Расширение Магнуса

редактировать

В математике и физике, то расширение Магнуса, названное в честь Вильгельма Магнуса (1907-1990), обеспечивает экспоненциальное представление решения первого порядка однородного линейный дифференциальное уравнение для линейного оператора. В частности, он предоставляет фундаментальную матрицу системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n с переменными коэффициентами. Показатель агрегирован как бесконечный ряд, члены которого включают множественные интегралы и вложенные коммутаторы.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Детерминированный случай
    • 1.1 Подход Магнуса и его интерпретация
    • 1.2 Сходимость разложения
    • 1.3 Генератор Магнуса
  • 2 Стохастический случай
    • 2.1 Распространение на стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения
    • 2.2 Сходимость разложения
    • 2.3 Формула разложения Магнуса
  • 3 Приложения
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки

Детерминированный случай

Подход Магнуса и его интерпретация

Учитывая матрицу коэффициентов A ( t)  размера n ×  n, нужно решить задачу с начальным значением, связанную с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением

Y ( т ) знак равно А ( т ) Y ( т ) , Y ( т 0 ) знак равно Y 0 {\ displaystyle Y '(t) = A (t) Y (t), \ quad Y (t_ {0}) = Y_ {0}}

для неизвестной n -мерной вектор-функции Y ( t).

Когда n  = 1, решение просто читает

Y ( т ) знак равно exp ( т 0 т А ( s ) d s ) Y 0 . {\ displaystyle Y (t) = \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} A (s) \, ds \ right) Y_ {0}.}

Это все еще верно для n  gt; 1, если матрица A ( t) удовлетворяет A ( t 1) A ( t 2) = A ( t 2) A ( t 1) для любой пары значений t, t 1 и t 2.. В частности, это так, если матрица A не зависит от t. Однако в общем случае приведенное выше выражение уже не является решением проблемы.

Подход, предложенный Магнусом для решения матричной начальной задачи, заключается в выражении решения с помощью экспоненты некоторой матричной функции размера n  ×  n Ω ( t, t 0):

Y ( т ) знак равно exp ( Ω ( т , т 0 ) ) Y 0 , {\ Displaystyle Y (T) = \ ехр {\ big (} \ Omega (t, t_ {0}) {\ big)} \, Y_ {0},}

который впоследствии строится как разложение в ряд :

Ω ( т ) знак равно k знак равно 1 Ω k ( т ) , {\ Displaystyle \ Omega (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ Omega _ {k} (t),}

где для простоты, принято писать Q ( т) для Q ( т, т 0) и принять т 0  = 0.

Магнус это оценил, поскольку ( d/dt( Е Ω) е = ( т), с использованием Пуанкаром-хаусдорфову матрицей идентичности, он может связать производную по времени от Q, к производящей функции чисел Бернулли и сопряженный эндоморфизму из П,

Ω знак равно объявление Ω exp ( объявление Ω ) - 1 А , {\ displaystyle \ Omega '= {\ frac {\ operatorname {ad} _ {\ Omega}} {\ exp (\ operatorname {ad} _ {\ Omega}) - 1}} A,}

рекурсивно решить для Ω в терминах A «в непрерывном аналоге разложения CBH », как описано в следующем разделе.

Вышеприведенное уравнение представляет собой разложение Магнуса или ряд Магнуса для решения матричной линейной начальной задачи. Первые четыре термина этой серии читаются

Ω 1 ( т ) знак равно 0 т А ( т 1 ) d т 1 , Ω 2 ( т ) знак равно 1 2 0 т d т 1 0 т 1 d т 2 [ А ( т 1 ) , А ( т 2 ) ] , Ω 3 ( т ) знак равно 1 6 0 т d т 1 0 т 1 d т 2 0 т 2 d т 3 ( [ А ( т 1 ) , [ А ( т 2 ) , А ( т 3 ) ] ] + [ А ( т 3 ) , [ А ( т 2 ) , А ( т 1 ) ] ] ) , Ω 4 ( т ) знак равно 1 12 0 т d т 1 0 т 1 d т 2 0 т 2 d т 3 0 т 3 d т 4 ( [ [ [ А 1 , А 2 ] , А 3 ] , А 4 ] + [ А 1 , [ [ А 2 , А 3 ] , А 4 ] ] + [ А 1 , [ А 2 , [ А 3 , А 4 ] ] ] + [ А 2 , [ А 3 , [ А 4 , А 1 ] ] ] ) , {\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega _ {1} (t) amp; = \ int _ {0} ^ {t} A (t_ {1}) \, dt_ {1}, \\\ Omega _ { 2} (t) amp; = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \, [A (t_ {1}), A (t_ {2})], \\\ Omega _ {3} (t) amp; = {\ frac {1} {6}} \ int _ {0} ^ {t } dt_ {1} \ int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {0} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \, {\ Bigl (} {\ big [ } A (t_ {1}), [A (t_ {2}), A (t_ {3})] {\ big]} + {\ big [} A (t_ {3}), [A (t_ { 2}), A (t_ {1})] {\ big]} {\ Bigr)}, \\\ Omega _ {4} (t) amp; = {\ frac {1} {12}} \ int _ { 0} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {0} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \ int _ {0} ^ {t_ {3}} dt_ {4} \, \ left ({\ Big [} {\ big [} [A_ {1}, A_ {2}], A_ {3} {\ big]}, A_ { 4} {\ Big]} \ right. \\ amp; \ qquad + {\ Big [} A_ {1}, {\ big [} [A_ {2}, A_ {3}], A_ {4} {\ big ]} {\ Big]} + {\ Big [} A_ {1}, {\ big [} A_ {2}, [A_ {3}, A_ {4}] {\ big]} {\ Big]} + \ left. {\ Big [} A_ {2}, {\ big [} A_ {3}, [A_ {4}, A_ {1}] {\ big]} {\ Big]} \ right), \ end {выровнено}}}

где [, B ] ≡ Б - Б матрица коммутатор из A и B.

Эти уравнения можно интерпретировать следующим образом: Ω 1 ( t) точно совпадает с показателем в скалярном ( n  = 1) случае, но это уравнение не может дать полного решения. Если кто-то настаивает на экспоненциальном представлении ( группа Ли ), показатель степени необходимо исправить. Остальная часть серии Magnus предусматривает, что коррекция систематически: Ω или его части в алгебре Ли из группы Ли на решение.

В приложениях редко удается точно суммировать ряд Магнуса, и для получения приближенных решений его необходимо усечь. Основное преимущество предложения Магнуса состоит в том, что усеченный ряд очень часто разделяет важные качественные свойства с точным решением, в отличие от других традиционных теорий возмущений. Например, в классической механике симплектического характер временной эволюции сохраняется в каждом порядке приближения. Точно так же сохраняется унитарный характер оператора временной эволюции в квантовой механике (в отличие, например, от ряда Дайсона, решающего ту же задачу).

Сходимость расширения

С математической точки зрения проблема сходимости заключается в следующем: при определенной матрице A ( t), когда можно получить показатель Ω ( t) как сумму ряда Магнуса?

Достаточным условием сходимости этого ряда при t ∈ [0, T) является

0 Т А ( s ) 2 d s lt; π , {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ | A (s) \ | _ {2} \, ds lt;\ pi,}

где обозначает матричную норму. Этот результат является общим в том смысле, что можно построить специфически матрицы А ( т), для которых ряд расходится для любого т gt; Т. 2 {\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}

Генератор магнуса

Рекурсивная процедура для генерации всех членов в разложении Магнуса использует матрицы S n (k), определенные рекурсивно через

S п ( j ) знак равно м знак равно 1 п - j [ Ω м , S п - м ( j - 1 ) ] , 2 j п - 1 , {\ Displaystyle S_ {n} ^ {(j)} = \ sum _ {m = 1} ^ {nj} \ left [\ Omega _ {m}, S_ {nm} ^ {(j-1)} \ right ], \ quad 2 \ leq j \ leq n-1,}
S п ( 1 ) знак равно [ Ω п - 1 , А ] , S п ( п - 1 ) знак равно объявление Ω 1 п - 1 ( А ) , {\ Displaystyle S_ {n} ^ {(1)} = \ left [\ Omega _ {n-1}, A \ right], \ quad S_ {n} ^ {(n-1)} = \ operatorname {ad } _ {\ Omega _ {1}} ^ {n-1} (A),}

которые затем предоставляют

Ω 1 знак равно 0 т А ( τ ) d τ , {\ displaystyle \ Omega _ {1} = \ int _ {0} ^ {t} A (\ tau) \, d \ tau,}
Ω п знак равно j знак равно 1 п - 1 B j j ! 0 т S п ( j ) ( τ ) d τ , п 2. {\ displaystyle \ Omega _ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {\ frac {B_ {j}} {j!}} \ int _ {0} ^ {t} S_ { n} ^ {(j)} (\ tau) \, d \ tau, \ quad n \ geq 2.}

Здесь ad k Ω - сокращение от повторного коммутатора (см. Присоединенный эндоморфизм ):

объявление Ω 0 А знак равно А , объявление Ω k + 1 А знак равно [ Ω , объявление Ω k А ] , {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {\ Omega} ^ {0} A = A, \ quad \ operatorname {ad} _ {\ Omega} ^ {k + 1} A = [\ Omega, \ operatorname {ad} _ {\ Omega} ^ {k} A],}

а B j - числа Бернулли с B 1 = −1/2.

Наконец, когда эта рекурсия разработана явно, можно выразить Ω n ( t) как линейную комбинацию n- кратных интегралов от n  - 1 вложенных коммутаторов, включающих n матриц A:

Ω п ( т ) знак равно j знак равно 1 п - 1 B j j ! k 1 + + k j знак равно п - 1 k 1 1 , , k j 1 0 т объявление Ω k 1 ( τ ) объявление Ω k 2 ( τ ) объявление Ω k j ( τ ) А ( τ ) d τ , п 2 , {\ displaystyle \ Omega _ {n} (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {\ frac {B_ {j}} {j!}} \ sum _ {k_ {1} + \ cdots + k_ {j} = n-1 \ поверх k_ {1} \ geq 1, \ ldots, k_ {j} \ geq 1} \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {ad} _ {\ Омега _ {k_ {1}} (\ tau)} \ operatorname {ad} _ {\ Omega _ {k_ {2}} (\ tau)} \ cdots \ operatorname {ad} _ {\ Omega _ {k_ {j }} (\ tau)} A (\ tau) \, d \ tau, \ quad n \ geq 2,}

который становится все более запутанным с n.

Стохастический случай

Распространение на стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения

Для расширения стохастического случае пусть будет -мерном броуновское движение, на вероятностном пространстве с конечным горизонтом и естественной фильтрации. Теперь рассмотрим линейное матричное стохастическое дифференциальное уравнение Ито (с соглашением Эйнштейна о суммировании по индексу j) ( W т ) т [ 0 , Т ] {\ textstyle \ left (W_ {t} \ right) _ {t \ in [0, T]}} р q {\ textstyle \ mathbb {R} ^ {q}} q N gt; 0 {\ textstyle q \ in \ mathbb {N} _ {gt; 0}} ( Ω , F , п ) {\ textstyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P} \ right)} Т gt; 0 {\ textstyle Tgt; 0}

d Икс т знак равно B т Икс т d т + А т ( j ) Икс т d W т j , Икс 0 знак равно я d , d N gt; 0 , {\ displaystyle dX_ {t} = B_ {t} X_ {t} dt + A_ {t} ^ {(j)} X_ {t} dW_ {t} ^ {j}, \ quad X_ {0} = I_ { d}, \ qquad d \ in \ mathbb {N} _ {gt; 0},}

где - прогрессивно измеримые ограниченные случайные процессы, а - единичная матрица. Следуя тому же подходу, что и в детерминированном случае с изменениями из-за стохастической настройки, соответствующий матричный логарифм окажется как процесс Ито, первые два порядка разложения которого задаются формулами и, где с соглашением Эйнштейна о суммировании по i и j B , А ( 1 ) , , А ( j ) {\ textstyle B _ {\ cdot}, A _ {\ cdot} ^ {(1)}, \ dots, A _ {\ cdot} ^ {(j)}} d × d {\ textstyle d \ times d} я d {\ textstyle I_ {d}} Y т ( 1 ) знак равно Y т ( 1 , 0 ) + Y т ( 0 , 1 ) {\ textstyle Y_ {t} ^ {(1)} = Y_ {t} ^ {(1,0)} + Y_ {t} ^ {(0,1)}} Y т ( 2 ) знак равно Y т ( 2 , 0 ) + Y т ( 1 , 1 ) + Y т ( 0 , 2 ) {\ textstyle Y_ {t} ^ {(2)} = Y_ {t} ^ {(2,0)} + Y_ {t} ^ {(1,1)} + Y_ {t} ^ {(0,2)}}

Y т ( 0 , 0 ) знак равно 0 , Y т ( 1 , 0 ) знак равно 0 т А s ( j ) d W s j , Y т ( 0 , 1 ) знак равно 0 т B s d s , Y т ( 2 , 0 ) знак равно - 1 2 0 т ( А s ( j ) ) 2 d s + 1 2 0 т [ А s ( j ) , 0 s А р ( я ) d W р я ] d W s j , Y т ( 1 , 1 ) знак равно 1 2 0 т [ B s , 0 s А р ( j ) d W р ] d s + 1 2 0 т [ А s ( j ) , 0 s B р d р ] d W s j , Y т ( 0 , 2 ) знак равно 1 2 0 т [ B s , 0 s B р d р ] d s . {\ displaystyle {\ begin {align} Y_ {t} ^ {(0,0)} amp; = 0, \\ Y_ {t} ^ {(1,0)} amp; = \ int _ {0} ^ {t } A_ {s} ^ {(j)} dW_ {s} ^ {j}, \\ Y_ {t} ^ {(0,1)} amp; = \ int _ {0} ^ {t} B_ {s} ds, \\ Y_ {t} ^ {(2,0)} amp; = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ big (} A_ {s} ^ { (j)} {\ big)} ^ {2} ds + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} A_ {s} ^ {(j)}, \ int _ {0} ^ {s} A_ {r} ^ {(i)} d {W_ {r} ^ {i}} {\ Big]} dW_ {s} ^ {j}, \\ Y_ {t } ^ {(1,1)} amp; = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} B_ {s}, \ int _ {0} ^ {s } A_ {r} ^ {(j)} dW_ {r} {\ Big]} ds + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} A_ {s} ^ {(j)}, \ int _ {0} ^ {s} B_ {r} dr {\ Big]} dW_ {s} ^ {j}, \\ Y_ {t} ^ {(0,2)} amp; = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} B_ {s}, \ int _ {0} ^ {s} B_ {r} dr {\ Big ]} ds. \ end {выровнены}}}

Сходимость расширения

В стохастической настройке сходимость теперь будет зависеть от времени остановки, и первый результат сходимости будет выражаться следующим образом: τ {\ textstyle \ tau}

При предыдущем предположении о коэффициентах существует сильное решение, а также строго положительное время остановки, такое что: Икс знак равно ( Икс т ) т [ 0 , Т ] {\ textstyle X = (X_ {t}) _ {t \ in [0, T]}} τ Т {\ textstyle \ tau \ leq T}

  1. Икс т {\ textstyle X_ {t}}имеет действительный логарифм до времени, т. е. Y т {\ textstyle Y_ {t}} τ {\ textstyle \ tau}
    Икс т знак равно е Y т , 0 т lt; τ ; {\ displaystyle X_ {t} = e ^ {Y_ {t}}, \ qquad 0 \ leq t lt;\ tau;}
  2. почти наверняка выполняется следующее представление: п {\ textstyle \ mathbb {P}}
    Y т знак равно п знак равно 0 Y т ( п ) , 0 т lt; τ , {\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Y_ {t} ^ {(n)}, \ qquad 0 \ leq t lt;\ tau,}
    где это п -й члена в стохастическом разложении Магнуса, как определено ниже в формуле подраздела Магнус расширения; Y ( п ) {\ textstyle Y ^ {(п)}}
  3. существует положительная постоянная C, зависящая только от, с, такая, что А ( 1 ) Т , , А ( q ) Т , B Т , Т , d {\ textstyle \ | A ^ {(1)} \ | _ {T}, \ точки, \ | A ^ {(q)} \ | _ {T}, \ | B \ | _ {T}, T, d} А Т знак равно А т F L ( Ω × [ 0 , Т ] ) {\ textstyle \ | A _ {\ cdot} \ | _ {T} = \ | \ | A_ {t} \ | _ {F} \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega \ times [0, T ])}}
    п ( τ т ) C т , т [ 0 , Т ] . {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ tau \ leq t) \ leq Ct, \ qquad t \ in [0, T].}

Формула разложения Магнуса

Общая формула разложения для стохастического разложения Магнуса задается следующим образом:

Y т знак равно п знак равно 0 Y т ( п ) с участием Y т ( п ) знак равно р знак равно 0 п Y т ( р , п - р ) , {\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Y_ {t} ^ {(n)} \ quad {\ text {with}} \ quad Y_ {t} ^ {(n)}: = \ sum _ {r = 0} ^ {n} Y_ {t} ^ {(r, nr)},}

где общий термин - это процесс Ито в форме: Y ( р , п - р ) {\ textstyle Y ^ {(г, номер)}}

Y т ( р , п - р ) знак равно 0 т μ s р , п - р d s + 0 т σ s р , п - р , j d W s j , п N 0 ,   р знак равно 0 , , п , {\ displaystyle Y_ {t} ^ {(r, nr)} = \ int _ {0} ^ {t} \ mu _ {s} ^ {r, nr} ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma _ {s} ^ {r, nr, j} dW_ {s} ^ {j}, \ qquad n \ in \ mathbb {N} _ {0}, \ r = 0, \ dots, n,}

Термины рекурсивно определяются как σ р , п - р , j , μ р , п - р {\ textstyle \ sigma ^ {r, nr, j}, \ mu ^ {r, nr}}

σ s р , п - р , j знак равно я знак равно 0 п - 1 β я я ! S s р - 1 , п - р , я ( А ( j ) ) , μ s р , п - р знак равно я знак равно 0 п - 1 β я я ! S s р , п - р - 1 , я ( B ) - 1 2 j знак равно 1 q я знак равно 0 п - 2 β я я ! q 1 знак равно 2 р q 2 знак равно 0 п - р S р - q 1 , п - р - q 2 , я ( Q q 1 , q 2 , j ) , {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {s} ^ {r, nr, j} amp;: = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {\ beta _ {i} } {i!}} S_ {s} ^ {r-1, nr, i} {\ big (} A ^ {(j)} {\ big)}, \\\ mu _ {s} ^ {r, nr} amp;: = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {\ beta _ {i}} {i!}} S_ {s} ^ {r, nr-1, i} ( Б) - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {q} \ sum _ {i = 0} ^ {n-2} {\ frac {\ beta _ {i}} {i!}} \ sum _ {q_ {1} = 2} ^ {r} \ sum _ {q_ {2} = 0} ^ {nr} S ^ {r-q_ {1}, nr-q_ {2 }, i} {\ big (} Q ^ {q_ {1}, q_ {2}, j} {\ big)}, \ end {align}}}

с участием

Q s q 1 , q 2 , j знак равно я 1 знак равно 2 q 1 я 2 знак равно 0 q 2 час 1 знак равно 1 я 1 - 1 час 2 знак равно 0 я 2 п 1 знак равно 0 q 1 - я 1 п 2 знак равно 0 q 2 - я 2   м 1 знак равно 0 п 1 + п 2   м 2 знак равно 0 q 1 - я 1 - п 1 + q 2 - я 2 - п 2 ( S s п 1 , п 2 , м 1 ( σ s час 1 , час 2 , j ) ( м 1 + 1 ) ! S s q 1 - я 1 - п 1 , q 2 - я 2 - п 2 , м 2 ( σ s я 1 - час 1 , я 2 - час 2 , j ) ( м 2 + 1 ) ! + [ S s п 1 , п 2 , м 1 ( σ s я 1 - час 1 , я 2 - час 2 , j ) , S s q 1 - я 1 - п 1 , q 2 - я 2 - п 2 , м 2 ( σ s час 1 , час 2 , j ) ] ( м 1 + м 2 + 2 ) ( м 1 + 1 ) ! м 2 ! ) , {\ displaystyle {\ begin {align} Q_ {s} ^ {q_ {1}, q_ {2}, j}: = \ sum _ {i_ {1} = 2} ^ {q_ {1}} \ sum _ {i_ {2} = 0} ^ {q_ {2}} \ sum _ {h_ {1} = 1} ^ {i_ {1} -1} \ sum _ {h_ {2} = 0} ^ {i_ { 2}} amp; \ sum _ {p_ {1} = 0} ^ {q_ {1} -i_ {1}} \ sum _ {{p_ {2}} = 0} ^ {q_ {2} -i_ {2 }} \ \ sum _ {m_ {1} = 0} ^ {p_ {1} + p_ {2}} \ \ sum _ {{m_ {2}} = 0} ^ {q_ {1} -i_ {1 } -p_ {1} + q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}} \\ amp; {\ Bigg (} {{\ frac {S_ {s} ^ {p_ {1}, p_ {2}), m_ {1}} {\ big (} \ sigma _ {s} ^ {h_ {1}, h_ {2}, j} {\ big)}} {({m_ {1}} + 1)!} } {\ frac {S_ {s} ^ {q_ {1} -i_ {1} -p_ {1}, q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}, m_ {2}} {\ big ( } \ sigma _ {s} ^ {i_ {1} -h_ {1}, i_ {2} -h_ {2}, j} {\ big)}} {({m_ {2}} + 1)!} }} \\ amp; \ qquad \ qquad + {\ frac {{\ big [} S_ {s} ^ {p_ {1}, p_ {2}, m_ {1}} {\ big (} \ sigma _ {s } ^ {i_ {1} -h_ {1}, i_ {2} -h_ {2}, j} {\ big)}, S_ {s} ^ {q_ {1} -i_ {1} -p_ {1 }, q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}, m_ {2}} {\ big (} \ sigma _ {s} ^ {h_ {1}, h_ {2}, j} {\ big)} {\ big]}} {({m_ {1}} + {m_ {2}} + 2) ({m_ {1}} + 1)! {m_ {2}}!}} {\ Bigg) }, \ end {выровнены}}}

а операторы S определены как

S s р - 1 , п - р , 0 ( А ) знак равно { А если  р знак равно п знак равно 1 , 0 иначе , S s р - 1 , п - р , я ( А ) знак равно ( j 1 , k 1 ) , , ( j я , k я ) N 0 2 j 1 + + j я знак равно р - 1 k 1 + + k я знак равно п - р [ Y s ( j 1 , k 1 ) , [ , [ Y s ( j я , k я ) , А s ] ] ] знак равно ( j 1 , k 1 ) , , ( j я , k я ) N 0 2 j 1 + + j я знак равно р - 1 k 1 + k я знак равно п - р объявление Y s ( j 1 , k 1 ) объявление Y s ( j я , k я ) ( А s ) , я N . {\ displaystyle {\ begin {align} S_ {s} ^ {r-1, nr, 0} (A) amp;: = {\ begin {cases} A amp; {\ text {if}} r = n = 1, \ \ 0 amp; {\ text {else}}, \ end {case}} \\ S_ {s} ^ {r-1, nr, i} (A) amp;: = \ sum _ {\ begin {array} {c} (j_ {1}, k_ {1}), \ dots, (j_ {i}, k_ {i}) \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {2} \\ j_ {1} + \ cdots + j_ {i} = r-1 \\ k_ {1} + \ cdots + k_ {i} = nr \ end {array}} {\ big [} Y_ {s} ^ {(j_ {1}, k_ { 1})}, {\ big [} \ dots, {\ big [} Y_ {s} ^ {(j_ {i}, k_ {i})}, A_ {s} {\ big]} \ dots {\ big]} {\ big]} \\ amp; = \ sum _ {\ begin {array} {c} (j_ {1}, k_ {1}), \ dots, (j_ {i}, k_ {i}) \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {2} \\ j_ {1} + \ cdots + j_ {i} = r-1 \\ k_ {1} + \ cdots k_ {i} = nr \ end {array}} \ operatorname {ad} _ {Y_ {s} ^ {(j_ {1}, k_ {1})}} \ circ \ cdots \ circ \ operatorname {ad} _ {Y_ {s} ^ {( j_ {i}, k_ {i})}} (A_ {s}), \ qquad i \ in \ mathbb {N}. \ end {выровнено}}}

Приложения

С 1960-х годов расширение Магнуса успешно применялось в качестве пертурбативного инструмента во многих областях физики и химии, от атомной и молекулярной физики до ядерного магнитного резонанса и квантовой электродинамики. Он также используется с 1998 года в качестве инструмента для построения практических алгоритмов численного интегрирования матричных линейных дифференциальных уравнений. Поскольку они наследуют от разложения Магнуса сохранение качественных черт задачи, соответствующие схемы являются прототипами геометрических числовых интеграторов.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Последняя правка сделана 2023-12-31 01:32:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте