Линейность

Линейность - это свойство математической связи (функция ), которая может быть графически представлена ​​прямой линией. Линейность тесно связана с пропорциональностью. Примеры в физике включают линейную зависимость напряжения и тока в электрическом проводнике (закон Ома ), и соотношение массы и веса. Напротив, более сложные отношения нелинейны.

Обобщены для функций более чем одного измерения, линейность означает свойство функции быть совместимой с сложением и масштабирование, также известное как принцип наложения.

Слово линейный происходит от латинского linearis, «относящийся к линии или напоминающий линию».

• 1 По математике
  • 1.1 Линейные многочлены
  • 1.2 Булевы функции
• 2 Физика
• 3 Электроника
  • 3.1 Интегральная линейность
• 4 Военно-тактические формирования
• 5 Искусство
• 6 Музыка
• 7 Измерение
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

В математике - линейная карта или линейная функция f (x) - это функция, которая удовлетворяет двум свойствам:

• Аддитивность : f (x + y) = f (x) + f (y).
• Однородность степени 1: f (αx) = α f (x) для всех α.

Эти свойства известны как принцип суперпозиции. В этом определении x не обязательно является действительным числом, но в общем может быть элементом любого векторного пространства. Более специальное определение линейной функции, не совпадающее с определением линейного отображения, используется в элементарной математике (см. Ниже).

Сама по себе аддитивность подразумевает однородность для рационального α, поскольку $f\; (x\; +\; x)\; =\; f\; (x)\; +\; f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; +\; x)\; =\; f\; (x)\; +\; f\; (x)\}$подразумевает $f\; (nx)\; =\; nf\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (nx)\; =\; nf\; (x)\}$для любого натуральное число n по математической индукцией, а затем $nf\; (x)\; =\; f\; (nx)\; =\; f\; (mnmx)\; =\; mf\; (nmx)\; \{\backslash \; displaystyle\; nf\; (x)\; =\; f\; (nx)\; =\; f\; (m\; \{\backslash \; tfrac\; \{n\}\; \{m\}\}\; x)\; =\; mf\; (\{\backslash \; tfrac\; \{n\}\; \{m\}\}\; x)\}$подразумевает $f\; (nmx)\; =\; nmf\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\{\backslash \; tfrac\; \{n\}\; \{m\}\}\; x)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{n\}\; \{m\}\}\; f\; (x)\}$. плотность рациональных чисел в вещественных числах означает, что любая аддитивная непрерывная функция однородна для любого действительного числа α и, следовательно, является линейной.

Понятие линейности может быть расширено до линейных операторов. Важные примеры линейных операторов включают производную, рассматриваемую как дифференциальный оператор, и другие операторы, построенные на его основе, такие как del и лапласиан. Когда дифференциальное уравнение может быть выражено в линейной форме, его, как правило, можно решить, разбив уравнение на более мелкие части, решив каждую из этих частей и суммируя решения.

Линейная алгебра - это раздел математики, связанный с изучением векторов, векторных пространств (также называемых «линейными пространствами»), линейных преобразований (также называемые «линейными отображениями») и системы линейных уравнений.

Для описания линейных и нелинейных уравнений см. линейное уравнение.

Линейные многочлены

В другом использовании по сравнению с приведенным выше определением многочлен степень 1 называется линейной, потому что график функции этой формы представляет собой прямую линию.

В целом линейное уравнение является одним из формы:

$f\; (x)\; =\; mx\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; mx\; +\; b\; \backslash \}$

, где m часто называют наклоном или градиентом ; b y-точка пересечения, которая дает точку пересечения между графиком функции и осью y.

Обратите внимание, что это использование термина линейный не то же самое, что и в разделе выше, потому что линейные полиномы над действительными числами, как правило, не удовлетворяют ни аддитивности, ни однородности. Фактически, они делают это тогда и только тогда, когда b = 0. Следовательно, если b ≠ 0, функция часто называется аффинной функцией (см. В общих чертах affine преобразование ).

Булевы функции

В Булевой алгебре линейная функция - это функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, для которой существует $a\; 0,\; a\; 1,\dots ,\; an\; \in \; \{0,\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\},\; a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1\; \backslash \}\}$такой, что

$f\; (b\; 1,\dots ,\; bn)\; =\; a\; 0\; \oplus \; (a\; 1\; \wedge \; b\; 1)\; \oplus \; \cdots \; \oplus \; (an\; \wedge \; bn)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (b\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; b\_\; \{n\})\; =\; a\_\; \{0\}\; \backslash \; oplus\; (a\_\; \{1\}\; \backslash \; land\; b\_\; \{1\})\; \backslash \; oplus\; \backslash \; cdots\; \backslash \; oplus\; (a\_\; \{n\}\; \backslash \; land\; b\_\; \{n\})\}$, где $b\; 1,\dots ,\; bn\; \in \; \{0,\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1\; \backslash \}.\}$

Обратите внимание, что если $a\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; =\; 1\}$, указанная выше функция считается аффинной в линейной алгебре (т. Е. Не линейной).

Логическая функция является линейной, если для таблицы истинности функции :

1. выполняется одно из следующих условий. В каждой строке, в которой значение истинности функции равно T, есть нечетное количество Ts, присвоенное аргументам, и в каждой строке, в которой функция F есть четное количество Ts, назначенных аргументам. В частности, f (F, F,..., F) = F, и эти функции соответствуют линейным отображениям в булевом векторном пространстве.
2. В каждой строке, в которой значение функция - T, аргументам функции присвоено четное число Ts; и в каждой строке, в которой значение истинности функции равно F, аргументам присвоено нечетное количество Ts. В этом случае f (F, F,..., F) = T.

Другой способ выразить это - то, что каждая переменная всегда влияет на истинностное значение операции или ее никогда не имеет значения.

Отрицание, Логическое двусмысленное, исключающее или, тавтология и противоречие являются линейными функциями.

В физике линейность является свойством дифференциальных уравнений, управляющих многими системами; например, уравнения Максвелла или уравнение диффузии.

Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями уравнения, то любые линейная комбинация af + bg тоже.

В приборостроении линейность означает, что данное изменение входной переменной дает такое же изменение на выходе измерительного устройства: это очень желательно в научной работе. В общем, инструменты близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны в этом диапазоне. В отличие от этого, человеческие чувства очень нелинейны: например, мозг полностью игнорирует входящий свет, если он не превышает определенное абсолютное пороговое количество фотонов.

В электронике линейная рабочая область устройства, например, транзистора, находится там, где зависимая переменная (например, ток коллектора транзистора ) прямо пропорционален независимой переменной (например, току базы). Это гарантирует, что аналоговый выход является точным представлением входа, обычно с более высокой амплитудой (усиленный). Типичным примером линейного оборудования является высококачественный аудиоусилитель, который должен усиливать сигнал без изменения его формы волны. Другие - это линейные фильтры, линейные регуляторы и линейные усилители в целом.

В большинстве научных и технологических, в отличие от математических, приложений, что-то может быть описано как линейное, если характеристика является приблизительно, но не совсем прямой линией; и линейность может быть действительной только в определенной рабочей области - например, усилитель с высоким качеством воспроизведения может искажать слабый сигнал, но достаточно мало, чтобы быть приемлемым (приемлемая, но несовершенная линейность); и может очень сильно исказить, если входной сигнал превышает определенное значение.

Интегральная линейность

Для электронного устройства (или другого физического устройства), которое преобразует количество в другое количество, Бертрам С. Кольтс пишет :

Обычно используются три основных определения интегральной линейности: независимая линейность, линейность с отсчетом от нуля и конечная, или конечная точка, линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько фактическая производительность устройства в указанном рабочем диапазоне приближается к прямой. Линейность обычно измеряется в единицах отклонения или нелинейности от идеальной прямой и обычно выражается в процентах от полной шкалы или в ppm (частях на миллион) полной шкалы.. Обычно прямую линию получают путем аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Эти три определения различаются по способу расположения прямой линии относительно фактических характеристик устройства. Кроме того, все три из этих определений игнорируют любые ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в фактических рабочих характеристиках устройства..

В военно-тактических соединениях "линейные соединения" были адаптированы, начиная с фаланговидных соединений пики, защищенных стрелковым оружием, в сторону неглубоких построений. пистолетов, защищенных все меньшим количеством копий. Этот вид образования становился все более тонким, пока не достиг своего предела в эпоху Веллингтона «Тонкая красная линия ». В конечном итоге он был заменен приказом о перестрелке, когда изобретение заряжающей винтовки позволило солдатам передвигаться и вести огонь небольшими мобильными подразделениями, не поддерживаемыми крупными войсками. масштабные образования любой формы.

Линейное - одна из пяти категорий, предложенных швейцарским историком искусства Генрихом Вёльфлином, чтобы отличать «классическое», или искусство эпохи Возрождения, от Барокко. Согласно Вёльфлину, художники пятнадцатого и начала шестнадцатого веков (Леонардо да Винчи, Рафаэль или Альбрехт Дюрер ) более линейны, чем «живописно «Художники эпохи барокко семнадцатого века (Питер Пауль Рубенс, Рембрандт и Веласкес ), потому что они в основном используют контур для создания формы. На линейность в искусстве можно также ссылаться в цифровом искусстве. Например, гипертекстовая литература может быть примером нелинейного повествования, но есть также веб-сайты, разработанные для работы в определенной организованной манере, следуя линейному пути.

В музыке линейный аспект - это последовательность, либо интервалы, либо мелодия, в отличие от одновременность или вертикальный аспект.

При измерении термин «линейный фут» относится к количеству футов на прямой линии материала (такого как древесина или ткань), как правило, без учета ширины. Иногда это неправильно называют «прямой ногой»; однако «линейный» обычно используется для обозначения линий происхождения или наследственности. [1]

• Линейный привод
• Линейный элемент
• Линейная система
• Линейная среда
• Линейное программирование
• Линейное дифференциальное уравнение
• Билинейный
• Мультилинейный
• Линейный двигатель
• Линейный A и Линейный B скрипты.
• Линейная интерполяция

• Словарь определения линейности в Викисловаре