Войти
Термин дифференциал используется в исчислении для обозначения бесконечно малое (бесконечно малое) изменение некоторой переменной величины. Например, если x - это переменная, то изменение значения x часто обозначается как Δx (произносится как дельта x). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x. Идея бесконечно малого или бесконечно медленного изменения интуитивно чрезвычайно полезна, и есть несколько способов сделать это понятие математически точным.
Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом, используя производные. Если y является функцией от x, то дифференциал dy от y связан с dx формулой
, где dy / dx обозначает производную y по x. Эта формула суммирует интуитивную идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δy / Δx, когда Δx становится бесконечно малым.
Существует несколько подходов к математической точности понятия дифференциалов.
. Эти подходы сильно отличаются друг от друга, но у них есть общая идея количественного анализа, т. Е. дифференциал бесконечно мал, но насколько он мал.
Бесконечно малые величины сыграли значительную роль в развитии математического анализа. Архимед использовал их, даже несмотря на то, что он не верил, что аргументы, связанные с бесконечно малыми, были строгими. Исаак Ньютон называл их флюксиями. Однако именно Готфрид Лейбниц ввел термин дифференциалы для бесконечно малых величин и ввел их обозначения, которые используются до сих пор.
В обозначении Лейбница, если x - переменная величина, то dx обозначает бесконечно малое изменение переменной x. Таким образом, если y является функцией от x, то производная от y по x часто обозначается dy / dx, что иначе было бы обозначено (в обозначениях Ньютона или Лагранжа ) ẏ или y ′. Использование дифференциалов в этой форме вызвало много критики, например, в известной брошюре епископа Беркли Аналитик. Тем не менее, это обозначение остается популярным, поскольку оно убедительно демонстрирует идею о том, что производная y в точке x является его мгновенной скоростью изменения (наклон касательной линии графика ), который может быть получен путем принятия предела отношения Δy / Δx изменения y по сравнению с изменением x, поскольку изменение x становится произвольно малым. Дифференциалы также совместимы с анализом размеров, где разность, такая как dx, имеет те же размеры, что и переменная x.
Дифференциалы также используются в обозначениях для интегралов, потому что интеграл можно рассматривать как бесконечную сумму бесконечно малых величин: площадь под графиком получается путем разбиения графика на бесконечно тонкие полосы и суммируя их площади. В таком выражении, как
, знак интеграла (который является модифицированным long s ) обозначает бесконечная сумма, f (x) обозначает «высоту» тонкой полосы, а дифференциал dx обозначает ее бесконечно тонкую ширину.
Есть простой способ уточнить смысл дифференциалов, рассматривая их как линейные карты. Для иллюстрации предположим, что f (x) - это вещественная функция на R . Мы можем переинтерпретировать переменную x в f (x) как функцию, а не число, а именно карту идентичности на действительной строке, которая принимает действительное число p себе: x (p) = p. Тогда f (x) - это композиция f с x, значение которой в p равно f (x (p)) = f (p). Тогда дифференциал df (который, конечно, зависит от f) является функцией, значение которой в p (обычно обозначается df p) не числом, а линейным отображением от R до R . Поскольку линейное отображение от R до R задается матрицей 1 × 1, это, по сути, то же самое, что и число, но изменение Точка зрения позволяет нам думать о df p как о бесконечно малом и сравнивать его со стандартным бесконечно малым dx p, который снова является просто картой идентичности из R в R (матрица 1 × 1 с записью 1). Тождественное отображение обладает тем свойством, что если ε очень мало, то dx p (ε) очень мало, что позволяет нам рассматривать его как бесконечно малое. Дифференциал df p имеет то же свойство, потому что он просто кратен dx p, и этот кратный по определению является производной f '(p). Следовательно, мы получаем, что df p = f ′ (p) dx p, и, следовательно, df = f ′ dx. Таким образом, мы восстанавливаем идею о том, что f ′ - это отношение дифференциалов df и dx.
Это было бы просто уловкой, если бы не тот факт, что:
Например, если f является функцией от R до R, то мы говорим, что f дифференцируема в p ∈ R если существует линейное отображение df p из R в R такое, что для любого ε>0 существует окрестность N p такое, что для x ∈ N
Теперь мы можем использовать тот же трюк, что и в одномерном случае, и думать о выражении f (x, x,..., x) как о композиции f со стандартными координатами x, x,..., x на R (так что x (p) является j-й компонентой p ∈ R ). Тогда дифференциалы (dx) p, (dx) p, (dx) p в точке p образуют базис для векторное пространство линейных отображений из R в R и, следовательно, если f дифференцируема в p, мы можем записать df p как линейная комбинация этих базовых элементов:
Коэффициенты D j f (p) являются (по определению) частными производными функции f в точке p по x, x,..., x. Следовательно, если f дифференцируема на всем R, мы можем записать более кратко:
В одномерном случае это становится
как раньше.
Эта идея напрямую обобщается на функции от R до R . Кроме того, он имеет решающее преимущество перед другими определениями производной, что он инвариант при изменении координат. Это означает, что ту же идею можно использовать для определения дифференциала гладких отображений между гладкими многообразиями.
. Кроме того: обратите внимание, что существование всех частичных производные функции f (x) в точке x - это необходимое условие существования дифференциала в точке x. Однако это не достаточное условие. Контрпримеры см. В разделе Производная Гато.
В алгебраической геометрии дифференциалы и другие бесконечно малые понятия обрабатываются очень явным образом, принимая, что координата кольцо или связка структуры пространства может содержать нильпотентные элементы. Простейшим примером является кольцо двойственных чисел R[ε], где ε = 0.
Это может быть мотивировано алгебро-геометрической точкой зрения на производную функции f от R - R в точке p. Для этого сначала заметим, что f - f (p) принадлежит идеалу Ipфункций на R, которые обращаются в нуль в p. Если производная f обращается в нуль в точке p, то f - f (p) принадлежит квадрату I p этого идеала. Следовательно, производная f в точке p может быть захвачена классом эквивалентности [f - f (p)] в факторпространстве Ip/Ipи 1-струей функции f (которая кодирует ее значение и его первая производная) является классом эквивалентности f в пространстве всех функций по модулю I p. Алгебраические геометры рассматривают этот класс эквивалентности как ограничение f на утолщенную версию точки p, координатное кольцо которой не равно R (которое является фактор-пространством функций на R по модулю I p), но R [ε], которое является фактор-пространством функций на R по модулю I p. Такая утолщенная точка является простым примером схемы .
Третий подход к бесконечно малым - метод синтетической дифференциальной геометрии или гладкой бесконечно малой анализ. Это тесно связано с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что бесконечно малые величины более неявны и интуитивно понятны. Основная идея этого подхода состоит в том, чтобы заменить категорию наборов другой категорией плавно меняющихся наборов, которая является topos. В этой категории можно определять действительные числа, гладкие функции и т. Д., Но действительные числа автоматически содержат нильпотентные бесконечно малые числа, поэтому их не нужно вводить вручную, как в алгебро-геометрическом подходе. Однако логика в этой новой категории не идентична знакомой логике категории множеств: в частности, не выполняется закон исключенного третьего. Это означает, что теоретико-множественные математические аргументы распространяются на гладкий инфинитезимальный анализ только в том случае, если они конструктивны (например, не используйте доказательство от противного ). Некоторые считают этот недостаток положительным, поскольку он заставляет искать конструктивные аргументы везде, где они есть.
Последний подход к бесконечно малым снова включает расширение действительных чисел, но менее радикальным способом. В подходе нестандартного анализа нет нильпотентных бесконечно малых чисел, только обратимые, которые можно рассматривать как обратные бесконечно больших чисел. Такие расширения действительных чисел могут быть построены явно с использованием классов эквивалентности последовательностей действительных чисел, так что, например, последовательность (1, 1/2, 1/3,..., 1 / n,...) представляет собой бесконечно малую величину. Логика первого порядка этого нового набора гиперреальных чисел такая же, как логика для обычных действительных чисел, но аксиома полноты (которая включает логика второго порядка ) не выполняется. Тем не менее, этого достаточно для разработки элементарного и довольно интуитивного подхода к исчислению с использованием бесконечно малых величин, см. принцип переноса.
