Интервальный конечный элемент

редактировать

Максимальное напряжение по Мизесу в задаче плоского напряжения с точностью интервала (вычислено с использованием метода градиента).

In численный анализ, интервальный метод конечных элементов (интервальный FEM ) - это метод конечных элементов, который использует интервальные параметры. Интервальный МКЭ может использовать в ситуациях, когда невозможно получить достоверные вероятностные характеристики конструкции. Это важно для деревянных конструкций, геомеханики, композитных конструкций, биомеханики и других областей. Цель интервального конечного элемента - найти верхнюю и нижнюю границы различных характеристик модели (например, напряжение, с нарушением, поверхность текучести и т. Д.) в процессе проектирования. Это так называемый проект наихудшего случая, который используется с расчетом по предельным состояниям.

Расчет наихудшего случая требует информации, чем вероятностный расчет, однако результаты более консервативны [Койлуоглу и Элишаков 1998].

Содержание

1 Применение интервальных параметров к моделированию неопределенности
- 1.1 Объединенный набор решений
- 1.2 Параметрический набор решений интервальной линейной системы
- 1.3 Алгебраическое решение
2 Метод
3 Интервальное решение в сравнении с вероятностным решением
4 Простой пример: моделирование растяжения, сжатия, деформации и напряжения)
- 4.1 Пример одного измерения
- 4.2 Пример многомерного
5 Конечные точки Комбинированный метод
6 Метод расширения Тейлора
7 Градиентный метод
8 Элементный метод
9 Методы возмущений
10 Метод поверхности отклика
11 Чистые интервальные методы
12 Параметрические интервальные системы
13 См. Также
14 Источники
15 Внешние ссылки

Применения интервального пар. Параметры моделирования неопределенности

Рассмотрим следующее уравнение:

ax = b {\ displaystyle ax = b \,}

ax = b \,

где a и b - действительные числа, и $x = ba {\ displaystyle x = {\ frac {b} {a}}}$ $x = {\ frac {b} {a}}$ .

Очень точные значения параметров a и b неизвестны.

Предположим, что $a ∈ [1, 2] = a {\ displaystyle a \ in [1,2] = \ mathbf {a}}$ $a \ in [1,2] = {\ mathbf {a}}$ и $b ∈ [1, 4] знак равно б {\ Displaystyle б \ в [1,4] = \ mathbf {b}}$ $b \ in [1,4] = {\ mathbf {b}}$ . В этом случае необходимо решить следующее уравнение

[1, 2] x = [1, 4] {\ displaystyle [1,2] x = [1,4]}

[1, 2] x = [1,4]

Есть несколько определений множества этого решения с интервальными предписания.

Объединенное множество решений

В этом подходе решением является следующий набор

x = {x: ax = b, a ∈ a, b ∈ b} = ba = [1, 4] [1, 2] = [0,5, 4] {\ displaystyle \ mathbf {x} = \ left \ {x: ax = b, a \ in \ mathbf {a}, b \ in \ mathbf {b} \ right \} = {\ frac {\ mathbf {b}} {\ mathbf {a}}} = {\ frac {[1,4]} {[1,2]}} = [0,5,4]}

{\ mathbf {x}} = \ left \ {x: ax = b, a \ in {\ mathbf {a}}, b \ in {\ mathbf {b}} \ right \} = {\ frac {{\ mathbf {b}}} {{\ mathbf { a}}}} = {\ frac {[1,4]} {[1,2]}} = [0,5,4]

Этот самый популярный набор решений интервального уравнения будет применен в этой статье.

Во многомерном случае набор единых решений намного сложнее. Множество решений следующей системы линейных интервальных соотношений

[[- 4, - 3] [- 2, 2] [- 2, 2] [- 4, - 3]] [x 1 x 2] = [[ - 8, 8] [- 8, 8]] {\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {cc} {[- 4, -3]} {[- 2,2]} \ \ {[- 2,2]} {[- 4, -3]} \ end {array}} \ right] \ left [{\ begin {array} {c} x_ {1} \\ x_ {2} \ end {массив }} \ right] = \ left [{\ begin {array} {c} {[- 8,8]} \\ {[- 8,8]} \ end {array}} \ right]}

\ left [{\ begin {array} {cc} {[- 4, -3]} {[- 2,2]} \ \ {[- 2,2]} {[- 4, - 3]} \ end {array}} \ right] \ left [{\ begin {array} {c} x_ {1} \\ x_ {2} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {массив} {c} {[- 8,8]} \\ {[- 8,8]} \ end {array}} \ ri ght]

показано на следующем рисунке

∑ ∃ ∃ (A, b) = {x: A x = b, A ∈ A, b ∈ b} {\ displaystyle \ sum {_ {\ exists \ exists}} (\ mathbf {A }, \ mathbf {b}) = \ {x: Ax = b, A \ in \ mathbf {A}, b \ in \ mathbf {b} \}}

\ sum {_ {{\ exists \ exists}}} ({\ mathbf {A}}, {\ mathbf {b}}) = \ {x: Ax = b, A \ in {\ mathbf {A}}, b \ in { \ mathbf {b}} \}

Множество точных решений очень сложна, поэтому необходимо найти наименьший интервал, набор точных решений

♢ (∑ ∃ ∃ (A, b)) = ♢ {x: A x = b, A ∈ A, b ∈ b} {\ displaystyle \ diamondsuit \ left (\ sum {_ {\ exists \ exists}} (\ mathbf {A}, \ mathbf {b}) \ right) = \ diamondsuit \ {x: Ax = b, A \ in \ mathbf {A}, b \ in \ mathbf {b } \ }}

\ diamondsuit \ left (\ sum {_ {{\ exists \ exists}}} ({\ mathbf {A}}, {\ mathbf {b}}) \ right) = \ diamondsuit \ {x: Ax = b, A \ in {\ mathbf {A}}, b \ in {\ mathbf {b}} \}

или просто

♢ (∑ ∃ ∃ (A, b)) = [x _ 1, x ¯ 1] × [x _ 2, x ¯ 2] ×... × [Икс _ N, Икс ¯ N] {\ Displaystyle \ diamondsuit \ left (\ sum {_ {\ exists \ exists}} (\ mathbf {A}, \ mathbf {b}) \ right) = [{\ underline {x}} _ {1}, {\ overline {x}} _ {1}] \ times [{\ underline {x}} _ {2}, {\ overline {x}} _ {2}] \ times... \ times [{\ underline {x}} _ {n}, {\ overline {x}} _ {n}]}

\ diamondsuit \ left (\ сумма {_ {{\ exists \ exists}}} ({\ mathbf {A}}, {\ mathbf {b}}) \ right) = [\ underline x_ {1}, \ overline x_ {1}] \ times [\ подчеркивание x_ {2}, \ overline x_ {2}] \ times... \ times [\ подчеркивание x_ {n}, \ overline x_ {n}]

где

x _ i = min {xi: A x = b, A ∈ A, b ∈ b}, x ¯ i = max {xi: A x = b, A ∈ A, b ∈ b} {\ displaystyle {\ underline {x}} _ {i} = \ min \ { x_ {i}: Ax = b, A \ in \ mathbf {A}, b \ in \ mathbf {b} \}, \ \ {\ overline {x}} _ {i} = \ max \ {x_ {i }: Ax = b, A \ in \ mathbf {A}, b \ in \ mathbf {b} \}}

{\ displaystyle {\ underline {x}} _ {i} = \ min \ {x_ {i}: Ax = b, A \ in \ mathbf {A}, b \ in \ mathbf {b} \}, \ \ {\ overline {x}} _ {i} = \ max \ {x_ {i}: Ax = b, A \ in \ mathbf {A}, b \ in \ mathbf {b} \}}

xi ∈ {xi: A x = b, A ∈ A, b ∈ b} = [x _ i, x ¯ i] {\ displaystyle x_ {i} \ in \ {x_ {i}: Ax = b, A \ in \ mathbf {A}, b \ in \ mathbf {b} \} = [{\ подчеркивание {x}} _ {i}, {\ overline {x}} _ {i}]}

x_ {i} \ in \ {x_ {i}: Ax = b, A \ in {\ mathbf {A}}, b \ in {\ mathbf {b}} \} = [\ подчеркивание x_ {i}, \ overline x_ {i}]

См. также [1]

Набор параметров решений интервальной линейной системы

Метод интервальных конечных элементов требует решения системы уравнений, зависящей от параметров (обычно с симметричной положительно определенный матрицей). Пример решения системы уравнений, зависящая от общих параметров

[p 1 p 2 p 2 + 1 p 1] [u 1 u 2] = [p 1 + 6 p 2 5,0 2 p 1 - 6], для p 1 ∈ [2, 4], p 2 ∈ [- 2, 1]. {\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {cc} p_ {1} p_ {2} \\ p_ {2} + 1 p_ {1} \ end {array}} \ right] \ left [{ \ begin {массив} {cc} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {c} {\ frac {p_ {1} + 6p_ {2}} {5.0}} \\ 2p_ {1} -6 \ end {array}} \ right], \ \ \ for \ \ p_ {1} \ in [2,4], p_ {2} \ in [-2, 1].}

\ le ft [{\ begin {array} {cc } p_ {1} p_ {2} \\ p_ {2} + 1 p_ {1} \ end {array}} \ right] \ left [{\ begin {array} {cc} u_ {1} \\ u_ {2} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {c} {\ frac {p_ {1} + 6p_ {2}} {5.0}} \\ 2p_ {1} -6 \ end {array}} \ right], \ \ \ для \ \ p_ {1} \ in [2,4], p_ {2} \ in [-2,1].

показано на рисунке ниже.

Набор зависимой от параметров системы уравнений

Алгебраическое решение

В этом подходе x интервалом с номером, для которого используется уравнение

[1, 2] x = [1, 4] {\ displaystyle [1, 2] x = [1,4]}

[1, 2] x = [1,4]

выполняется. Другими словами, левая часть уравнения правой части уравнения. В этом конкретном случае решение: $x = [1, 2] {\ displaystyle x = [1,2]}$ $x = [1,2 ]$ , потому что

ax = [1, 2] [1, 2 ] = [1, 4] {\ displaystyle ax = [1,2] [1,2] = [1,4]}

ax = [1,2 наверняка [1,2] = [1,4]

Если неопределенность больше, то есть $a = [1, 4] {\ displaystyle a = [1,4]}$ $a = [1,4]$ , затем $x = [1, 1] {\ displaystyle x = [1,1]}$ $x = [1,1]$ потому что что

ax = [1, 4] [1, 1] = [1, 4] {\ displaystyle ax = [1,4] [1,1] = [1,4]}

ax = [1,4] [1,1] = [1,4]

Если неопределенность еще больше, т. Е. $a = [1, 8] {\ displaystyle a = [1,8]}$ $a = [1,8]$ , тогда решения не существует. Очень сложно найти физическую интерпретацию алгебраического интервального множества решений. Таким образом, в приложениях обычно используется единый набор решений.

Метод

Рассмотрим PDE с интервала

(1) G (x, u, p) = 0 {\ displaystyle (1) \ \ \ G (x, u, p) = 0}

(1) \ \ \ G (x, u, p) = 0

где $p = (p 1,…, pm) ∈ p {\ displaystyle p = (p_ {1}, \ dots, p_ {m}) \ in {\ mathbf {p} }}$ $p = (p_ {1}, \ dots, p_ {m}) \ in {{\ mathbf p}}$ - векторные параметры, принадлежащих заданным интервалам.

pi ∈ [p _ i, p ¯ i] = pi, {\ displaystyle p_ {i} \ in [{\ underline {p}} _ {i}, {\ overline {p}} _ {i} ] = {\ mathbf {p}} _ {i},}

p_ {i} \ in [\ underline p_ {i}, \ overline p_ {i}] = {{\ mathbf p}} _ {i},

p = p 1 × p 2 × ⋯ × pm. {\ displaystyle {\ mathbf {p}} = {\ mathbf {p}} _ {1} \ times {\ mathbf {p}} _ {2} \ times \ cdots \ times {\ mathbf {p}} _ { m}.}

{{\ mathbf p}} = {{\ mathbf p}} _ {1 } \ times {{\ mathbf p}} _ {2} \ times \ cdots \ times {{\ mathbf p}} _ {m}.

Например, уравнение теплопередачи

kx ∂ 2 u ∂ x 2 + ky ∂ 2 u ∂ y 2 + q = 0 для x ∈ Ω {\ displaystyle k_ {x} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + k_ {y} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + q = 0 {\ text {for}} x \ in \ Omega}

k_ {x} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + k_ {y} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ частичное y ^ {2}}} + q = 0 {\ text {for}} x \ in \ Omega

u (x) = u * (x) для x ∈ ∂ Ω {\ displaystyle u (x) = u ^ {*} (x) {\ text {for} } x \ in \ partial \ Omega}

u (x) = u ^ {*} (x) {\ text {for}} x \ in \ partial \ Omega

где $kx, ky {\ displaystyle k_ {x}, k_ {y}}$ $k_ {x}, k_ {y}$ - параметры интервала (т.е. $kx ∈ kx, ky ∈ ky {\ displaystyle k_ {x} \ in {\ mathbf {k}} _ {x}, \ k_ {y} \ in {\ mathbf {k}} _ {y}}$ $k_ {x} \ in {{\ mathbf k}} _ {x}, \ k_ {y} \ in {{\ mathbf k}} _ {y}$ ).

Решение уравнения (1) можно определить следующим образом

u ~ (x): = {u (x): G (x, u, p) = 0, p ∈ p} {\ displaystyle { \ tilde {u}} (x): = \ {u (x): G (x, u, p) = 0, p \ in {\ mathbf {p}} \}}

{\ tilde {u}} (x): = \ {u (x): G (x, u, p) = 0, p \ in {{\ mathbf p}} \}

Например, в случае уравнения теплопередачи

u ~ (x) = {u (x): kx ∂ 2 u ∂ x 2 + ky ∂ 2 u ∂ y 2 + q = 0 для x ∈ Ω, u (x) = u ∗ (x) для x ∈ ∂ Ω, kx ∈ kx, ky ∈ ky} {\ displaystyle {\ tilde {u}} (x) = \ {u (x): k_ {x} {\ frac {\ partial ^ {2} u } {\ partial x ^ {2}}} + k_ {y} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + q = 0 {\ text {for}} x \ in \ Omega, u (x) = u ^ {*} (x) {\ text {for}} x \ in \ partial \ Omega, k_ {x} \ in {\ mathbf {k}} _ {x}, \ k_ {y} \ in {\ mathbf {k}} _ {y} \}}

{\ tilde {u}} (x) = \ {u (x): k_ {x} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + k_ {y} {\ frac {\ частичный ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + q = 0 {\ text {for}} x \ in \ Omega, u (x) = u ^ {*} (x) {\ text {for}} x \ in \ part ial \ Omega, k_ {x} \ in {{\ mathbf k}} _ {x}, \ k_ {y} \ in {{ \ mathbf k}} _ {y} \}

Решение $u ~ {\ displaystyle {\ tilde {u}}}$ ${\ tilde {u}}$ очень сложно, потому что на практике более интересно найти наименьший возможный интервал, набор точных решений $u ~ {\ displaystyle {\ tilde {u}}}$ ${\ tilde {u}}$ .

u (x) = ◊ u ~ (x) = ◊ {u (x): G (x, u, p) = 0, p ∈ p} {\ Стиль отображения {\ mathbf {u}} (х) = \ ромбовидный {\ тильда {и}} (х) = \ ромб \ {и (х): G (х, и, р) = 0, п \ в {\ mathbf {p}} \}}

{{\ mathbf u}} (x) = \ lozenge {\ tilde {u}} (х) = \ ромб \ { и (х): G (х, и, р) = 0, p \ in {{\ mathbf p}} \}

Например, в случае уравнения теплопередачи

u (x) = ◊ {u (x): kx ∂ 2 u ∂ x 2 + ky ∂ 2 u ∂ Y 2 + q = 0 для x ∈ Ω, u (x) = u ∗ (x) для x ∈ ∂ Ω, kx ∈ kx, ky ∈ ky} {\ displaystyle {\ mathbf {u}} (x) = \ lozenge \ {u ( x): k_ {x} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + k_ {y} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + q = 0 {\ text {for}} x \ in \ Omega, u (x) = u ^ {*} (x) {\ text {for}} x \ in \ partial \ Omega, k_ {x} \ in {\ mathbf {k}} _ {x}, \ k_ {y} \ in {\ mathbf {k}} _ {y} \}}

{{\ mathbf u}} (x) = \ ромб \ {u (x): k_ {x } {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + k_ {y} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + q = 0 {\ text {for}} x \ in \ Omega, u (x) = u ^ {*} (x) {\ text {for}} x \ in \ partial \ Omega, k_ {x} \ в {{\ mathbf k}} _ {x}, \ k_ {y} \ in {{\ mathbf k}} _ {y} \}

Конечное Элементный метод приводит к следующей системе алгебраических уравнений, зависящей от параметров

K (p) u = Q (p), p ∈ p {\ displaystyle K (p) u = Q (p), \ \ \ p \ in {\ mathbf {p}} }

K (p) u = Q (p), \ \ \ p \ in {{\ mathbf p}}

где K - это матрица жесткости, а Q - правая часть.

Интервальное решение можно определить как многозначную функцию

u = ◊ {u: K (p) u = Q (p), p ∈ p} {\ displaystyle {\ mathbf {u}} = \ ромбовидный \ {u: K (p) u = Q (p), p \ in {\ mathbf {p}} \}}

{{\ mathbf u}} = \ ромб \ { u: K (p) u = Q (p), p \ in {{\ mathbf p}} \}

В простейшем случае, описанном выше, систему можно рассматривать как систему линейных интервальных уравнений.

Также возможно определить интервальное решение как решение следующей задачи оптимизации

u _ i = min {ui: K (p) u = Q (p), p ∈ p} {\ displaystyle {\ underline {u}} _ { i} = \ min \ {u_ {i}: K (p) u = Q (p), p \ in {\ mathbf {p}} \}}

\ подчеркните u_ {i} = \ min \ {u_ {i}: K (p) u = Q (p), p \ in {{\ mathbf p}} \}

u ¯ я равно знак макс {ui: K ( п) и знак равно Q (п), п ∈ п} {\ Displaystyle {\ overline {u}} _ {i} = \ max \ {u_ {i}: К (р) и = Q (р), р \ in {\ mathbf {p}} \}}

\ overline u_ {i} = \ max \ {u_ {i}: K (p) u = Q (p), p \ in {{\ mathbf p}} \}

Во многомерном случае внутреннее решение может быть записано как

u = u 1 × ⋯ × un = [u _ 1, u ¯ 1] × ⋯ × [u _ п, и ¯ n] {\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {1} \ times \ cdots \ times \ mathbf {u} _ {n} = [{\ underline {u}} _ { 1}, {\ overline {u}} _ {1}] \ tim es \ cdots \ times [{\ underline {u}} _ {n}, {\ overline {u}} _ {n}]}

{\ mathbf {u}} = {\ mathbf {u}} _ {1} \ times \ cdots \ times {\ mathbf {u}} _ {n} = [\ underline u_ {1}, \ overline u_ {1}] \ times \ cdots \ times [\ underline u_ {n}, \ over line u_ {n}]

Интервальное решение по сравнению с вероятностным решением

Важно знать, что параметры интервала дают результаты, отличные от равномерно распределенных случайныхин.

Параметр интервала $p = [p _, p ¯] {\ displaystyle \ mathbf {p} = [{\ underline {p}}, {\ overline {p}}]}$ ${\ mathbf {p}} = [\ underline p, \ overline p]$ учитывает все возможные распределения вероятностей (для $p ∈ [p _, п ¯] {\ displaystyle p \ in [{\ underline {p}}, {\ overline {p}}]}$ $p \ in [\ underline p, \ overline p]$ ).

Для определения параметров интервала необходимо знать только верхнюю $p ¯ {\ displaystyle {\ overline {p}}}$ $\ overline p$ и нижнюю границу $p _ {\ displaystyle {\ underline {p}}}$ $\ подчеркивание p$ .

Для расчета вероятностных характеристик требуется знание множества экспериментальных результатов.

Можно показать, что сумму n номеров интервалов в $n {\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ $\ sqrt {n}$ раз больше, чем сумма соответствующих нормально распределенных случайных переменных.

Сумма числа интервалов n $p = [p _, p ¯] {\ displaystyle \ mathbf {p} = [{\ underline {p}}, {\ overline {p}}]}$ ${\ mathbf {p}} = [\ underline p, \ overline p]$ равно

np = [np _, np ¯] {\ displaystyle n \ mathbf {p} = [n {\ underline {p}}, n {\ overline {p}}]}

n {\ mathbf {p}} = [n \ underline p, n \ overline p]

Ширина этого интервала равна

np ¯ - np _ = n (p ¯ - p _) = n Δ p {\ displaystyle n {\ overline {p}} - n {\ underline {p}} = n ({ \ overline {p}} - {\ underline {p}}) = n \ Delta p}

n \ overline pn \ underline p = n (\ overline p- \ underline p) = n \ Delta p

Рассмотрим нормально распределенную случайную включение X такую, что

m X = E [X] знак равно п ¯ + p _ 2, σ X = В ар [X] = Δ p 6 {\ displaystyle m_ {X} = E [X] = {\ frac {{\ overline {p}} + {\ underline {p }}} {2}}, \ sigma _ {X} = {\ sqrt {Var [X]}} = {\ frac {\ Delta p} {6}}}

m_ {X} = E [X] = {\ frac {\ overline p + \ underline p} {2}}, \ sigma _ {X} = {\ sqrt {Var [X]}} = {\ frac {\ Delta p} {6}}

Обычно сумма n распределенная случайная величина - это нормально распределенная случайная величина со взаимодействующими персонажами (см. Шесть сигм )

E [n X] = np ¯ + p _ 2, σ n X = n V ar [X] = n σ = n Δ п 6 { \ Displaystyle E [nX] = п {\ гидроразрыва {{\ overline {p}} + {\ underline {p}}} {2}}, \ sigma _ {nX} = {\ sqrt {nVar [X]}} = {\ sq rt {n}} \ sigma = {\ sqrt {n}} {\ frac {\ Delta p} {6}}}

E [nX] = n {\ frac {\ overline p + \ underline p} {2}}, \ sigma _ {{nX} } = {\ sqrt {nVar [X]}} = {\ sqrt {n}} \ sigma = {\ sqrt {n}} {\ frac {\ Delta p} {6}}

предположить, что ширина вероятностного результата равна 6 сигм (сравните Шесть сигм ).

6 σ N Икс знак равно 6 N Δ п 6 знак равно N Δ p {\ displaystyle 6 \ sigma _ {nX} = 6 {\ sqrt {n}} {\ frac {\ Delta p} {6}} = {\ sqrt {n}} \ Delta p}

6 \ sigma _ {{nX}} = 6 {\ sqrt {n}} {\ frac {\ Delta p} {6}} = {\ sqrt {n}} \ Delta p

Теперь мы можем сравнить ширину результата интервала и вероятностного результата.

widthofnintervalswidt hofnrandomvariables = n Δ pn Δ p = n {\ displaystyle {\ frac {width \ of \ n \ interval} {ширина \ из \ n \ случайных \ размер}} = {\ frac {n \ Delta p} {{\ sqrt {n}} \ Delta p}} = {\ sqrt {n}}}

{\ frac {ширина \ из \ n \ интервалов} {ширина \ из \ n \ случайных \ чисел}} = {\ frac {n \ Delta p} {{\ sqrt {n}} \ Delta p}} = {\ sqrt {n}}

Из-за этого результата интервального конечного элемента (или в общем анализе наихудшего случая) могут быть завышены по сравнению со стохастическим анализом бедренной кости (см. Также распространение неопределенности ). Однако в случае небезопасной неопределенности применить чисто вероятностные методы. Потому что вероятностные характеристики в этом случае точно не известны [Элишаков 2000].

Можно рассматривать случайные (и нечеткие случайные величины) с регулярными интервалом (например, со средним интервалом, дисперсией и т. Д.). Некоторые исследователи используют интервальные (нечеткие) измерения в статистических расчетах (например, [2] ). В результате таких вычислений мы получим так называемую неточную вероятность.

Неточная вероятность понимается в очень широком смысле. Он используется как общий термин для обозначения всех математических моделей, которые измеряют вероятность или неопределенность без точных числовых вероятностей. Он включает как качественные (сравнительная вероятность, частичное упорядочение предпочтений,…), так и количественные режимы (интервальные вероятности, функции типений, верхнее и нижнее предвидение,…). Неточные вероятностные модели необходимы в выводе, где релевантная информация является скудной, расплывчатой или противоречивой, и в задаче принятия решений, где предпочтения могут быть неполными [3].

Простой пример: моделирование растяжения, сжатия, деформации и напряжения)

1-мерный пример

В задаче растяжение - сжатие следующее уравнение показывает взаимосвязь между смещением u и force P:

EAL u = P {\ displaystyle {\ frac {EA} {L}} u = P}

{\ frac {EA} {L}} u = P

где L - длина, A - площадь поперечного сечения, и E равно модулю Юнга.

Если модуль Юнга и сила неопределенны, то

E ∈ [E _, E ¯], P ∈ [P _, P ¯] {\ displaystyle E \ in [{\ underline {E}}, {\ overline {E}}], P \ in [{\ underline {P}}, {\ overline {P}}]}

E \ in [\ underline E, \ overline E], P \ in [\ underline P, \ overline P]

Чтобы найти верхняя и нижняя границы с ущерб u, вычислите следующие частные производные :

∂ u ∂ E = - PLE 2 A < 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-PL}{E^{2}A}}<0}

{\ frac {\ partial u} {\ partial E}} = {\ frac {-PL} {E ^ {2} A}} <0

∂ u ∂ P = LEA>0 {\ displaystyle {\ гидроразрыв {\ pa rtial u} {\ partial P}} = {\ frac {L} {EA}}>0}

{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {L}{EA}}>0

Рассчитайте экстремальные значения с нарушением следующим образом:

u _ = u (E ¯, P _) = P _ LE ¯ A {\ displaystyle {\ underline {u}} = u ({\ overline {E}}, {\ underline {P}}) = {\ frac {{\ underline {P}} L} {{\ overline {E}} A}}}

\ underline u = u ( \ overline E, \ underline P) = {\ frac {\ underline PL} {\ overline EA}}

u ¯ = u (E _, P ¯) = P ¯ LE _ A {\ displaystyle {\ overline {u}} = u ({\ underline {E}}, {\ overline {P}}) = {\ frac {{\ overline {P}} L} {{\ underline {E}} A}}}

\ overline u = u (\ underline E, \ overline P) = {\ frac { \ overline PL} {\ underline EA}}

Рассчитайте деформацию по следующей формуле:

ε = 1 L u {\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {1} {L}} u}

\ varepsilon = {\ frac {1} {L}} u

Вычислить производную деформации, используя производную от перемещений:

∂ ε ∂ E = 1 L ∂ u ∂ E = - PE 2 A < 0 {\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-P}{E^{2}A}}<0}

{\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial E}} = {\ frac {1} {L}} {\ frac {\ partial u} {\ частичный E}} = {\ frac {-P} {E ^ {2} A}} <0

∂ ε ∂ P = 1 L ∂ u ∂ P = 1 EA>0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial P}} = {\ frac {1} {L}} {\ frac {\ partial u} {\ partial P}} = {\ frac {1} {EA}}>0}

${\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{EA}}>0$

Рассчитайте экстремальные значения с ущербом следующим образом:

ε знак равно ε (E ¯, P _) = P _ E A {\ displaystyle {\ underline {\ varepsilon}} = \ varepsilon ({\ overline {E}}, {\ underline {P}}) = {\ frac {\ underline {P}} {{\ overline {E} } A}}}

\ underline \ varepsilon = \ varepsilon (\ overline E, \ underline P) = {\ frac {\ underline P} {\ overline EA}}

ε ¯ = ε (E _, P ¯) = P ¯ E _ A {\ displaystyle {\ overline {\ varepsilon}} = \ varepsilon ({\ underline {E}}, {\ overline {P}}) = {\ frac {\ overline {P}} {{\ underline {E}} A}}}

\ overline \ varepsilon = \ varepsilon (\ underline E, \ overline P) = {\ frac {\ overline P} {\ underline EA}}

Также возможно для расчета экстремальных значений деформации с использованием перемещений

∂ ε ∂ u = 1 L>0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial u}} = {\ frac {1} {L}}>0}

${\frac {\partial \varepsilon }{\partial u}}={\frac {1}{L}}>0$

затем

ε _ = ε (u _) = P _ E ¯ A {\ displaystyle {\ underline {\ varepsilon}} = \ varepsilon ({\ underline {u}}) = { \ frac {\ подчеркивание {P}} {{\ overline {E}} A}}}

\ underline \ varepsilon = \ varepsilon (\ underline u) = {\ frac {\ underline P} {\ overline EA}}

ε ¯ = ε (u ¯) = P ¯ E _ A {\ displaystyle {\ overline {\ varepsilon}} = \ varepsilon ({\ overline {u}}) = {\ frac {\ overline {P}} {{\ underline {E}} A}}}

\ overline \ varepsilon = \ varepsilon (\ overline u) = {\ frac {\ overline P} {\ underline EA}}

Та же методика может использовать к напряжению

σ знак равно E ε {\ displaystyle \ sigma = E \ varepsilon}

\ sigma = E \ varepsilon

, затем

∂ σ ∂ E = ε + E ∂ ε ∂ E = ε + E 1 L ∂ u ∂ E = PEA - PEA = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial E}} = \ varepsilon + E {\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial E}} = \ varepsilon + E {\ frac {1} { L}} {\ frac {\ partial u} {\ partial E}} = {\ frac {P} {EA}} - {\ frac {P} {EA}} = 0}

{\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial E}} = \ varepsilon + E {\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial E}} = \ varepsilon + E { \ frac {1} {L}} {\ frac {\ partial u} {\ partial E}} = {\ frac {P} {EA}} - {\ frac {P} {EA}} = 0

∂ σ ∂ P = E ∂ ε ∂ P знак равно E 1 L ∂ U ∂ P = 1 A>0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial P}} = E {\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial P}} = E {\ frac {1} {L}} {\ frac {\ partial u} {\ p artial P}} = {\ frac {1} {A}}>0}

{\frac {\partial \sigma }{\partial P}}=E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}=E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{A}}>0

σ _ = σ (P _) = P _ A {\ отображает tyle {\ underline {\ sigma}} = \ sigma ({\ underline {P}}) = {\ frac {\ underline {P}} {A}}}

\ underline \ sigma = \ sigma (\ u nderline P) = {\ frac {\ underline P} {A}}

σ ¯ = σ (P ¯) = P ¯ A {\ displaystyle {\ overline {\ sigma} } = \ sigma ({\ overline {P}}) = {\ frac {\ overline {P}} {A}}}

\ overline \ sigma = \ sigma (\ overline P) = {\ frac {\ overline P} {A}}

Если рассматривать стресс как функцию деформации, тогда

∂ σ ∂ ε = ∂ ∂ ε (E ε) = E>0 {\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial \ varepsilon}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ varepsilon}} (E \ varepsilon) = E>0}

{\frac {\partial \sigma }{\partial \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}(E\varepsilon)=E>0

σ _ = σ (ε _) = E ε _ = P _ A {\ displaystyle {\ underline {\ sigma}} = \ sigma ({\ underline {\ varepsilon}}) Знак равно E {\ underline {\ varepsilon}} = {\ frac {\ underline {P}} {A}}}

\ underline \ sigma = \ sigma (\ underline \ varepsilon) = E \ underline \ varepsilon = {\ frac {\ underline P} {A}}

σ ¯ = σ (ε ¯) = E ε ¯ знак равно п ¯ A {\ displaystyle { \ overline {\ sigm a}} = \ sigma ({\ overline {\ varepsilon}}) = E {\ overline {\ varepsilon}} = {\ frac {\ overline {P}} {A}}}

\ overline \ sigma = \ sigma (\ overline \ varepsilon) = E \ overline \ varepsilon = {\ frac {\ overline P} {A}}

Структура безопасна, если напряжение $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ равно sm аллергия, чем заданное значение $σ 0 {\ displaystyle \ sigma _ {0}}$ $\ sigma _ {0}$ т. е.

σ < σ 0 {\displaystyle \sigma <\sigma _{0}}

\ sigma <\ sigma _ {0}

это условие истинно, если

σ ¯ < σ 0 {\displaystyle {\overline {\sigma }}<\sigma _{0}}

\ overline \ sigma <\ sigma _ {0}

После расчета мы знаем, что это выполнено, если

P ¯ A < σ 0 {\displaystyle {\frac {\overline {P}}{A}}<\sigma _{0}}

{ \ frac {\ overline P} {A}} <\ sigma _ {0}

Пример очень простой, но он показывает применение параметров интервала в механике. Интервальные МКЭ используют очень похожую методологию в многомерных случаях [Pownuk 2004].

Однако в многомерных случаях связь между неопределенными и решением не всегда монотонна. В таких случаях необходимо применять более сложные методы оптимизации.

Пример многомерного

В случае задачи растяжения- сжатия уравнение равновесия имеет следующий вид

ddx (EA dudx) + n = 0 {\ displaystyle {\ frac { d} {dx}} \ left (EA {\ frac {du} {dx}} \ right) + n = 0}

{\ frac {d} {dx}} \ left (EA {\ frac {du} {dx}} \ right) + n = 0

где u с площадью E - модуль Юнга, A - площадь поперечного сечения, а n - распределенная нагрузка. Чтобы получить уникальное решение, необходимо добавить соответствующие граничные условия, например:

u (0) = 0 {\ displaystyle u (0) = 0}

u (0) = 0

du (0) dx EA = P {\ displaystyle {\ frac { du (0)} {dx}} EA = P}

{\ frac {du (0)} {dx}} EA = P

Если модуль Юнга E и n неопределенны, то интервальное решение может быть определено следующим образом

u (x) = {u (x): ddx (EA dudx) + n = 0, u (0) = 0, du (0) dx EA = P, E ∈ [E _, E ¯], P ∈ [P _, P ¯]} {\ displaystyle {\ mathbf {u}} (x) = \ left \ {u (x): {\ frac {d} {dx}} \ left (EA {\ frac {du} {dx}} \ right) + п = 0, u (0) = 0, {\ frac {du (0)} {dx}} EA = P, E \ in [{\ underline {E}}, {\ overline {E}}], P \ в [{\ underline {P}}, {\ overline {P}}] \ right \}}

{{\ mathbf u}} (x) = \ left \ {u (x): {\ frac {d} {dx}} \ left (EA {\ frac {du} {dx}} \ right) + n = 0, u (0) = 0, {\ frac {du (0)} {dx}} EA = P, E \ in [\ underline E, \ overline E], P \ in [\ underline P, \ overline P] \ right \}

Для каждого элемента МКЭ можно умножить уравнение на тестовую функцию v

∫ 0 L e (ddx (EA dudx) + n) v = 0 {\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {L ^ {e}} \ left ({\ frac {d} {dx}} \ left (EA {\ frac {du} {dx }} \ right) + n \ right) v = 0}

\ int \ limits _ {{0}} ^ {{L ^ {{e}}}} \ left ({\ frac {d} {dx}} \ left (EA {\ frac {du} {dx}} \ right) + n \ right) v = 0

где $x ∈ [0, L (e)]. {\ displaystyle x \ in [0, L ^ {(e)}].}$ $x \ in [0, L ^ {{(e)}}].$

После интегрирования по частям мы получим уравнение в слабой форме

∫ 0 L (e) EA dudxdvdxdx = ∫ 0 L (е) nvdx {\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {L ^ {(e)}} EA {\ frac {du} {dx}} {\ frac {dv} {dx}} dx = \ int \ limits _ {0} ^ {L ^ {(e)}} nvdx}

\ int \ limits _ {{0}} ^ {{ L ^ {{(e)}}}} EA {\ frac {du} {dx}} {\ frac {dv} {dx}} dx = \ int \ limits _ {{0}} ^ {{L ^ { {(e)}}}} nvdx

где $x ∈ [0, L (e)]. {\ displaystyle x \ in [0, L ^ {(e)}] Давайте.}$ $x \ in [0, L ^ {{(e)}}].$

представим набор точек сетки $x 0, x 1,..., x N e {\ displaystyle x_ {0}, x_ {1},..., x_ {Ne}}$ $x_ {0}, x_ {1},..., x _ {Ne}}$ , где $N e {\ displaystyle Ne}$ $Ne$ - количество элементов и функций линейной формы для элемента FEM

N 1 (e) (x) = 1 - 1 - x 0 (e) x 1 (e) - x 0 (e), N 2 (д) (х) = 1 - х 0 (д) х 1 (д) - х 0 (д). {\ displaystyle N_ {1} ^ {(e)} (x) = 1 - {\ frac {1-x_ {0} ^ {(e)}} {x_ {1} ^ {(e)} - x_ { 0} ^ {(e)}}}, \ \ N_ {2} ^ {(e)} (x) = {\ frac {1-x_ {0} ^ {(e)}} {x_ {1} ^ {(e)} - x_ {0} ^ {(e)}}}.}

N_ {1} ^ {{(e)}} (x) = 1 - {\ frac {1- x_ {{0}} ^ {{(e)}}} {x _ {{1}} ^ {{(e)}} - x _ {{0}} ^ {{(e)}}}}, \ \ N_ {2} ^ {{(e)}} (x) = {\ frac {1-x _ {{0}} ^ {{(e)}}} {x _ {{1}} ^ { {(e)}} -x _ {{0}} ^ {{(e)}}}}.

где $x ∈ [x 0 (e), x 1 (e)]. {\ displaystyle x \ in [x_ {0} ^ {(e)}, x_ {1} ^ {(e)}].}$ $x \ in [x _ {{0}} ^ {{(e)}}, x _ {{1}} ^ {{(e)}}].$

$x 1 (e) {\ displaystyle x_ {1} ^ {(e)}}$ $x _ {{1}} ^ {{(e)}}$ левая конечная точка элемента, $x 1 (e) {\ displaystyle x_ {1} ^ {(e)}}$ $x _ {{1}} ^ {{(e)}}$ левая конечная точка номера элемента "е". Приближенное решение в "e" -м представляет собой линейную комбинацию функций формы

uh (e) (x) = u 1 e N 1 (e) (x) + u 2 e N 2 (e) (Икс), vh (е) (Икс) знак равно U 1 е N 1 (е) (Икс) + U 2 е N 2 (е) (х) {\ Displaystyle и_ {ч} ^ {(е)} (х) = u_ { 1} ^ {e} N_ {1} ^ {(e)} (x) + u_ {2} ^ {e} N_ {2} ^ {(e)} (x), \ \ v_ {h} ^ { (e)} (x) = u_ {1} ^ {e} N_ {1} ^ {(e)} (x) + u_ {2} ^ {e} N_ {2} ^ {(e)} (x)}

u _ {{h}} ^ {{(e)}} (x) = u_ {1} ^ {{e}} N_ {1} ^ {{(e)}} (x) + u_ {2} ^ {{e}} N_ {2} ^ {{(e)}} (x), \ \ v _ {{h}} ^ {{(e)}} (x) = u_ {1} ^ {{e}} N_ {1} ^ {{(e)}} (x) + u_ {2} ^ {{e}} N_ {2} ^ {{(e)}} (x)

После подстановки в слабую формулу мы получим следующую систему уравнений

[E (e) A (e) L (e) - E (e) A (e) L (e) - E (e) A (д) L (e) E (e) A (e) L (e)] [u 1 (e) u 2 (e)] = [∫ 0 L (e) n N 1 (е) (Икс) dx ∫ 0 L (е) NN 2 (е) (х) dx] {\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {cc} {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} - {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} \\ - {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e) }}} \\\ end {массив}} \ right] \ left [{\ begin {array} {c} u_ {1} ^ {(e)} \\ u_ {2} ^ {(e)} \ end {array}} \ r ight] = \ left [{\ begin {array} {c} \ int \ limits _ {0} ^ {L ^ {(e)}} nN_ {1} ^ {(e)} (x) dx \\\ int \ limits _ { 0} ^ {L ^ {(e)}} nN_ {2} ^ {(e)} (x) dx \ end {array}} \ right]}

\ left [{\ begin {array} {cc} {\ frac {E ^ {{( e)}} A ^ {{(e)}}} {L ^ {{(e)}}}} - {\ frac {E ^ {{(e)}} A ^ {{(e)}} } {L ^ {{(e)}}}} \\ - {\ frac {E ^ {{(e)}} A ^ {{(e)}}} {L ^ {{(e)}}} } {\ frac {E ^ {{(e)}} A ^ {{(e)}}} {L ^ {{(e)}}}} \\\ end {array}} \ right] \ left [{\ begin {array} {c} u_ {1} ^ {{(e)}} \\ u_ {2} ^ {{(e)}} \ end {array}} \ right] = \ left [{ \ begin {array} {c} \ int \ limits _ {{0}} ^ {{L ^ {{(e)}}}} nN_ {1} ^ {{(e)}} (x) dx \\ \ int \ limits _ {{0}} ^ {{L ^ {{(e)}}}} nN_ {2} ^ {{(e)}} (x) dx \ end {array}} \ right]

или в матричной форме

$K (e) u (e) = Q (e) {\ displaystyle K ^ {(e)} u ^ {(e)} = Q ^ {(e)}}$ $K ^ {{(e)}} u ^ { {(e)}} = Q ^ {{(e)}}$

Чтобы собрать глобальную матрицу жесткости, необходимо рассмотреть уравнения равновесия в каждом узле. После этого уравнения имеет следующую матричную форму форму

$K u = Q {\ displaystyle Ku = Q}$ $Ku = Q$

, где

K = [K 11 (1) K 12 (1) 0... 0 К 21 (1) К 22 (1) + К 11 (2) К 12 (2)... 0 0 К 21 (2) К 22 (2) + К 11 (3)... 0............... 0 0... К 22 (Н е - 1) + К 11 (Н е) К 11 (Н е) 0 0... К 21 (N е) К 22 (N е)] {\ Displaystyle K = \ left [{\ begin {array} {ccccc} K_ {11} ^ {(1)} K_ {12} ^ {(1) } 0... 0 \\ K_ {21} ^ {(1)} K_ {22} ^ {(1)} + K_ {11} ^ {(2)} K_ {12} ^ { (2)} и... 0 \\ 0 K_ {21} ^ {(2)} K_ {22} ^ {(2)} + K_ {11} ^ {(3)}... 0 \\............... \\ 0 0... K_ {22} ^ {(Ne-1)} + K_ {11} ^ {(Ne)} K_ {11} ^ {(Ne)} \\ 0 0... K_ {21} ^ {(Ne)} K_ {22} ^ {(Ne)} \ end {array}} \ right ]}

K = \ left [{\ begin {array } {ccccc} K _ {{11}} ^ {{(1)}} K _ {{12}} ^ {{(1)}} 0... 0 \\ K _ {{21 }} ^ {{(1)}} K _ {{22}} ^ {{(1)}} + K _ {{11}} ^ {{(2)}} K _ {{12}} ^ {{(2)}}... 0 \\ 0 K _ {{21}} ^ {{(2)}} K_ {{22}} ^ {{(2)}} + K _ {{11}} ^ {{(3)}}... 0 \\............... \\ 0 0... K _ {{22}} ^ {{(Ne-1)}} + K _ { {11}} ^ {{(Ne)}} K _ {{11}} ^ {{(Ne)}} \\ 0 0... K _ {{21}} ^ {{(Ne)}} K _ {{22}} ^ {{(Ne)}} \ end {array}} \ right]

- глобальная матрица жесткости,

u = [u 0 u 1... u N e] {\ displaystyle u = \ left [{\ begin {array} {c} u_ {0} \\ u_ {1} \\... \\ u_ {Ne} \\\ end {array}} \ right]}

u = \ left [{\ begin {array} {c} u_ {0} \\ u_ {1} \\... \\ u _ {{Ne}} \\\ end {array}} \ right]

- векторные решения,

Q = [Q 0 Q 1... QN e] {\ displaystyle Q = \ left [{\ begin {array} {c} Q_ {0} \\ Q_ {1} \\... \\ Q_ {Ne} \\\ end {array}} \ right]}

Q = \ left [{\ begin {array} {c} Q_ {0} \\ Q_ {1} \ \... \\ Q _ {{Ne}} \\\ end {array}} \ right]

- правая часть.

В случае проблемы растяжения-сжатия

K = [E (1) A (1) L (1) - E (1) A (1) L (1) 0... 0 - E (1) A (1) L (1) E (1) A (1) L (1) + E (2) A (2) L (2) - E (2) A (2) L ( 2)... 0 0 - E (2) A (2) L (2) E (2) A (2) L (2) + E (3) A (3) L (3)... 0............... 0 0... E (N e - 1) A (N e - 1) L (N e - 1) + E (N e) A (N e) L (N e) - E (N e) A (N e) L ( Н е) 0 0... - E (N e) A (N e) L (N e) E (N e) A (N e) L (N e)] {\ displaystyle K = \ left [{\ begin {array} {ccccc} { \ frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} - {\ frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} { L ^ {(1)}}} 0... 0 \\ - {\ frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} {\ frac {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} + {\ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} { L ^ {(2)}}} - {\ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}}... 0 \\ 0 - {\ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} {\ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} + {\ frac {E ^ {(3)} A ^ {(3)}} {L ^ {(3)}}}... 0 \\............... \\ 0 0... {\ frac {E ^ {(Ne-1)} A ^ {(Ne-1)}} {L ^ {(Ne-1)}}} + {\ frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne)}} {L ^ {(Ne)}}} - {\ frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne)}} {L ^ {(Ne)}}} \\ 0 0... - {\ frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne)}} {L ^ {(Ne)}}} {\ frac {E ^ {(Ne)} A ^ {(Ne)}} {L ^ {(Ne)}}} \ end {array}} \ right]}

K = \ left [{\ begin {array} {ccccc} {\ frac {E ^ {{(1)}} A ^ {{(1)}}} { L ^ {{(1)}}}} - {\ frac {E ^ {{(1)}} A ^ {{(1)}}} {L ^ {{(1)}}}} 0... 0 \\ - {\ frac {E ^ {{(1)}} A ^ {{(1)}}} {L ^ {{(1)}}}} {\ frac {E ^ {{(1)}} A ^ {{(1)}}} {L ^ {{(1)}}}} + {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ {{(2)}}} {L ^ {{(2)}}}} - {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ {{(2)}}} {L ^ {{(2)} }}}... 0 \\ 0 - {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ {{(2)}}} {L ^ {{(2)}}}} и {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ {{(2)}}} {L ^ {{(2)}}}} + {\ frac {E ^ {{(3)}} A ^ {{(3)}}} {L ^ {{(3)}}}}... 0 \\............... \\ 0 0... {\ frac {E ^ {{(Ne-1)}} A ^ {{(Ne-1)}}} {L ^ {{(Ne-1)}}}} + {\ frac {E ^ {{(Ne)}} A ^ {{(Ne)}}} {L ^ {{(Ne)}}}} - {\ frac {E ^ {{(Ne)}} A ^ {{(Ne)}}} {L ^ {{(Ne)}}}} \\ 0 0... - {\ frac {E ^ {{(Ne)}} A ^ {{ (Ne)}}} {L ^ {{(Ne)}}}} и {\ frac {E ^ {{(Ne)}} A ^ {{(Ne)}}} {L ^ {{(Ne) }}}} \ end {array}} \ right]

Если мы пренебрегаем распределенной нагрузкой n

Q = [R 0... 0 P] {\ displaystyle Q = \ left [{\ begin {array} {c} R \\ 0 \\... \\ 0 \\ P \\\ end {array}} \ right]}

Q = \ left [{\ begin {array} {c} R \\ 0 \\... \\ 0 \\ P \\\ end {массив} } \ right]

После учета граничных условий матрица жесткости имеет следующий вид

K = [1 0 0... 0 0 E (1) A (1) L (1) + E (2) A (2) L (2) - E (2) A (2) L (2)... 0 0 - E (2) A (2) L (2) E (2) A (2) L (2) + E (3) A (3) L (3)... 0............... 0 0... E (e - 1) A (e - 1) L (e - 1) + E (e) A (e) L (e) - E (e) A (e) L (e) 0 0... - E (e) A (e) L (e) E (e) A (e) L (e)] = K (E, A) = K (E (1),..., E (N e), A (1),..., A (N e)) {\ displaystyle K = \ left [{\ begin {array} {ccccc} 1 0 0... 0 \\ 0 {\ гидроразрыв {E ^ {(1)} A ^ {(1)}} {L ^ {(1)}}} + {\ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} - {\ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}}... 0 \\ 0 - { \ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} {\ frac {E ^ {(2)} A ^ {(2)}} {L ^ {(2)}}} + {\ frac {E ^ {(3)} A ^ {(3)}} {L ^ {(3)}}}... 0 \\............... \\ 0 0... {\ frac {E ^ {(e-1)} A ^ {(e-1)}} {L ^ {(e-1)}}} + {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} - {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} \\ 0 0... - {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} {\ frac {E ^ {(e)} A ^ {(e)}} {L ^ {(e)}}} \ end {array}} \ right] = K (E, A) = K (E ^ {(1)},..., E ^ {(Ne)}, A ^ {(1)},..., A ^ {(Ne)})}

K = \ left [{\ begin {array} {ccccc} 1 0 0... 0 \\ 0 {\ frac {E ^ {{(1)}} A ^ {{(1)} }} {L ^ {{(1)}}}} + {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ {{(2)}}} {L ^ {{(2)}}}} и - {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ {{(2)}}} {L ^ {{(2)}}}}... 0 \\ 0 - {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ {{(2)}}} {L ^ {{(2)}}}} {\ frac {E ^ {{(2)}} A ^ { {(2)}}} {L ^ {{(2)}}}} + {\ гидроразрыв {E ^ {{(3)}} A ^ {{(3)}}} {L ^ {{(3)}}}}... 0 \\............... \\ 0 0... {\ frac {E ^ {{(e-1)}} A ^ {{(e-1)}}} {L ^ {{(e-1)}}}} + {\ frac {E ^ {{(e)}} A ^ {{(e)}}} {L ^ {{(e)}}}} - { \ frac {E ^ {{(e)}} A ^ {{(e)}}} {L ^ {{(e)}}}} \\ 0 0... - {\ frac {E ^ {{(e)}} A ^ {{(e)}}} {L ^ {{(e)}}}} {\ frac {E ^ {{(e)}} A ^ {{(e)}}} {L ^ {{(e)}}}} \ end {массив}} \ right] = K (E, A) = K (E ^ {{(1)}},..., E ^ {{(Ne)}}, A ^ {{(1)}},..., A ^ {{(Ne)}})

Правая часть имеет следующий вид

Q = [0 0... 0 P] = Q (P) {\ Displaystyle Q = \ left [{\ begin {array} {c} 0 \\ 0 \\... \\ 0 \\ P \\\ end {array}} \ right ] = Q (P)}

Q = \ left [{\ begin {массив} {c} 0 \\ 0 \\... \ \ 0 \\ P \\\ end {array}} \ right] = Q (P)

Предположим, модуль Юнга E, площадь поперечного сечения A и нагрузка P неопределенны и некоторых некоторых интервалам

E (e) ∈ [E _ (e), E ¯ (е)] {\ displaystyle E ^ {(e)} \ in [{\ underline {E}} ^ {(e)}, {\ overline {E}} ^ {(e)}]}

E ^ {{(e)}} \ in [\ underline E ^ {{(e)}}, \ overline E ^ {{ (e)}}]

A (e) ∈ [A _ (e), A ¯ (e)] {\ displaystyle A ^ {(e)} \ in [{\ underline {A}} ^ {(e)}, {\ overline {A}} ^ {( e)}]}

A ^ {{(e)}} \ in [\ подчеркивание A ^ {{(e)}}, \ overline A ^ {{(e)}}]

P ∈ [P _, P ¯] {\ displaystyle P \ in [{\ underline {P}}, {\ overline {P}}]}

P \ in [\ underline P, \ overline P]

интервальное решение может быть определено вычислением следующим образом

u = ◊ {u: K (E, A) u = Q (P), E (e) ∈ [E _ (e), E ¯ (e)], A (e) ∈ [A _ (е), A ¯ (e)], P ∈ [P _, P ¯]} {\ displaystyle {\ mathbf {u}} = \ ромбовидный \ {u: K (E, A) u = Q (P), E ^ {(e)} \ in [{\ underline {E}} ^ {(e)}, {\ overline {E}} ^ {(e)}], A ^ {(e)} \ in [{\ underline {A}} ^ {(e)}, {\ overline {A}} ^ {(e)}], P \ in [{\ underline {P}}, {\ o verline {P}}] \}}

{{\ mathbf u}} = \ ромб \ {u: K (E, A) u = Q (P), E ^ {{(e)}} \ in [\ подчеркните E ^ {{(e)} }, \ overline E ^ {{(e)}}], A ^ {{(e)}} \ in [\ underline A ^ {{(e)}}, \ overline A ^ {{(e)}} ], P \ in [\ underline P, \ overline P] \}

Вычисление интервального события $u {\ displaystyle {\ mathbf {u}}}$ ${{\ mathbf u}}$ в целом NP-hard, однако в отдельных случаях можно вычислить решение, которое можно использовать во многих инженерные приложения.

Результатами вычислений является интервал интервалов

ui ∈ [u _ i, u ¯ i] {\ displaystyle u_ {i} \ in [{\ underline {u}} _ {i}, {\ overline {u}} _ {i}]}

u_ {i} \ in [\ underline u_ {i}, \ overline u_ {i}]

Предположим, что ущерб в столбце должен быть меньше некоторого заданного значения (из соображений безопасности).

$u i < u i max {\displaystyle u_{i}$ ${\ displaystyle u_ {i} <u_ {i} ^ {\ max}}$

Неопределенная система безопасна, если интервальное решение удовлетворяет всем условиям безопасности.

В конкретном случае

$ui < u i max, u i ∈ [ u _ i, u ¯ i ] {\displaystyle u_{i}$ ${\ displaystyle u_ {i} <u_ {i} ^ {\ max}, \ \ u_ {i} \ in [{\ underline {u}} _ {i}, {\ overline {u}} _ {i}]}$

или простой

$u ¯ i < u i max {\displaystyle {\overline {u}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} <u_ {i} ^ {\ max}}$

При постобработке можно вычислить интервальное напряжение, интервальную деформацию и предельное состояние интервала функции и использовать эти значения в процессе проектирования.

Метод интервальных конечных элементов может использовать решения для надежной вероятностной задачи создания конструкций [Elishakoff 2000]. Метод интервальных конечных элементов также может использовать в теории неточной вероятности.

Метод комбинации конечных точек

Можно решить уравнение $K (p) u (p) = Q (p) {\ displaystyle K (p) u (p) = Q (p)}$ $K (p) u (p) = Q (p)$ для всех случаев комбинаций конечных точек интервала $p ^ {\ displaystyle {\ hat {p}}}$ $\ hat p$ .. Список всех вершин интервала $p ^ {\ displaystyle {\ hat {p}}}$ $\ hat p$ можно записать как $L = {p 1 ∗,..., pn ∗} {\ displaystyle L = \ {p_ {1} ^ {*},..., p_ {n} ^ {*} \}}$ $L = \ {p_ {1} ^ {*},..., p_ {n} ^ {*} \}$ .. Верхняя и нижняя границы решения могут быть вычислены следующим образом

u _ я знак равно мин {ui (pk ∗): K (pk ∗) u (pk ∗) = Q (pk ∗), pk ∗ ∈ L} {\ displaystyle {\ underline {u}} _ {i} = \ min \ {u_ {i} (p_ {k} ^ {*}): K (p_ {k} ^ {*}) u (p_ {k} ^ {*}) = Q (p_ {k} ^ {*}), p_ {k} ^ {*} \ in L \}}

{\ displaystyle {\ underline {u}} _ {i} = \ min \ {u_ {i} (p_ {k} ^ {*}): K (p_ {k} ^ {*}) u (p_ {k} ^ {*}) = Q (p_ {k} ^ {*}), p_ {k} ^ {*} \ in L \}}

u ¯ i = max {ui (pk ∗): K (pk ∗) u (pk ∗) = Q (pk *), pk * ∈ L} {\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} = \ max \ {u_ {i} (p_ {k} ^ {*}): K (p_ {k} ^ {*}) u (p_ {k} ^ {*}) = Q (p_ {k} ^ {*}), p_ {k} ^ {*} \ in L \}}

{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} = \ max \ {u_ {i} (p_ {k} ^ {*}): K (p_ {k} ^ {*}) u (p_ {k} ^ {*}) = Q (p_ {k} ^ {*}), p_ {k} ^ {*} \ in L \}}

Метод комбинации конечных точек дает решение что обычно бывает точным; к сожалению, этот метод имеет экспоненциальную вычислительную сложность и не может быть применен к задачам со множеством мероприятий [Neumaier 1990].

Метод расширения Тейлора

$u = u (p) {\ displaystyle u = u (p)}$ $u = u (p)$ может быть расширена с помощью Серия Тейлора. В простейшем случае ряд Тейлора использует только линейное приближение

ui (p) ≈ ui (p 0) + ∑ j ∂ u (p 0) ∂ pj Δ pj {\ displaystyle u_ {i} (p) \ приблизительно u_ {i} (p_ {0}) + \ sum _ {j} {\ frac {\ partial u (p_ {0})} {\ partial p_ {j}}} \ Delta p_ {j}}

u_ {i} (p) \ приблизительно u_ {i} (p_ {0}) + \ sum _ {j} {\ frac {\ partial u (p_ {0})} {\ partial p_ {j}}} \ Delta p_ {j}

Верхний и нижняя граница решения может быть вычислена по следующей формуле

u _ i ≈ ui (p 0) - | ∑ j ∂ u (p 0) ∂ p j | Δ pj {\ displaystyle {\ underline {u}} _ {i} \ приблизительно u_ {i} (p_ {0}) - \ left | \ sum _ {j} {\ frac {\ partial u (p_ {0}))} {\ partial p_ {j}}} \ right | \ Delta p_ {j}}

\ underline u_ {i} \ приблизительно u_ {i} (p_ {0}) - \ left | \ sum _ {j} {\ frac {\ partial u (p_ {0})} {\ partial p_ {j}}} \ right | \ Delta p_ {j}

u ¯ i ≈ ui (p 0) + | ∑ j ∂ u (p 0) ∂ p j | Δ pj {\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} \ приблизительно u_ {i} (p_ {0}) + \ left | \ sum _ {j} {\ frac {\ partial u (p_ {0}))} {\ partial p_ {j}}} \ right | \ Delta p_ {j}}

\ overline u_ {i} \ приблизительно u_ {i} (p_ {0}) + \ left | \ sum _ {j} {\ frac {\ partial u (p_ {0})} {\ partial p_ {j}}} \ right | \ Delta p_ {j}

Метод очень эффективен, но не очень точен.. Для повышения точности можно применять более высокие порядок разложения Тейлора [Pownuk 2004].. Этот подход может быть также применен в методе интервальных граничных элементов и .

Градиентном методе

Если знак производных $∂ ui ∂ pj {\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial p_ {j}}}}$ ${\ frac {\ частичный u_ {i}} {\ partial p_ {j}}}$ константа, тогда функции $ui = ui (p) {\ displaystyle u_ {i} = u_ {i} (p)}$ $u_ {i} = u_ {i} (p)$ монотонно, и точное решение может быть вычислено очень быстро.

если

∂ ui ∂ pj ≥ 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial p_ {j}}} \ geq 0}

{\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial p_ {j}}} \ geq 0

, то

пи мин = п _ я, пи макс = п ¯ я {\ displaystyle p_ {i} ^ {\ min} = {\ underline {p}} _ {i}, \ p_ {i} ^ {\ max} = { \ overline {p}} _ {i}}

{\ displaystyle p_ {i} ^ {\ min} = {\ underline {p}} _ {i}, \ p_ {i} ^ {\ max} = {\ overline {p}} _ {i}}

если

∂ ui ∂ pj < 0 {\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0}

{\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial p_ {j}}} <0

, то

pi min = p ¯ i, pi max = p _ i {\ displaystyle p_ {i} ^ {\ min} = {\ overline {p}} _ {i}, \ p_ {i} ^ {\ max} = {\ underline {p}} _ {i}}

{\ displaystyle p_ {i} ^ {\ min} = {\ overline {p}} _ {i}, \ p_ {i } ^ {\ max} = {\ underline {p}} _ {i}}

Экстремальные значения решения могут быть вычисляется следующим образом

u _ i = ui (p min), u ¯ i = ui (p max) {\ displaystyle {\ underline {u}} _ {i} = u_ {i} (p ^ { \ min}), \ {\ overline {u}} _ {i} = u_ {i} (p ^ {\ max})}

{\ displaystyle {\ underline {u}} _ {i} = u_ {i} (p ^ {\ min}), \ {\ overline {u}} _ {i} = u_ {i} (p ^ {\ max})}

Во многих приложениях по проектированию конструкций метод дает точное решение.. Если решение не монотонное, обычно оно разумное. Для повышения точности метода можно применять тесты на монотонность и анализ чувствительности более высокого порядка. Метод может быть применен для решения линейных и нелинейных задач вычислительной механики [Pownuk 2004]. Применение метода анализа чувствительности к решению задач гражданского строительства можно найти в следующей статье [М.В. Rama Rao, A. Pownuk и I. Skalna 2008].. Этот подход также может быть применен в методе интервальных граничных элементов и .

Элемент за элементом метод

Применяли Муханна и Маллен поэлементная формулировка решения уравнения конечных элементов с интервальными параметрами [Muhanna, Mullen 2001]. Используя это, можно получить решение с гарантированной надежностью в случае стропильных и каркасных конструкций.

Методы возмущений

Решение $u = u (p) {\ displaystyle u = u (p)}$ $u = u (p)$ матрица жесткости $K = K (p) {\ displaystyle K = K (p)}$ $K = K (p)$ и вектор нагрузки $Q = Q (p) {\ displaystyle Q = Q (p)}$ $Q = Q (p)$ можно развернуть с помощью теории возмущений. Теория возмущений приводит решения к приближенному значению интервального [Qiu, Elishakoff 1998]. Метод очень эффективен и может быть применен к большому задачам вычислительной механики.

Метод поверхности отклика

Решение $u = u (p) {\ displaystyle u = u (p)}$ $u = u (p)$ можно аппроксимировать, используя поверхность отклика. Можно использовать другую поверхность отклика для получения интервального решения [Akpan 2000]. Используя методику, можно решить очень сложную поверхность отклика вычислительной механики [Beer 2008].

Чистые интервальные методы

Некоторые авторы пытались применить чистые интервальные методы к решению задач конечных элементов с интервальными обязательствами. В некоторых случаях можно получить очень интересные результаты, например [Попова, Янков, Бонев 2008]. Однако в целом метод дает очень завышенные результаты [Kulpa, Pownuk, Skalna 1998].

Параметрические интервальные системы

[Попова 2001] и [Скална 2006] представили методы решения системы линейных уравнений, в которых коэффициенты являются линейными комбинациями интервальных параметров. В данном случае это можно получить очень точное решение.

См. Также

Литература

^ «Архивная копия». Архивировано с оригинального 05.10.2011. Проверено 12 октября 2008 г. CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка )
^Е. Попова, Параметрический набор решений интервальной линейной системы Архивировано 01.01.2010 27 в Wayback Machine

У.О. Акпан, Т.С. Коко, И.Р. Орисамолу, Б.К. Галлант, Практический нечеткий анализ конструкций методом конечных элементов, Конечные элементы в анализе и проектировании, 38, стр. 93–111, 2000.
М. Бир, Оценка несовместимых инженерных данных, Третий семинар по надежным инженерным вычислениям (REC08) Технологический институт Джорджии, 20–22 февраля 2008 г., г. Саванна, штат США, США.
Демпстер, AP (1967). «Верхняя и нижняя вероятности, индуцированные многозначным отображением». Annals of Mathematical Statistics 38 (2): 325-339. [4]. Проверено 2009-09-23
Анализ неопределенности в гражданском строительстве, В. Феллин, Х. Лессманн, М. Обергуггенбергер и Р. Вайдер (ред.), Springer-Verlag, Берлин, 2005 г.
И. Элишаков, Возможные ограждения ничения вероятностных методов в инженерии нг. Applied Mechanics Reviews, Vol.53, No. 2, pp. 19–25, 2000.
Главачек, И., Хлебун, Дж., Бабушка, И.: Проблемы с неопределенными входными данными и методом наихудшего сценария. Эльзевир, Амстердам (2004)
Кёйлуоглу, У., Исаак Элишаков ; Сравнение стохастических и интервальных конечных элементов, применяемых к сдвиговым каркасам с неопределенными свойствами жесткости, Компьютеры и структуры Том: 67, выпуск: 1-3, 1 апреля 1998 г., стр. 91–98
Кульпа З., Павнюк А., Скална И., Анализ линейных механических конструкций с неопределенными интервальными методами. Компьютерная механика и инженерные науки, т. 5, 1998, стр. 443–477
Д. Моенс и Д. Вандепитт, Теория интервальной чувствительности и ее применение к анализу огибающей частотной характеристики неопределенных структур. Компьютерные методы в прикладной механике и технике Vol. 196, № 21-24, 1 апреля 2007 г., стр. 2486–2496.
Мёллер, Б., Бир, М., Нечеткая случайность - неопределенность в гражданском строительстве и вычислительной механике, Springer, Berlin, 2004.
Р.Л. Муханна, Р.Л.Муллен, Неопределенность в задаче механики - интервальный подход. Журнал инженерной механики, Том 127, № 6, 2001 г., 557-556
А. Ноймайер, Интервальные методы для систем, Нью-Йорк Пресс, Нью-Йорк, 1990
E. Попова, К решению параметризованных линейных систем. В. Кремер, Дж. Вольф фон Гуденберг (редакторы): научные вычисления, подтвержденные числа, интервальные методы. Kluwer Acad. Издательство, 2001, с. 127–138.
Э. Попова, Р. Янков, З. Бонев: Ограничение отклика механических конструкций с неопределенностями по всем параметрам. В Р.Л. Муханна, Р.Л. Маллен (редакторы): Труды семинара NSF по надежным инженерным вычислениям (REC), Сванна, Джорджия, США, 22-24 февраля 2006 г., 245-265
A. Павунук, Численные решения нечетких дифференциальных уравнений в частных производных и их применение в вычислительной механике, Нечеткие дифференциальные уравнения с частными производными и реляционные уравнения: характеристика и моделирование коллектора (М. Никравеш, Л. Заде и В. Коротких, ред.), Исследования в области нечеткости и мягкости Вычислительная техника, Physica-Verlag, 2004, стр. 308–347
А. Павунук, Эффективные методы решения крупномасштабных инженерных задач с использованием интервальных значений на основе анализа чувствительности, семинара NSF по надежным инженерным вычислениям, 15–17 сентября 2004 г., Саванна, США, США, стр. 305–316
М.В. Рама Рао, А. Павунук и И. Скална, Расчет напряжений монолитно армированной бетонной балки с неопределенными структурными баллами, Семинар NSF по надежным инженерным вычислениям, 20–22 февраля 2008 г., Саванна, штат Джорджия, США, стр. 459–478
И. Скална, Метод внешнего интервального решения системных линейных параметров, линейно зависящих от интервальных параметров, Надежные вычисления, Том 12, номер 2, апрель, 2006 г., стр. 107–120
З. Цю и И. Элиш, Антиоптимизация конструкций с большими неопределенными, но неслучайными с помощью интервального анализа методов в прикладной механике и технике, Том 152, выпуски 3-4, 24 января 1998 г., страницы 361-372
Бернардини, Альберто, Тонон, Фульвио, Граничная неопределенность в гражданском строительстве, Springer 2010

Бен-Хаим Ю., Элишаков И., 1990, Выпуклые модели неопределенности в прикладной механике. Издательство Elsevier Science Publishers, Нью-Йорк

Валлиаппан С., Фам Т.Д., 1993, Нечеткий метод анализа конечных элементов основания на упругой почвенной среде. Международный журнал численных и аналитических методов в геомеханике, том 17, стр. 771–789

Элишаков И., Ли Ю.В., Старнес Дж. Х., 1994, Детерминированный метод для прогнозирования эффекта неизвестного, но ограниченного модуля упругости при продольном изгибе композитных конструкций. Компьютерные методы в прикладной механике и технике, Том 111, стр. 155–167

Валлиаппан С. Фам Т.Д., 1995, Анализ конечных элементов упругопластических элементов с нечеткими предусмотренными. Международный журнал численных методов в инженерии, 38, стр. 531–548

Рао С.С., Сойер Дж. П., 1995, Нечеткий метод конечных элементов для анализа неточно определенных систем. Журнал AIAA, Том 33, № 12, стр. 2364–2370

Кёйлюоглу Х.У., Чакмак А., Нильсен С.Р.К., 1995, Отображение интервалов в строительной механике. В кн.: Спанос, под ред. Вычислительная стохастическая механика. 125-133. Балкема, Роттердам

Муханна, Р. Л. и Р. Л. Маллен (1995). «Разработка интервальных методов для нечеткости в механике сплошной среды» в материалах 3-го Международного симпозиума по моделированию и анализу неопределенности и ежегодной конференции Североамериканского общества обработки нечеткой информации (ISUMA - NAFIPS'95), IEEE, 705–710

Внешние ссылки