Расширение Магнуса

В математике и физике, то расширение Магнуса, названное в честь Вильгельма Магнуса (1907-1990), обеспечивает экспоненциальное представление решения первого порядка однородного линейный дифференциальное уравнение для линейного оператора. В частности, он предоставляет фундаментальную матрицу системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n с переменными коэффициентами. Показатель агрегирован как бесконечный ряд, члены которого включают множественные интегралы и вложенные коммутаторы.

• 1 Детерминированный случай
  • 1.1 Подход Магнуса и его интерпретация
  • 1.2 Сходимость разложения
  • 1.3 Генератор Магнуса
• 2 Стохастический случай
  • 2.1 Распространение на стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения
  • 2.2 Сходимость разложения
  • 2.3 Формула разложения Магнуса
• 3 Приложения
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Подход Магнуса и его интерпретация

Учитывая матрицу коэффициентов A ( t)  размера n ×  n, нужно решить задачу с начальным значением, связанную с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением

${\ displaystyle Y '(t) = A (t) Y (t), \ quad Y (t_ {0}) = Y_ {0}}$

для неизвестной n -мерной вектор-функции Y ( t).

Когда n  = 1, решение просто читает

${\ displaystyle Y (t) = \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} A (s) \, ds \ right) Y_ {0}.}$

Это все еще верно для n  gt; 1, если матрица A ( t) удовлетворяет A ( t 1) A ( t 2) = A ( t 2) A ( t 1) для любой пары значений t, t 1 и t 2.. В частности, это так, если матрица A не зависит от t. Однако в общем случае приведенное выше выражение уже не является решением проблемы.

Подход, предложенный Магнусом для решения матричной начальной задачи, заключается в выражении решения с помощью экспоненты некоторой матричной функции размера n  ×  n Ω ( t, t 0):

${\ Displaystyle Y (T) = \ ехр {\ big (} \ Omega (t, t_ {0}) {\ big)} \, Y_ {0},}$

который впоследствии строится как разложение в ряд :

${\ Displaystyle \ Omega (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ Omega _ {k} (t),}$

где для простоты, принято писать Q ( т) для Q ( т, т 0) и принять т 0  = 0.

Магнус это оценил, поскольку ( d/dt( Е ^Ω) е ^-Ω = ( т), с использованием Пуанкаром-хаусдорфову матрицей идентичности, он может связать производную по времени от Q, к производящей функции чисел Бернулли и сопряженный эндоморфизму из П,

${\ displaystyle \ Omega '= {\ frac {\ operatorname {ad} _ {\ Omega}} {\ exp (\ operatorname {ad} _ {\ Omega}) - 1}} A,}$

рекурсивно решить для Ω в терминах A «в непрерывном аналоге разложения CBH », как описано в следующем разделе.

Вышеприведенное уравнение представляет собой разложение Магнуса или ряд Магнуса для решения матричной линейной начальной задачи. Первые четыре термина этой серии читаются

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega _ {1} (t) amp; = \ int _ {0} ^ {t} A (t_ {1}) \, dt_ {1}, \\\ Omega _ { 2} (t) amp; = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \, [A (t_ {1}), A (t_ {2})], \\\ Omega _ {3} (t) amp; = {\ frac {1} {6}} \ int _ {0} ^ {t } dt_ {1} \ int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {0} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \, {\ Bigl (} {\ big [ } A (t_ {1}), [A (t_ {2}), A (t_ {3})] {\ big]} + {\ big [} A (t_ {3}), [A (t_ { 2}), A (t_ {1})] {\ big]} {\ Bigr)}, \\\ Omega _ {4} (t) amp; = {\ frac {1} {12}} \ int _ { 0} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {0} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ int _ {0} ^ {t_ {2}} dt_ {3} \ int _ {0} ^ {t_ {3}} dt_ {4} \, \ left ({\ Big [} {\ big [} [A_ {1}, A_ {2}], A_ {3} {\ big]}, A_ { 4} {\ Big]} \ right. \\ amp; \ qquad + {\ Big [} A_ {1}, {\ big [} [A_ {2}, A_ {3}], A_ {4} {\ big ]} {\ Big]} + {\ Big [} A_ {1}, {\ big [} A_ {2}, [A_ {3}, A_ {4}] {\ big]} {\ Big]} + \ left. {\ Big [} A_ {2}, {\ big [} A_ {3}, [A_ {4}, A_ {1}] {\ big]} {\ Big]} \ right), \ end {выровнено}}}$

где [, B ] ≡ Б - Б матрица коммутатор из A и B.

Эти уравнения можно интерпретировать следующим образом: Ω 1 ( t) точно совпадает с показателем в скалярном ( n  = 1) случае, но это уравнение не может дать полного решения. Если кто-то настаивает на экспоненциальном представлении ( группа Ли ), показатель степени необходимо исправить. Остальная часть серии Magnus предусматривает, что коррекция систематически: Ω или его части в алгебре Ли из группы Ли на решение.

В приложениях редко удается точно суммировать ряд Магнуса, и для получения приближенных решений его необходимо усечь. Основное преимущество предложения Магнуса состоит в том, что усеченный ряд очень часто разделяет важные качественные свойства с точным решением, в отличие от других традиционных теорий возмущений. Например, в классической механике симплектического характер временной эволюции сохраняется в каждом порядке приближения. Точно так же сохраняется унитарный характер оператора временной эволюции в квантовой механике (в отличие, например, от ряда Дайсона, решающего ту же задачу).

Сходимость расширения

С математической точки зрения проблема сходимости заключается в следующем: при определенной матрице A ( t), когда можно получить показатель Ω ( t) как сумму ряда Магнуса?

Достаточным условием сходимости этого ряда при t ∈ [0, T) является

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \ | A (s) \ | _ {2} \, ds lt;\ pi,}$

где обозначает матричную норму. Этот результат является общим в том смысле, что можно построить специфически матрицы А ( т), для которых ряд расходится для любого т gt; Т. ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}$

Генератор магнуса

Рекурсивная процедура для генерации всех членов в разложении Магнуса использует матрицы S n ^(k), определенные рекурсивно через

${\ Displaystyle S_ {n} ^ {(j)} = \ sum _ {m = 1} ^ {nj} \ left [\ Omega _ {m}, S_ {nm} ^ {(j-1)} \ right ], \ quad 2 \ leq j \ leq n-1,}$

${\ Displaystyle S_ {n} ^ {(1)} = \ left [\ Omega _ {n-1}, A \ right], \ quad S_ {n} ^ {(n-1)} = \ operatorname {ad } _ {\ Omega _ {1}} ^ {n-1} (A),}$

которые затем предоставляют

${\ displaystyle \ Omega _ {1} = \ int _ {0} ^ {t} A (\ tau) \, d \ tau,}$

${\ displaystyle \ Omega _ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {\ frac {B_ {j}} {j!}} \ int _ {0} ^ {t} S_ { n} ^ {(j)} (\ tau) \, d \ tau, \ quad n \ geq 2.}$

Здесь ad ^k Ω - сокращение от повторного коммутатора (см. Присоединенный эндоморфизм ):

${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {\ Omega} ^ {0} A = A, \ quad \ operatorname {ad} _ {\ Omega} ^ {k + 1} A = [\ Omega, \ operatorname {ad} _ {\ Omega} ^ {k} A],}$

а B j - числа Бернулли с B 1 = −1/2.

Наконец, когда эта рекурсия разработана явно, можно выразить Ω n ( t) как линейную комбинацию n- кратных интегралов от n  - 1 вложенных коммутаторов, включающих n матриц A:

${\ displaystyle \ Omega _ {n} (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {\ frac {B_ {j}} {j!}} \ sum _ {k_ {1} + \ cdots + k_ {j} = n-1 \ поверх k_ {1} \ geq 1, \ ldots, k_ {j} \ geq 1} \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {ad} _ {\ Омега _ {k_ {1}} (\ tau)} \ operatorname {ad} _ {\ Omega _ {k_ {2}} (\ tau)} \ cdots \ operatorname {ad} _ {\ Omega _ {k_ {j }} (\ tau)} A (\ tau) \, d \ tau, \ quad n \ geq 2,}$

который становится все более запутанным с n.

Распространение на стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения

Для расширения стохастического случае пусть будет -мерном броуновское движение, на вероятностном пространстве с конечным горизонтом и естественной фильтрации. Теперь рассмотрим линейное матричное стохастическое дифференциальное уравнение Ито (с соглашением Эйнштейна о суммировании по индексу j) ${\ textstyle \ left (W_ {t} \ right) _ {t \ in [0, T]}}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ textstyle q \ in \ mathbb {N} _ {gt; 0}}$ ${\ textstyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P} \ right)}$${\ textstyle Tgt; 0}$

${\ displaystyle dX_ {t} = B_ {t} X_ {t} dt + A_ {t} ^ {(j)} X_ {t} dW_ {t} ^ {j}, \ quad X_ {0} = I_ { d}, \ qquad d \ in \ mathbb {N} _ {gt; 0},}$

где - прогрессивно измеримые ограниченные случайные процессы, а - единичная матрица. Следуя тому же подходу, что и в детерминированном случае с изменениями из-за стохастической настройки, соответствующий матричный логарифм окажется как процесс Ито, первые два порядка разложения которого задаются формулами и, где с соглашением Эйнштейна о суммировании по i и j${\ textstyle B _ {\ cdot}, A _ {\ cdot} ^ {(1)}, \ dots, A _ {\ cdot} ^ {(j)}}$${\ textstyle d \ times d}$ ${\ textstyle I_ {d}}$ ${\ textstyle Y_ {t} ^ {(1)} = Y_ {t} ^ {(1,0)} + Y_ {t} ^ {(0,1)}}$${\ textstyle Y_ {t} ^ {(2)} = Y_ {t} ^ {(2,0)} + Y_ {t} ^ {(1,1)} + Y_ {t} ^ {(0,2)}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} Y_ {t} ^ {(0,0)} amp; = 0, \\ Y_ {t} ^ {(1,0)} amp; = \ int _ {0} ^ {t } A_ {s} ^ {(j)} dW_ {s} ^ {j}, \\ Y_ {t} ^ {(0,1)} amp; = \ int _ {0} ^ {t} B_ {s} ds, \\ Y_ {t} ^ {(2,0)} amp; = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ big (} A_ {s} ^ { (j)} {\ big)} ^ {2} ds + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} A_ {s} ^ {(j)}, \ int _ {0} ^ {s} A_ {r} ^ {(i)} d {W_ {r} ^ {i}} {\ Big]} dW_ {s} ^ {j}, \\ Y_ {t } ^ {(1,1)} amp; = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} B_ {s}, \ int _ {0} ^ {s } A_ {r} ^ {(j)} dW_ {r} {\ Big]} ds + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} A_ {s} ^ {(j)}, \ int _ {0} ^ {s} B_ {r} dr {\ Big]} dW_ {s} ^ {j}, \\ Y_ {t} ^ {(0,2)} amp; = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} {\ Big [} B_ {s}, \ int _ {0} ^ {s} B_ {r} dr {\ Big ]} ds. \ end {выровнены}}}$

Сходимость расширения

В стохастической настройке сходимость теперь будет зависеть от времени остановки, и первый результат сходимости будет выражаться следующим образом: ${\ textstyle \ tau}$

При предыдущем предположении о коэффициентах существует сильное решение, а также строго положительное время остановки, такое что: ${\ textstyle X = (X_ {t}) _ {t \ in [0, T]}}$${\ textstyle \ tau \ leq T}$

1. ${\ textstyle X_ {t}}$имеет действительный логарифм до времени, т. е.${\ textstyle Y_ {t}}$${\ textstyle \ tau}$

   ${\ displaystyle X_ {t} = e ^ {Y_ {t}}, \ qquad 0 \ leq t lt;\ tau;}$

2. почти наверняка выполняется следующее представление:${\ textstyle \ mathbb {P}}$

   ${\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Y_ {t} ^ {(n)}, \ qquad 0 \ leq t lt;\ tau,}$

   где это п -й члена в стохастическом разложении Магнуса, как определено ниже в формуле подраздела Магнус расширения;${\ textstyle Y ^ {(п)}}$

3. существует положительная постоянная C, зависящая только от, с, такая, что${\ textstyle \ | A ^ {(1)} \ | _ {T}, \ точки, \ | A ^ {(q)} \ | _ {T}, \ | B \ | _ {T}, T, d}$${\ textstyle \ | A _ {\ cdot} \ | _ {T} = \ | \ | A_ {t} \ | _ {F} \ | _ {L ^ {\ infty} (\ Omega \ times [0, T ])}}$

   ${\ displaystyle \ mathbb {P} (\ tau \ leq t) \ leq Ct, \ qquad t \ in [0, T].}$

Формула разложения Магнуса

Общая формула разложения для стохастического разложения Магнуса задается следующим образом:

${\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Y_ {t} ^ {(n)} \ quad {\ text {with}} \ quad Y_ {t} ^ {(n)}: = \ sum _ {r = 0} ^ {n} Y_ {t} ^ {(r, nr)},}$

где общий термин - это процесс Ито в форме: ${\ textstyle Y ^ {(г, номер)}}$

${\ displaystyle Y_ {t} ^ {(r, nr)} = \ int _ {0} ^ {t} \ mu _ {s} ^ {r, nr} ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma _ {s} ^ {r, nr, j} dW_ {s} ^ {j}, \ qquad n \ in \ mathbb {N} _ {0}, \ r = 0, \ dots, n,}$

Термины рекурсивно определяются как ${\ textstyle \ sigma ^ {r, nr, j}, \ mu ^ {r, nr}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {s} ^ {r, nr, j} amp;: = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {\ beta _ {i} } {i!}} S_ {s} ^ {r-1, nr, i} {\ big (} A ^ {(j)} {\ big)}, \\\ mu _ {s} ^ {r, nr} amp;: = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {\ beta _ {i}} {i!}} S_ {s} ^ {r, nr-1, i} ( Б) - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {j = 1} ^ {q} \ sum _ {i = 0} ^ {n-2} {\ frac {\ beta _ {i}} {i!}} \ sum _ {q_ {1} = 2} ^ {r} \ sum _ {q_ {2} = 0} ^ {nr} S ^ {r-q_ {1}, nr-q_ {2 }, i} {\ big (} Q ^ {q_ {1}, q_ {2}, j} {\ big)}, \ end {align}}}$

с участием

${\ displaystyle {\ begin {align} Q_ {s} ^ {q_ {1}, q_ {2}, j}: = \ sum _ {i_ {1} = 2} ^ {q_ {1}} \ sum _ {i_ {2} = 0} ^ {q_ {2}} \ sum _ {h_ {1} = 1} ^ {i_ {1} -1} \ sum _ {h_ {2} = 0} ^ {i_ { 2}} amp; \ sum _ {p_ {1} = 0} ^ {q_ {1} -i_ {1}} \ sum _ {{p_ {2}} = 0} ^ {q_ {2} -i_ {2 }} \ \ sum _ {m_ {1} = 0} ^ {p_ {1} + p_ {2}} \ \ sum _ {{m_ {2}} = 0} ^ {q_ {1} -i_ {1 } -p_ {1} + q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}} \\ amp; {\ Bigg (} {{\ frac {S_ {s} ^ {p_ {1}, p_ {2}), m_ {1}} {\ big (} \ sigma _ {s} ^ {h_ {1}, h_ {2}, j} {\ big)}} {({m_ {1}} + 1)!} } {\ frac {S_ {s} ^ {q_ {1} -i_ {1} -p_ {1}, q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}, m_ {2}} {\ big ( } \ sigma _ {s} ^ {i_ {1} -h_ {1}, i_ {2} -h_ {2}, j} {\ big)}} {({m_ {2}} + 1)!} }} \\ amp; \ qquad \ qquad + {\ frac {{\ big [} S_ {s} ^ {p_ {1}, p_ {2}, m_ {1}} {\ big (} \ sigma _ {s } ^ {i_ {1} -h_ {1}, i_ {2} -h_ {2}, j} {\ big)}, S_ {s} ^ {q_ {1} -i_ {1} -p_ {1 }, q_ {2} -i_ {2} -p_ {2}, m_ {2}} {\ big (} \ sigma _ {s} ^ {h_ {1}, h_ {2}, j} {\ big)} {\ big]}} {({m_ {1}} + {m_ {2}} + 2) ({m_ {1}} + 1)! {m_ {2}}!}} {\ Bigg) }, \ end {выровнены}}}$

а операторы S определены как

${\ displaystyle {\ begin {align} S_ {s} ^ {r-1, nr, 0} (A) amp;: = {\ begin {cases} A amp; {\ text {if}} r = n = 1, \ \ 0 amp; {\ text {else}}, \ end {case}} \\ S_ {s} ^ {r-1, nr, i} (A) amp;: = \ sum _ {\ begin {array} {c} (j_ {1}, k_ {1}), \ dots, (j_ {i}, k_ {i}) \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {2} \\ j_ {1} + \ cdots + j_ {i} = r-1 \\ k_ {1} + \ cdots + k_ {i} = nr \ end {array}} {\ big [} Y_ {s} ^ {(j_ {1}, k_ { 1})}, {\ big [} \ dots, {\ big [} Y_ {s} ^ {(j_ {i}, k_ {i})}, A_ {s} {\ big]} \ dots {\ big]} {\ big]} \\ amp; = \ sum _ {\ begin {array} {c} (j_ {1}, k_ {1}), \ dots, (j_ {i}, k_ {i}) \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {2} \\ j_ {1} + \ cdots + j_ {i} = r-1 \\ k_ {1} + \ cdots k_ {i} = nr \ end {array}} \ operatorname {ad} _ {Y_ {s} ^ {(j_ {1}, k_ {1})}} \ circ \ cdots \ circ \ operatorname {ad} _ {Y_ {s} ^ {( j_ {i}, k_ {i})}} (A_ {s}), \ qquad i \ in \ mathbb {N}. \ end {выровнено}}}$

С 1960-х годов расширение Магнуса успешно применялось в качестве пертурбативного инструмента во многих областях физики и химии, от атомной и молекулярной физики до ядерного магнитного резонанса и квантовой электродинамики. Он также используется с 1998 года в качестве инструмента для построения практических алгоритмов численного интегрирования матричных линейных дифференциальных уравнений. Поскольку они наследуют от разложения Магнуса сохранение качественных черт задачи, соответствующие схемы являются прототипами геометрических числовых интеграторов.

• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Производная экспоненциального отображения

• Магнус, В. (1954). «Об экспоненциальном решении дифференциальных уравнений для линейного оператора». Comm. Pure Appl. Математика. VII (4): 649–673. DOI : 10.1002 / cpa.3160070404.
• Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, JA; Рос, Дж. (1998). «Разложения Магнуса и Фера для матричных дифференциальных уравнений: проблема сходимости». J. Phys. A: Математика. Gen. 31 (1): 259–268. Bibcode : 1998JPhA... 31..259B. DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 31/1/023.
• Iserles, A.; Норсетт, SP (1999). «О решении линейных дифференциальных уравнений в группах Ли». Фил. Пер. R. Soc. Лондон.. 357 (1754): 983–1019. Bibcode : 1999RSPTA.357..983I. CiteSeerX   10.1.1.15.4614. DOI : 10,1098 / rsta.1999.0362. S2CID   90949835.
• Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, JA; Рос, Дж. (2009). «Расширение Магнуса и некоторые его приложения». Phys. Rep. 470 (5–6): 151–238. arXiv : 0810.5488. Bibcode : 2009PhR... 470..151B. DOI : 10.1016 / j.physrep.2008.11.001. S2CID   115177329.
• Камм, К.; Pagliarani, S.; Паскуччи, А. (2020). «Стохастическое разложение Магнуса». arXiv : 2001.01098 [ math.PR ].