Исключающий или

Истина, когда один, но не оба входа верны

Исключительно или

XOR
Таблица истинности	$(\; 0110)\; \{\backslash \; displaystyle\; (0110)\}$
Логический элемент
Нормальные формы
Дизъюнктивный	$x\; ¯\; \cdot \; y\; +\; x\; \cdot \; y\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{x\}\}\; \backslash \; cdot\; y\; +\; x\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overline\; \{y\}\}\}$
Конъюнктив	$(x\; ¯\; +\; y\; ¯)\; \cdot \; (x\; +\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; overline\; \{x\}\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{y\}\})\; \backslash \; cdot\; (x\; +\; y)\}$
многочлен Жегалкина	$x\; \oplus \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; oplus\; y\}$
Решетки Поста
с сохранением 0	да
1- сохранение	no
Монотонный	no
Аффинный	да
v t

Диаграмма Венна из $A\; \oplus \; B\; \oplus \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; A\; \backslash \; oplus\; B\; \backslash \; oplus\; C\}$

Exclusive или или исключительная дизъюнкция - это логическая операция, которая выводит истину только в том случае, если входные данные различаются (один - истина, другой - ложь).

Это символизируется префиксным оператором J и инфиксным операторами XOR (или ), EOR, EXOR, ⊻, ⩒, ⩛, ⊕, ↮ и ≢ . отрицание операции XOR - это логический двусмысленный, который выводит истину только тогда, когда два входа одинаковы.

Он получает название «исключающее ИЛИ», потому что значение «или» неоднозначно, когда оба операнда истинны; исключительный оператор or исключает этот случай. Иногда это воспринимается как «одно или другое, но не оба сразу». Это можно было бы записать как «А или В, но не А и В».

В более общем смысле, XOR истинно только тогда, когда истинно нечетное количество входов. Цепочка XOR - XOR b XOR c XOR d (и так далее) - истинна, когда нечетное количество входов истинно, и ложно, когда четное количество входов истинно.

Содержание

• 1 Таблица истинности
• 2 Эквивалентности, исключение и введение
• 3 Отношение к современной алгебре
• 4 Исключительное «или» на английском языке
• 5 Альтернативные символы
• 6 Свойства
• 7 Информатика
  • 7.1 Побитовые операции
• 8 Кодировки
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Внешние ссылки

Таблица истинности

Аргументы слева объединены с помощью XOR. Это двоичная матрица Уолша (см. код Адамара ).

таблица истинности A XOR B показывает, что она выводит истину всякий раз, когда входные данные различаются:

XOR таблица истинности

Вход		Выход
A	B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

• 0, ложь
• 1, истина

Эквивалентности, исключение и введение

Исключительная дизъюнкция по существу означает «любой, но не оба и ни один ». Другими словами, утверждение истинно тогда и только тогда, когда одно истинно, а другое ложно. Например, если две лошади участвуют в гонке, то одна из двух будет выиграть гонку, но не оба. Исключительная дизъюнкция $p\; \oplus \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; oplus\; q\}$, также обозначается $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$⩛$q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$или $J\; \; pq\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{J\}\; pq\}$, может быть выражено в терминах логического соединения («логическое и», $\wedge \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; wedge\}$), дизъюнкция («логическое ИЛИ», $\vee \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lor\}$), а отрицание ($\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\}$) следующим образом:

$p\; \oplus \; q\; =\; (p\; \vee \; q)\; \wedge \; \neg \; (p\; \wedge \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; begin\; \{matrix\}\; p\; \backslash \; oplus\; q\; =\; (p\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; (p\; \backslash \; land\; q)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Исключительная дизъюнкция $p\; \oplus \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; oplus\; q\}$также можно выразить следующим образом:

$p\; \oplus \; q\; =\; (p\; \wedge \; \neg \; q)\; \vee \; (\neg \; p\; \wedge \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; p\; \backslash \; oplus\; q\; =\; (p\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; q)\; \backslash \; lor\; (\backslash \; lnot\; p\; \backslash \; land\; q)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Это представление XOR может оказаться полезным при построении схемы или сети, поскольку оно имеет только одна операция $\neg \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lnot\}$и небольшое количество $\wedge \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; wedge\}$и $\vee \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lor\}$операции. Доказательство этого тождества приведено ниже:

$p\; \oplus \; q\; =\; (p\; \wedge \; \neg \; q)\; \vee \; (\neg \; p\; \wedge \; q)\; =\; ((p\; \wedge \; \neg \; q)\; \vee \; \neg \; p)\; \wedge \; ((p\; \wedge \; \neg \; q)\; \vee \; q)\; =\; ((p\; \vee \; \neg \; p)\; \wedge \; (\neg \; q\; \vee \; \neg \; p))\; \wedge \; ((p\; \vee \; q)\; \wedge \; (\neg \; q\; \vee \; q))\; =\; (\neg \; p\; \vee \; \neg \; q)\; \wedge \; (p\; \vee \; q)\; =\; \neg \; (п\; \wedge \; Q)\; \wedge \; (п\; \vee \; Q)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; p\; \backslash \; oplus\; q\; =\; (p\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; q)\; \backslash \; lor\; (\backslash \; lnot\; p\; \backslash \; land\; q)\; \backslash \backslash \; [3pt\; ]\; =\; ((p\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; q)\; \backslash \; lor\; \backslash \; lnot\; p)\; \backslash \; land\; ((p\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; q)\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; ((p\; \backslash \; lor\; \backslash \; lnot\; p)\; \backslash \; land\; (\backslash \; lnot\; q\; \backslash \; lor\; \backslash \; lnot\; p))\; \backslash \; land\; ((p\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \; land\; (\backslash \; lnot\; q\; \backslash \; lor\; q))\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; (\backslash \; lnot\; p\; \backslash \; lor\; \backslash \; lnot\; q)\; \backslash \; land\; (p\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \backslash \; lnot\; (p\; \backslash \; land\; q)\; \backslash \; land\; (p\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Иногда бывает полезно записать $p\; \oplus \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; oplus\; q\}$следующим образом:

$p\; \oplus \; q\; =\; \neg \; ((p\; \wedge \; q)\; \vee \; (\neg \; п\; \wedge \; \neg \; q))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; p\; \backslash \; oplus\; q\; =\; \backslash \; lnot\; ((p\; \backslash \; land\; q)\; \backslash \; lor\; (\backslash \; lnot\; p\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; q))\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

или:

$п\; \oplus \; q\; =\; (п\; \vee \; q)\; \wedge \; (\neg \; p\; \vee \; \neg \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; p\; \backslash \; oplus\; q\; =\; (p\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \; land\; (\backslash \; lnot\; p\; \backslash \; lor\; \backslash \; lnot\; q)\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Это эквивалентность может быть установлена, применяя законы Де Моргана дважды к четвертой строке приведенного выше доказательства.

Исключающее или также эквивалентно отрицанию логического двусмысленного по правилам материальной импликации (материальное условное эквивалентно дизъюнкции отрицания его предшествующего и его следствия) и материальной эквивалентности.

Таким образом, в математической и инженерной нотации имеем:

$p\; \oplus \; q\; =\; (p\; \wedge \; \neg \; q)\; \vee \; (\; \neg \; p\; \wedge \; q)\; =\; pq\; ¯\; +\; p\; ¯\; q\; =\; (p\; \vee \; q)\; \wedge \; (\neg \; p\; \vee \; \neg \; q)\; =\; (p\; +\; q)\; (p\; ¯\; +\; q\; ¯)\; =\; (p\; \vee \; q)\; \wedge \; \neg \; (p\; \wedge \; q)\; знак\; равно\; (p\; +\; q)\; (pq\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; p\; \backslash \; oplus\; q\; =\; (p\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; q)\; \backslash \; lor\; (\backslash \; lnot\; p\; \backslash \; land\; q)\; =\; p\; \{\backslash \; overline\; \{q\}\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{p\}\}\; q\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; (p\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \; land\; (\backslash \; lnot\; p\; \backslash \; lor\; \backslash \; lnot\; q)\; =\; (p\; +\; q)\; (\{\backslash \; overline\; \{p\}\}\; +\; \{\backslash \; overline\; \{q\}\})\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; (p\; \backslash \; lor\; q)\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; (p\; \backslash \; land\; q)\; =\; (p\; +\; q)\; (\{\backslash \; overline\; \{pq\}\})\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Отношение к современной алгебре

Хотя операторы $\wedge \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; wedge\; \}$(соединение ) и $\vee \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lor\}$(дизъюнкция ) являются очень полезны в логических системах, они не позволяют получить более обобщаемую структуру следующим образом:

Системы $(\{T,\; F\},\; \wedge )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; \{T,\; F\; \backslash \},\; \backslash \; клин)\}$и $(\{T,\; F\},\; \vee )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; \{T,\; F\; \backslash \},\; \backslash \; lor)\}$являются моноидами, но ни одна из них не является группой . К сожалению, это предотвращает объединение этих двух систем в более крупные структуры, такие как математическое кольцо.

. Однако система, использующая исключающее или $(\{T,\; F\},\; \oplus )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; \{T,\; F\; \backslash \},\; \backslash \; oplus)\}$- абелева группа. Комбинация операторов $\wedge \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; wedge\}$и $\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oplus\}$над элементами $\{T,\; F\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{T,\; F\; \backslash \}\}$создает хорошо известное поле $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$. Это поле может представлять любую логику, доступную с помощью системы $(\wedge ,\; \vee )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; land,\; \backslash \; lor)\}$, и имеет дополнительное преимущество в виде арсенала инструментов алгебраического анализа для полей.

Более конкретно, если связать $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$с 0 и $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$с 1, можно интерпретировать логическую операцию «И» как умножение на $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$и операцию «XOR» как сложение на $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\; \}$:

$r\; =\; p\; \wedge \; q\; \iff \; r\; =\; p\; \cdot \; q\; (mod\; 2)\; r\; =\; p\; \oplus \; q\; \iff \; r\; =\; p\; +\; q\; (mod\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; r\; =\; p\; \backslash \; land\; q\; \backslash \; Leftrightarrow\; r\; =\; p\; \backslash \; cdot\; q\; \{\backslash \; pmod\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; r\; =\; p\; \backslash \; oplus\; q\; \backslash \; Leftrightarrow\; r\; =\; p\; +\; q\; \{\backslash \; pmod\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

Использование этого базиса для описания логической системы называется алгебраической нормальной формой.

Exclusive "или" на английском языке

Оксфордский словарь английского языка объясняет "либо... или" следующим образом:

Основная функция того и другого состоит в том, чтобы подчеркнуть полное безразличие двух (или более) вещей или направлений...; но второстепенная функция состоит в том, чтобы подчеркнуть взаимную исключительность, = одного из двух, но не обоих.

Исключающее-или явно заявляет «одно или другое, но не ни то, ни другое». Однако соответствие отображения между формальными логическими операторами и конъюнкциями естественного языка далеко не просто или однозначно, и десятилетиями изучается в лингвистике и аналитической философии..

Следуя такой интуиции здравого смысла насчет «или», иногда утверждают, что во многих естественных языках, английском включая, слово «или» имеет «исключительный» смысл. Исключительная дизъюнкция пары предложений (p, q) должна означать, что p истинно или q истинно, но не то и другое вместе. Например, можно утверждать, что обычное намерение такого утверждения, как «Вы можете выпить кофе, или вы можете выпить чай», состоит в том, чтобы оговорить, что точно одно из условий может быть истинным. Конечно, при некоторых обстоятельствах предложение, подобное этому примеру, следует воспринимать как запрещающее возможность принятия обоих вариантов.

В английском языке конструкция «либо... или» обычно используется для обозначения исключающего или, а «или» обычно используется для включения. Но в испанском языке слово «o» (или) может использоваться в форме «p o q» (включительно) или в форме «o p o q» (исключая). Некоторые могут утверждать, что любое двоичное или другое n-арное исключающее "ИЛИ" истинно тогда и только тогда, когда оно имеет нечетное число истинных входов (однако это не единственное разумное определение; например, цифровые элементы xor с несколькими входами обычно не используют это определение), и что в английском языке нет соединения, которое имеет это общее свойство. Например, Барретт и Стеннер утверждают в статье 1971 года «Миф об исключительном« ИЛИ »(Mind, 80 (317), 116–121), что ни один автор не привел пример английского или-предложения, которое, как представляется, false, потому что оба его входных значения верны, и отмахиваются от или-предложений, таких как «Лампочка горит или не горит», как отражающих конкретные факты о мире, а не природу слова «или». Однако «парадокс цирюльника » - каждый в городе бреется или бреется парикмахером, который бреет парикмахера? - не был бы парадоксальным, если бы «или» не могло быть исключительным (хотя пурист мог бы сказать что "либо" требуется в формулировке парадокса).

Альтернативные символы

Символ, используемый для исключительной дизъюнкции, меняется от одной области приложения к другой и даже зависит от свойств, которые подчеркиваются в данном контексте обсуждения. В дополнение к аббревиатуре «XOR» можно также увидеть любой из следующих символов:

• +, знак плюс, который имеет то преимущество, что все обычные алгебраические свойства математических колец и поля можно использовать без лишних слов; но знак плюс также используется для инклюзивной дизъюнкции в некоторых системах записи; обратите внимание, что исключительная дизъюнкция соответствует сложению по модулю 2, которое имеет следующую таблицу сложения, явно изоморфную приведенной выше:

$p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \}$	$q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$	$p\; +\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; +\; q\}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

• $\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oplus\}$, измененный знак плюса; этот символ также используется в математике для прямой суммы алгебраических структур
• J, как в Jpq
• Инклюзивный символ дизъюнкции ($\vee \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lor\}$), который каким-либо образом изменен, например
  • $\vee \; \_\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; underline\; \{\backslash \; lor\}\}\}$
  • $\vee \; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; vee\}\}\}$
• ^, каретка, используется в нескольких языках программирования, таких как C, C ++, C#, D, Java, Perl, Ruby, PHP и Python, обозначающие побитовый оператор XOR; не используется вне контекста программирования, поскольку его слишком легко спутать с другими вариантами использования символа вставки
• , иногда записываемого как
  • ><
  • >-<
• =1, в символах IEC

Свойства

Коммутативность : да

$A\; \oplus \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; oplus\; B\}$	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$	$B\; \oplus \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; oplus\; A\}$
	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$

Ассоциативность : да

$A\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; A\}$	$\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; ~~~\; \backslash \; oplus\; ~~~\}$	$(B\; \oplus \; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (B\; \backslash \; oplus\; C)\}$	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$			$(A\; \oplus \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; oplus\; B)\}$	$\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; ~~~\; \backslash \; oplus\; ~~~\}$	$C\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; C\}$
	$\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; ~~~\; \backslash \; oplus\; ~~~\}$		$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$		$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$		$\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; ~~~\; \backslash \; oplus\; ~~\; ~\}$

Распределимость :

Исключающее или не распределяется по какой-либо бинарной функции (даже самой себе), а логическая конъюнкция распределяется по исключающему или. $C\; \wedge \; (A\; \oplus \; B)\; знак\; равно\; (C\; \wedge \; A)\; \oplus \; (C\; \wedge \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \backslash \; land\; (A\; \backslash \; oplus\; B)\; =\; (C\; \backslash \; land\; A)\; \backslash \; oplus\; (C\; \backslash \; land\; B)\}$(Соединение и исключающие или образуют операции умножения и сложения поля GF (2), и, как и в любом другом поле, они подчиняются закону распределения.)

Идемпотентность : нет

$A\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; A\; ~\}$	$\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; oplus\; ~\}$	$A\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; A\; ~\}$	$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; 0\; ~\}$	$\nLeftrightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nLeftrightarrow\}$	$A\; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; A\; ~\}$
	$\oplus \; \{\backslash \; displaystyle\; ~\; \backslash \; oplus\; ~\}$		$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$		$\nLeftrightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nLeftrightarrow\}$

Монотонность : нет

$A\; \to \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; rightarrow\; B\}$	$\nRightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nRightarrow\}$			$(A\; \oplus \; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; oplus\; C)\}$	$\to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rightarrow\}$	$(B\; \oplus \; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (B\; \backslash \; oplus\; C)\}$
	$\nRightarrow \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; nRightarrow\}$		$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$		$\to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rightarrow\}$

Truth-prese rving: no

Когда все входы верны, выход неверен.

$A\; \wedge \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; land\; B\}$	$\nRightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nRightarrow\}$	$A\; \oplus \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; oplus\; B\}$
	$\nRightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nRightarrow\}$

Сохранение ложности: да

Когда все входы ложны, выход ложен.

$A\; \oplus \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; oplus\; B\}$	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$	$A\; \vee \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; lor\; B\}$
	$\Rightarrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\}$

Спектр Уолша : (2,0,0, −2)

Не- линейность : 0

Функция линейная.

При использовании двоичного для значений true (1) и false (0), то исключающее или работает точно так же, как addition по модулю 2.

Информатика

Традиционное символическое представление логического элемента XOR

Побитовая операция

Nimber сложение является исключающим ИЛИ неотрицательных целых чисел в двоичное представление. Это также векторное сложение в $(Z\; /\; 2\; Z)\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{4\}\}$.

Исключительная дизъюнкция часто используется для побитовых операций.. Примеры:

• 1 XOR 1 = 0
• 1 XOR 0 = 1
• 0 XOR 1 = 1
• 0 XOR 0 = 0
• 11102 XOR 10012 = 01112 (это эквивалентно сложению без переноса )

Как отмечалось выше, поскольку исключительная дизъюнкция идентична сложению по модулю 2, побитовая исключительная дизъюнкция двух n-битных строк идентична стандартному вектору сложения в векторном пространстве $(Z\; /\; 2\; Z)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{n\}\}$.

Исключительно в информатике У дизъюнкции есть несколько применений:

• Он сообщает, не равны ли два бита.
• Это необязательный переворот битов (решающий вход выбирает, инвертировать ли входные данные).
• Он сообщает существует ли нечетное количество 1 бит ($A\; \oplus \; B\; \oplus \; C\; \oplus \; D\; \oplus \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; oplus\; B\; \backslash \; oplus\; C\; \backslash \; oplus\; D\; \backslash \; oplus\; E\}$истинно , если истинно нечетное число переменных).

В логических схемах простой сумматор может быть выполнен с помощью элемента XOR, чтобы сложить числа и сер элементы логических элементов И, ИЛИ и НЕ для создания вывода переноса.

На некоторых компьютерных архитектурах более эффективно хранить ноль в регистре, выполняя операцию «исключающее ИЛИ» с самим собой (биты, исключающие ИЛИ с самим собой, всегда равны нулю) вместо загрузки и сохранения нулевого значения.

В простых пороговых активированных нейронных сетях для моделирования функции XOR требуется второй уровень, поскольку XOR не является линейно разделимой функцией.

Exclusive-or иногда используется как простая функция смешивания в криптографии, например, с одноразовым блокнотом или системами Feistel network.

Exclusive-or также активно используется в блочных шифрах, таких как AES (Rijndael) или Serpent, и в реализации блочного шифра (CBC, CFB, OFB или CTR).

Аналогично, XOR может использоваться при генерации пулов энтропии для аппаратных генераторов случайных чисел. Операция XOR сохраняет случайность, что означает, что случайный бит, обработанный XOR с неслучайным битом, приведет к случайному биту. Несколько источников потенциально случайных данных можно объединить с помощью XOR, и непредсказуемость вывода гарантированно будет не хуже, чем у лучшего отдельного источника.

XOR используется в RAID 3 –6 для создания информации о четности. Например, RAID может «выполнить резервное копирование» байтов 100111002 и 011011002 с двух (или более) жестких дисков, выполняя операцию «исключающее ИЛИ» только что упомянутых байтов, в результате чего получается (111100002) и записывается на другой диск. Согласно этому методу, если один из трех жестких дисков потерян, потерянный байт может быть воссоздан путем операции XOR с байтами оставшихся дисков. Например, если диск, содержащий 011011002, потерян, 100111002 и 111100002 могут быть подвергнуты операции XOR для восстановления потерянного байта.

XOR также используется для обнаружения переполнения в результате двоичной арифметической операции со знаком. Если крайний левый оставшийся бит результата не совпадает с бесконечным числом цифр слева, это означает, что произошло переполнение. Выполнение XOR этих двух битов даст «1», если произойдет переполнение.

XOR можно использовать для обмена двумя числовыми переменными в компьютерах, используя алгоритм обмена XOR ; однако это считается скорее любопытством и на практике не поощряется.

Связанные списки XOR используют свойства XOR для экономии места для представления структур данных двусвязного списка.

В компьютерной графике методы рисования на основе XOR часто используются для управления такими элементами, как ограничительные рамки и курсоры в системах без альфа-каналы или плоскости наложения.

Encodings

Помимо кодов ASCII, оператор кодируется как U + 22BB ⊻ XOR (HTML ⊻·⊻) и U + 2295 ⊕ CIRCLED PLUS (HTML ⊕·⊕, ⊕), оба в блоке математических операторов.

См. Также

• Условное обозначение материала • (Парадокс)
• Подтверждение дизъюнкции
• Ampheck
• Булева алгебра (логика)
• Логическая область
• Логическая функция
• Логическая функция
• Управляемый вентиль НЕ
• Дизъюнктивный силлогизм
• Логика первого порядка
• Инклюзивная или
• Инволюция
• Список тем булевой алгебры
• Логический график
• Логическое значение
• Операция
• Бит четности
• Исчисление высказываний
• Правило 90
• Симметричное различие
• Шифр ​​XOR
• Шлюз XOR
• Связанный список XOR

Примечания

1. ^Germundsson, Roger; Вайсштейн, Эрик. «XOR». MathWorld. Исследование Вольфрама. Проверено 17 июня 2015 г.
2. ^Крейг, Эдвард, изд. (1998), Энциклопедия философии Рутледж, 10, Taylor Francis, p. 496, ISBN 9780415073103
3. ^или, соедини 2 (нареч. 3) 2a Оксфордский словарь английского языка, второе издание (1989). OED Online.
4. ^Дженнингс цитирует многочисленных авторов, утверждающих, что слово «или» имеет исключительный смысл. См. Главу 3, «Первый миф об« Или »»:. Дженнингс, Р. Э. (1994). Генеалогия дизъюнкции. Нью-Йорк: Oxford University Press.
5. ^Дэвис, Роберт Б. (28 февраля 2002 г.). «Исключающее ИЛИ (XOR) и аппаратные генераторы случайных чисел» (PDF). Проверено 28 августа 2013 г.
6. ^Нобель, Рикард (26 июля 2011 г.). «Как на самом деле работает RAID 5». Проверено 23 марта 2017 г.

Внешние ссылки

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Эксклюзивной дизъюнкцией.

Найдите эксклюзивный или или XOR в Wiktionary, бесплатный словарь.

• Пример использования XOR в криптографии
• Все о XOR
• Доказательства свойств XOR и приложений XOR, CS103: Mathematical Foundations вычислительной техники, Стэнфордский университет