещение начального угла в 5 градусов вызовет неприемлемое изменение оценки g, то, возможно, для этого измерения необходимо применить более сложный и точный метод. С другой стороны, если до проведения эксперимента показать, что этот угол незначительно влияет на g, то использование транспортира допустимо.

Еще одна мотивация для этой формы анализа чувствительности возникает после того, как эксперимент проведен, и проведен анализ данных, показывает смещение в оценке g. Изучение g,этоможет вызвать изменение в результате нарушения нескольких входных параметров, то есть измеренных величин, может привести к пониманию того, что вызвало изменение в оценке g. Этот анализ может помочь выявить такие проблемы, как измерения, проблемы с оборудованием, неверные предположения о модели и т. Д.

Прямой (точный) расчет с ущербом

Самый простой, чтобы не сказать очевидно, способ приблизиться к этому состоял бы в том, чтобы напрямую вычислить изменение, используяуравнение ( 2) дважды, один с теоретическими смещенными значениями и снова с истинными несмещенными значениями параметров:

Δ g ^ = g ^ (L + Δ L, T + Δ T, θ + Δ θ) - g ^ (L, T, θ) E q (3) {\ displaystyle \ Delta {\ hat {g}} \, \, \, = \, \, \, \, {\ hat {g}} \ left ({L + \ Delta L, \, \, \, T + \ Delta T, \, \, \, \ theta + \ Delta \ theta} \ right) \, \, \, - \, \, \, {\ hat {g}} \ left ({L, \, \, T, \, \, \ theta} \ right) {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (3)}}}

\Delta \hat g\,\,\,= \,\,\,\,\hatg\left( {L + \Delta L,\,\,\,T + \Delta T,\,\,\,\theta + \Delta \theta } \right)\,\,\, - \,\,\,\hat g\left( {L,\,\,T,\,\,\theta } \right){\math bf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(3)}}

где ΔL и т.Д.Представляют с уровня в соответствующих измеренных величинах. (Карат над g означает оценочное значение g.) Сделать это более конкретным, рассмотрим идеализированный маятник длиной 0,5 метра с начальным углом с углом 30 градусов; из уравнения (1) период будет 1,443 секунды. Предположим, что за ущерб составляет -5 мм, -5 градусов и +0,02 секунды для L, θ и T соответственно. Кроме того, сначала только смещение длины ΔL как таковое,

Δ g ^ = g ^ (0,495, 1,443, 30) - g ^ (0,500, 1,443, 30) =-0,098 м / с 2 {\ displaystyle \ Delta { \ hat {g}} \, \, \, = \, \, \, {\ hat {g}} \ left ({0.495, \, \, \, 1.443, \, \, \, 30} \ справа) \, \, \, - \, \, \, {\ hat {g}} \ left ({0.500, \, \, 1.443, \, \, 30} \ right) \, \, \, = \, \, \, - 0.098 {\ rm {\, \, \, m / s ^ {2}}}}

\Delta {\hat {g}}\,\,\,=\,\,\,{\hat {g}}\left({0.495,\,\,\,1.443,\,\,\,30}\right)\,\,\,-\,\,\,{\hat {g}}\left({0.500,\,\,1. 443,\,\,30}\right)\,\,\,=\,\,\,-0.098{\rm {\,\,\,m/s^{2}}}

и для этого и других параметров T и θ изменений g записываются в Таблица 1.

Обычно при проверке чувствительности выражаются в виде долей (или процентов). Тогда точное дробное изменение в g равно

Δ g^g ^ = g ^ (L + Δ L, T + Δ T, θ + Δ θ) - g ^ (L, T, θ) g ^ (L, T, θ) E q (4) {\ Displaystyle {{\ Delta {\ hat {g}}} \ над {\ hat {g}}} \, \, \, = \, \, \, \, {{ {\ hat {g}} \ left ({L + \ Delta L, \, \, \, T + \ Delta T, \, \, \, \ theta + \ Delta \ theta} \ right) \, \, \, - \, \, \, {\ hat {g}} \ left ({L, \, \, T, \, \, \ theta} \ right)} \ over {{\ hat {g}} \ left ({L, \, \, T, \, \, \ theta} \ right)}} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, Eq (4)}}}

{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\, = \,\,\,\,{{\hat g\left( {L + \Delta L,\,\,\,T + \Delta T,\,\,\,\thet a + \Delta \theta } \right)\,\,\, - \,\,\,\hat g\left( {L,\,\,T,\,\,\theta } \right)} \over {\hat g\left( {L,\,\,T,\,\,\theta } \right)}}{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(4)}}

Результаты этих расчетов дляпримерамаятниковой системы сведены в Таблицу 1.

Линеаризованное приближение; введение

Далее предположим, что нецелесообразно использовать прямой подход для определения зависимости производной величины (g) от входных измеренных параметров (L, T, θ). Есть ли альтернативный метод? Из расчетов здесь полезна концепция общая дифференциала :

dz = ∂ z ∂ x 1 dx 1 + ∂ z ∂ x 2 dx 2 + ∂ z ∂ x 3 dx 3 + ⋯ = ∑ я знак равно 1 п ∂ Z ∂ xidxi E q (5) {\ displaystyle dz = {{\partial z}\ over {\ partial x_ {1}}} dx_ {1} \, \, \, + \, \, \, { {\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} dx_ {2} \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {3}}} dx_ {3} \, \, \, + \, \, \, \ cdots \, \, \, \, \, = \, \, \, \ sum \ limits _ {i \, \, = \, \, 1} ^ {p} {\, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {i}}} dx_ {i}} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (5)}}}

dz = {{\partial z} \over {\partial x_1 }}dx_1 \,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_2 }}dx_2 \,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_3 }}dx_3 \,\,\, + \,\,\, \cdots \,\,\,\,\, = \,\,\,\sum\limits_{i\,\, = \,\,1}^p {\,{{\partial z} \over {\partial x_i }}dx_i }{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(5)}}

где z - некоторая функция нескольких (p) чисел x. Символ ∂z / ∂x 1 представляет«частнуюпроизводную » функции z по одним из нескольких чисел x, которые имеют значение на z. Для настоящей цели поиск этой производной непрерывной системы, кроме той, которая включает в себя первое производное обычным способом (который может и часто включает в себя правило цепочки ). Функции, которые включают углы, как в уравнении (2), углы должны быть измерены в радианах..

Уравнение (5) - это линейная функция, которая аппроксимирует, например, кривая вдвух измеренийх.(p = 1) касательной в точке на этой кривой или в трех измерениях (p = 2) аппроксимирует эту поверхность касательной плоскостью в точке на поверхности. Идея состоит в том, что полное изменение z в непосредственной близости от конкретной точки находится из уравнения (5). На практике используются конечные разности, а не дифференциалы, так что

Δ z ≈ ∂ z ∂ x 1 Δ x 1 + ∂ z ∂ x 2 Δ x 2 + ∂ z ∂ x 3 Δ x 3 + ⋯ = ∑ я знак равно 1 п ∂ Z ∂ xi Δ xi EQ (6) {\ displaystyle \ Delta z \приблизительно {{\partial z} \ over {\ partial x_ {1}}} \ Delta x_ {1} \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} \ Delta x_ {2} \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z} \ над {\ partial x_ {3}}} \ Delta x_ {3} \, \, \, + \, \, \, \ cdots \, \, \, \, \, \, = \, \, \, \ sum \ limits _ {i \, \, = \, \, 1} ^ {p} {\, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {i}}} \ Delta x_ {i}} {\ mathbf {\, ​​\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (6)}}}

\Delta z \approx {{\partial z} \over {\partial x_1 }}\Delta x_1 \,\,\, + \,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_2 }}\Delta x_2 \,\,\, + \,\,\,{{\part ial z} \over {\partial x_3 }}\Delta x_3 \,\,\, + \,\,\, \cdots \,\,\,\,\, = \,\,\,\sum\limits_{i\,\, = \,\,1}^p {\,{{\partial z} \over {\partial x_i }}\Delta x_i }{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(6)}}

и это работает очень хорошо, покаприращения Δxдостаточно малы. Даже сильно изогнутые функции почти линейны в небольшой области. Тогда дробное изменение равно

Δ zz ≈ 1 z ∑ i = 1 p ∂ z ∂ xi Δ xi E q (7) {\ displaystyle {{\ Delta z} \ over z} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, {1 \ over z} \, \, \ sum \ limits _ {i \, \, = \, \, 1} ^ {p} {\, {{\ partial z} \ over {\ частичный x_ {i}}} \ Delta x_ {i}} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (7)}}}

{{\ Delta z} \ over z} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, {1 \ over z} \, \, \ сумма \ limits_ {i \, \, = \, \, 1} ^ p {\, {{\ partial z} \ over{\ partial x_i}} \ Delta x_i} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (7)}}

Альтернативный, полезный способуравнения уравнения (6)использует векторно-матричный формализм:

Δ z ≈ (∂ z ∂ x 1 ∂ z ∂ Икс 2 ∂ Z ∂ Икс 3 ⋯ ∂ Z ∂ xp) (Δ x 1 Δ x 2 Δ x 3 ⋮ Δ xp) E q (8) {\ displaystyle \ Delta z \, \, \ ок. \, \, {\ begin {pmatrix} {\ partial z \ over \ partial x_ {1}} {\ partial z \ over \ partial x_ {2}} {\ partial z \ over \ partial x_ {3} } \ cdots {\ partial z \ over \ partial x_ {p}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ Delta x_ {1}} \\ {\ Delta x_ {2}} \\ {\ Delta x_ {3}} \\ {\ vdots} \\{\ Delta x_ {p}} \ end {pmatrix}} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (8)}}}

\Delta z\,\, \approx \,\, \begin{pmatrix} {\partial z \over \partial x_1} {\partial z \over \partial x_2} {\partial z \over\partial x_3} \cdots {\partial z \over\partial x_p} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\Delta x_1 } \\ {\Delta x_2} \\ {\Delta x_3} \\ {\vdots} \\ {\Delta x_p} \end{pmatrix} {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(8)}}

При применении этих частных производных обратите внимание, что это функции, которые вычисляются в точке, то есть все параметры, которые появляются в частях будут иметь числовые значения. Таким образом, векторное изображение в уравнении (8), например, к единственному числовому значению. Для исследований систематической ошибки значения используются в партиалах истинные значения параметров,поскольку мы аппроксимируемфункцию z в небольшой области этих истинных значений.

Линеаризованное приближение; Пример абсолютного изменения

Возвращаясь к примеру с маятником и примения эти уравнения, изменение в оценке g составляет

Δ g ^ ≈ ∂ g ^ ∂ L Δ L + ∂ g ^ ∂ T Δ T + ∂ g ^ ∂ θ Δ θ EQ (9) {\ Displaystyle \ Delta {\ hat {g}} \, \, \ ок \, \, {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial L} } \ Delta L \, \, \, + \, \, \, {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}}\ Delta T \, \, \, + \, \, \,{{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial \ theta}} \ Delta \ theta {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (9)}}}

\Delta \hat g\,\, \approx \,\,{{\partial \hat g} \over {\partial L}}\DeltaL\,\,\, + \,\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\, + \,\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}\Delta \theta{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(9)}}

и теперь задача состоит в том, чтобы найти частные производные в этом уравнении. Это значительно упростит процесс определения

α (θ) ≡ [1 + 1 4 sin 2 ⁡ (θ 2)] 2 {\ displaystyle \ alpha (\ theta) \, \, \ Equiv \, \, \ left [{ \, 1 \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 4} \ sin ^ {2} \ left ({\ theta \ over 2} \ right) \,} \ right] ^ {2 }}

\alpha (\theta)\,\, \equiv \,\,\left[ {\,1\,\,\, + \,\,\,{1\over 4}\sin ^2 \left( {{\theta \over 2}} \right)\,} \right]^2

Переписав уравнение (2) и взявчастичные,

g ^ = 4 π 2 LT 2 α (θ) ∂ g ^ ∂ L = 4 π 2 T 2 α (θ) ∂ g ^ ∂ T = - 8 L π 2 T 3 α (θ) ∂ g ^ ∂ θ = L π 2 T 2 α (θ) ⁡ (θ) E q (10) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {g }} = {{4 \ pi ^ {2} L} \ over {T ^ {2}}} \ alpha (\ theta) \\\\ {{\ partial {\ hat {g}}} \ over { \ partial L}} \, \, = \, \, \, {{4 \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {2}}} \ alpha (\ theta) \ \\\ { {\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} \, \, = \, \, {{- 8 \, L \, \ pi^ {2}} \ над {T ^ {3}}} \ alpha (\ th et a) \\\\ {{\ partial {\ hat {g}}} \ над {\ partial \ theta}} \, \, = \, \, {{L \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {2}}} \, \, {\ sqrt {\ alpha (\ theta)}} \, \, \ sin (\ theta) \\ \\ {\ mathbf {\, \, \, \, уравнение (10) }} \ end {align}}}

\begin{align} \hat g = {{4\pi ^2 L} \over {T^2 }}\alpha (\theta) \\ \\ {{\partial \hat g} \over {\partial L}}\,\, =\,\,\,{{4\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\alpha (\theta)\\ \\ {{\partial \hat g} \over {\partial T}}\,\, = \,\,{{- 8\,L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta)\\ \\ {{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}\,\, = \,\,{{L\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\,\,\sqrt {\alpha (\theta)}\,\,\sin (\theta) \\ \\ {\mathbf{\,\,\,\,Eq(10)}}\end{align}

Подставляя эти производные в уравнение (9),

Δ g ^ ≈ [4 π 2 T 2 α (θ)] Δ L + [- 8 L π 2 T 3 α (θ)] Δ T + [L π 2 T 2 α (θ) (θ)] Δ θ E q (11) {\ displaystyle \ Delta {\ hat {g}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left[{{{4 \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^{2}}}\ alpha (\ theta)} \ right] \, \ Delta L \, \, \, \, \, + \, \, \, \, \, \, \ left [{{{- 8 \, L \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {3}} } \ alpha (\ theta)} \ right] \ Delta T \, \, \, + \, \, \, \, \ left [{{{L \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {2}}} \, \, {\ sqrt {\ alpha (\ theta)}} \, \, \ sin (\ theta)} \ right] \ Delta \ theta {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, Уравнение (11)}}}

\Delta \hat g\,\,\, \approx \,\,\,\left[ {{{4\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\alpha (\theta)} \right]\,\Delta L\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\left[ {{{ - 8\,L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta)} \right]\Delta T\,\,\, + \,\,\,\,\left[ {{{L\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\,\,\sqrt {\alpha (\theta)}\,\,\sin (\theta)} \right]\Delta \th eta{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(11)}}

, а затем применяют те же числовые значения для параметров и смещений, что ираньше, получают результаты в таблице1.Значения достаточно близки к значениям, найденным с помощью уравнений (3), но не точны, за исключением L. Это связано с тем, что может быть введено g линейно с L, что может быть введено из того факта, что частичное по отношен ию к (wrt) L не зависит от L. Таким образом, линейное «приближение» оказывается точным для L. θ более сложным образом является результатом применения цепного правила к α. Кроме того, используя уравнение (10) в уравнении (9),обратите внимание, что угловые меры, включаяΔθ,должны быть преобразованы из градусов в радианы.

Линеаризованное приближение; Пример дробного изменения

Дробное изменение линеаризованного приближения в оценке g составляет, применяя уравнение (7) к примеру маятника,

Δ g ^ g ^ ≈ 1 g ^ ∂ g ^ ∂ L Δ L + 1 г ^ ∂ г ^ ∂ T Δ T + 1 г ^ ∂ g ^ ∂ θ Δ θ {\ displaystyle {{\ Delta {\ hat {g}}} \ over {\ hat {g}}} \, \, \, \, \ ок \, \, \, \, {1 \ over {\ hat {g}}} \, \, {{\ partial {\hat {g}}} \ over {\ partial L }} \ Delta L \,\,\, + \, \, \, \, {1 \ over {\ hat {g}}} \, \, {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} \ Delta T \, \, \, + \, \, \, \, {1 \ over {\ hat {g}}} \, \, {{\ partial {\ hat {g} }} \ over {\ partial \ theta}} \ Delta \ theta}

{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\,\, \approx \,\,\,\,{1 \over {\hat g}}\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial L}}\Delt a L\,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g}}\,\,{{\part ial \hat g} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g}}\,\,{{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}\Delta \theta

, что выглядит очень сложным, но на практике это обычно приводит к простому соотношению для дробного изменения. Таким образом,

Δ g ^ g ^ ≈ [4 π 2 T 2 α (θ) 4 π 2 LT 2 α (θ)] Δ L + [- 8 L π 2 T 3 α (θ) 4 π 2 LT 2 α(θ)] Δ T + [L π 2 T 2 α (θ) грех ⁡ (θ) 4 π 2LT 2α (θ)] Δ θ {\ displaystyle {{\ Delta {\ hat {g}}) } \ over {\ hat {g}}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left [{{{{4 \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {2}} }} \ alpha (\ theta)} \ over {{{4 \, \ pi ^ {2} L} \ over {T ^ {2}}} \ alpha (\ theta)}} \ right] \, \ Delta L \, \, \, \, \, + \, \, \, \, \, \, \ left [{{{{- 8 \, L \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {3}}} \ alpha (\ theta)} \ over {{{4 \, \ pi ^ {2} L} \ over {T ^ {2}}} \ alpha (\ theta)}} \ right]\ Дельта T \, \, \, + \, \, \, \, \ left[{{{{L \, \pi ^ {2}} \ over {T ^ {2}}} \, \, {\ sqrt {\ alpha (\ theta)}} \, \, \ sin (\ theta)} \ over {{{4 \, \ pi ^ {2} L} \ over {T ^ {2}}} \ alpha ( \ theta)}} \ right] \ Delta \ theta}

{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,\left[{{{{{4\,\pi ^2 } \over {T^2 }}\alpha (\theta)} \over {{{4\,\pi ^2 L} \over {T^2 }}\alpha (\theta)}}} \right]\,\Delta L\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\left[ {{{{{ - 8\,L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta)} \over {{{4\,\pi ^2 L} \over {T^2 }}\alpha (\theta)}}} \right ]\Delta T\,\,\, + \,\,\,\,\left[ {{{{{L\,\pi ^2 } \over{T^2 }}\,\,\sqrt {\alpha (\theta)} \,\,\sin (\theta)} \over {{{4\,\pi ^2 L} \over {T^2 }}\alpha (\theta)}}} \right]\Delta \theta

, что сокращается до

Δ g ^ g ^ ≈ Δ LL - 2 Δ TT + sin ⁡ (θ) 4 α (θ) Δ θ {\ displaystyle {{\ Delta {\ hat {g}}} \ over {\ hat {g}}} \, \, \, \ приблизител ьно \, \, \, {{\ Delta L} \ over L} \, \, \, - \, \, \, 2 \, \, {{\ Delta T} \ over T} \, \, \, + \,\, \, {{\ sin (\ theta)} \ over {4 \, {\sqrt {\ alpha ( \ theta)}}}} \ Delta \ theta}

{{\Delta \hat g} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,{{\Delta L} \over L}\,\,\, - \,\,\,2\,\,{{\DeltaT} \over T}\,\,\, + \,\,\,{{\sin (\theta)} \over {4\,\sqrt {\alpha (\theta)} }}\Delta \theta

Это замечательно простой результат, за исключением последнего члена. Разлагая последний член в ряд по θ,

sin ⁡ (θ) 4 [1 + 1 4 sin 2 ⁡ (θ 2)] ≈ θ 4 ⇒ θ 4 Δ θ = θ 2 4 Δ θ θ {\ displaystyle {{\ sin (\ theta)} \ over {4 \ left [{1 \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 4} \ sin ^ {2} \ left ({\ theta \ над 2} \ right)} \ right]}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, {\ theta \ over 4} \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \ Rightarrow \, \, \, \, \, \, \, \,{\ theta \ over4} \, \, \ Delta \ theta \, \, \, = \, \, \, {{\ theta ^ {2}} \ over 4} {{\ Delta \ theta} \ over \ theta}}

{{\sin (\theta)} \over {4\left[ {1\,\,\, + \,\,\,{1 \over 4}\sin ^2 \left({{\theta \over 2}} \right)} \right ]}}\,\,\, \approx \,\,\,{\theta \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\theta \over 4}\,\,\Delta \theta \,\,\,= \,\,\,{{\theta ^2 } \over 4}{{\Delta \theta } \over \theta }

, поэтому результат линеаризованного приближения для дробного изменения оценки g будет

Δ g ^ g ^ ≈ Δ LL - 2 Δ TT + (θ 2) 2 Δ θ θ E q (12) {\ displaystyle {{\ Delta {\ hat {g}}} \ over {\ hat {g}} } \, \, \, \ ок \, \, \, {{\ Delta L} \ над L} \, \, \, \, \, - \, \, \, 2 \, \, {{\ Дельта T} \ над T} \, \, \, \, \, + \,\, \, \, \, \ left ({\ theta \ over 2} \ righ t) ^ {2} {{\ Delt a \ theta} \ over \ theta} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (12)}}}

{{\ Delta \ hat g} \ over {\ hat g}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, {{\ Delta L} \ over L} \, \, \, \, \, - \, \, \, 2 \, \, {{\ DeltaT} \ над T} \, \, \, \, \, + \, \, \, \, \, \ left ({{\ theta \over 2}} \ right) ^ 2 {{\ Delta \ theta} \ over \ theta} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (12)}}

Напомним, что уг лы выражены в радианах, и что значение, используемое в примере, составляет 30 градусов, это примерно 0,524 радиана; уменьшенный вдвое и возведенный в квадрат, как говорит коэффициент дробного изменения θ, этот коэффициент составляет около 0,07. Из уравнения (12) можно легко сделать вывод, что наиболее или менее влиятельныепараметры - это T, L, θ. Другими словами,производная величина g болеечувствительна, например, к измеренной величине T, чем к L или θ. Подставляя числовые значения примера, результаты показаны в таблице 1 и достаточно хорошо согласуются с результатами, полученными с использованием уравнения (4).

Форма уравнения (12) обычно является целью анализа чувствительности, поскольку она является общей, т. Е. Не привязанной к конкретному набору значений параметров, как это было в случае методапрямого расчета Уравнения (3) или (4), и восновном становится ясно,какие параметры имеют наибольшее влияние, если они имеют систематические ошибки. Например, если измерение длины L было высоким на десять процентов, то оценка g также была бы высокой на десять процентов. Если период T был недооценен на 20 процентов, тогда оценка g была бы завышена на 40 процентов (обратите внимание на отрицательный знак для члена T). Если бы начальный угол θ был завышен на десять процентов, оценка g была бызавышена примерно на 0,7 процента.

Эта информация очень важнадля анализа данных после эксперимента, чтобы отследить, какие измерения могли способствовать наблюдаемому смещению общего результата (оценка g). Угол, например, можно быстро исключить как единственный источник смещения, скажем, 10 процентов. Угол должен быть ошибочным примерно на 140 процентов, что, можно надеяться, физически неправдоподобно.

Таблица результатов

ТАБЛИЦА 1. Численные результаты для расчетовсмещения, пример маятника (g оценки в м / с)

	Номинальное	смещение	Отношение	Точное Δg	Линейный Δg	Точный Δg / г	Линейный Δg / г
Длина L	0,5 м	- 0,005 м	0,010	- 0,098	- 0,098	- 0,010	- 0,010
Период T	1,443 с	+0,02 с	0,014	- 0,266	- 0,272	- 0,027	- 0,028
Угол θ	30 градусов	- 5 град	0,17	- 0,0968	- 0,105	- 0,01	- 0,011
Все				-0,455	- 0,475	- 0,046	- 0,049
				Уравнение (3)	Уравнение (11)	Уравнение (4)	Уравнение (12)

Случайная погрешность / точность

Введение

Затем учтите тот факт, что, многократно измеряя период колебаний маятника, учащиеся будут получать разные значения для каждого измерени я. Эти колебания представляют собой случайные небольшие различия вовремени реакции при работе секундомера, различия воценке того, когда маятник достигмаксимального углового хода, и так далее; все эти вещи взаимодействуют, создавая вариации измеряемой величины. Это не смещение, которое обсуждалось выше, где предполагалось расхождение в 0,02 секунды между показанием секундомера и фактическим периодом T. Смещение является фиксированным постоянным значением; случайное изменение - это всего лишь случайное, непредсказуемое.

Случайные вариациинепредсказуемы, но они, как правило, подчиняются некоторымправилам, и эти правила обычнорезюмируются математической конструкцией, называемой функцией плотности вероятности (PDF). Эта функция, в свою очередь, имеет несколько параметров, которые очень полезны при описании вариаций наблюдаемых измерений. Два таких параметра - это mean и variance PDF. По сути, среднее - это расположение PDF на прямой числовой линии, а дисперсия - это описаниеразброса, дисперсии или ширины PDF.

Для иллюстрации,На рисунке 1 показанатак называемая Нормальная PDF, которая будет считаться распределением наблюдаемых периодов времени в эксперименте с маятником. Если на данный момент игнорировать все смещения в измерениях, то среднее значение этой PDF будет равно истинному значению T для идеализированного маятника длиной 0,5 метра, который имеет начальный угол 30 градусов, а именно, из уравнения (1), 1,443 секунд. Нарисунке показано 10000 смоделированных измерений в гистограмме ( которая сортирует данные по ячейкамнебольшой ширины, чтобы показать форму распределения), а нормальный PDF - это сплошная линия. Вертикальная линия - среднее значение.

Интересная проблема случайных колебаний - это дисперсия. Положительный квадратный корень из дисперсии определяется как стандартное отклонение и является мерой ширины PDF; существуют и другие меры, но стандартное отклонение,обозначаемое греческой буквой σ «сигма», является наиболее частоиспользуемым. Для этого моделированияиспользовалась сигма 0,03 секунды для измерения T; измерения L и θ предполагали незначительную изменчивость.

На рисунке ширина одно-, двух- и трех сигм обозначена вертикальными пунктирными линиями со стрелками. Видно, что ширина трех сигм по обе стороны от среднего значения содержит почти все данные для нормального PDF. Диапазон наблюдаемых значений времени составляет примерно от1,35 до 1,55 секунды, но большинство этих временных измеренийпопадают в более узкий интервал.

Производная величина PDF

На рисунке 1 показаны результаты измерений для многих повторяющихся измерений периода маятника T. Предположим, что эти измерения использовались по одному в уравнении (2) для оценка г. Каким будет PDF этих оценок? Имея этот PDF, каковы среднее значение и дисперсия оценок g? На этот вопрос непросто ответить, поэтому моделирование будет лучшим способомувидеть, что происходит. На рисунке 2 снова 10000 измерений T,которые затем используются в уравнении (2) дляоценки g, и эти 10000 оценок помещены в гистограмму. Среднее значение (вертикальная черная линия) близко соответствует известному значению g, равному 9,8 м / с.

Иногда можно получить фактический PDF преобразованных данных. В примере с маятником измерения времени T в уравнении (2) возведены в квадрат и разделены на некоторые факторы, которые на данный момент могут считатьсяпостоянными. Используя правила преобразования случайных величин,можно показать, что если измерения T имеютнормальное распределение, как на рисунке 1, то оценки g следуют другому (сложному) распределению, которое может быть получено аналитически. Этот g-PDF нанесен на гистограмму (черная линия), и согласие с данными очень хорошее. На рисунке 2 также показана кривая g-PDF (красная пунктирная линия) для смещенных значений T, которые использовались в предыдущем обсуждении смещения. Такимобразом, среднее значение смещенной T g-PDF составляет 9,800–0,266 м / с ( см. Таблицу 1).

Рассмотрим снова,как это было сделано в обсуждении смещения выше, функцию

z = f (x 1 x 2 x 3... xp) {\ displaystyle z \, \, \, = \, \, \, f \ left ({x_ {1} \, \, \, x_ {2} \, \, \, x_ {3} \, \,... \, \, \, x_ {p }} \ right)}

z\,\,\, = \,\,\,f\left( {x_1 \,\,\,x_2 \,\,\,x_3 \,\,...\,\,\,x_p }\right)

где f не обязательно и часто не является линейным, а x - случайные величины, которые в общем случае не обязательно должны иметь нормальное распределение икоторые, как правило, могут быть взаимно коррелированы. При анализе результатовэксперимента представляют интерес среднеезначение и дисперсия полученной величины z, которая будет случайной величиной. Они определяются как ожидаемые значения

μ z = E [z] σ z 2 = E [(z - μ z) 2] {\ displaystyle \ mu _ {z} \, \, = \, \, \, {\ rm {E}} \, [z] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ sigma _ {z} ^ {2} \, \, \, = \, \, \, {\ rm {E}} \, \ left [{\ left ({z \, \, - \, \, \ mu _ {z} } \ right) ^ {2}} \ right]}

\mu _z \,\, = \,\,\,{\rmE}\,[z]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _z^2 \,\,\, = \,\,\,{\rm E}\,\left[ {\left( {z\,\, - \,\,\mu _z } \right)^2 } \right]

т. е. первый момент PDF о начале координат ивторой момент PDF о среднем значениипроизводной случайной величины z. Эти ожидаемые значения находятся с помощью интеграла для рассматриваемых здесь непрерывных переменных. Однако для вычисления этих интегралов требуется функциональная форма PDF производной величины z. Было отмечено, что

точное вычисление [дисперсий] нелинейных функций переменных, которые подвержены ошибкам, обычно представляет собой проблемубольшой математической сложности. Фактически, значительная часть математическойстатистики связана с общей проблемойполучения полного частотного распределения [PDF] таких функций, из которого затем может быть получена [дисперсия].

Чтобы проиллюстрировать, простой пример этого Процесс заключается в нахождении среднего значения и дисперсии производной величины z = x, где измеренная величина x обычно распределена со средним значением μ и дисперсией σ. Производная величина z будет иметьнекоторую новую PDF, которую (иногда) можно найти, используя правила исчислениявероятностей. В этом случае, используя этиправила, можно показать, что PDF для z будет

PDF z ∼ 1 2 z 1 2 π σ [exp ⁡ (- (z - μ) 2 2 σ 2) + exp ⁡ ( - (- z - μ) 2 2 σ 2)] {\ displaystyle {\ rm {PDF}} _ {z} \, \, \, \ sim \, \, \, {1 \ over {2 {\ sqrt {z}}}} \, \, \, {1 \ over {{\ sqrt {2 \ pi}} \, \, \ sigma}} \ left [{\ exp \ left ({- \, \, { {\ left ({{\ sqrt {z}} - \ mu} \ right) ^ {2}} \ over {2 \, \ sigma ^{2}}}} \ right) \, \, \, + \, \, \, \ exp \ left ({- \, \, {{\ left ({- {\ sqrt{z}} - \ mu} \ right) ^ {2}} \ over {2 \, \sigma) ^ {2}}}} \ right)} \ right]}

{\rm PDF}_z \,\,\, \sim \,\,\,{1 \over {2\sqrt z }}\,\,\,{1 \over {\sqrt {2\pi }\,\,\sigma }}\left [ {\exp \left( { - \,\,{{\left( {\sqrt z - \mu } \right)^2 } \over {2\,\sigma ^2 }}} \right)\,\,\, + \,\,\,\exp \left( { - \,\,{{\left( { -\sqrt z - \mu } \right)^2 } \over {2\,\sigma ^2 }}} \right)} \right]

Интегрирование этого числа от нуля до положительной бесконечности возвращает единицу, которая подтверждает, что это PDF-файл. Затем необходимы среднее значение и дисперсия этой PDF, чтобы охарактеризовать производную величину z. The mean and variance (actually, mean squared error, a distinction that will not bepursued here) are found from the integrals

μ z = ∫ 0 ∞ z P D F z d z σ z 2 = ∫ 0∞ ( z − μ z) 2 P D F z d z {\displaystyle \m u _{z}\,\,=\,\,\,\int _{\,\,0}^{\,\,\infty }{z\,{\rm {PDF}}_{z}}\,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,=\,\,\int _{\,\,0}^{\,\,\infty }{\left({z-\mu _{z}}\right)^{2}\,}{\rm {PDF}}_{z}\,dz}

\mu _z \,\, = \,\,\,\int_{\,\,0}^{\,\,\infty } {z\,{\rm PDF}_z } \,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _z^2 \,\, = \,\,\int_{\,\,0}^{\,\,\infty } {\left( {z - \mu _z } \right)^2 \,} {\rm PDF}_z \,dz

if these functions are integrable at all. As it happens in this case, analytical results are possible, and it is found that

μ z = μ 2 + σ 2 σ z 2 = 2 σ 2 ( 2 μ2 + σ 2) {\displaystyle \mu _{z}=\mu ^{2}+\,\,\sigma^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,=\,\,2\,\sigma ^{2}\left({2\mugood practice in these studies, the results above can be checked with a simulation. Figure 3 shows a histogram of 10000 samples of z, with the PDF given above also graphed; the agreement is excellent. In this simulation the x data had a mean of 10 and a standard deviation of 2. Thus the naive expected value for z would of course be 100. The "biased mean" vertical Линия найдена с использованием приведенного выше выражения для μ, по-прежнему возможно оценить среднее значение и дисперсию (и, таким образом, стандартное отклонение) производной величины. Этот так называемый «дифференциальный метод» будет описан ниже. (Для вывода уравнений (13) и (14) см. этот раздел, ниже.)
Как обычно в прикладной математике, один из подходов, позволяющих избежать сложности, заключается в приближении функции с помощью другой, более простой функции, и часто это делается с помощью разложения в ряд Тейлора низкого порядка. Можно показать, что еслифункцию z заменить разложением первого порядка вокруг точки, определяемой среднимизначениями каждой из p переменных x, дисперсия линеаризованной функции аппроксимируется следующим образом:

σ z 2 ≈ ∑ я знак равно 1 п ∑ J знак равно 1 п (∂ Z ∂ xi) (∂ Z ∂ xj) σ я, J E q (13) {\ Displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ sum \ limits _ {i \, = \, 1} ^ {p} {\, \ sum \ limits _ {j \, = \, 1} ^ {p} {\ left ({{\ partial z}\ over {\ partial x_ {i}}} \ right)}} \ left ( {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {j}}} \ right) \ sigma _ { i, j} {\ mathbf {\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (13)}}}

\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\sum\limits_{i\, = \,1}^p {\,\sum\lim its_{j\, = \,1}^p {\left( {{{\partial z} \over {\partial x_i }}} \right)} } \left( {{{\partial z} \over {\partial x_j }}} \right)\sigma _{i,j}{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(13)}}

где σ ij представляет собой ковариацию двух переменных x i и x j. Двойная сумма берется по всем комбинациям i и j, с пониманием того, что ковариация переменной сама с собой является дисперсией этой переменной, то есть σ ii = σ i. Кроме того,ковариации симметричны, так что σ ij = σji. Опять же, как и в случае с расчетами смещения, частные производныеоцениваются в определенной точке, в данном случае по среднему (среднему) значению или другой наилучшей оценке каждой из независимых переменных. Заметим, что если f линейно, то и только тогда уравнение (13) является точным.

Ожидаемое значение (среднее значение) производной PDF может быть оценено для случая, когда z является функцией одной или двухизмеряемых переменных, с помощью

μ z ≈ z (μ 1, μ 2) +1 2 {∂ 2 z ∂ x 1 2 σ 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 σ 2 2} + ∂ z 2 ∂ x 1 ∂ x 2 σ 12 E q (14){\ displaystyle \ mu _ { z} \, \, \ ок \, \, z \ left ({\ mu _ {1}, \ mu _ {2}} \ right) \, \, \, + \, \, \, {1 \ над 2} \ left \ {{\, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \ sigma _ {1} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {2} ^ {2}}} \ sigma _ {2} ^ {2}} \ right \} \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z ^ {2}}\ over {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2}}} \ sigma _{12} {\ mathbf { \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (14)}}}

\ mu _z \, \,\ приблизительно \, \, z \ left ({\ mu _1, \ mu _2} \ right) \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} \ left \ {{\, {{\ partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_1 ^ 2}} \ sigma _1 ^ 2\, \, \, + \, \, \, {{\ partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_2 ^ 2}} \ sigma _2 ^ 2} \ right \} \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z ^ 2} \ over {\ partial x_1 \, \ partial x_2}} \ sigma _ {12} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \,Eq(14)}}

, где частичные значенияоцениваются как среднее значение тестовых измерений. (Для более чем двух входных чисел это уравнение расширяется, включая различные смешанные частичные.)

Возвращаясь к простому примеру z = x, среднее значение оценивается как

μ z ≈ μ 2 + 1 2 σ 2 ∂ 2 z ∂ Икс 2 знак равно μ 2 + 1 2 σ 2 [2] = μ 2 + σ 2 {\ Displaystyle \ mu _ {z} \, \, \ ок \,\, \ mu ^ {2} \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} \, \, \ sigma^ {2} \, \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x ^ {2}}} \, \, \, = \, \, \, \ mu^ {2} + \, \, \, {1 \ over 2} \, \, \ sigma ^ {2} \, \, \ left [2 \ right] \, \, \, \, = \, \, \, \ mu ^ {2} + \, \ sigma ^ {2}}

\mu _z \,\, \approx \,\,\mu ^2 \,\, + \,\,\,{1 \over 2}\,\,\sigma ^2 \,\,{{\partial ^2 z}\over {\partial x^2 }}\,\,\, = \,\,\,\mu ^2 + \,\,\,{1\over 2}\,\,\sigma ^2 \,\,\left[ 2 \right]\,\,\,\, = \,\,\,\mu ^2 + \,\sigma ^2

что совпадает с точным результатом, в конкретном случае. Для дисперсии (на самом деле MS e)

σ z 2 ≈ (∂ z ∂ x) 2 σ 2 = 4 x 2 σ 2 ⇒ 4 (μ 2) σ 2 = 4 μ 2 σ 2 {\ displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \приблизительно \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x}} \ right) ^{2} \ sigma ^ {2} \, \, = \, \, 4 \, x ^ {2} \, \ sigma ^ {2} \, \, \, \, \, \ Right arrow \, \, \, \, \, 4 \ left ({\ mu ^ {2}} \ right) \ sigma ^ {2} = \, \, \, \, 4 \, \ mu ^ {2} \ sigma ^ {2}}

\sigma _z^2 \approx \left( {{{\partial z} \over {\partial x}}} \right)^2 \sigma ^2 \,\, = \,\,4\,x^2 \,\sigma ^2 \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,4\left( {\mu ^2} \right)\sigma ^2 = \,\,\,\,4\,\mu ^2 \sigma ^2

, который отличается только отсутствием последнего члена, который был в точном результате; поскольку это должно быть мало по сравнению с μ, это не должно быть серьезной проблемой.

На рисунке 3 показан нормальный PDF ( пунктирные линии) со средним уровнем и отклонением от этих приближений.Нормальный PDF не очень хорошо эти производные данные, особенно на нижнем уровне.Подставив известное среднее (10) и дисперсию (4) значений x в этом моделирование или приведенные выше выражения, можно увидеть приблизительная (1600) и точная (1632) дисперсии различаются лишь незначительно (2%).

Матричный формат аппроксимации дисперсии

Более элегантный способ написания так называемого уравнения дисперсии«распространения» ошибки в использовании матриц. Сначалаопределите вектор частных производных, как было использовано в уравнении (8) выше:

γ T ≡ (∂ z ∂ x 1 ∂ z ∂ x 2 ∂ z ∂ x 3 ⋯ ∂ z ∂ xp) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {T} \ Equiv {\ begin {pmatrix} {\ partial z \ over \ partial x_ {1}} {\ partial z \ over \ partial x_ {2}} {\ partial z \ over \ partial x_ {3}} \ cdots {\ partial z \ over \ partial x_ {p}} \ end {pmatrix}}}

\boldsymbol{\gamma}^T \equiv \begin{pmatrix} {\partial z \over \partial x_1} {\partial z \over \partial x_2} {\partial z \over \partial x_3}\cdots {\partial z \over \partial x_p } \end{pmatrix}

где верхний индекс Tобозначает транспонирование матрицы; затем определим ковариационную матрицу

C ≡ (σ 1 2 σ 12 σ 13 ⋯ σ 1 p σ 21 σ 2 2 σ 23 ⋯ σ 2 p σ 31 σ 32 σ 3 2 ⋯ σ 3 p ⋮ ⋮ ⋮ ⋱⋮ σ п 1 σ п 2 σ п 3 ⋯ σ п 2) {\ Displaystyle \ mathbf {C} \, \, \ Equiv \, {\ begin {pmatrix} {\ sigma _ {1} ^ {2}} {\ sigma _ {12}} {\ sigma _ {13}} \ cdots {\ sigma _ {1p}} \\ {\ sigma _ {21}} {\ sigma _ {2} ^ {2}} {\ sigma _ {23}} \ cdots {\ sigma _ {2p}} \\ {\ sigma _ {31}} {\ sigma _ {32}} {\ sigma _ {3} ^{2 }} \ cdots {\ sigma _ {3p}} \\\ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ {\ sigma _ {p1}} {\ sigma _ {p2}} {\ sigma _ {p3}} \ cdots {\ sigma _{p} ^ {2}} \ end {pmatrix}}}

\mathbf{C}\,\, \equiv \, \begin{pmatrix} {\sigma _1^2 } {\sigma _{12}} {\sigma _{13}} \cdots {\sigma _{1p} } \\ {\sigma _{21}} {\sigma _2^2} {\sigma _{23}} \cdots {\sigma _{2p} } \\ {\sigma _{31}} {\sigma _{32}} {\sigma _3^2 } \cdots {\sigma _{3p}} \\ \vdots \vdots \vdots \ddots \vdot s \\ {\sigma _{p1} } {\sigma _{p2} } {\sigma _{p3} } \cdots {\sigma _p^2 } \end{pmatrix}

Распространение приближения в таком случае можно кратко записать как квадратичная форма

σ z 2 ≈ γ TC γ E q (15) {\ displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \, \, \ приблизительно \, \, {\ boldsymbol {\ gamma}} ^ {T} \, \ mathbf {C} \, \, {\ boldsymbol {\ gamma}} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, Уравнение (15)}}}

\sigma _z^2 \,\, \approx \,\,\boldsymbol{\gamma}^T \,\mathbf{C}\,\,\boldsymbol{\gamma} {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(15)}}

Если корреляции среди pчисла все равны нулю, как это часто принято, то ковариационная матрица C становится диагональной l, с индивидуальными отклонениями по главной диагонали. Чтобы еще раз подчеркнуть эту точку, все частичные значения в векторе γ вычислить в данной точке, так что уравнение (15) возвращает единственный числовой результат.

Было бы полезно подробно описать выражение для дисперсии, используяуравнение (13) или (15) для случая p = 2. Это приводит к

σ z 2 ≈ (∂ z ∂ x 1) ( ∂ z ∂ x 1) σ 11 + (∂ z ∂ x 2) (∂ z ∂ x 2) σ 22 + (∂ z ∂ x 1) (∂ z ∂ x 2) σ 12 + (∂ z∂ Икс 2) (∂ Z ∂ Икс 1) σ 21 {\ Displaystyle \ Sigma _ {z} ^ {2} \, \, \, \ ок \, \, \, \ left ({{\ partial z} \ над {\ partial x_ { 1}}} \ right) \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {1}}} \ right) \ sigma _ {11} \, \, \, + \, \, \, \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} \ right) \ left ({{\ partial z} \ over{\ partial x_ {2}}} \ right) \ sigma _ {22 } \, \, \, + \, \, \, \ left ({{\ partialz} \ over {\ partial x_ {1}}} \ right) \ left ({{\ partial z} \ over {\ частичный x_{2}}} \ right) \ sigma _ {12} \, \, \, + \, \, \, \, \ left ({{\ partial z} \ over {\ частичный x_ {2}} } \ right) \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {1}}} \ right) \ sigma _ {21}}

\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}} \right)\left( {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}} \right)\sigma _{11} \,\,\,+ \,\,\,\left( {{{\partial z} \over {\partialx_2 }}} \right)\left( {{{\partial z} \over {\partial x_2 }}} \right)\sigma _{22} \,\,\, + \,\,\,\left( {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}} \right)\left({{{\partial z} \over {\partial x_2 }}} \right)\sigma _{12} \,\,\, + \,\,\,\,\left( {{{\partial z} \over {\partial x_2 }}} \right)\left( {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}} \right)\sigma _{21}

который, поскольку последние два члена выше - то же самое, является

σ z 2 ≈ (∂ z ∂ x 1) 2 σ 1 2 + (∂ z ∂ x 2) 2 σ 2 2 + 2 (∂ z ∂x 1) (∂ z ∂ x 2) σ 12 {\ displa ystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \, \, \, \ приблизительно\, \, \, \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {1}}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {1}^ {2} \, \, \, + \, \, \, \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, 2 \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {1}}} \ right) \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} \ right) \, \, \ sigma _ {12}}

\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\l eft( {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}} \right)^2 \sigma _1^2 \,\,\, + \,\,\,\left( {{{\partial z} \over {\partial x_2 }}} \right)^2 \sigma _2^2 \,\,\, + \,\,\,2\left( {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}} \right)\left( {{{\partial z} \over {\partial x_2 }}}\right)\,\,\sigma _{12}

Линеаризованное приближение: простой пример длядисперсии

Рассмотрим относительно простой алгебраический пример, чемвернуться к более сложному примеру с маятником. Пусть

Z знак равно Икс 2 Y ∂ Z ∂ Икс = 2Иксy ∂ Z ∂ Y = Икс 2 {\ Displaystyle Z \, \, = \, \, x ^ {2} \, y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x}} \, \, = \, \, 2x \, y \, \, \, \, \, \, \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial y}} \, \, = \, \, x ^ {2}}

z\,\, = \,\,x^2 \,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x}}\,\, =\,\,2x\,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partialy}}\,\, = \,\,x^2

так, чтобы

σ z 2 ≈ (2 ху) 2 σ Икс 2 + (Икс 2) 2 σ Y 2 + 2 (2 ху) (Икс2) σ Икс, Y {\ Displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \, \, \, \ приблизительно \,\, \, \ left ({2 \, x \, y} \ right) ^ {2} \ sigma _ {x} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \ left ({x ^{2}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {y} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, 2 \ left ({2 \, x \, y} \ right) \ left ({x ^ {2}} \ right) \ sigma _ {x, y}}

\ sigma _z ^ 2 \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left ({2 \, x \, y} \ right) ^ 2 \ sigma _x ^ 2 \, \, \, + \, \, \, \ left ({x ^ 2} \ right) ^ 2 \ sigma _y ^ 2 \, \, \, + \, \, \, 2 \ left ({ 2 \, x \, y} \ right) \ left ({x ^ 2} \ right) \ sigma _ {x, y}

Это выражение можно оставить в этой форме, обычно но делится на z, поскольку это приведет к отмене многих факторов, а также даст более полезный результат:

σ z 2 z 2 ≈ (2 xy)2 (x 2 y) 2 σ x 2 + (x 2) 2 (Икс 2 Y) 2 σ Y 2 + 2 (2 ху) (Икс 2) (Икс 2 Y) 2 σИкс, Y {\ Displaystyle {{\ sigma _ {z} ^ {2} \,} \ над {z ^ {2}}} \, \, \ приблизительно \, \, \,{{\ left ({2xy} \ right) ^ {2}} \ over {\ left ({x ^ {2} y} \ right) ^ {2}}} \ sigma _ {x} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, {{\ l eft ({x ^ {2}} \ right) ^ {2}} \ over {\ left ({x ^ {2} y} \ right) ^ {2}}} \ sigma _ {y} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, {{2 \ left ({2xy} \ right) \ left ({x ^ {2}} \ right)} \ over {\ left ({x ^ {2}y} \ right) ^ {2}}} \ sigma _ {x, y}}

{{\sigma _z^2 \,} \over {z^2 }}\,\, \approx \,\,\,{{\left( {2xy} \right)^2 } \over {\left( {x^2 y}\right)^2 }}\sigma _x^2 \,\,\, + \,\,\,{{\left( {x^2 }\right)^2 } \over {\left( {x^2 y} \right)^2 }}\sigma _y^2 \,\,\, + \,\,\,{{2\left( {2xy} \right)\left( {x^2 } \right)} \over {\left( {x^2 y} \right)^2 }}\sigma _{x,y}

, что сводится к

σ z 2 z 2 ≈ (2 σxx) 2 + (σ yy) 2 + 4 (σ Икс, Yxy) {\ Displaystyle {{\ sigma _ {z} ^ {2}} \ над { z ^ {2}}} \, \, \ок \, \, \, \ left ({{2 \ sigma _ {x}} \ over x} \ right) ^ {2} \, \, + \, \, \, \, \ left ({{\ sigma _ {y}} \ over y} \ right) ^ {2} \, + \, \, \, 4 \ left ({{\ sigma _ {x, y}} \ over {x \, y}} \ right)}

{{\sigma _z^2 } \over {z^2 }}\,\,\approx \,\,\,\left( {{{2\sigma _x } \over x}} \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left( {{{\sigma _y } \over y}} \right)^2 \, + \,\,\,4\left( {{{\sigma _{x,y} } \ over {x\,y}}} \right)

Мне стандартное отклонение z обычно представляет интерес, его оценка:

σ ^ z ≈ z ¯ (2 σ ^ xx ¯) 2 + (σ^ yy ¯) 2 + 4 (σ ^ x, yx ¯ y ¯) {\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {z} \, \, \приблизительно \, \, {\ bar {z}} \, \, {\ sqrt {\, \, \ left ({{2 {\ h at {\ sigma}} _ {x}} \ over {\bar {x}}} \ right) ^ {2} \, \, + \, \, \, \, \ left ({{{\ hat { \ sigma}} _ {y}} \ over {\ bar {y}}} \ right) ^ {2} \, + \, \, \, 4 \ left ({{{\ hat {\ sigma}}} _ {x, y}} \ over {{\ bar {x}} \, {\ bar {y}}}} \ right)}}}

\hat \sigma _z \,\, \approx \,\,\bar z\,\,\sqrt {\,\,\left( {{{2\hat \sigma _x } \over {\bar x}}} \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left( {{{\hat \sigma _y } \over{\bar y}}} \right)^2 \, + \,\,\,4\left( {{{\hat \sigma _{x,y} } \over {\bar x\,\bar y}}} \right)}

где указано использование средних (средних) числа d чертами сверху, а караты указывает нато, что компонентные (со) дисперсии также должны быть оценены, если о них неизвестно априори. Как правило, это не так, поэтому оценки

σ ^ i = ∑ k = 1 n (xk - x ¯ i) 2 n - 1 σ^ i, j = ∑ k = 1 n (xk - Икс ¯ я) (Икс - Икс ¯ j) n - 1 {\ Displaystyle {\ Hat {\ sigma}} _ {я} \, \, \, = \, \, \, {\ sqrt {{\, \, \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ left ({x_ {k} - {\ bar {x}} _ {i}} \ right) ^ {2}}} \ over {n- 1}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ hat {\ sigma}} _ { i,j} \, \, \, = \, \, \, {\ sqrt {{\, \, \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ left({x_ {k} - {\ bar {x}} _ {i}} \ right) \ left ({x_ {k} - {\ bar {x}} _ {j}} \ right)}} \ over {n-1}}} }

\ hat \ sigma _i \, \, \, = \, \, \, \ sqrt {{{\, \, \ sum \ limits_ {k = 1 } ^ n {\ left ({x_k - \ bar x_i} \ right) ^2}} \ over {n - 1}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \ hat \ sigma _ {i, j} \, \, \, = \, \, \, \ sqrt {{{\, \, \ sum \ limits_ {k = 1} ^ n {\ left ({x_k - \ bar x_i} \ right) \ left ({x_k - \ bar x_j} \right)}} \ over {n - 1}}}

часто используются на основе наблюдений (измерений).

Линеаризованное приближение: пример маятника, среднее значение

Для простоты рассмотрим только измеренное время как случайную величину, чтобы производная величина, оценка g, составляющая

g ^ = k T 2 {\ displaystyle {\ hat {g}} = \, \,{k \ over {T ^ {2}}}}

\hat g = \,\,{k\over {T^2 }}

где k собирает множители в уравнении (2), которыена данный момент константы. Снова применяя правила вероятностного исчисления, можно получить PDF для оценок g ( этот PDF был изображен на рисунке 2). В этом случае, в отличие от примера, использованного ранее, среднее значение и дисперсию невозможно найти аналитически. Таким образом, нет другого выбора, кроме как использовать линеаризованные приближения. Для среднего, используя уравнение (14), с упрощенным уравнениемдля оценки g,

∂ g ^ ∂ T = - 2 k T 3 ∂ 2 g ^ ∂ T 2 = - 2 k - 3 T 4 = 6 К T4 {\ Displaystyle {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} \, \, = \, \, \, {{- 2k} \ over {T ^ {3}}} \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {{\ partial ^ {2} {\ hat {g}}} \ over {\ partial T ^ {2}}} \, \, \, = \, \, \, - 2 \, k {{- 3} \ over {T ^ {4}}} \, \, \, = \, \, {{6 \, k} \ over {T ^ {4}}}}

{{\partial \hatg} \over{\partial T}}\,\, = \,\,\,{{- 2k} \over {T^3 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial ^2 \hat g} \over {\partialT^2 }}\,\,\, = \,\,\, - 2\,k{{- 3} \over {T^4 }}\,\,\, = \,\,{{6\,k} \over {T^4 }}

Тогда ожидаемое значение оцененного g будет

E [g ^] = k μ T 2 + 1 2 (6 k μ T 4) σ T 2 EQ (16) {\ displaystyl e {\ rm {E}} [{\ hat {g}}] \, \, \, = \, \, \, {k \ over {\ mu _ {T} ^ {2}}} \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} \ left ({{6 \, k} \ over {\ mu _ {T} ^ {4}}} \ right) \ sigma _ { T} ^ {2} {\ math bf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, уравнение (16)}}}

{\rm E}[\hat g]\,\,\, = \,\,\,{k \over {\mu _T^2}}\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}\left( {{{6\,k} \over {\mu _T^4 }}} \right)\sigma _T^2{\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(16)}}

где, если времена маятника T несмещены, первый член равенство 9,80 м / с. Этот результат говорит о том, что среднее из оцененных значений g сильно смещено. Это будет проверено с помощью моделирования ниже.

Линеаризованноеприближение: пример маятника, дисперсия

, чтобы найти дисперсию дляпримера маятника, поскольку частные производные уже были найдены в уравнении (10), все переменные вернусь к проблеме.Частицы переходят в вектор γ . Следуя обычной практики, особенно если нет доказательств обратного, что все ковариации равны нулю, так что C диагональный. Тогда

σ g ^ 2 ≈ (∂ g ^ ∂ L ∂ g ^ ∂ T ∂ g ^ ∂ θ) (σ L 2 0 0 0 σ T 2 0 0 0 σ θ 2) (∂ g ^ ∂ L ∂ g ^ ∂ T ∂ g ^ ∂ θ) = (∂ g ^ ∂L) 2 σ L 2 + (∂ g ^ ∂ T) 2 σ T 2 + (∂ g ^ ∂ θ) 2 σ θ 2 E q (17) {\ displaystyl e \ sigma _ {\ hat {g}} ^ {2} \, \, \, \ ок \, \, \, \, {\ begin {pmatrix} {{\ partial {\ hat {g} }} \ over {\ partialL}} {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial \ theta}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ sigma _ {L} ^ {2}} 0 0 \\ 0 {\ sigma _ {T} ^ {2}} 0 \ \ 0 0 {\ sigma _ {\ theta} ^ {2}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {{\ partial {\ hat{g}}} \ over {\ partial L}} \\ {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}}\\ {{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial \ theta}} \ end {pmatrix} } \, = \, \ left ({{\ partial {\ hat {g}}} \over {\ partial L}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {L} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \ left ({{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {T} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \ left ({{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial \ theta}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {\ theta} ^ {2} {\ mathbf { \,\, \, \, \, \, \, \, Eq (17)}}}

\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\, \begin{pmatrix} {{\partial \hat g}\over {\partial L}} {{\partial \hat g} \over {\partialT}} {{\partial \hat g} \over {\partial \theta }} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\sigma _L^2 } 0 0 \\ 0 {\sigma _T^2 } 0 \\ 0 0 {\sigma _\theta ^2 } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {{{\partial \hat g} \over {\partial L}}} \\ {{{\partial \hat g} \over {\partial T}}} \\ {{{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}} \end{pmatrix}\,= \,\left( {{{\partial \hat g} \over {\partial L}}} \right)^2 \sigma _L^2 \,\,\, + \,\,\,\left({{{\partial \hat g} \over {\partial T}}} \right)^2 \sigma_T^2 \,\,\, + \,\,\,\left( {{{\partial \hat g} \over {\partial \theta }}} \right)^2 \sigma _\theta ^2 {\mathbf{\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(17)}}

Тот же результат получается сиспользованием уравнения (13). Следует подчеркнуть, что эти «сигмы» представляют собой дисперсии, которые описывают случайныевариации в измерениях L, T и θ; их не следует путать с ранее использовавшимися предубеждениями. Дисперсии (или стандартные отклонения) и с ущерб - это не одно и то же.

Чтобы проиллюстрировать этот расчет, рассмотрим результаты моделирования на рисунке 2. Здесь предполагалось, что толькоизмерение времени имело случайное изменение, и стандартное отклонение,используемое для него, составило 0,03 секунды. Таким образом, используя уравнение (17),

σ g ^ 2 ≈ (∂ g ^ ∂ T) 2 σ T 2 = (- 8 Lπ 2 T 3 α (θ)) 2 σ T 2 {\ displaystyle \ сигма _ {\ hat {g}} ^ {2} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left ({{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} \ справа) ^ {2} \ sigma _ {T} ^ {2} \, \, \, \, = \, \, \, \ left ({{{- 8L \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {3}}} \ alpha (\ theta)} \ right) ^{2} \ sigma _ {T} ^ {2}}

\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( {{{\partial \hat g} \over {\partial T}}} \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\,\, = \,\,\,\left( {{{ - 8L\,\pi ^2 }\over {T^3 }}\alpha ( \theta)} \right)^2 \sigma _T^2

и используя числовые значения, присвоенныеранее для этого примера,

σ g ^ 2 ≈ (- 8 × 0,5 × π 2 1,443 3 1,0338) 2 0,03 2 = 0,166 {\ displaystyle \ sigma _ {\ hat {g}} ^{2} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left ({{{- 8 \ times 0.5 \ times \ pi ^ {2}} \ over {1.443 ^ {3}}} 1.0338} \ right) ^ {2} 0,03 ^ {2} \, \, = \, \, 0,166}

\sigma _{\hat g}^2\,\,\, \approx \,\,\,\left( {{{ - 8 \times 0.5 \times \pi ^2 } \over {1.443^3 }}1.0338} \right)^2 0.03^2 \,\, = \,\,0.166

, что выгодно отличается от наблюдаемой дисперсии 0,171, рассчитанной программой моделирования. (Расчетные отклонения имеютзначительную степень изменчивости, и нельзя ожидать, что эти значения будутточно согласовываться.) Для среднего значения уравнение (16) дает смещение всего около 0,01 м / с, что не видно на рисунке 2.

Чтобы прояснить, что происходит при увеличении случайной ошибки в измеряемых измерениях, рассмотрим рисунок 4, на котором стандартное отклонение времени увеличено до 0,15 с, или примерно до десяти процентов. PDF для расчетных значений отображается в виде графика, как на рисунке 2;Обратите внимание, что PDF для случая с большим изменением во времени искажен, итеперь смещенное среднее значение хорошо видно. Приближенное (смещенное) среднее и среднее значение, полученное непосредственно изданных, хорошо. Пунктирная кривая представляет собой нормальную PDF со средним значением и отклонением от приближений; он не очень хорошо отображает данные.

Линеаризованное приближение: пример маятника, относительная ошибка (точность)

Вместо дисперсии часто полезнымпоказателем является стандартное отклонение σ, и когда оно делится на среднеезначение μ, мы получаем величину, называемая относительной ошибкой или коэффициентом вариации. Этопоказатель точности:

RE g ^ ≡ σ g ^ μ g ^ = 0,166 9,8 = 0,042 {\ displaystyle {\ rm {RE}} _ {\ hat {g}} \ Equiv \, \, \, {{\ sigma _ {\ hat {g}}} \ over {\ mu _ {\ hat {g}}}} \, \, \, = \, \, \, {{\ sqrt {0.166}} \ over {9.8}} \, \, \, = \, \, 0.042}

{\rm RE}_{\hat g} \equiv \,\,\,{{\sigma _{\hat g} } \over {\mu _{\hat g} }}\,\,\, = \,\,\,{{\sqrt {0.166} } \over {9.8}}\,\,\, = \,\,0.042

Для примера с маятником этодает точность чуть более 4 процентов. Как и в случае ущерба, полезно связатьотносительную ошибку производной величины с относительной ошибкой измеренных величин. Разделим уравнение (17) на квадрат g:

σ g ^2 g ^ 2 ≈ 1 g ^ 2 (∂ g ^ ∂ L) 2 σ L 2 + 1 g ^ 2 (∂ g ^ ∂ T) 2 σ T 2 + 1 г ^ 2 (∂ g ^ ∂ θ) 2 σ θ 2 {\ displaystyle {{\ sigma _ {\ hat {g}} ^ {2} \,} \ over {{\ hat {g}} ^ {2}}} \, \, \, \ ок \, \, \, {1 \ over {{\ hat {g}} ^ {2}}} \, \ left ({{\ partial {\ hat { g}}} \ over {\ partialL}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {L} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \, {1 \ over {{ \ hat{g}} ^ {2}}} \, \ left ({{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {T} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \, {1 \over {{\ hat {g}} ^ {2}}} \, \ left ({{\ partial {\ hat { g}}} \ over {\ partial \ theta}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {\ theta} ^ {2}}

{{\sigma _{\hat g}^2 \,} \over {\hat g^2 }}\,\,\, \approx \,\,\,{1 \over {\hat g^2 }}\,\left( {{{\partial \hat g} \over {\partial L}}} \right)^2 \sigma _L^2 \,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g^2 }}\,\left( {{{\partial \hat g} \over {\partial T}}} \right)^2 \sigma _T^2\,\,\, + \,\,\,\,{1 \over {\hat g^2 }}\,\left( {{{\part ial \hat g} \over {\partial \theta }}} \right)^2 \sigma _\theta ^2

и викоризовать результаты, полученные в результате вычислений с ущербного изменения, чтобы получить ( сравните с уравнением (12)):

σ g ^ 2 g^ 2 ≈ σ L 2 L 2 + 4 σ T 2 T 2 + (θ 2) 4 σ θ 2 θ 2 {\ displaystyle {{\ sigma _ {\hat {g}} ^ {2} \,} \ over {{\ hat {g}} ^ {2}}} \, \, \, \ ок \, \, \, {{\ sigma _ {L} ^ {2} \,} \ over {L ^ {2}}} \, \, \, + \, \, \,\, 4 {{\ sigma _ {T} ^ {2}} \ над {T ^ {2}}} \, \, \, + \, \, \, \, \ left ({\ theta \ over 2} \ right) ^ {4} {{\ sigma _ {\ theta} ^ {2}} \ над {\ theta ^ {2}}}}

{{\sigma _{\hat g}^2 \,} \over {\hatg^2 }}\,\,\, \approx \,\,\,{{\sigma _L^2 \,} \over {L^2 }}\,\,\, + \,\,\,\,4{{\sigma _T^2 } \over {T^2 }}\,\,\, + \,\,\,\,\left( {{\theta \over 2}} \right)^4 {{\sigma _\theta ^2 } \over {\theta ^2 }}

Извлечение квадратного корня дает RE:

RE g ^ = σ gg ^ ≈ (σ LL) 2 + 4 (σ TT) 2 + (θ 2) 4 (σ θ θ) 2 E Q (18) {\Displaystyle RE _ {\ hat {g}} \, \, = \, \, {{\ sigma _ {g} \,} \ над {\ hat {g}}}\, \, \, \ ок \, \, \, {\ sqrt {\, \, \ left ({{\ sigma _ {L}} \ over L} \ right) ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \, 4 \ left ({{\ sigma _{T}} \ over T} \ right) ^ {2} \, \, + \, \, \, \, \ left ({\ theta \ over 2} \ right) ^ {4} \ left ({{\ sigma _ {\ theta}} \ over \ theta} \ right) ^ {2} \,} } {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Eq (18)}}}

RE_{\hat g} \,\, = \,\,{{\sigma _g \,} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,\sqrt {\,\,\left( {{{\sigma _L } \over L}} \right)^2 \,\,\, + \,\,\,\,4\left( {{{\sigma _T } \over T}} \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left( {{\theta \over 2}} \right)^4 \left( {{{\sigma _\th eta } \over \theta }} \right)^2 \,} {\math bf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(18)}}

В данном примере это дает

RE g ^ ≈ 2 σ TT = 20,03 1,443 = 0,042 {\ Displaystyle {\ rm {RE}} _ {\ hat {g}} \, \, \, \ ок \, \, \, 2 \, \, {{\ sigma _ {T}} \ over T} \, \, \, = \, \, \, 2 {{0.03} \ over {1.443}} \, \, \, = \, \, \, 0.042}

{\rm RE}_{\hat g} \,\,\, \approx \,\,\,2\,\,{{\sigma _T }\over T}\,\,\, = \,\,\,2{{0.03} \over {1.443}}\,\,\, =\,\,\,0.042

что согласуется сполученным ранее RE. Этот метод, использующий относительные ошибки в составляющих (измеренных) величин, становится проще, если математические вычисления выполняются для соотношения, подобного уравнения (17). Напомним, что углы, используются в уравнении (17), должны быть выражены врадианах.

Если это часто бывает, стандартное отклонение необходимо само посебе, это легко получить простой перестановкой уравнения (18). Это стандартное отклонение обычно указывается вместе с «точечнойоценкой» среднего значения: для моделирования это будет 9,81 ± 0,41 м / с. То, что следует сделать из интервалов, процитированных таким образом, требует очень внимательного рассмотрения. Обсуждение этой темы выходит за рамки данной статьи, но этот вопрос более подробно вкниге Натреллы.

Линеаризованное приближение: пример маятника, проверкамоделирования

Рекомендуется проверять расчеты неопределенности с помощью моделирования. Эти расчеты могут быть оченьсложными, и в них легко сделать ошибки. Например, чтобы убедиться, что относительная ошибка только для измерения угла верна, было создано моделирование для выбора углов из нормальной PDF со средним размером 30 градусов и стандартным отклонением 5 градусов; оба преобразуются врадианы при моделировании. Относительная погрешность угла составляет около 17процентов. Из уравнения (18) относительная погрешность в расчетном g составляет, если измерение пренебрежимо малы,

RE g ^ ≈ (θ 2) 2 σ θ θ = ( 0,524 2) 2 0,0873 0,524 ≈ 0,0114 {\ displaystyle {\ rm {RE}} _ {\ hat {g}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left ({\ theta \ over 2} \ right) ^ {2} {{\ sigma _ {\ theta}} \ over \ theta} \, \, \, = \, \, \, \ left ({{0.524} \ over 2} \ right) ^ {2} {{0.0873} \ over {0. 524 }} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, 0,0114}

{\rm RE}_{\hat g} \,\,\, \approx \,\,\,\left( {{\theta \over 2}} \right)^2 {{\sigma _\theta } \over\theta }\,\,\, = \,\,\,\left( {{{0.524} \over 2}} \right)^2 {{0.0873} \over {0.524}}\,\,\, \approx \,\,\,0.0114

Моделирование показывает,что наблюдаемая относительная ошибка в g составляет примерно 0,011, что демонстрирует правильность расчетов угловой погрешности. Таким образом,как было показано при расчетах с ущербом, расчетное изменение начального угла (17 процентов) составляет расчетную около одного процента в оценке g.

На рисунке 5 результатов гистограмма для этих оценок g. Относительная ошибка угла была относительно большой, PDFоценки искажен (не нормальный, не симметричный), а среднее значение слегка смещено.В этом случае PDF неизвестен, но среднее значение все же можно оценить с помощью уравнения (14). Вторая часть для угловой части уравнения (2),сохраняющая другие в виде констант, собранных в k, может быть перемен как

∂ 2 g ^ ∂ θ 2 = k 32 [9 cos ⁡ (μ θ) - соз ⁡ ( 2 μ θ)] {\ Displaystyle {{\ partial ^ {2} {\ hat {g}}} \ над {\ partial \ theta ^ {2}}} \, \, \, = \, \, \, {k \ over {32}} \ left [{9 \ cos \ left({\ mu _ {\ theta}} \ right) \, \, \, - \, \, \, \ cos \ left ({2 \ mu _ {\ theta}}\ right)} \ right]}

{{\partial ^2 \hatg} \over {\partial \theta ^2 }}\,\,\, = \,\,\,{k \over{32}}\left[ {9\cos \left( {\mu _\theta } \right)\,\,\, - \,\,\,\cos \left( {2\mu _\theta } \right)} \right]

так, чтобы ожидаемое значение было

E [g ^] ≈ k α (μ θ) + 1 2 k 32 [9 соз ⁡ ( μ θ) - соз ⁡ (2 μ θ)] σ θ 2 {\ displ aystyle {\ rm {E}} [{\ hat {g}}] \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \, k \ alpha \ left ({\ mu _ {\ theta}} \ right) \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} \, \, {k \ over {32}} \ left [{9 \ cos \ left ({\ mu _ {\ theta}} \ right) \, \, \, - \, \, \, \ cos \ left ({2 \ mu _{\ theta}} \ right)} \ right] \ sigma _ {\ theta} ^ {2}}

{\rm E}[\hat g]\,\,\, \approx \,\,\,\,k\alpha \left( {\mu _\theta } \right)\,\,\, +\,\,\,{1 \over 2}\,\,{k \over {32}}\left[ {9\cos \left ( {\mu _\theta } \right)\,\,\, - \,\,\,\cos \left( {2\mu _\theta } \right)} \right]\sigma _\theta ^2

и пунктирная вертикальнаялиния, полученная в результате этого уравнения, соответствует наблюдаемому среднему з начению.

Выбор метода анализа данных

Введение

Во введении было упомянуто, что существует два способа анализа набора измерений периода колебаний T маятника. :

Метод 1 : усреднить n измерений T, использовать это среднее в уравнении (2) для получения окончательной оценки g;

Метод 2: использовать все n отдельных измерений T в Уравнение (2) по очереди, чтобыполучить n оценок g, усреднить их, чтобы получить окончательную оценку g.

Было бы разумно предположить, что это будет одно и то же, и что нетникаких причин предпочитать один метод другому. Однако метод 2 приводит к смещению, которое не устраняется увеличением размера выборки. Метод 1 также является предвзятым, но оно уменьшается с увеличением размера выборки. Эта систематическая ошибка в обоих случаях неособенно велика, и ее не следует путать с предвзятостью, которая обсуждалась в первомразделе. То, что можно было бы назвать смещением типа I, является результатом систематической ошибки в процессе измерения; «Смещение типа II»является результатом преобразования случайной величины измерения с помощью нелинейной модели; здесь уравнение (2).

Смещение типа II характеризуется членами после первого в уравнении (14). Как было рассчитано для моделирования на Рисунке 4, смещение в оценке gдля разумной изменчивости измеренного времени (0,03 с) получено из уравнения (16) исоставило всего около 0,01 м / с. Преобразуя часть смещения (второй член) в уравнении (16) и используя β для смещения,

β ≈ 3 k μ T 2 (σ T μ T)2 ≈ 30 (σ T μ T) 2 E q ( 19) {\ Displaystyle \ бета \, \, \, \ ок \, \, \, {{3 \, k} \ над {\ му _ {T} ^ {2}}} \, \ left ({{ \ sigma _ {T}} \ over {\ mu _ {T}}} \ right) ^ {2} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, 30 \, \, \ left ({{\ sigma _ {T}} \ over {\ mu _ {T}}}\ right) ^ {2} {\ mathbf {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, Уравнение (19)}}}

\beta \,\,\, \approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _T^2 }}\,\left( {{{\sigm a _T } \over{\mu _T }}} \right)^2 \,\,\, \approx \,\,\,30\,\,\left( {{{\sigma _T } \over {\mu _T }}} \right)^2 {\math bf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(19)}}

сиспользованием примерных параметров маятника. Из этого видно, что смещение изменяется как квадрат относительной ошибки в периоде T; для большейотносительной ошибки, около десяти процентов, смещение составляет около 0,32 м / с, что вызывает большее беспокойство.

Размер выборки

Чего здесь не хватает и чего намеренно избегали во всех предшествующих материалах, так это влияния размеравыборки на эти вычисления. Количество измерений n пока не фигурирует ни в одномуравнении. Неявно, весь анализ проводился для подхода Метода 2, с одновременным измерением одного измерения (например, T) и его обработкой с помощьюуравнения (2) для получения оценки g.

Чтобы использовать различные уравнения, разработанные выше, необходимы значения для среднего и дисперсии нескольких параметров, которые появляются в этих уравнениях. В практических экспериментах эти значения будутоцениваться на основе данных наблюдений, т. Е. Измерений. Эти измерения усредняются дляполучения расчетных средних значений для использования в уравнениях, например, для оценки частных производных. Таким образом, интересующая насдисперсия - это дисперсия среднего, а не генеральной совокупности, и поэтому, например,

σ g ^ 2 ≈ (∂ g ^ ∂ T) 2 σ T 2 = (- 8 L π 2 T 3 α (θ)) 2 σ T 2 ⇒ (- 8 L ¯ π 2 T ¯ 3 α (θ ¯)) 2 σ T 2 n T {\ displaystyle \ sigma _ {\ hat {g}} ^ {2 } \, \, \, \ ок \, \, \, \ l eft ({{\ partial {\ hat {g}}} \ over {\ partial T}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {T } ^ {2}\, \, \, \, = \, \, \, \ left ({{{- 8L \, \ pi ^ {2}} \ over {T ^ {3}}} \ alpha ( \ theta)} \ right) ^ {2} \ sigma _ {T} ^ {2} \, \, \, \, \, \,\, \ Rightarrow \, \, \, \, \, \ left ( {{{-8 {\ bar {L}} \, \ pi ^ {2}} \ over {{\ bar {T}} ^ {3}}} \ alpha ({\ bar {\ theta}})} \ right) ^ {2} {{\ sigma _ {T} ^ {2}} \ over {n_ {T}}}}

\sigma _{\hat g}^2 \,\,\,\approx \,\,\,\left( {{{\partial \hat g} \over {\partial T}}} \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\,\, = \,\,\,\left( {{{ - 8L\,\pi ^2 } \over {T^3 }}\alpha (\theta)} \right)^2 \sigma _T^2 \,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\left( {{{ - 8\bar L\,\pi ^2 } \over {\bar T^3 }}\alpha (\bar \theta)} \right)^2 {{\sigma _T^2 } \over {n_T }}

, который отражает тот факт, что по мере увеличения числа измерений Tдисперсия среднего значения T уменьшится. Существует некоторая внутренняя изменчивость визмерениях T, и предполагается, что она остается постоянной, но изменчивость средней T будет уменьшаться с увеличением n. Предполагая отсутствиековариации среди параметров (измерений), разложение уравнения (13) или (15) может быть переформулировано как

σ z 2 ≈ ∑ i = 1 p (∂ z ∂ xi) x ¯ i 2 σ я 2 ni {\ displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \, \, \, \ ок \, \, \, \ sum \ limits _ {i \, \, = \, \, 1} ^ { p}{\, \ left ({{\ partial z} \ over {\ partial x_ {i}}} \ right) _ {{\ bar {x}} _ {i}} ^ {2}}\, \, {{\ sigma _ {i} ^ {2}} \ over {n_ {i}}}}

\sigma _z^2 \,\,\, \approx \,\,\,\sum\limit s_{i\,\, = \,\,1}^p {\,\left( {{{\partial z} \over {\part ial x_i }}} \right)_{\bar x_i }^2 } \,\,{{\sigma _i^2 } \over {n_i }}

где нижний индекс n отражает тот факт, что различное количество измерений может бытьвыполнено для нескольких переменных (например, 3 для L, 10 для T, 5 для θ и т. Д.)

Эта зависимость общей дисперсии от количества измерений подразумевает, что одним из компонентов статистического плана эксперимента должно быть определение этих размероввыборки для сохранения общая относительная погрешность (точность) в разумных пределах. Имея оценкуизменчивости отдельных измерений, возможно, на основе пилотного исследования, тогда должна быть возможность оценить, какие размеры выборки ( количество повторов для измерения, например, T в примере с маятником) могут потребоваться.

Возвращаясь к смещению типа II в подходе метода 2, уравнение (19) теперь можно переформулировать более точно как

β ≈ 3 k μ T 2 (σ T μ T) 2 ≈ 30 (s T n TT¯) 2 {\ Displaystyle \ бета \, \, \, \ ок \, \, \, {{3 \, k} \ над {\ му _ {T} ^ {2}}} \, \ left ( {{\ sigma _ {T}} \ over {\ mu _ {T}}} \ right) ^ {2} \, \, \, \ about \, \, \, 30 \, \, \ left ({{s_ {T}} \ over {n_ {T} \, {\ bar {T}}}} \right) ^ {2}}

\beta \,\,\, \approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _T^2 }}\,\left( {{{\sigma_T } \over {\mu _T }}}\right)^2 \,\,\, \approx \,\,\,30\,\,\left( {{{s_T } \over {n_T \,\bar T}}} \right)^2

где s - оценочное стандартное отклонение n T T. Измерения. В методе 2 каждое отдельное измерение T используется для оценки g, так что n T = 1 для этого подхода. С другой стороны, для метода 1 измерения T сначалаусредняются перед использованием уравнения (2), так что n T больше единицы. Это означает, что

β 1 ≈ 30 (s T n TT ¯) 2 β 2 ≈ 30 (s TT ¯) 2 {\ displaystyle \ beta _ {\, \, 1} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \, 30 \, \, \ left ({{s_{T}} \ over {n_ {T} \, {\ bar {T}}}} \ right) ^ {2} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ beta _ {\, \, 2} \, \, \, \ приблизительно \, \, 30 \, \, \ left ({{s_ {T}} \ over {\ bar {T}}} \ right) ^ {2}}

\beta _{\,\,1} \,\,\, \approx \,\,\,\,30\,\,\left( {{{s_T } \over {n_T \,\bar T}}} \right)^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta _{\,\,2} \,\,\, \approx \,\,30\,\,\left( {{{s_T } \over {\bar T}}} \right)^2

, что говорит о том, чтосмещение типа II метода 2 делает не уменьшается с размером выборки; это постоянно. С другой стороны,дисперсия оценки g составляет в обоих случаях

σ g ^ 2 ≈ (- 8 L ¯ π 2 T ¯ 3 α (θ ¯)) 2 σ T 2 n T {\ displaystyle \ sigma _ {\ hat {g}} ^ {2} \, \,\, \ приблизительно \, \, \, \ left ({{{- 8 {\ bar {L}} \, \ pi ^ {2 }} \ over {{\ bar {T}} ^ {3}}} \ alpha ({\ bar {\ theta}})} \ right) ^ {2} {{\ sigma _ {T} ^ {2} } \ over {n_ {T}}}}

\sigma _{\hat g}^2 \,\,\, \approx \,\,\,\left( {{{ - 8\bar L\,\pi ^2 } \over{\bar T^3 }}\alpha (\bar \theta)} \right)^2 {{\sigm a _T^2 } \over {n_T }}

, потому что в обоих методах n T измеренийиспользуются для формирования средней оценки g. Таким образом, дисперсия уменьшается с увеличениемразмера выборки для обоих методов.

Эти эффекты проиллюстрированы на рисунках 6 и 7. На рисунке 6 представлена серия PDF-файлов метода 2,оцененных g для сравнительно большой относительной ошибки в измерениях T с различными размерами выборки. Относительная ошибка в T больше, чем может быть разумно, так что эффект смещения может быть более отчетливо виден. На рисунке точками показаносреднее значение; предвзятость очевидна, и она не меняется с n. Дисперсия или ширина PDF становитсяменьше с увеличением n, и PDF также становится более симметричным. На рисунке 7 представлены PDF для метода 1, и видно, что средние значения сходятся кправильному значению g, равному 9,8 м / с, по мере увеличения количества измерений, а также уменьшается дисперсия.

Из этого делается вывод, что метод 1 является предпочтительным подходом к обработке маятника или других данных.

Обсуждение

Систематические ошибки в измерении экспериментальных величин приводят к смещению в производной величине, величина которой рассчитывается с использованием уравнения (6) или уравнения (7). Однако существует и более тонкаяформа смещения, которая может возникнуть, даже если входные, измеренные величины несмещены; все члены после первого в уравнении (14) представляют это смещение. Он возникает из-за нелинейных преобразований случайных величин, которые частоприменяются при получении производной величины. На систематическую ошибку преобразования влияетотносительный размер дисперсии измеренной величины по сравнению с ее средним значением. Чем больше это отношение, тем больше может быть искажение PDF производнойвеличины и тем больше может быть смещение.

Приближения ряда Тейлора обеспечивают очень полезный способ оценки как систематической ошибки, так и изменчивости для случаев, когда PDF производной величины неизвестна или трудноизлечима.Среднее значение можно оценить с помощью уравнения (14), а дисперсию - с помощью уравнения (13)или (15). Однако есть ситуации, в которых этот подход к приближению ряда Тейлора первого порядка не подходит, особенно если любая из составляющих переменных можетобращаться в нуль. Тогда было бы полезно разложение второго порядка; см. соответствующие выражения у Мейера.

Размер выборки является важным фактором при планировании эксперимента. Чтобы проиллюстрировать влияние размера выборки,уравнение (18) можно переписать как

RE g ^ = σ ^ gg ^ ≈ (s L n LL ¯) 2 + 4 (s T n TT ¯) 2 + ( θ ¯ 2) 4 (s θ N θ θ ¯) 2 {\ displaystyle RE _ {\ hat {g}} \, \, = \, \, {{{\ hat {\ sigma}} _ {g} \,} \ over {\ hat {g}}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, {\sqrt {\, \, \ left ({{s_ {L}} \ over {n_ {L } \, {\ bar {L}}}} \ right) ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \, 4 \ left ({{s_ {T}} \ over {n_ { T} \, {\ bar {T}}}} \ right) ^ {2} \, \, + \, \, \, \, \ left ({{\ bar {\ theta}} \ over 2} \ вправо) ^{4} \ left ({{s _ {\ theta}} \ over {n _ {\ theta} \, {\ bar {\ theta}}}} \ right) ^ {2} \,}}}

RE_{\hat g} \,\, = \,\,{{\hat\sigma _g \,} \over {\hat g}}\,\,\, \approx \,\,\,\sqrt {\,\,\left( {{{s_L } \over {n_L \,\bar L}}} \right)^2 \,\,\, + \,\,\,\,4\left( {{{s_T } \over {n_T\,\bar T}}} \right)^2 \,\, + \,\,\,\,\left( {{{\bar \theta } \over 2}} \right)^4 \left( {{{s_\theta } \over {n_\theta \,\bar \theta }}} \right)^2\,}

, где показаны средние значения (столбцы) и расчетные стандартные отклонения s, а также соответствующие размеры выборки. В принципе, используя очень большоезначение n, RE оцененного g можно снизить до сколь угодно малого значения. Однако для относительно небольшого количества измерений часто есть ограничения или практические причины.

Детали, касающиеся разницы между дисперсией и среднеквадратичной ошибкой (MSe), были пропущены. По сути, MSe оценивает изменчивость истинного ( но неизвестного) среднего значения распределения. Эта изменчивость состоит из (1) изменчивости фактического, наблюдаемого среднего и (2) члена, которыйобъясняет, насколько далеко это наблюдаемое среднее от истинного среднего. Таким образом,

MS e = σ 2 + β 2 {\ displaystyle {\ rm {MSe}} \, \, \, = \, \, \, \ sigma ^ {2} + \, \, \, \ beta ^ {2}}

{\rm MSe}\,\,\, = \,\,\,\sigma ^2 + \,\,\,\beta ^2

где β - смещение (расстояние). Этостатистическое приложение теоремы о параллельных осях из Mechanics.

Таким образом,линеаризованное приближение для ожидаемого значения (среднего) и дисперсии нелинейно преобразованной случайной величины очень полезно, и гораздо проще вприменении, чем более сложный процесс поиска его PDF и затем его первых двух моментов. Во многих случаях последний подход вообще невозможен. Математика линеаризованного приближения нетривиальна, и ее можно избежать, используя результаты,которые собираются для часто встречающихся функций случайных величин.

Вывод уравненийраспространения ошибок

Краткое описание процедура

Дана функция z нескольких случайных величин x, ищутся среднее и дисперсия z.
Прямой подходсостоит в том, чтобы найти PDF для z, а затем найти его среднее значение и дисперсию:

E [z] знак равно ∫ z PDF zdz V ar [z] = ∫ (z - E [z]) 2 PDF zdz {\ displaystyle {\ rm {E}} [z] \, \, \, = \, \, \, \ int {z \, \, {\ rm {PDF}} _{z}} \, \, dz \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ rm {Var}} [z] \, \, = \, \, \ int {\ left({z - {\ rm {E}} [z]} \ right) ^ {2} \, \, {\ rm {PDF}} _ {z}} \, \, dz}

{\rmE}[z]\,\,\, = \,\,\,\int{z\,\,{\rm PDF}_z } \,\,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm Var}[z]\,\, = \,\,\int {\left( {z - {\rm E}[z]} \right)^2 \,\,{\rm PDF}_z }\,\,dz

3. Найти PDF-файл нетривиально, а в некоторых случаях может быть даже невозможно, и,конечно, это не практичный метод для обычных целей анализа данных. Даже если PDF-файл можно найти, найти моменты (см. Выше) может быть сложно.

4. Решение состоит в том, чтобы разложить функцию z в ряд Тейлора второго порядка;разложение производится вокруг средних значений нескольких переменных x. (Обычно расширениевыполняется до первого порядка; члены второго порядка необходимы, чтобы найти смещение в среднем. Эти члены второго порядка обычно опускаются при нахождении дисперсии; см.Ниже).

5. Имея в расширении, найдите ожидаемое значение. Это даст любое смещение. По сути, расширение «изолирует» случайные величины x, чтобы можно было найти их ожидания.

6. Имея выражение для ожидаемого значенияz, которое будет включать частные производные, а также средние и дисперсии случайных величинx, задайте выражение для математического ожидания дисперсии:

V ar [z] ≡ E [(z - E [z]) 2] {\ displaystyle {\ rm {Var}} [z] \, \, \, \ Equiv \, \, {\ rm {E}} \ left [{\left ({\, z \, \, - \, \, {\ rm {E}} [z] \,} \ right) ^ {2}} \ right]}

{\rm Var}[z]\,\,\, \equiv \,\,{\rm E}\left[ {\left({\,z\,\, - \,\,{\rm E}[z]\,} \right)^2 } \right]

то есть найти (z - E [z]) и сделайте необходимую алгебру, чтобы собрать термины и упростить.

7. Для большинства целей достаточно сохранить толькоусловия первого порядка; возвести это количество в квадрат.

8. Найдите ожидаемоезначение этого результата. Это будет приближение дисперсии z.

Многомерный ряд Тейлора

Это фундаментальное соотношение для разложения второго порядка,используемого в приближении:

z (x 1 x 2 ⋯ xp) ≈ z (x ¯ 1 x ¯ 2 ⋯ x ¯ p) + ∑ i = 1 p ∂ z ∂ xi | x ¯ i (x i - x ¯ i) + 1 2 ∑ i = 1 p ∑ j = 1 p ∂ 2 z ∂ x i ∂ x j | Икс ¯ я, Икс ¯ J (Икс - Икс ¯ я) (Xj - Икс ¯ J) {\ Displaystyle {\begin {align} z \ left ({x_ {1} \, \, \, x_ {2} \, \ cdots \, \, \, x_ {p}} \ right) \, \, \, \приблизительно \, \, \, z \ left ({{\ bar {x}} _ {1} \, \, \, {\ bar {x}} _ {2} \, \, \ cdots \, \, \, {\ bar {x}} _ {p}} \ right) \, \, \, \, + \, \, \, \, \ sum \ limit s _ {i \, = \, 1} ^ {p} {\ left. {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {i}}} \ right | } _ {{\ bar {x}} _ {i}} \ left ({x_ {i} - {\ bar {x}} _ {i}} \ right) \, \, \, \, \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, {1 \ over2} \ sum \ limits _ {i \, = \, 1} ^ {p} {\ sum \ limits _ {j \, = \, 1} ^ {p} {\ left. {{\ Partial^ {2} z} \ over {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} \ right |}} _ {{\ bar {x}} _ {i}, {\ bar {x}} _ {j}} \ left ({x_ {i} - {\ bar { x}} _ {i}} \ right) \ left ({x_ {j} -{\ bar {x}} _ {j}} \ right) \ end {align}}}

\ begin {align} z \ left ({x_1 \, \,\, x_2 \, \ cdots \, \, \, x_p} \ right) \, \, \, \ приблизительно \, \, \, z \ left ({\ bar x_1 \, \, \, \ bar x_2 \, \, \ cdots \, \, \, \ bar x_p} \ right) \, \, \, \, + \, \, \, \, \ sum \ limits_ {i \, = \, 1} ^ p {\ left. {{{\ partial z} \ over{\ partial x_i}} \ right |} _ {\ bar x_i} \ left ({x_i - \ bar x_i} \ right)\, \, \, \, \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, \, {1 \ over 2} \ sum \ limits_ {i \, = \, 1 } ^ p {\ sum \ limits_ {j \, = \, 1} ^ p {\ left. {{{\ partial^ 2 z} \ over {\ partial x_i \ partial x_j}}} \ right |}} _ {\ bar x_i, \ bar x_j} \ left ({x_i - \ bar x_i} \ right) \ left ({x_j - \ bar x_j} \ right) \ end {align}

Пример расширения: p = 2

Чтобы уменьшить беспорядок в обозначениях, символы оценки среднего не показаны:

z (x 1 x 2) ≈ z (x ¯ 1 x ¯ 2) + ∂ z ∂ x 1 (x 1 - x ¯ 1) + ∂z ∂ x 2 (x 2 - x ¯ 2) + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 (x 1 - x ¯ 1) (x 2 - x ¯ 2) + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x 1 ( x 2 - x ¯ 2) (x 1 - x ¯ 1) + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 1 (x 1 - x ¯ 1) (x 1 - x ¯ 1) + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x 2 (x 2 - x ¯ 2) ( Икс 2 - Икс ¯ 2) {\ Displaystyle {\ begin {align} z \ left ({x_ {1} \, \, x_ {2}} \ right) \, \, \, \, \ ок \, \, \, z \ left ({{\ bar {x}} _ {1} \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) \, \, \, + \, \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {1}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\bar {x}} _ {1}} \ right) \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {2}- \, \, {\ bar {x}} _ { 2}} \ right) \, \, \, \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} {{\ partial ^{2} z} \ over {\ partial x_ {1 } \ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ part ial x_ {2} \ partial x_ {1}}} \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) \ left ({x_ {1} - \,\, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} {{\ partial ^ {2} z} \ over { \partial x_ {1} \ partial x_ {1}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ справа) \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {2} \partial x_ {2}}} \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _{2} } \ right) \ end {align}}}

{\ begin {align} z \ left ({x_ {1} \, \, x_ {2}} \ right) \, \, \, \, \ приблизительно \, \, \, z \ left ({{\ bar x} _ {1} \, \, {\ bar x}_ {2}} \ right) \, \, \, + \, \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partialx_ {1}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar x} _ {1}} \ right) \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar x} _ {2}} \ right)\, \, \, \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar x} _ {1}} \ right) \ left ({x_ {2} - \,\, {\ bar x} _ {2 }} \ right) \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} {{\ part ial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {2} \ partial x_ {1}} } \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar x} _ {2}} \ right) \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar x} _ {1}} \верно) \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, \, \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} \ partial x_ {1}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar x} _ {1}} \ right) \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar x} _ {1}} \ справа) \, \, \, + \, \, \,{1 \ over 2} {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {2} \ partialx_ {2}}} \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar x} _ {2}} \ right) \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar x} _ {2}} \ right) \ end {align}}

, что сводится к

z (x 1 x 2) ≈ z (x ¯ 1 x ¯ 2) + ∂ z ∂ x 1 (x 1 - x ¯ 1) + ∂ z ∂ x 2 (x 2 - x ¯ 2) + ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 (x 1 - x ¯ 1)(x 2 - x ¯ 2) + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 1 2 (Икс 1 - x ¯ 1) 2 + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 2 2 (x 2 - x ¯ 2) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} z \ left ({x_ {1} \, \, x_ {2}} \ right) \, \, \, \, \ приблизительно \, \, \, z \ left ({{\bar {x}} _ {1} \, \, {\ bar {x }} _ {2}} \ right) \, \, \, + \, \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partialx_ {1}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right)\, \, \, + \, \, \, {{\ partial ^ {2} z } \ over {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \ left ({ x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) \\ \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} \, \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1 }} \ right) ^ {2} \, \, \, + \, \,\, \, {1 \ over 2} \, \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {2} ^ {2}}} \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) ^ {2} \ end {align}}}

\ begin {align} z \ left ({x_1 \, \, x_2} \ right) \, \, \, \, \ приблизительно \, \, \, z \ left ({\ bar x_1 \, \, \ bar x_2} \ right) \, \, \, + \, \, \,\, {{\ partial z} \ over {\ частичный x_1}} \ left ( {x_1 - \, \, \ bar x_1} \ right) \, \, \, + \, \, \, {{\ partial z} \ over {\ partial x_2}} \ left ({x_2 - \, \, \ bar x_2} \ right) \, \, \, + \, \, \, {{\ partial ^2 z} \ over {\ partial x_1 \ partial x_2}} \ left ( {x_1 - \, \, \ bar x_1} \ right) \ left ({x_2 - \, \, \ bar x_2} \ right) \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + \, \,\, {1 \ над 2} \, \, {{\ partial ^ 2 z} \ over {\partial x_1 ^ 2}} \ left ({x_1 - \, \, \ bar x_1} \ right) ^ 2 \, \, \, + \, \, \, \, {1 \ over 2} \, \, {{\ partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_2 ^ 2}} \ left ({x_2 - \,\, \ bar x_2 } \ right) ^ 2 \ end {align}

Приближение для среднего z

Используя предыдущийрезультат, возьмите ожидаемые значения:

E [z (x ¯ 1 x ¯ 2)] = z (μ 1 μ 2) E [∂ z ∂ Икс 1 (Икс 1 - Икс¯ 1)] = ∂ Z ∂ Икс 1 E [(Икс 1 - x ¯ 1)] = 0 {\ Displaystyle {\ rm {E}} \ left [{z \ left ({{ \ bar {x}} _ {1} \, \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right)} \ right] \, \, \, = \, \, \,z \ left ({\ mu _ {1} \, \, \, \ mu _ {2} \,} \ right) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ rm {E}} \ left [{{{\ partial z} \ over {\ part ial x_ {1}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}}\ right)} \ right] \, \, \, \, \, = \, \, \, \, \, {{\ partial z} \ над {\ partial x_ {1}}} {\ rm {E}} \ left[{\ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right)} \ right] \, \, \, = \, \, 0}

{\rm E}\left[ {z\left( {\bar x_1 \,\,\,\bar x_2 } \right)} \right]\,\,\, = \,\,\,z\left( {\mu _1 \,\,\,\mu _2 \,} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,{\rm E}\left[ {{{\partial z} \over {\partial x_1 }}\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)} \right]\,\,\,\,\, =\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_1 }}{\rmE}\left[ {\left( {x_1 - \,\,\bar x_1 } \right)} \right]\,\,\, = \,\,0

и аналогично для x 2. Частичные значения выходят за рамки ожидания,поскольку при соответствующих средних значениях они будут константами. Нулевой результат выше следует, поскольку ожидаемое значение суммы или разницы является суммой или разностью ожидаемых значений, так что для любого i

E [xi - x ¯ i] = E [xi] - E [x ¯ я] знак равно μ я - μ я знак равно 0 {\ displaystyle {\ rm {E}} \ left[{x_ {i} - {\ bar {x}} _ {i}} \ right] \, \, \, = \, \, \, {\ rm {E}} \ left [{x_ {i}} \ right] \, \, \, - \, \, \, {\ rm {E}} \ left [{{\ bar { x}} _ {i}} \ right] \,\, \, = \, \, \, \ mu _ {i} - \, \, \ mu _ {i} \, \, \, = \, \, \, 0}

{\rm E}\left[ {x_i - \bar x_i } \right ]\,\,\, = \,\,\,{\rm E}\left[ {x_i } \right] \,\,\, -\,\,\,{\rm E}\left[ {\bar x_i } \right]\,\,\, = \,\,\,\mu _i - \,\, \mu _i \,\,\, = \,\,\,0

Продолжая,

E [1 2 ∂ 2 z ∂ x 1 2 (x 1 - x ¯ 1) 2] = 1 2 ∂ 2 z ∂ x 1 2 Å [(Икс 1 - Икс ¯ 1) 2] = 1 2 ∂ 2 Z ∂ Икс 1 2 σ 1 2 {\ Displaystyle {\rm {E}} \ left [{{1 \ over 2} {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\bar {x}} _ {1}} \ right) ^ {2}} \ right ] \, \, \, = \, \, \, {1 \ over 2} \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \, { \ rm {E}} \ left [{\ left ({x_{1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) ^ {2}} \ right] \, \, знак равно \, {1 \ over 2} \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \ sigma _ {1} ^ {2}}

{\ rm E} \ left [{{1 \ over 2} {{\ pa rtial ^ 2 z} \ over {\ partial x_1 ^ 2}} \ left ({x_1 - \, \, \ bar x_1} \ right) ^ 2} \ right] \, \, \, = \, \, \, {1 \ over 2} \, {{\ partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_1 ^ 2}} \, {\ rm E} \ left [{\ left ({x_1 - \, \, \ barx_1} \ right) ^ 2} \ right] \, \, \, = \, \, \, {1 \ over 2} \, {{\partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_1 ^ 2}} \ sigma _1 ^ 2

и аналогично для x 2. Наконец,

E [∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 (x 1 - x ¯ 1) (x 2 - x ¯ 2)] = ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 E [(x 1 - x ¯ 1) (Икс 2 - Икс ¯ 2)] = ∂ 2z ∂ Икс 1 ∂ Икс 2 σ 1, 2 {\ displaystyle {\ rm {E}} \ left [{{{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}}\ right) \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right)} \ right] \, \, \, = \, \, \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \, {\ rm {E}} \ left [{\ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}}))_ {1}} \ right) \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right)} \ right] \, \, \, = \, \, \, {{\ partial ^{2} z} \ over {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ sigma _ {1,2}}

{\ rm E} \ left [{{{\ partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_1 \ partial x_2}} \ left ({x_1 - \, \, \ bar x_1} \ right) \ left ({x_2 - \, \, \ bar x_2} \ right)} \ right] \, \, \, = \, \, \, {{\ partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_1 \partial x_2}} \, {\ rm E} \ left [{\ left ({x_1- \, \, \ bar x_1} \ right) \ left ({x_2 - \, \, \ bar x_2} \ right)} \ right] \, \, \, = \, \, \, {{\ partial ^ 2 z} \ over {\ partial x_1 \ partial x_2}} \ sigma _ {1,2}

где σ 1, 2 - ковариация x 1 и x 2. (Это часто принимается равнымнулю, правильно или нет.) Тогда выражение для аппроксимации среднего значения производной случайной величины z будет

E [z] ≈ z (μ 1 μ 2) + 1 2 {∂ 2 z ∂ x 1 2 σ 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 σ 2 2} + ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 σ 1,2 {\ displaystyle {\ rm {E}} [z] \ приблизительно \, \, \, z \ left ({\ mu _ {1} \, \, \ mu _ {2}} \ right) \, \,\, + \, \, \, {1 \ over 2} \ left \ {{{{ \ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \, \, \ sigma _ {1} ^ {2} \, \, + \, \, \, {{ \ partial ^ {2} z} \ over {\partial x_ {2} ^ {2}}} \, \, \ sigma _ {2} ^ {2}} \ right \} \, \, \, + \, \, \, {{\ partial ^ {2} z} \ over {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \, \, \ sigma _ {1,2}}

{\rm E}[z] \approx \,\,\,z\left( {\mu _1 \,\,\mu _2 } \right)\,\,\, + \,\,\,{1 \over 2}\left\{ {{{\partial ^2 z} \over{\partial x_1^2 }}\,\,\sigma _1^2 \,\, + \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_2^2 }}\,\,\sigma _2^2 } \right\}\,\,\, + \,\,\,{{\partial ^2 z} \over {\partial x_1 \partial x_2 }}\,\,\sigma _{1,2}

где все члены после первого изменениясмещение в z. Это уравнение необходимо для перехода приближения дисперсии, но оно полезно само по себе; примечательно,что этого нет в большинстве текстов по анализу данных.

Аппроксимация дисперсии z

Из определения дисперсии следующего шага будет вычитание только чтонайденного ожидаемого значения из найденного ранее разложения z. Это приводит к

(z - E [z]) 2 ≈ [{∂ z ∂ x 1 (x 1 - x ¯ 1) + ∂ z ∂ x 2 (x 2 - x ¯ 2)} + ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 [(x 1 - x ¯ 1) (x 2 - x ¯ 2) - σ 1,2] + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 1 2 [(x 1 - x ¯ 1) 2 - σ 1 2] + 1 2 ∂ 2 z ∂ x 2 2 [(x 2 - x ¯ 2) 2 - σ 2 2]] 2 {\ displaystyle {\begin {array} {l} \ left ({z- { \ rm {E}} [z]} \ right) ^ {2} \ приблизительно \, \, \, \ left [{\ begin {array} {l} \ left \ {{{\ frac {\ partial z}} {\ partial x_ {1}}} \ l eft ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \, \, + \, \, \, {\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {2}}} \ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right)} \ right \} \, \, \, + \\\, \, \, {\ frac {\partial ^ {2} z} {\ partial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ left [{\ left ({x_ { 1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \ l eft ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) \, \, - \, \, \ sigma _ {1,2}} \ right] \, \, \, + \\\, \, \, {\ frac {1} {2}} {\ frac { \ partial ^ {2} z} {\ partial x_ {1} ^{2}}} \ left [{\ left ({x_ {1} - \, \, {\ bar {x}} _ {1}} \ право t) ^ {2} - \, \, \ sigma _ {1} ^ {2}} \ right] \, \, \, + \, \, \, {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x_ {2} ^{2}}} \ left [{\ left ({x_ {2} - \, \, {\ bar {x}} _ {2 }} \ право) ^ {2} - \, \, \ sigma _ {2} ^ {2}} \ right] \\\ end{array}} \ right] ^ {2} \\\, \, \, \, \ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ \\ end {array}}

\ begin {array} {l} \ left ({z - {\ rm E} [z]} \ right) ^ 2 \ приблизительно \, \, \, \ left [\ begin {array} {l} \ left \ {{\ frac {{\ partial z}} {{\ partial x_1}} \ left ({x_1 -\, \, \ bar x_1} \ right) \, \, + \, \, \, \ frac {{\ part ial z}} {{\ partial x_2}} \ left ({x_2 - \, \, \ bar x_2} \ right)} \ right \} \, \, \, + \\ \, \, \, \ frac {{\ partial ^ 2 z}} {{\ partial x_1 \ partial x_2}}\ left [{\ left ({x_1 - \, \, \ bar x_1} \ right) \ left ({x_2 - \, \, \ bar x_2} \ right) \, \, - \, \, \ sigma _ {1,2}} \ right] \, \, \, + \\ \, \, \, \ frac {1} {2} \ frac {{\ partial ^ 2 z}} {{\ partial x_1 ^ 2}} \ left [{\ left ({x_1 - \, \, \ bar x_1} \ right) ^ 2 - \, \,\ sigma _1 ^ 2} \ right] \, \, \, + \, \, \, \ frac {1}{2} \ frac {{\ partial ^ 2 z}} {{\ partial x_2 ^ 2}} \ left [ {\ left ({x_2 - \, \, \ bar x_2} \ right) ^ 2 - \, \, \ sigma _2 ^ 2} \ right] \\ \ end {array} \ righ t] ^ 2 \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ \ end {array}

Очевидно, что рассмотрение членов второгопорядка приводит к очень сложному и непрактичному результату, использование всех перечисленных выше терминов приводит к быть нужным; см. Мейер, стр. 46). Следовательно, возьмем только линейные члены ( в фигурных скобках) и возведем в квадрат:

(z - E [z]) 2 ≈ (∂ z ∂ x 1) 2 (x 1 - x ¯ 1) 2 + (∂ z ∂ Икс 2) 2 (Икс 2 -Икс ¯ 2) 2 + 2 (∂ Z ∂ Икс 1) (∂ Z ∂ Икс 2) (Икс 1 - x ¯ 1) (Икс 2 - Икс ¯ 2) {\ Displaystyle \ left ({z \, \, - \, \, {\ rm {E}} [z]} \ right) ^ {2} \ приблизительно \, \, \, \ left({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {1}}} \ right) ^ {2} \ left ({x_ {1} - {\ bar {x}} _ {1}} \ right) ^ {2} \, \, + \, \, \, \, \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {2}}} \ right) ^ {2}\ left ({x_ {2} - {\ bar {x}) } _ {2}} \ right) ^ {2} \, \, + \, \, \, 2 \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x_{1}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {2}}} \ right) \ left ({x_ {1} - {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \ left ({x_ {2} - {\ bar {x}} _ {2}} \ right)}

\left( {z\,\, -\,\,{\rm E}[z]}\right)^2 \approx \,\,\,\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x_1 }}} \right)^2 \left( {x_1 - \bar x_1 } \right)^2 \,\, +\,\,\,\,\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x_2 }}} \right)^2 \left( {x_2 - \bar x_2 } \right)^2 \,\, + \,\,\,2\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x_1 }}} \right)\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x_2 }}} \right)\left( {x_1 - \bar x_1 } \right)\left( {x_2 - \bar x_2 } \right)

Последний -взять ожидаемое значение этого

V ar [z] ≡ E [(z - E [z]) 2 ] ≈ (∂ z ∂ x 1) 2 E [(x 1 - x ¯ 1) 2] + (∂ z ∂ x 2) 2 E [(x 2 - x ¯ 2) 2] + 2 (∂ z ∂ x 1) (∂ z ∂ x 2) Е [(Икс 1 - Икс ¯ 1) (Икс 2 -Икс ¯ 2)] {\ Displaystyle {\ begin {array} {l} {\ rm {Var}} [z] \, \, \ Equiv \, { \ rm {E}} \ left [{\ left ({z \, \,- \, \, {\ rm {E}} [z]} \ right) ^ {2}} \ right] \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {1}}} \ right) ^ {2} {\ rm {E}} \ left [{\ left ({x_ {1}- {\ bar {x}} _ {1}} \ right) ^ {2}} \ right] \, \, + \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {2}}} \ right) ^ {2} {\ rm {E}} \left [{\ left ({x_ {2} - {\ bar {x}} _ {2}} \ right) ^ {2}} \ right] \, \, \, \, \, + \, \, \, \, 2 \ left ({\ frac {\partial z} {\ partial x_ {1}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial z } {\ partial x_ {2}}} \ right) {\ rm {E}} \ left [{\ left ({x_ {1} - {\ bar {x}} _ {1}} \ right) \ left ({x_ {2} -{\ bar {x}} _ {2}} \ right)} \ right] \\\ end {array}}}

\ begin {массив} {l} {\ rm Var} [z] \, \, \ Equiv \, {\ rm E} \ left [{\ left ( {z \, \, - \, \, {\ rm E}) [z]} \ right) ^ 2} \ right] \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left ({\ frac {{\ partial z}} {{\ partial x_1}}} \ right) ^ 2 {\ rm E} \ left [{\ left ({x_1 - \ bar x_1} \ right) ^ 2} \ right] \, \, + \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \ left ({\ frac {{\ partial z}} {{\ partialx_2}}} \ справа) ^ 2 {\ rm E} \ left [{\ left ({x_2 - \ bar x_2} \ right) ^ 2} \ right] \, \, \, \, \, + \, \, \, \, 2 \ left ({\ frac {{ \ partial z}} {{\ part ial x_1}}} \ right) \ left ({\ frac {{\ partial z}} {{\ partial x_2}}} \ right) {\ rm E} \ left [{\ left ({x_1 - \ bar x_1} \ right) \ left ({x_2 - \ bar x_2} \ right)} \ right] \\ \ end {array}

, что приводит к хорошо известному результату

V ar [z] ≈ (∂ z ∂ x 1) 2 σ 1 2 + (∂ z ∂ x 2) 2 σ 2 2 + 2 (∂ z ∂ Икс 1) (∂ Z ∂ Икс2) σ 1, 2 {\ Displaystyle {\ rm {Var}} [z] \, \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partialx_ {1}}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {1} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \, \ left ({ \ frac {\ partial z} {\ partial x_ {2}}} \ right) ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \, 2 \ left({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {1}}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {2}}} \ right) \ sigma _ {1, 2}}

{\ rm Var} [z] \, \, \, \,\ прибли зительно \, \, \, \ left ({\ frac {{\ partial z}} { {\ partial x_1}}} \ right) ^ 2 \ sigma _1 ^ 2 \, \, \, + \, \, \, \, \ left ({\ frac {{\ partial z}}} {{\ partial x_2 }}} \ right) ^ 2 \ sigma _2 ^ 2 \, \, \, + \, \, \, \, 2 \ left ({\ frac {{\ partial z}} {{\partial x_1}}} \ right) \ left ({\ frac {{\ partial z}} {{\ partialx_2}}} \ right) \ sigma _ {1,2}

и это обобщается для числа p как обычная формула«распространения ошибки»

В ар [z] ≈ ∑ я знак равно 1 п ∑ j знак равно 1 п (∂ z ∂ xi) (∂ z ∂ xj) σ я, j {\ displaystyle {\ rm{Var}} [z] \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {p} {\ сумма \ пределы _ {j = 1} ^ {p} {\ left ({\ frac {\ частичный z} {\ partial x_ {i}}} \ right)}} \ left ({\frac {\ partial z} {\ partial x_ {j}}} \ right) \ sigma _ {i, j}}

{\rm Var}[z]\,\,\, \approx \,\,\,\sum\limits_{i = 1}^p {\sum\limits_{j = 1}^p {\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x_i }}} \right)} } \l eft( {\frac{{\partial z}}{{\partial x_j }}} \right)\sigma _{i,j}

с пониманием того, что ковариация переменной сама с собой есть ее дисперсия. Важно понимать, что все этичастные производные должны оцениваться по среднему соответствующим параметрам x. Чтобы усилить это,

E [z] ≈ z (x ¯ 1 x ¯2) + 1 2 {∂ 2 z ∂ x 1 2 | x ¯ 1 σ 1 2 n 1 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 | x ¯ 2 σ 2 2 n 2} + ∂ 2 z ∂ x 1 ∂ x 2 | Икс ¯ 1, Икс ¯ 2 σ 1, 2 N 1, 2 {\ Displaystyle {\ rm {E}} [z] \ приблизительно \, \, \, z\ left ({{\ bar {x}} _ { 1} \, \, {\ bar {x}} _ {2}} \ right) \, \, \, + \, \, \, {\ frac {1} {2}} \ left \ {{\ осталось. {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x_ {1} ^{2}}} \ right | _ {{\ bar {x}} _ {1}} \, \, {\ sigma _ {1} ^ {2} \ over n_ {1}} \, \, \, \, + \, \, \, \, \, \ осталось. {\ frac {\ partial^ {2} z} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} \ right | _ {{\ bar {x}} _ {2}} \, {\ sigma _ {2} ^ {2} \ over n_ {2}}} \ right \} \, \, \, + \, \, \, \, \ осталось. {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ part ial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ right | _ {{\ bar {x}} _ {1}, {\ bar {x}} _ {2}} \, \, {\ sigma _ {1,2} \ over n_ {1,2}}}

{\rm E}[z] \approx \,\,\,z\left( {\bar x _1 \,\,\bar x _2 } \right)\,\,\, + \,\,\,\frac{1}{2}\left\{{\left. {\frac{{\partial ^2 z}}{{\partial x_1^2 }}} \right|_{\bar x_1 } \,\,{\sigma _1^2 \over n_1} \,\,\,\, + \,\,\,\,\,\left. {\frac{{\partial ^2 z}}{{\partial x_2^2 }}} \right|_{\bar x_2 } \,{\sigma _2^2 \over n_2} } \right\}\,\,\, + \,\,\,\,\left. {\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x_1 \partial x_2 }}} \right|_{\barx_1,\bar x_2 } \,\,{\sigma _{1,2} \over n_{1,2}}

В ар [z] ≈ ∑ я знак равно 1 п ∑ j знакравно 1 п (∂ z ∂ xi) x ¯ i (∂ z ∂ xj) x ¯ j σ i, jni, j {\ displaystyle {\ rm {Var }} [z] \, \, \, \ приблизительно \, \, \, \ sum \ limits _ {i= 1} ^ {p} {\, \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {p} {\, ​​\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x_ {i}}} \ right) _ {{\ bar {x}} _ {i}}}} \ left ({\ frac {\ частичный z} {\ partial x_ {j}}} \right) _ {{\ bar {x}} _ {j}} {\ sigma _ {i, j} \ over n_ {i, j}}}

{\ rm Var} [z] \, \, \, \ приблизительно \, \, \,\ sum \ limits_ {i = 1} ^ p {\, \ sum \ limits_ {j = 1} ^ p {\, \ left ({\ frac {{\ partial z}} {{\ partial x_i}}} \ right) _ {\ bar x_i}}} \ left ({\ frac {{\partial z}} {{\ partial x_j}}} \ right) _ {\ bar x_j} {\ sigma _ {i, j} \ over n_ {i, j}}

Таблица выбранных соотношений неопределенности

Одномерный случай 1

z = axrx ∼N (μ, σ 2) a, rconstants {\ displaystyle z \, \, = \, \, a \, x ^ { р} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, x \, \, \ sim \, \, N \ left ({\ mu, \, \, \ sigma ^ {2}} \ right) \, \, \, \, \, \, \, a, r \, \, {\ rm {константы}} \, \, \, \,}

z\,\, = \,\,a\,x^r\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\,\sim\,\,N\left( {\mu,\,\,\sigma ^2 } \right)\,\,\,\,\,\,\,a,r\,\,{\rm constant s}\,\,\,\,

заметАНИЯ: r может быть целым илидробным, положительным или отрицательным ( или нулем). Если r отрицательно, убедитесь, что диапазон x не включает ноль. Если r является дробным с четнымделителем, убедитесь, что x не является отрицательным. «N» - это размер выборки. Эти выражения основаны на анализе данных «Метод 1», где наблюдаемыезначения x усредняются до преобразования (то есть, в данном возведении в степень и умножение на константу).

Смещение типа I, абсолютное......................................................................... Уравнение (1.1)

Δ z ≈ ar μ r - 1 Δ x {\ displaystyle \ Delta z \, \, \ приблизительно \, \, a \, r \, \ mu ^ {r-1} \,\ Delta x}

\Delta z\,\, \approx \,\,a\,r\,\mu ^{r - 1} \,\Delta x

смещение типа I, относительное (дробное).........................................................Eq (1.2)

Δ zz ≈ р Δ x μ {\displaystyle {{\ Delta z} \ over z} \, \, \, \ ок. \, \, \, R \, \, {{\ Delta x} \ over \ mu}}

{{\Delta z} \over z}\,\,\, \approx \,\,\,r\,\,{{\Delta x} \over \mu }

Среднее (ожидаемое значение).......................................................................Уравнение (1.3)

E [z] знак равно μ Z ≈ a μ р + 1 2 ar (r - 1) μ r - 2 σ 2 n {\ displaystyle {\ rm {E}} [z] \, \, \, = \, \, \, \ mu _ {z} \ок \, \, a \ mu ^ {r} \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2 } a \, r \ left ({r-1} \ справа) \, \, \ mu ^ {r-2} \, \, {{\ sigma ^ {2}} \ over n}}

{\ rm E} [z] \, \, \, = \, \, \, \ mu _z \ приблизительно \, \, a\ mu ^ r \, \, \, + \, \, \, {1 \ over 2} a \, r \ left ({r - 1} \ right) \, \, \ mu ^ {r - 2} \, \, {{\ sigma ^ 2} \ over n}

Смещение типа II, абсолютное........................................................................ Уравнение (1.4)

β ≈ ar (r - 1) μ r 2 n (σ μ) 2 {\ displaystyle \ beta \, \, \ приблизительно \, \,{{a \, r \ left ({r-1} \ right) \ mu ^ {r}} \ over {2 \, n}} \ left ({\ sigma \ over \ mu} \ right) ^ {2}}

\beta \,\, \approx \,\,{{a\,r\left( {r - 1} \right)\mu ^r } \over {2\,n}}\left( {{\sigma \over \mu }}\right)^2

Смещение типа II, дробное....................................................................... Уравнение (1.5)

β z ≈ r (r - 1) 2 n (σ μ) 2 {\ Displaystyle {\ бета \ надz} \, \, \, \ ок \, \, \, {{г \ влево ({ г-1} \ вправо)} \ над {2 \, n}} \, \, \ left ({\ sigma \ over \ mu} \ right) ^ {2}}

{\beta \over z}\,\,\, \approx \,\,\,{{r\left( {r - 1} \right)} \over {2\,n}}\,\,\left( {{\sigma \over \mu }} \right)^2

Дисперсия, абсолютная........................................................................... уравнение (1.6)

σ z 2 ≈ (ar μ r - 1) 2 σ 2 n = (ar μ r) 2 n (σ μ) 2 {\ displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \приблизительно \, \, \, \ left ({a \, r \, \ mu ^ {r-1}} \ right) ^ {2} {{\ sigma ^ { 2}} \ over n} \, \, \, = \, \, \, \, {{\ left ({a \, r \, \ mu ^ {r}}\ right) ^ {2}} \ over n} \ left ({\ sigma \ over \ mu} \ right) ^ {2}}

\sigma _z^2 \approx \,\,\,\left( {a\,r\,\mu ^{r - 1} } \right)^2 {{\sigma ^2 } \over n}\,\,\, = \,\,\,\,{{\left( {a\,r\,\mu ^r } \right)^2 } \over n}\left( {{\sigma \over \mu }} \right)^2

Стандартное отклонение, дробное........................................................... Уравнение (1.7)

σ zz ≈ a 2 р 2 μ 2р - 2 σ 2 на 2 μ 2 р знак равно rn (σ μ) {\ Displaystyle {{\ sigma _ {z}} \ над z} \, \, \, \, \, \ ок \, \, \, \, {\ sqrt {{a ^{2} \, r ^ {2} \, \ mu ^ {2r-2} \, \, {{\ sigma ^ {2}} \ over n }} \ over {a ^ {2} \, \ mu ^ {2r}}}} \, \, \, \, \, = \, \, \, \, \, {r \ over {\ sqrt { n}}}\ left ({\ sigma \ over \ mu} \ right)}

{{\sigma _z } \over z}\,\,\,\,\, \approx \,\,\,\,\sqrt {{{a^2 \,r^2 \,\mu ^{2r - 2} \,\,{{\sigma ^2 } \over n}} \over {a^2 \,\mu ^{2r} }}} \,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,{r \over{\sqrt n }}\l eft( {{\sigma \over \mu }} \right)

Комментарии:

(1) Уравнения с ущерба 1.1 и 1.2 типа I не зависят от размера выборки n.

(2) Уравнение (1.4) - это перестановка второго члена в уравнении (1.3).

(3) Смещение типа II, дисперсия и стандартное отклонение уменьшаются с размера выборки, а также уменьшаются для даннойвыборки. размер, когда стандартное отклонение σ становится малым по сравнению со средним значением μ.

Одномерный случай 2

z = aebxx ∼ N (μ, σ 2) a,bconstants {\ displaystyle z \, \, = \, \, a \, e ^ {b \, x} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x \, \, \ sim \, \, N \ left ({\ mu, \, \, \ sigma ^ {2}} \right) \, \, \, \, \, \, \, a, b \, \, {\ rm {constants}}}

z\,\, = \,\,a\,e^{b\,x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\, \sim \,\,N\left( {\mu,\,\,\sigma ^2 } \right) \,\,\,\,\,\,\,a,b\,\,{\rm constants}

заметАНИЯ: b может быть положительным или отрицательным. «N»- размер выборки. Имейте в виду, что эффективность этих приближений очень сильно зависит от относительных размеров μ, σ и b.

Смещение типа I,абсолютное......................................................................... уравнение (2.1)

Δ z ≈ abeb μ Δ x {\ displaystyle \ Delta z \, \, \ приблизительно \, \, a \, b \, e ^ {b \, \ mu} \, \ Delta x}

\Delta z\,\, \approx \,\,a\,b\,e^{b\,\mu } \,\Delta x

Смещение типа I, относительное (дробное)......................................................... Уравнение (2.2)

Δ zz ≈ б Δ x {\ displaystyle {\ frac {\ Delta z} {z}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, b \, \ Delta x}

\frac{{\Delta z}}{z}\,\,\, \approx \,\,\,b\,\Delta x

Среднее (ожидаемое значение)....................................................................... Уравнение (2.3)

E [z] = μ z ≈ aeb μ + 1 2 ab 2 eb μ σ 2 N {\ Displaystyle {\ rm {E}} [z] \, \, \, = \, \, \, \ mu _ {z} \ приблизительно \, \, ae ^ {b \, \ m u} \, \, \, + \, \, \, {\ frac {1} {2}} \, \, a \, b ^ {2} e ^ {b \, \ mu} \, \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}}

{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \approx \,\,ae^{b\,\mu } \,\,\, + \,\,\,\frac{1}{2}\,\,a\,b^2 e^{b\,\mu } \,\,\frac{{\sigma ^2 }}{n}

Смещение типа II, абсолютное........................................................................ Уравнение (2.4)

β ≈ 1 2 ab 2 eb μ σ 2 N {\ Displaystyle\ beta \, \, \ приблизительно \, \, {\ гидроразрыва {1} {2}} \, \, a \, b ^ {2} e ^ {b \, \ mu} \, \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}}

\beta \,\, \approx \,\,\frac{1}{2}\,\,a\,b^2 e^{b\,\mu } \,\,\frac{{\sigma ^2 }}{n}

Смещение типа II, дробное....................................................................... Уравнение ( 2.5)

β z ≈ б 2 σ 2 2 N {\ Displaystyle {\ frac {\ beta} {z}} \, \, \, \ ок \,\, \, {\ frac {b ^ {2 } \ sigma ^ {2}} {2 \, n}}}

\frac{\beta }{z}\,\,\, \approx \,\,\,\frac{{b^2 \sigma ^2 }}{{2\,n}}

Дисперсия, абсолютная........................................................................... Уравнение ( 2.6)

σ z 2 ≈ (abeb μ) 2 σ 2 N {\ Displaystyle \ сигма _ {z} ^ {2} \ ок \, \, \, \ влево ({а \, б \, е ^ { б \ му}} \ вправо) ^ {2} \, \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}}

\sigma _z^2 \approx \,\,\,\left( {a\,b\,e^{b\mu } } \right)^2 \,\,\frac{{\sigma ^2 }}{n}

Стандартное отклонение, дробное........................................................... Уравнение ( 2.7)

σ zz ≈ (abeb μ) 2 σ 2 на 2 е 2 á μзнак равно á σ N {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ sigma _ {z}} {z}} \, \, \, \, \, \ ок \, \, \, \, {\ sqrt {\ frac {\ left ({a \, b \, e ^ {b \ mu}} \ right) ^ { 2} \,\, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}} {a ^ {2} e ^ {2b \ mu}}}} \, \, \, \, = \, \, \, \, b \, \, {\ frac {\ sigma} {n}}}

\frac{{\sigma _z }}{z}\,\,\,\,\, \approx \,\,\,\,\sqrt {\frac{{\left( {a\,b\,e^{b\mu } } \right)^2 \,\,\frac{{\sigma ^2 }}{n}}}{{a^2 e^{2b\mu } }}} \,\,\,\, = \,\,\,\,b\,\,\frac{\sigma}{n}

Одномерный случай 3

z = a ln (bx) x ∼ N (μ, σ 2) a, bconstants {\ Displaystyle г \, \, = \, \,а \, \ пер \, (б \, х) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, x \, \, \ sim \, \, N \ left ({ \ mu, \, \, \ sigma ^ {2}} \ буровая установка ht) \, \, \, \, \, \, \, a, b \, \, {\ rm {constants}}

z\,\, = \,\,a\,\ln\,(b\,x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\,\, \sim \,\,N\left( {\mu,\,\,\sigma ^2 } \right)\,\,\,\,\,\,\,a,b\,\,{\rm constant s}

Отметки: b и x должны бытьположительными. «N» - размер выборки. Имейте в виду, что эффективность этих приближений очень сильно зависит от относительных размеров μ, σ и b.

Смещение типа I, абсолютное......................................................................... уравнение (3.1)

Δ z ≈ a Δ x μ {\ displaystyle \ Delta z \,\, \ приблизительно \, \, a \, \, {\ frac {\ Delta x} {\ mu}}}

\ Delta z \, \, \ приблизительно \, \, a \, \, \ frac {{\ Delta x}} {\ mu}

Смещение типа I, относительное (дробное).........................................................Уравнение ( 3.2)

Δ zz ≈ Δ x μ ln ⁡ (b μ) {\ displaystyle {\ frac {\ Delta z} {z}} \, \, \, \ приблизительно \, \, \, {\ frac { \ Delta x} {\ mu \, \, \ ln (b \, \ mu)}}}

\frac{{\Delta z}}{z}\,\,\, \approx\,\,\,\frac{{\Delta x}}{{\mu \,\,\ln (b\,\mu)}}

Среднее (ожидаемое значение).......................................................................Eq (3.3)

E [z] = μ z ≈ a ln ⁡ (b μ) - 1 2 aμ 2 σ 2 n {\ displaystyle {\ rm {E}} [z] \, \, \, = \, \, \, \ mu _ {z} \ ок \, \, a \ ln (b \ mu) \, \, \, - \, \, \, \, {\ frac {1} {2}} \, \, {\ frac {a} {\ mu ^{2}}} \, \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n}}}

{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \approx \,\,a\ln (b\mu)\,\,\, - \,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\frac{a}{{\mu ^2 }}\,\,\frac{{\sigma ^2 }}{n}

Смещение типа II, абсолютный........................................................................ уравнение (3.4)

β ≈ - a 2 N (σ μ) 2 {\ displaystyle \ beta \, \, \приблизительно \, \, \, - \, \, \, {\ frac {a} {2 \, n }} \ left ({\ frac {\ sigma} {\ mu}} \ right) ^ {2}}

\ beta \, \, \ приблизительно \, \, \, - \, \, \, \ frac {a} {{2 \, n}} \ left ({\ frac {\ sigma} {\ mu}} \ right) ^ 2

Смещение типа II, fr оперативная....................................................................... Уравнение (3.5)

β z ≈ - 1 2 n ln ⁡ (b μ) (σ μ) 2{\ displaystyle {\ frac {\ beta} {z}} \, \, \, \ ок \, \, \, - \, \, {\ frac {1} {2 \, n \, \, \ ln (b \ mu)}} \ left ({\ frac {\ sigma} {\ mu }} \ right) ^ {2}}

\frac{\beta }{z}\,\,\, \approx \,\,\, - \,\,\frac{1}{{2\,n\,\,\ln (b\mu)}}\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)^2

Абсолютная дисперсия........................................................................... Уравнение (3.6)

σ z 2 ≈ a 2 N (σ μ) 2 ⇒ σ z ≈ an (σ μ) {\displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \ приблизительно \, \, \, {\ frac {a ^ {2} \, } {n}} \, \ left ({\ frac {\ sigma} {\ mu}} \ right) ^ {2} \, \, \, \, \, \, \, \ Right arrow \, \, \, \, \, \, \ sigma _ {z} \ ок \, \, \, {\ frac {a} {\ sqrt {n}}} \, \, \ left ({\ frac {\ sigma} { \ mu}} \ right)}

\sigma _z^2 \approx \,\,\,\frac{{a^2 \,}}{n} \,\left( {\frac{\sigma }{\mu }}\right)^2 \,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \sigma _z \approx \,\,\,\frac{a}{{\sqrt n }}\,\,\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)

Стандартное отклонение, дробное...........................................................Уравнение (3,7)

σ zz ≈ 1 N пер (б μ) (σ μ) {\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {z}} {z}} \, \, \,\, \, \ приблизительно \, \, \, \, \, {\ frac {1} {{\ sqrt {n}} \, \, \, \ ln \, (b \ mu)}} \, \, \ left ({ \ frac {\ sigma} {\ mu}} \ right)}

\frac{{\sigma _z }}{z}\,\,\,\,\, \approx \,\,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt n \,\,\,\ln \,(b\mu)}}\,\,\left( {\frac{\sigma }{\mu }} \right)

Многомерный случай 1

z = ax 1 + bx 2 [x 1 x 2] ∼ B VN (μ 1, μ 2, σ 1 2, σ 2 2, σ 1, 2) a, bconstants {\ displaystyle z \, \, = \, \, a \, x_ {1} \, + \, \, b \, x_ {2} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left [{x_ {1} \, \, x_ {2}} \ right] \, \,\ sim \, \, BVN \ left ({\ mu _ {1}, \, \, \ mu _ {2}, \, \, \ sigma _ {1} ^ {2}, \, \, \ sigma _{2} ^ {2}, \, \, \ sigma _ {1,2}} \ right) \, \, \, \, \, \, \, a, b \, \, {\ rm {constants}}}

z\,\, = \,\,a\,x_1 \, + \,\,b\,x_2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x_1 \,\,x_2 } \right]\,\, \sim\,\,BVN\left( {\mu _1,\,\,\mu _2,\,\,\sigma _1^2,\,\,\sigma _2^2,\,\,\sigma _{1,2} } \right)\,\,\,\,\,\,\,a,b\,\,{\rm constants}

дополнительные слова: БВН - это двумерный обычный PDF. «N» - размервыборки.

Смещение типа I, абсолютное......................................................................... Уравнение (4.1)

Δ z ≈ a Δ x 1 + b Δ x 2 {\ displaystyle \ Delta z \, \, \ приблизительно \, \, a \, \ Delta x_{1} + \, \, b \, \ Delta x_ {2}}

\Delta z\,\, \approx \,\,a\,\Delta x_1 + \,\,b\,\Delta x_2

смещение типа I, относительное (дробное)......................................................... Уравнение (4.2)

Δ zz ≈ a Δ x 1 + b Δ x 2 a μ 1 + b μ 2 {\ displaystyle {\ frac {\ Delta z} {z}} \, \, \, \ приблизительно\, \, \, {\ frac {a \, \ Delta x_ {1} + \, \, \, b \, \ Delta x_ {2}} {a \ mu _ {1 } + \, \, b \ mu _ {2}}}}

\frac{{\Delta z}}{z}\,\,\, \approx \,\,\,\frac{{a\,\Delta x_1 + \,\,\,b\,\Delta x_2 }}{{a\mu _1+ \,\,b\mu _2 }}

Среднее (ожидаемое значение)....................................................................... Уравнение (4.3)

E [z] = μ z ≈ a μ 1 + b μ 2 {\ displaystyle {\ rm {E}} [z] \, \, \, = \, \, \, \ mu _ {z} \, \, \ приблизительно \, \, \, \, a \ mu _ {1} + \, \, b \ mu _ {2}}

{\ rm E} [z] \, \, \, = \, \, \, \ mu _z \, \, \ ок \, \, \, \, a \ mu _1 + \, \, b \ mu _2

Смещение типа II, абсолютное........................................................................ У равнение (4.4)

β = 0 {\ displaystyle \ beta \, \, = \, \, \, 0}

\beta \, \, = \, \, \, 0

Смещение типа II, дробное....................................................................... Уравнение (4.5)

β z = 0 {\ displ aystyle {\frac {\ beta} {z}} \, \, \, = \, \, \, 0}

\frac{\beta }{z}\,\,\, = \,\,\,0

Абсолютная дисперсия........................................................................... Уравнение (4.6)

σ z 2 ≈ 1 N [a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2 + 2 ab σ 1, 2] {\ displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \приблизительно \, \, \, {\ frac {1 } {n}} \, \, \ left [{a ^ {2} \ sigma _ {1} ^ {2} \, \, + \, \, \, b ^ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, 2 \, a \, b \, \ sigma _ {1,2}} \ right]}

\sigma _z^2 \approx \,\,\,\frac{1}{n}\,\,\left[ {a^2 \sigma _1^2 \,\, + \,\,\,b^2 \sigma _2^2 \,\,\, + \,\,\,2\,a\,b\,\sigma _{1,2} } \right]

Стандартное отклонение, дробное........................................................... Уравнение (4.7)

Это сложно, бессмысленно,не упрощает ни до чего полезного; используйте (4.6)

Многомерный случай 2

z = ax 1 α x 2 β [x 1 x 2] ∼ BVN (μ 1, μ 2, σ 1 2, σ 2 2, σ 1, 2) α, βконстанты {\ Displaystyle z \, \, = \, \, a \, \, x_ {1} ^ {\ alpha} \, x_ {2} ^ {\ beta} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left [{x_ {1} \, \, x_ {2}} \ right] \, \, \ sim \, \, BVN \ left ({\ mu _ {1}, \, \, \ mu _ {2}, \, \, \ sigma _ {1} ^ {2},\, \, \ sigma _ {2} ^ {2}, \, \, \ sigma _ {1,2}} \ right) \, \, \, \, \, \, \, \ alpha, \beta \, \, {\ rm {constants}}}

z\,\, = \,\,a\,\,x_1^\alpha \,x_2^\beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {x_1 \,\,x_2 } \right]\,\, \sim\,\,BVN\left( {\mu _1,\,\,\mu _2,\,\,\sigma _1^2,\,\,\sigma _2^2,\,\,\sigma _{1,2} } \right)\,\,\,\,\,\,\,\alpha,\beta \,\,{\rm constants}

Смещение типа I, абсолютное......................................................................... Уравнение (5.1)

Δ z ≈ (a α μ 1 α - 1 μ 2 β) Δ x 1 + (a β μ 1 α μ 2 β - 1) Δ Икс 2 {\ Displaystyle \ Delta z \, \, \ ок \, \, \ влево ({а \, \ альфа \, \ му _ {1} ^ {\ alpha -1} \, \ mu _ {2} ^ {\ beta}} \ right) \ Delta x_ {1} \, \, \, + \, \, \, \, \ left ({a \, \ beta \, \ mu _ {1} ^ {\ alpha} \ mu _ {2} ^ {\ beta -1}} \ right) \ Delta x_ {2}}

\ Delta z \, \, \ приблизительно \, \, \ left ({a \, \ alpha \, \ mu _1 ^ {\ alpha - 1} \, \ m u _2 ^ \ beta} \ right) \ Delta x_1 \, \, \, + \, \, \, \, \ left ({a \, \ beta \, \ mu _1 ^ \ alpha \ mu _2 ^ {\ beta - 1}} \ right) \ Delta x_2

Смещение типа I, относительное (дробн ое)......................................................... Уравнение (5.2)

Δ zz ≈ α Δ x 1 μ 1 + β Δ x 2 μ 2 {\displaystyle {\ frac {\ Delta z} {z}} \, \, \, \ ок \, \, \, \ alpha {\ frac {\ Delta x_ {1}} {\ mu _ {1}}} \, \, \, + \, \, \, \ beta {\ frac {\ Delta x_ {2 }} {\ mu _ {2}}}}

\frac{{\Delta z}}{z}\,\,\, \approx \,\,\,\alpha \frac{{\Delta x_1 }}{{\mu _1 }}\,\,\, + \,\,\,\beta \frac{{\Delta x_2 }}{{\mu _2 }}

Среднее (ожидаемое значение)....................................................................... Уравнение (5.3)

E [ z] = μ z ≈ a μ 1 α μ 2 β + a 2n [(α (α - 1) μ 1 α - 2 μ 2 β) σ 1 2 + (β (β - 1) μ 1 α μ 2 β - 2) σ 2 2 + (2 α β μ 1 α - 1 μ 2 β - 1) σ 1, 2] {\ displaystyle {\ rm {E}} [z] \, \, \, = \, \,\, \ mu _ {z} \, \, \ ок \, \, \, \, a \ mu _ {1} ^ {\ alpha} \ mu _ {2} ^ {\ beta} \, \, + \, \, \, {\ frac {a} {2n}} \ left [{\ begin {array} {l} \ left ({\ alpha \ left ({\ alpha -1} \ right) \ mu _ {1} ^ {\ alpha -2} \ mu _ {2} ^ {\ beta}} \ right)\ sigma _ {1} ^ {2} + \\\ left ({\ beta \ left ({\ beta -1} \ right) \ mu _ {1} ^ {\alpha} \ mu _ {2} ^ {\ beta -2}} \ right) \ sigma _ {2} ^ {2} + \\\ left ({2 \, \ alpha \, \ beta \, \ mu _ {1} ^ {\ alpha -1} \, \ mu _ {2} ^ {\ beta -1}} \right) \ sigma _ {1, 2} \\\ end {array}} \ right]}

{\rm E}[z]\,\,\, = \,\,\,\mu _z \,\, \approx \,\,\,\,a\mu _1^\alpha \mu _2^\beta \,\, + \,\,\,\frac{a}{2n}\left[ \begin{array}{l} \left( {\alpha \left( {\alpha - 1} \right)\mu _1^{\alpha - 2} \mu _2^\beta } \right)\sigma _1^2 + \\ \left ( {\beta \left( {\beta - 1} \right)\mu_1^\alpha \mu _2^{\beta - 2} } \right)\sigma _2^2 + \\ \left( {2\,\alpha \,\beta \,\mu _1^{\alpha - 1} \,\mu _2^{\beta - 1} } \right)\sigma _{1,2} \\\end{array} \right]

Смещение типа II, абсолютное........................................................................ Уравнение (5.4)

β ≈ a 2 n [(α (α - 1) μ 1 α - 2 μ 2 β) σ 1 2 + (β (β - 1) μ 1 α μ 2 β - 2)σ 2 2 + (2 α β μ 1 α - 1 μ 2 β - 1) σ 1, 2] {\ Displaystyle \ beta \, \, \, \, \приблизительно \, \, \, \, {\ frac {a} {2n}} \ left [{\ begin {array} {l} \ left ({\ alpha \ left ({\ alpha -1} \ right) \ mu _ {1} ^ {\ alpha -2} \ mu _ {2} ^{\ beta}} \ right) \ sigma _ {1} ^ {2} + \\\ left ({\ beta \ left ({ \ beta -1} \ right) \ mu _ {1} ^ {\ alpha} \ mu _ {2} ^ {\ beta -2}} \ right) \ sigma _ {2} ^ {2} + \\\ left ({2 \, \ alpha \, \ beta \, \ mu _ {1} ^ {\ alpha -1} \, \ mu _ {2} ^ {\ beta-1}} \ right) \ sigma _ { 1,2} \\\ end {array}} \ right]}

\ beta \, \, \, \, \ ок \, \, \, \, \ frac{a} {2n} \ left [\ begin {array} {l} \ left ({\ alpha \ left ( {\ alpha - 1} \ right) \ mu _1 ^ {\ alpha - 2} \ mu _2 ^ \ beta} \ right) \ sigma _1 ^ 2 + \\ \ left ({\ beta \ left ({\ beta - 1} \ right) \ mu _1 ^ \ alpha \ mu _2 ^ {\ beta - 2}} \ right) \ sigma _2 ^ 2 + \\\ left ({2 \, \ alpha \, \ beta \, \ mu _1 ^ {\ alpha - 1} \,\ mu _2 ^ {\ beta - 1}} \ right) \ sigma _ {1,2} \\ \ end {array} \ right]

Смещение типа II,дробное....................................................................... Уравнение (5.5)

β z = 1 2 n [α (α - 1) (σ 1 μ 1) 2 + β (β - 1) (σ 2 μ 2) 2+ 2 α β (σ 1, 2 μ 1 μ 2) ] {\ displaystyle {\ frac {\ beta} {z}} \, \, \, = \, \, \, {\ frac {1} {2n}} \ left [{\ alpha \ left ({\ alpha -1} \ right) \ left ({\ frac {\ sigma _ {1}} {\ mu _ {1}}} \ right) ^ {2} + \, \, \, \ beta \ left ({\ бета -1} \ right)\ left ({\ frac {\ sigma _ {2}} {\ mu _ {2}}} \ right) ^ {2} \, \, + \, \, \,\, 2 \, \ alpha \, \ beta \ left ({\ frac {\ sigma _ {1,2}} {\ mu _ {1} \, \ mu _ {2}}} \ right) \,} \ right]}

\frac{\beta }{z}\,\,\, =\,\,\,\frac{1}{{2n}}\left[ {\ alpha \left( {\alpha - 1} \righ t)\left( {\frac{{\sigma _1 }}{{\mu _1 }}} \right)^2 + \,\,\,\beta \left ( {\beta - 1} \right)\left( {\frac{{\sigma _2 }}{{\mu _2 }}} \right)^2 \,\, + \,\,\,\,2 \,\alpha\,\beta \left( {\frac{{\sigma _{1,2} }}{{\mu _1 \,\mu _2 }}} \right)\,} \right]

Абсолютная дисперсия........................................................................... Уравнение (5.6)

σ z 2 ≈ a 2 n [ (α μ 1 α - 1 μ 2 β) 2 σ 1 2 + (β μ 1 α μ 2 β - 1) 2 σ 2 2 + (2 α β μ 1 2 α - 1 μ 2 2 β - 1) σ 1, 2] {\ displaystyle \ sigma _ {z} ^ {2} \ приблизительно \, \, \, {\ frac{a ^ {2}} {n}} \, \, \ left [{\ left ( \ alpha \, \ mu _ {1} ^ {\ alpha -1} \mu _ {2} ^ {\ beta} \ right) ^ {2} \ sigma _ {1} ^ { 2} \, \, \, + \, \, \, \ left (\ beta \, \ mu _ {1} ^ {\ alpha} \ mu _ {2} ^ {\ beta -1} \ right) ^ {2} \ sigm a _ { 2} ^ {2} \, \, \, + \, \, \, \ left (2 \ alpha \, \ beta \, \ mu _ {1} ^ {2 \ alpha -1} \ mu _ {2 } ^ {2 \ beta -1} \ right) \ sigma _ {1,2}} \ right]}

\sigma _z^2 \approx \,\,\,\frac{a^2 }{n}\,\,\left[ {\left( \alpha \,\mu _1^{\alpha - 1} \mu _2^\beta \right)^2 \sigma _1^2 \,\,\, + \,\,\,\left( \beta \,\m u _1^\alpha \mu _2^{\beta - 1} \right)^2 \sigma _2^2 \,\,\, + \,\,\,\left( 2\alpha \,\beta \,\mu _1^{2\alpha - 1} \mu _2^{2\beta - 1} \right)\sigma _{1,2} } \right]

Стандартное отклонение, дробное...........................................................Уравнение (5.7)

σ zz ≈ α 2 N (σ 1 μ 1) 2 + β 2 N (σ 2 μ 2) 2 + 2 α β N (σ1, 2 μ 1 μ 2) {\ Displaystyle {\ frac {\ sigma _ {z} } {z}} \, \, \, \ ок \, \, \, {\ sqrt {\, \, {\ frac {\ alpha ^ {2}} {n}} \ left ({\ frac {\ sigma _ {1}} {\ mu_ {1}}} \ right) ^ {2} + \, \, \, \, {\ frac {\ beta ^ {2}} {n}} \ left ({ \ frac {\ sigma _ {2}} {\ mu _ {2}}} \ right) ^ {2 } \, \, + \, \, \, {\ frac {2 \, \ alpha \, \ beta} {n}} \ left ({\ frac {\ sigma _ {1,2}} {\ mu _ {1} \, \ mu _ {2}}} \ right)}}}

\frac{\sigma _z }{z}\,\,\, \approx \,\,\,\sqrt {\,\,\frac{\alpha^2 }{n}\left( \frac{\sigma _1 }{\mu _1 } \right) ^2 + \,\,\,\,\frac{\beta ^2 }{n}\left( \frac{\sigma _2 }{\mu _2 } \right)^2 \,\, + \,\,\,\frac{2\,\alpha \,\beta }{n}\left( \frac{\sigma _{1,2} }{\mu _1 \,\mu _2 } \right)}

Галерея рисунков

Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
Рисунок 6
Рисунок 7

См. Также

Литература

Внешние ссылки

A Интерактивная графика Java, иллюстрирующая ошибки обработки метода 1 и метода 2.