Линейное дифференциальное уравнение

Дифференциальные уравнения, линейные относительно неизвестной функции и ее производных

В математике, линейное дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение которое, определяется линейным полиномом в неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида

$a\; 0\; (Икс)\; Y\; +\; a\; 1\; (Икс)\; Y\; \prime \; +\; a\; 2\; (X)\; Y\; ″\; +\; \cdots \; +\; an\; (x)\; y\; (n)\; +\; b\; (x)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; (x)\; y\; +\; a\_\; \{1\}\; (x)\; y\; \text{'}+\; a\_\; \{2\}\; (x)\; y\text{'}\; \text{'}+\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; (x)\; y\; ^\; \{(n)\}\; +\; b\; (x)\; =\; 0,\}$

где $a\; 0\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; (x)\}$,..., $an\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; (x)\; \}$и $b\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x)\}$произвольные дифференцируемые функции, которые не обязательно должны быть линейными, и $y\; \text{'},\dots ,\; Y\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\text{'},\; \backslash \; ldots,\; y\; ^\; \{(n)\}\}$последовательные производные и от неизвестная функция y переменная x.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE). Линейное дифференциальное уравнение также может быть линейным уравнением в частных производных (PDE), если неизвестная функция зависит от нескольких, а производные, которые появляются в уравнении, являются частными производными.

линейным дифференциальным уравнением или система линейных уравнений, такая, что связанные однородные уравнения имеют постоянные коэффициенты, могут быть решены с помощью квадратур, что означает, что решения могут быть выражены с помощью интегралов. Это также верно для линейного уравнения первого порядка с непостоянными коэффициентами. Уравнение второго порядка или выше с непостоянными коэффициентами, как правило, не может быть решено в квадратуре. Для второго порядка алгоритм Ковачича позволяет решить, есть ли решения в терминах интегралов, и вычислить их, если они есть.

Решения линейных дифференциальных уравнений с полиноми коэффициентами называются голономными функциями. Этот класс функций стабилен относительно сумм, произведений, дифференцирования, интегрирования и содержит множество обычных функций и специальных функций, таких как экспоненциальная функция, логарифм, синус, косинус, обратные тригонометрические функции, функция ошибок, функции Бесселя и гипергеометрические функции. Их представление с помощью определяющего дифференциального уравнения и начальных условий позволяет выполнять алгоритмические (на этих функциях) большинство операций исчисления, таких как вычисление первообразных, пределов, астотическое разложение и численное вычисление с любым с точностью сертифицированной границей погрешности.

• 1 Основная терминология
• 2 Линейный дифференциальный оператор
• 3 Однородное уравнение с постоянными коэффициентами
  • 3.1 Случай второго порядка
• 4 Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
• 5 Первое -порядок с переменными коэффициентами
• 6 Система линейных дифференциальных уравнений
• 7 Высший порядок с переменными коэффициентами
  • 7.1 Уравнение Коши - Эйлера
• 8 Голономные функции
• 9 См. также
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Наивысший порядок вывода, который появляется в дифференцируемом уравнении, - это порядок уравнения. Член b (x), который не является постоянным уравнением и его производными, иногда называют постоянным уравнением (по аналогии зависит с алгебраическими уравнениями ), если даже этот член не является постоянной функцией. Если постоянным членом является нулевая функция, то дифференциальное уравнение называется однородным, поскольку оно является однородным многочленом от неизвестной функции и ее производных. Уравнение, полученное заменой в линейном дифференциальном уравнении постоянного члена нулевой функции, является однородным уравнением. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, если только постоянные функции появляются как коэффициенты в связанном однородном уравнении.

Решение дифференциального уравнения - это функция, которая удовлетворяет уравнению. Решения однородного линейного дифференциального уравнения образуют Новое пространство. В обычном случае это пространство имеет конечную размерность, равную порядку уравнения. Все решения линейного дифференциального находятся путем добавления к частному решению любого решения соответствующего однородного уравнения.

Базовый дифференциальный оператор порядка i - это отображение, которое отображает любую дифференцируемую функцию в ее i-ю производную или, в случай нескольких чисел - к одной из его частных производных порядка i. Обычно он обозначается

$didxi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{i\}\}\; \{dx\; ^\; \{i\}\}\}\}$

в случае одномерных функций и

$\partial \; я\; 1\; +\; \cdots \; +\; в\; \partial \; Икс\; 1\; я\; 1\; \cdots \; \partial \; xnin\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{i\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; i\_\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{i\_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{i\_\; \{n\}\}\}\}\}$

в случаях функций от n числа. Основные дифференциальные операторы включают производную порядок 0, которая является тождественным отображением.

A линейный дифференциальный оператор (сокращенно в этой статье линейный оператор или просто оператор) - это линейная комбинация основных операторов с дифференцируемыми функциями в качестве коэффициентов. Таким образом, в одномерном случае линейный оператор имеет формулу

$a\; 0\; (x)\; +\; a\; 1\; (x)\; ddx\; +\; \cdots \; +\; an\; (x)\; dndxn,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; (x)\; +\; a\_\; \{1\}\; (\; x)\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\},\}$

где $a\; 0\; (x),\dots ,\; an\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; (x),\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\; (x)\}$- дифференцируемые функции, неотрицательное целое число n - порядок оператора (если $an\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; (x)\}$не является нулевой функцией ).

Пусть L - линейный дифференциальный оператор. Применение L к функциям обычно обозначается Lf или Lf (X), если нужно указать переменную (это не следует путать с умножением). Линейный дифференциальный оператор - это линейный оператор, он показывает сумму и произведение на скаляр в произведении на тот же скаляр.

Временная сумма двух линейных операторов является линейным оператором, а также произведением (слева) линейного оператора на дифференцируемую функцию, линейные дифференциальные операторы образуют пространство над действительными числами или комплексными числами (в зависимости от характера рассматриваемых функций). Они также образуют свободный модуль над кольцом дифференцируемых функций.

Язык позволяет компактно писать дифференцируемые уравнения: если

$L\; =\; a\; 0\; (x)\; +\; a\; 1\; (x)\; ddx\; +\; \cdots \; +\; an\; (x)\; dndxn,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; a\_\; \{0\}\; (x)\; +\; a\_\; \{1\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\},\}$

- линейный дифференциальный оператор, уравнение

$a\; 0\; (x)\; y\; +\; a\; 1\; (x)\; y\; \prime \; +\; a\; 2\; (x)\; y\; ″\; +\; \cdots \; +\; an\; (x)\; y\; (n)\; знак\; равно\; б\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; а\_\; \{0\}\; (х)\; у\; +\; а\_\; \{1\}\; (х)\; у\; \text{'}+\; а\_\; \{2\}\; (х)\; у\text{'}\; \text{'}+\; \backslash \; cdots\; +\; а\_\; \{п\}\; (х)\; у\; ^\; \{\; (n)\}\; =\; b\; (x)\}$

можно переписать как

$L\; y\; =\; b\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; =\; b\; (x).\}$

У этой записи может быть несколько вариантов; в частности, переменная дифференцирования может появляться или не появляться в y, части и уравнения, например $L\; y\; (x)\; =\; b\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; (x)\; =\; b\; (x)\}$или $L\; y\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; =\; b\}$

Ядром линейного дифференциального оператора является его ядро ​​ как линейное отображение, то есть векторное пространство решений ( однородного) дифференциального уравнения $L\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; =\; 0\}$.

В случае обыкновенного дифференциального оператора порядка n метод Каратеодори теорема существования подразумевает, что при очень мягких условиях ядро ​​L векторным пространством размерности n и что решения уравнения $L\; y\; (x)\; =\; b\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; (x)\; =\; b\; (x)\}$имеют вид

$S\; 0\; (x)\; +\; c\; 1\; S\; 1\; (x)\; +\; \cdots \; +\; cn\; S\; N\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; (x)\; +\; c\_\; \{1\}\; S\_\; \{1\}\; (x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; c\_\; \{n\}\; S\_\; \{\; n\}\; (x),\}$

где $c\; 1,\dots ,\; cn\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; c\_\; \{n\}\}$- произвольные числа. Обычно гипотезы теоремы Каратеодори выполняются в интервале I, если функции $b,\; a\; 0,\dots ,\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; b,\; a\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$непрерывны в I, и существует положительное действительное число k такое, что $|\; а\; п\; (х)\; |>к\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; a\_\; \{n\}\; (x)\; |>k\}$для каждого x в I.

Однородное линейное уравнение имеет постоянные коэффициенты, если оно имеет форму 0

$y\; +\; a\; 1\; y\; \prime \; +\; a\; 2\; y\; ″\; +\; \cdots \; +\; любой\; (n)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; y\; +\; a\_\; \{1\}\; y\; \text{'}+\; a\_\; \{2\}\; y\text{'}\; \text{'}+\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\; \}\; y\; ^\; \{(n)\}\; =\; 0\}$

где $a\; 1,\dots ,\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$являются (действительными или Другими словами, оно имеет линейным оператором с постоянными коэффициентами.

Изучение этих уравнений с постоянными коэффициентами восходит к Леонард Эйлер, который ввел экспоненциальную функцию $ex\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{x\}\}$, которая является единств енным решением уравнений $е\; \text{'}=\; е\; \{\backslash \; displaystyle\; f\text{'}\; =\; f\}$успех h, что $f\; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (0)\; =\; 1\}$. Следовательно, n-я производная от $ecx\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{cx\}\}$равно $cnecx,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{cx\},\}$, что позволяет довольно легко решать однородные линейные дифференциальные уравнения.

Пусть

$a\; 0\; y\; +\; a\; 1\; y\; \prime \; +\; a\; 2\; y\; ″\; +\; \cdots \; +\; любой\; (n)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; y\; +\; a\_\; \{1\}\; y\; \text{'}+\; a\_\; \{\; 2\}\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; y\; ^\; \{(n)\}\; =\; 0\}$

- однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (то есть $a\; 0,\dots ,\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$- действительные или комплексные числа).

Поиск решений этого уравнения в форме $e\; \alpha \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\}$эквивалентен поиску констант $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$такой, что

$a\; 0\; e\; \alpha \; x\; +\; a\; 1\; \alpha \; e\; \alpha \; x\; +\; a\; 2\; \alpha \; 2\; e\; \alpha \; x\; +\; \cdots \; +\; an\; \alpha \; ne\; \alpha \; x\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\; +\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n\; \}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\; =\; 0.\}$

Вычитание за скобки $e\; \alpha \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\}$(которое никогда не равно нулю), показывает, что $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$должен быть корнем характерного многочлена '

$a\; 0\; +\; a\; 1\; t\; +\; a\; 2\; t\; 2\; +\; \cdots \; +\; antn\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; t\; +\; a\_\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}$

дифференциального уравнения, которое является частью левой части соответствующее уравнение

$a\; 0\; +\; a\; 1\; t\; +\; a\; 2\; t\; 2\; +\; \cdots \; +\; antn\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; t\; +\; a\_\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\; \}\; =\; 0.\}$

Когда все эти корни разные, у одного есть различных решений, которые не являются необходимыми обычно реально, даже если коэффициенты уравнения действительны. Эти решения можно показать как линейно независимые, рассматривая определитель Вандермонда значений этих решений при x = 0,..., n-1. Вместе они образуют базис структура пространства дифференциального уравнения (то есть ядро ​​дифференциального оператора).

Пример

$y\; ⁗\; -\; 2\; y\; ‴\; +\; 2\; y\; ″\; -\; 2\; y\; \prime \; +\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}\text{'}\; -\; 2y\; \text{'}\text{'}\; \text{'}+\; 2y\text{'}\; \text{'}-\; 2y\text{'}\; +\; y\; =\; 0\}$ имеет характерное уравнение $z\; 4\; -\; 2\; z\; 3\; +\; 2\; z\; 2\; -\; 2\; z\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{4\}\; -2z\; ^\; \{3\}\; +\; 2z\; ^\; \{2\}\; -2z\; +\; 1\; =\; 0.\}$ Здесь есть нули, i, −i и 1 (кратность 2). Таким образом, использованием решения является $e\; i\; x,\; e\; -\; i\; x,\; e\; x,\; x\; e\; x.\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; ^\; \{ix\},\; \backslash ;\; e\; ^\; \{-\; ix\},\; \backslash ;\; е\; ^\; \{х\},\; \backslash ;\; xe\; ^\; \{x\}.\}$ Таким образом, реальная основа решения $cos\; \; x,\; sin\; \; x,\; ex,\; xex.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; х,\; \backslash ;\; \backslash \; грех\; х,\; \backslash ;\; е\; ^\; \{х\},\; \backslash ;\; xe\; ^\; \{x\}.\}$

В случае, когда характерный многочлен имеет только простые корни, предыдущее обеспечивает полную основу пространства решений. В случае множественных корней необходимы более линейно независимые решения, чтобы иметь основу. Они имеют вид

$xke\; \alpha \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\},\}$

, где k - неотрицательное целое число, $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- корень характеристического многочлена кратности m, причем k α {\ displaystyle \ alpha}является корнем характерного многочлена кратности m, характерный многочлен может быть разложен на множители как $P\; (t)\; (t\; -\; \alpha )\; м.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t)\; (t-\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{m\}.\}$Таким образом, применение дифференциального оператора уравнения эквивалентно применение первых m раз оператора $ddx\; -\; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; \backslash \; alpha,\}$, а затем оператор, имеющий P в качестве характерного многочлена. По теореме об экспоненциальном сдвиге ,

$(ddx\; -\; \alpha )\; (xke\; \alpha \; x)\; =\; kxk\; -\; 1\; e\; \alpha \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; \backslash \; alpha\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\; \backslash \; right)\; =\; kx\; ^\; \{k-1\}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\},\}$

и, таким образом, каждый получает ноль после k + 1 применения $ddx\; -\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; \backslash \; alpha.\}$

Согласно фундаментальной теореме алгебры, сумма кратностей корней многочлена равна степени полинома, количество указанных выше решений равно равно порядку дифференциального уравнения, и эти решения образуют основу пространства решений.

В общем случае, когда коэффициенты уравнения являются действительными, обычно более удобно иметь основу решений, состоящую из функций с действующими значениями. Такой базис можно получить из предыдущего базиса, заметив, что если a + ib является корнем характерного многочлена, то a - также является корнем той же кратности. Таким образом, реальный базис получается с помощью формулы Эйлера и замены $xke\; (a\; +\; ib)\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{(a\; +\; ib)\; x\}\}$и $xke\; (a\; -\; ib)\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{(a-ib)\; x\}\}$на $xkeax\; cos\; \; (bx)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{ax\}\; \backslash \; cos\; (bx)\}$и $xkeax\; sin\; \; (bx).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{k\}\; e\; ^\; \{ax\}\; \backslash \; sin\; (bx).\}$

Случай второго порядка

Однородное линейное уравнение второго порядка может быть записано

$y\; ″\; +\; ay\; \prime \; +\; by\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; ay\; \text{'}+\; by\; =\; 0,\}$

и его характерный многочлен равен

$r\; 2\; +\; ar\; +\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; +\; ar\; +\; b.\}$

Если a и b являются действительными, есть три случая для решений в зависимости от дискриминанта $D\; =\; a\; 2\; -\; 4\; б.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; a\; ^\; \{2\}\; -4b.\}$Во всех трех случаях общее решение зависит от двух произвольных констант $c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$и $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$.

• Если D>0, характерный многочлен имеет два различных действительных корня $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$. В этом случае общее решение:

$c\; 1\; e\; \alpha \; x\; +\; c\; 2\; e\; \beta \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\; +\; c\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{\backslash \; beta\; x\}.\}$

• Если D = 0, характерный многочлен имеет двойной корень $-\; a\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -a\; /\; 2\}$, общее решение -

$(c\; 1\; +\; c\; 2\; x)\; e\; -\; ax\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; (c\_\; \{1\}\; +\; c\_\; \{2\}\; x)\; e\; ^\; \{-\; ax\; /\; 2\}.\}$

• Если D < 0, the characteristic polynomial has two комплексно-сопряженные корни $\alpha \; \pm \; \beta \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; альфа\; \backslash \; pm\; \backslash \; beta\; i\}$, и общее решение:

$c\; 1\; e\; (\alpha \; +\; \beta \; i)\; x\; +\; c\; 2\; e\; (\alpha \; -\; \beta \; i)\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; i)\; x\}\; +\; c\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta\; i)\; x\},\}$

который может быть переписан в реальном выражении с использованием Эйлера формула как

$e\; \alpha \; x\; (c\; 1\; cos\; \; (\beta \; x)\; +\; c\; 2\; sin\; \; (\beta \; x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; x\}\; (c\_\; \{1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; beta\; x)\; +\; c\_\; \{2\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; beta\; x)).\}$

Нахождение решения $y\; (x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; y\; (x)\}$удовлетворяет $y\; (0)\; =\; d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (0)\; =\; d\_\; \{1\}\}$и $y\; \prime \; (\; 0)\; =\; d\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}(0)\; =\; d\_\; \{2\},\}$один приравнивает значения общего решения в 0 и его производной к $d\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\; \}\}$и $d\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{2\},\}$соответственно. Это приводит к линейной системе двух линейных соотношений с неизвестными двумя $c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$и $c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}.\}$Решение этой системы дает решение так называемой задачи Коши, в которой указаны значения 0 для решения DEQ и его производной равны.

Неоднородное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами можно записать

$y\; (n)\; (x)\; +\; a\; 1\; y\; (n\; -\; 1)\; (x)\; +\; \cdots \; +\; an\; -\; 1\; y\; \prime \; (x)\; +\; любой\; (x)\; =\; f\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; +\; a\_\; \{1\}\; y\; ^\; \{(n\; -1)\}\; (x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n-1\}\; y\; \text{'}(x)\; +\; a\_\; \{n\}\; y\; (x)\; =\; f\; (x),\}$

где $a\; 1,\dots ,\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\; \},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n\}\}$- действительные или комплексные числа, f - заданная функция от x, а y - неизвестная функция (для простоты "(x)" в дальнейшем будет опущено).

Есть несколько методов решения такого уравнения. Наилучший метод зависит от характера функции f, которая делает уравнение неоднородным. Если f линейной комбинацией экспоненциальной и синусоидальной функций, то может быть номинала экспоненциального отклика. Если, в более общем смысле, f является линейной комбинацией функций вида $xneax\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{ax\}\}$, $xn\; cos\; \; ax\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cos\; \{ax\; \}\}$и $xn\; sin\; \; ax\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sin\; \{ax\}\}$, где n - неотрицательное целое число, а константа (которые не обязательно должны быть одинаковыми в каждом члене), то может быть отопления неопределенных коэффициентов. Еще более общий метод аннигилятора применяется, когда удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению, как правило, голономной функции .

Наиболее общим методом является изменение констант, который представлен здесь.

Общее решение связанного однородного уравнения

$y\; (n)\; +\; a\; 1\; y\; (n\; -\; 1)\; +\; \cdots \; +\; an\; -\; 1\; y\; \prime \; +\; any\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{(n)\}\; +\; a\_\; \{1\}\; y\; ^\; \{(n-1)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n-1\}\; y\; \text{'}+\; a\_\; \{n\}\; y\; =\; 0\}$

равно

$y\; =\; u\; 1\; y\; 1\; +\; \cdots \; +\; unyn,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; u\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\_\; \{n\}\; y\_\; \{n\},\}$

где $(y\; 1,\dots ,\; yn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\})\}$использует использование пространства решений и $u\; 1,\dots ,\; un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{n\}\}$- произвольные константы. Метод изменения констант получил свое название от следующей идеи. Вместо того, чтобы рассматривать $u\; 1,\dots ,\; un\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{n\}\}$как константы, их можно рассматривать как неизвестные функции, которые необходимо определить для создания y решение неоднородного уравнения. Для этого добавляются ограничения

$0\; =\; u\; 1\; \prime \; y\; 1\; +\; u\; 2\; \prime \; y\; 2\; +\; \cdots \; +\; un\; \prime \; yn\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; u\; \text{'}\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; +\; u\text{'}\; \_\; \{2\}\; y\_\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\; \text{'}\_\; \{n\}\; y\_\; \{n\}\}$

$0\; =\; u\; 1\; \prime \; y\; 1\; \prime \; +\; u\; 2\; \prime \; y\; 2\; \prime \; +\; \cdots \; +\; un\; \prime \; yn\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; u\text{'}\; \_\; \{1\}\; y\; \text{'}\_\; \{1\}\; +\; u\text{'}\; \_\; \{2\}\; y\; \text{'}\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\text{'}\; \_\; \{n\}\; y\; \text{'}\_\; \{n\}\}$

$\cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdots\}$

$0\; знак\; равно\; u\; 1\; \prime \; y\; 1\; (n\; -\; 2)\; +\; u\; 2\; \prime \; y\; 2\; (n\; -\; 2)\; +\; \cdots \; +\; un\; \prime \; yn\; (n\; -\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; u\; \text{'}\_\; \{1\}\; y\_\; \{\; 1\}\; ^\; \{(n-2)\}\; +\; u\; \text{'}\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; ^\; \{(n-2)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\text{'}\; \_\; \{n\}\; y\_\; \{n\}\; ^\; \{(n-2)\; \},\}$

что подразумевает ( согласно правилу произведений и индукции )

$y\; (i)\; =\; u\; 1\; y\; 1\; (i)\; +\; \cdots \; +\; unyn\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{(i)\}\; =\; u\_\; \{1\; \}\; y\_\; \{1\}\; ^\; \{(i)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\_\; \{n\}\; y\_\; \{n\}\; ^\; \{(i)\}\}$

для i = 1,..., n - 1, и

$y\; (n)\; =\; u\; 1\; y\; 1\; (n)\; +\; \cdots \; +\; unyn\; (n)\; +\; u\; 1\; \prime \; y\; 1\; (n\; -\; 1)\; +\; u\; 2\; \prime \; y\; 2\; (n\; -\; 1)\; +\; \cdots \; +\; un\; \prime \; yn\; (n\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{(n)\}\; =\; u\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; ^\; \{(n)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\_\; \{n\}\; y\_\; \{n\}\; ^\; \{(n)\}\; +\; u\; \text{'}\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; ^\; \{(n-1)\}\; +\; u\; \text{'}\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\; ^\; \{(n-1)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\text{'}\; \_\; \{n\}\; y\_\; \{n\}\; ^\; \{(n-\; 1)\}.\}$

Замена в исходном уравнении y и его производных на e, и используя тот факт, что $y\; 1,\dots ,\; yn\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\}\}$являются решениями исходного однородного уравнения, получаем

$е\; =\; u\; 1\; \prime \; y\; 1\; (n\; -\; 1)\; +\; \cdots \; +\; un\; \prime \; yn\; (n\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; u\; \text{'}\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; ^\; \{(n-1)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\text{'}\; \_\; \{n\}\; y\_\; \{n\}\; ^\; \{(n-1)\}.\}$

Это и предыдущие уравнения с 0 в левой части образуют из n линейных соотношений в $u\; 1\; \prime ,\dots ,\; un\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; u\text{'}\; \_\; \{n\}\}$, коэффициенты, которые являются известными функциями (f, y i и их производные). Эта система может быть решена любым методом линейной алгебры. Вычисление первообразных дает $u\; 1,\dots ,\; un,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; u\_\; \{n\},\}$, а затем $y\; =\; u\; 1\; y\; 1\; +\; \cdots \; +\; unyn.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; u\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\_\; \{n\}\; y\_\; \{n\}.\}$

Временные первообразные точки с точностью до добавления константы, снова появляется, что общее решение Неоднородное уравнение суммой произвольного произвольного решения и общего решения связанного однородного уравнения.

Пример

Решение уравнения $y\; \prime \; (x)\; +\; y\; (x)\; /\; x\; =\; 3\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}(x)\; +\; y\; (x)\; /\; x\; =\; 3x.\}$ Связанное однородное уравнение $y\; \prime \; (x)\; +\; y\; (x)\; /\; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\text{'}\; (x)\; +\; y\; (x)\; /\; x\; =\; 0\}$дает $y\; \prime \; /\; y\; =\; -\; 1\; /\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}/\; y\; =\; -1\; /\; x,\}$ то есть $у\; =\; с\; /\; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; c\; /\; x.\}$ Деление уравнения на одно из этих решений дает $xy\; \prime \; +\; y\; =\; 3\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; \text{'}+\; y\; =\; 3x\; ^\; \{2\}.\}$ То есть $(ху)\; \prime \; =\; 3\; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; (xy)\; \text{'}=\; 3x\; ^\; \{2\},\}$ $ху\; =\; x\; 3\; +\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; =\; x\; ^\; \{3\; \}\; +\; c,\}$ и $y\; (x)\; =\; x\; 2\; +\; c\; /\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; c\; /\; x.\}$ для начальных условий $y\; (1)\; =\; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (1)\; =\; \backslash \; alpha,\}$ получается частное решение $y\; (x)\; =\; x\; 2\; +\; \alpha \; -\; 1\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; -1\}\; \{x\}\}.\}$

Общая форма линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка после деления коэффициента из $y\; \prime \; (\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}(x)\}$, составляет:

$y\; \prime \; (x)\; =\; f\; (x)\; y\; (x)\; +\; g\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}(x)\; =\; f\; (x)\; y\; (x)\; +\; g\; (x).\}$

Если уравнение однородно, то есть g (x) = 0, можно переписать и интегрировать:

$y\; \prime \; y\; =\; f,\; журнал\; \; y\; =\; k\; +\; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}\}\; \{y\}\}\; =\; f,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; log\; y\; =\; k\; +\; F,\}$

где k - произвольное константа интегрирования и $F\; =\; \int \; fdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; F\; =\; \backslash \; int\; f\; \backslash ,\; dx\}$является первообразной f. Таким образом, общее решение однородного уравнения:

$y\; =\; ce\; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; ce\; ^\; \{F\},\}$

, где $c\; =\; ek\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; e\; ^\; \{k\}\}$- произвольная константа.

Для общего неоднородного уравнения его можно умножить на взаимное $e\; -\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; F\}\}$решения однородного уравнения. Это дает

$y\; \prime \; e\; -\; F\; -\; yfe\; -\; F\; =\; ge\; -\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\text{'}e\; ^\; \{-\; F\}\; -yfe\; ^\; \{-\; F\}\; =\; ge\; ^\; \{-\; F\}.\}$

Как $-\; fe\; -\; F\; =\; ddx\; (e\; -\; F),\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; fe\; ^\; \{-\; F\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; F\}\; \backslash \; right),\}$Правило произведения позволяет переписать уравнение как

$ddx\; (ye\; -\; F)\; =\; ge\; -\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (ye\; ^\; \{-\; F\}\; \backslash \; right)\; =\; ge\; ^\; \{-\; F\}.\}$

Таким образом, общее решение

$y\; =\; ce\; F\; +\; e\; F\; \int \; ge\; -\; F\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; ce\; ^\; \{F\}\; +\; e\; ^\; \{F\}\; \backslash \; int\; ge\; ^\; \{-\; F\}\; dx,\}$

где c - постоянная интегрирования, а $F\; =\; \int \; fdx\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; int\; fdx\}$.

Система линейных уравнений неизвестных из нескольких линейных уравнений, которые включают несколько функций. В общем, исследование ограничивается системами, в которых количество неизвестных функций равно количеству уравнений.

Произвольное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и система таких уравнений могут быть преобразованы в систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка добавления для всех производных, кроме высших производных. То есть, если $y\; \text{'},\; y\; ″,\dots ,\; y\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\text{'},\; y\; \text{'}\text{'},\; \backslash \; ldots,\; y\; ^\; \{(k)\}\}$появляются в уравнении, можно заменить их новыми неизвестными функциями $y\; 1,\dots ,\; yk\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{k\}\}$, которые должны удовлетворять уравнениям $y\; \prime \; знак\; равно\; y\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; y\_\; \{1\}\}$и $yi\; \prime \; =\; yi\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{i\}\text{'}\; =\; y\_\; \{i\; +\; 1\},\}$для i = 1,..., k - 1.

Линейная система первого порядка, которая имеет n неизвестных функций и n дифференциальных уравнений, обычно может быть решена относительно производных неизвестных функций. Если это не так, то это дифференциально-алгебраическая система, и это другая теория. Следовательно, рассматриваемые здесь системы имеют вид

$y\; 1\; \prime \; (x)\; =\; b\; 1\; (x)\; +\; a\; 1,\; 1\; (x)\; y\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1,\; n\; (x)\; yn\; ⋮\; yn\; \prime \; (Икс)\; знак\; равно\; bn\; (x)\; +\; an,\; 1\; (x)\; y\; 1\; +\; \cdots \; +\; an,\; n\; (x)\; yn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; y\_\; \{1\}\; \text{'}(x)\; =\; b\_\; \{1\}\; (x)\; +\; a\_\; \{1,1\}\; (x)\; y\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1,\; n\}\; (x)\; y\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; y\_\; \{n\}\; \text{'}(x)\; =\; b\_\; \{n\}\; (x)\; +\; a\_\; \{n,\; 1\}\; (x)\; y\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n,\; n\}\; (x)\; y\_\; \{n\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $bn\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\}$и $ai,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i,\; j\}\}$отдельные функции x. В матричной записи эта система может быть записана (без «(x)»)

$y\; \prime \; =\; A\; y\; +\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \text{'}=\; A\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{b\}.\}$

Метод решения методу решения одного линейного дифференциального уравнения первого порядка, но с трудностями, соответствующими из некоммутативности матричное умножение.

Пусть

$u\; \prime \; =\; A\; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \text{'}=\; A\; \backslash \; mathbf\; \{u\}.\}$

- однородное уравнение, связанное с вышеуказанным матричным уравнением. Его решения образуют векторное пространство размерности n и, следовательно, являются столбцами квадратной матрицы функций $U\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (x)\}$, определитель которого не является нулевой функцией. Если n = 1, или A - матрица констант, или, в более общем смысле, если дифференцируема и коммутирует со своей производной, то можно выбрать для U экспоненту первообразной $B\; =\; \int \; A\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; B\; =\; \backslash \; int\; Adx\}$of A. На самом деле, в этих случаях

$ddx\; exp\; \; (B)\; =\; A\; exp\; \; (В).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; exp\; (B)\; =\; A\; \backslash \; exp\; (B).\}$

В общем случае решения однородного уравнения в замкнутой форме не существует, и необходимо использовать численный метод или метод аппроксимации, такой как разложение Магнуса.

Зная матрицу U, общее решение неоднородного уравнения:

$y\; (x)\; =\; U\; (Икс)\; Y\; 0\; +\; U\; (Икс)\; \int \; U\; -\; 1\; (\; Икс)\; б\; (Икс)\; dx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (х)\; =\; U\; (х)\; \backslash \; mathbf\; \{y\_\; \{0\}\}\; +\; U\; (x)\; \backslash \; int\; U\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (x)\; \backslash ,\; dx,\}$

где матрица столбцов $y\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\_\; \{0\}\}\}$- произвольная константа интегрирования.

Если начальные условия заданы как

$y\; (x\; 0)\; =\; y\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (x\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; \_\; \{0\},\}$

решение, которое удовлетворяет начальным условиям:

$y\; (x)\; =\; U\; (x)\; U\; -\; 1\; (x\; 0)\; y\; 0\; +\; U\; (x)\; \int \; x\; 0\; x\; U\; -\; 1\; (t)\; b\; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (x)\; =\; U\; (x)\; U\; ^\; \{-\; 1\}\; (x\_\; \{0\})\; \backslash \; mathbf\; \{y\_\; \{0\}\}\; +\; U\; (x)\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{x\}\; U\; ^\; \{-\; 1\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; (t)\; \backslash ,\; dt.\}$

Линейное обыкновенное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами может быть решена с помощью квадратур, что означает, что решения могут быть выражены с помощью интегралов. Это не относится к заказу по крайней мере два. Это главный результат теории Пикара - Вессио, инициированной Эмилем Пикаром и Эрнестом Вессио, и недавние разработки которой получили название дифференциальной теории Галуа..

Невозможность решения в квадратуре можно сравнить с теоремой Абеля - Руффини, которая утверждает, что алгебраическое уравнение степени не менее пяти, как правило, не может быть решено с помощью радикалы. Эта аналогия представляет собой методы доказательства и мотивирует название дифференциальной теории Галуа.

. Подобно алгебраическому случаю, теория позволяет решить, какие уравнения могут быть решены с помощью квадратуры, и, если возможно, решить их. Однако для внутренних ресурсов необходимые функции трудны даже на самых мощных компьютерах.

Тем не менее, случай второго порядка с рациональными коэффициентами был полностью решен с помощью алгоритма Ковачича.

уравнение Коши - Эйлера

Уравнения Коши - Эйлера являются примерами уравнения любого порядка, с которые переменными коэффициентами, можно решить явно. Это уравнения вида

$xny\; (n)\; (x)\; +\; an\; -\; 1\; xn\; -\; 1\; y\; (n\; -\; 1)\; (x)\; +\; \cdots \; +\; a\; 0\; y\; (x)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; y\; ^\; \{(n)\}\; (x)\; +\; a\_\; \{n-1\}\; x\; ^\; \{n-1\}\; y\; ^\; \{(n-1)\}\; (x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{0\}\; y\; (x)\; =\; 0,\; \}$

где $a\; 0,\dots ,\; an\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{n-1\}\}$- постоянные коэффициенты.

A голономная функция, также называемая D-конечной функцией, - это функция, которая является решением однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами.

Большинство функций, которые обычно рассматриваются в математике, являются голономными или частными от голономных функций. Фактически, голономные функции включают полиномы, алгебраические функции, логарифм, экспоненциальную функцию, синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус, обратный тригонометрический и обратные гиперболические функции, а также многие специальные функции такие как функции Бесселя и гипергеометрические функции.

Голономные функции имеют несколько закрывающих свойств ; в частности, сумму, произведения, производная и интегралы голономных функций являются голономными. Более того, эти замыкания эффективны в том смысле, что существуют алгоритмы для уравнения дифференциального уравнения результата любой из этих операций, зная дифференциальные уравнения входных данных.

Полезность концепции голономных функций из теоремы Зейльбергера, которая следует далее.

Голономная последовательность - это последовательность чисел, которая может быть порождена рекуррентным действием с полиноми коэффициентами. Коэффициенты ряда Тейлора в точке точкиономной функции образуют голономную последовательность. И наоборот, если последовательность последовательностей степенного ряда является голономной, то этот ряд определяет голономную функцию (если радиус сходимости равенство нулю). Существуют эффективные алгоритмы для обоих преобразований, то есть для вычисления рекуррентного отношения из дифференциального уравнения, и наоборот.

Отсюда следует, что, если представить (в компьютере) голономные функции их определяющими дифференциальными уравнениями и начальными условиями, большинство операций исчисления может выполняться автоматически над этими функциями, например производная, неопределенный и определенный интеграл, быстрое вычисление ряда Тейлора (благодаря рекуррентному соотношению его коэффициентов), оценка с высокой точностью с сертифицированной границей приближения ошибка, пределы, локализация особенностей, асимптотика на бесконечности и вблизи сингулярностей, подтверждение идентичности и т. д.

• Ипотека с непрерывным погашением
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Линейное разностное уравнение
• Изменение параметров

• Биркгоф, Гаррет и Рота, Джан-Карло (1978), обыкновенные дифференциальные уравнения, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
• Гершенфельд, Нил (1999), Природа Ма тематическое моделирование, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
• Робинсон, Джеймс К. (2004), Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode. htm
• Динамический словарь математических функций. Автоматическое и интерактивное изучение многих голономных функций.