Асимптотическое расширение

редактировать

В математике, асимптотическое разложение, асимптотический ряд или разложение Пуанкаре (после Анри Пуанкаре ) - это формальный ряд функций, обладающий свойством усечения ряда после конечного числа of terms обеспечивает приближение к данной функции, поскольку аргумент функции стремится к определенной, часто бесконечной, точке. Исследования Дингла (1973) показали, что расходящаяся часть асимптотического разложения имеет скрытый смысл, т.е. содержит информацию о точном значении расширенной функции.

Наиболее распространенный тип асимптотического разложения - это степенной ряд в положительной или отрицательной степени. Методы создания таких расширений включают в себя формулу суммирования Эйлера – Маклорена и интегральные преобразования, такие как преобразования Лапласа и Меллина. Повторное интегрирование по частям часто приводит к асимптотическому разложению.

Поскольку сходящийся ряд Тейлора также подходит под определение асимптотического разложения, фраза «асимптотический ряд» обычно подразумевает несходящийся ряд. Несмотря на отсутствие сходимости, асимптотическое разложение полезно при усечении до конечного числа членов. Аппроксимация может обеспечить преимущества, будучи более математически управляемой, чем расширяемая функция, или за счет увеличения скорости вычисления расширенной функции. Как правило, наилучшее приближение дается, когда ряд усекается по наименьшему члену. Этот способ оптимального усечения асимптотического разложения известен как суперсимптотика . Тогда ошибка обычно имеет вид ~ exp (-c / ε), где ε - параметр расширения. Таким образом, ошибка выходит за рамки всех порядков параметра расширения. Можно улучшить суперсимптотическую ошибку, например с помощью методов пересуммирования, таких как пересуммирование по Борелю в расходящийся хвост. Такие методы часто называют гиперасимптотическими приближениями .

Обозначения, используемые в этой статье, см. В асимптотическом анализе и нотации большого O.

Содержание

1 Формальное определение
2 Примеры
3 Рабочий пример
4 Свойства
- 4.1 Уникальность для заданного асимптотического масштаба
- 4.2 Неединственность для заданной функции
- 4.3 Субдоминирование
5 См. Также
- 5.1 Связанные поля
- 5.2 Асимптотические методы
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Формальное определение

Сначала мы определяем асимптотическую шкалу, а затем дать формальное определение асимптотического разложения.

Если $φ n {\ displaystyle \ varphi _ {n}}$ $\ varphi _ {n}$ представляет собой последовательность непрерывных функций в некотором домене, и если L является предельная точка области, то последовательность составляет асимптотическую шкалу, если для каждого n

φ n + 1 (x) = o (φ n (x)) (x → L). {\ displaystyle \ varphi _ {n + 1} (x) = o (\ varphi _ {n} (x)) \ (x \ to L).}

{\ displaystyle \ varphi _ {n + 1} (x) = o (\ varphi _ {n} (x)) \ (x \ to L).}

(L можно считать бесконечным.) В другими словами, последовательность функций является асимптотической шкалой, если каждая функция в последовательности растет строго медленнее (в пределе $x → L {\ displaystyle x \ to L}$ ${\ displaystyle x \ to L}$ ), чем предыдущая функция.

Если f - непрерывная функция в области определения асимптотической шкалы, то f имеет асимптотическое разложение порядка N по шкале в виде формального ряда

∑ n = 0 N an φ n ( x) {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} \ varphi _ {n} (x)}

\ sum _ {{n = 0}} ^ { N} a_ {n} \ varphi _ {{n}} (x)

, если

f (x) - ∑ n = 0 N - 1 а φ N (Икс) знак равно О (φ N (Икс)) (Икс → L) {\ Displaystyle F (х) - \ сумма _ {п = 0} ^ {N-1} а_ {п} \ varphi _ { n} (x) = O (\ varphi _ {N} (x)) \ (x \ to L)}

{\ displaystyle f (x) - \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n } \ varphi _ {n} (x) = O (\ varphi _ {N} (x)) \ (x \ toL)}

или

f (x) - ∑ n = 0 N - 1 an φ n (x) = o (φ N - 1 (x)) (x → L). {\ Displaystyle е (х) - \ сумма _ {п = 0} ^ {N-1} а_ {п} \ varphi _ {n} (х) = о (\ varphi _ {N-1} (х)) \ (x \ to L).}

{\ displaystyle f (x) - \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) = o (\ varphi _ { N-1} (x)) \ (x \ to L).}

Если то или иное верно для всех N, то мы пишем

f (x) ∼ ∑ n = 0 ∞ an φ n (x) (x → L). {\ displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) \ (x \ to L).}

{\ displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ varphi _ {n} (x) \ (x \ to L).}

В отличие от сходящийся ряд для $f {\ displaystyle f}$ $е$ , в котором ряд сходится для любого фиксированного $x {\ displaystyle x}$ $x$ в пределе $N → ∞ {\ displaystyle N \ to \ infty}$ $N \ to \ infty$ , можно рассматривать асимптотический ряд как сходящийся для фиксированного $N {\ displaystyle N}$ $N$ в пределе $x → L {\ displaystyle x \ to L}$ ${\ displaystyle x \ to L}$ (с $L {\ displaystyle L}$ $L$ , возможно, бесконечным).

Примеры

Графики абсолютного значения дробной ошибки в асимптотическом разложении гамма-функции (слева). По горизонтальной оси отложено количество членов асимптотического разложения. Синие точки соответствуют x = 2, а красные - x = 3. Видно, что наименьшая ошибка возникает, когда имеется 14 членов для x = 2 и 20 членов для x = 3, за пределами которых ошибка расходится.

Гамма-функция

exxx 2 π x Γ (x + 1) ∼ 1 + 1 12 x + 1 288 x 2 - 139 51840 x 3 - ⋯ (x → ∞) {\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x + 1) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x}} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} { 51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (x \ to \ infty)}

{\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {x} {\ sqrt {2 \ pi x}}}} \ Gamma (x + 1) \ sim 1 + {\ frac {1} {12x}} + {\ frac {1} {288x ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840x ^ {3}}} - \ cdots \ (х \ к \ infty)}

Экспоненциальный интеграл

xex E 1 (x) ∼ ∑ n = 0 ∞ (- 1) nn! xn (x → ∞) {\ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n! } {x ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

{\ displaystyle xe ^ {x} E_ {1} (x) \ sim \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {x ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

Логарифмический интеграл

li ⁡ (x) ∼ x ln ⁡ x ∑ k = 0 ∞ k! (пер ⁡ Икс) К {\ Displaystyle \ OperatorName {li} (х) \ sim {\ гидроразрыва {x} {\ ln x}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k! } {(\ ln x) ^ {k}}}}

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(\ ln x) ^ {k}}}}

Дзета-функция Римана

ζ (s) ∼ ∑ n = 1 N n - s - N 1 - ss - 1 - N - s 2 + N - s ∑ m = 1 ∞ B 2 мс 2 м - 1 ¯ (2 м)! N 2 м - 1 {\ displaystyle \ zeta (s) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- s} - {\ frac {N ^ {1-s}} {s-1 }} - {\ frac {N ^ {- s}} {2}} + N ^ {- s} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2m} s ^ {\ overline {2m-1}}} {(2m)! N ^ {2m-1}}}}

{\ displaystyle \ zeta (s) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {- s} - {\ frac { N ^ {1-s}} {s-1}} - {\ frac {N ^ {- s}} {2}} + N ^ {- s} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2m} s ^ {\ overline {2m-1}}} {(2m)! N ^ {2m-1}}}}

где

B 2 m {\ displaystyle B_ {2m}}

B_{2m}

Числа Бернулли и

s 2 m - 1 ¯ {\ displaystyle s ^ {\ overline {2m-1}}}

s ^ {\ overline {2m -1}}

- это возрастающий факториал. Это расширение действительно для всех комплексных s и часто используется для вычисления дзета-функции с использованием достаточно большого значения N, например,

N>| s | {\ displaystyle N>| s |}

N>| s |

Функция ошибки

π xex 2 erfc (x) ∼ 1 + ∑ n = 1 ∞ (- 1) n (2 n - 1)!! (2 x 2) N (Икс → ∞) {\ Displaystyle {\ sqrt {\ pi}} xe ^ {x ^ {2}} {\ rm {erfc}} (x) \ sim 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}} xe ^ {x ^ {2}} {\ rm {erfc}} (x) \ sim 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2 }) ^ {n}}} \ (x \ to \ infty)}

где (2n - 1) !! - это двойной факториал.

Рабочий пример

Асимптотические разложения часто возникают, когда обычный ряд используется в формальном выражении, которое вынуждает принимать значения за пределами его область сходимости. Так, например, можно начать с обычного ряда

1 1 - w = ∑ n = 0 ∞ wn. {\ Displaystyle {\ frac {1} {1-w} } = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} w ^ {n}.}

\ frac {1} {1-w} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty w ^ n.

Выражение слева действительно на всей комплексной плоскости $w ≠ 1 { \ displaystyle w \ neq 1}$ $w \ ne 1$ , а правая часть сходится только для $| w | < 1 {\displaystyle |w|<1}$ $| вес | <1$ . Умножение на $e - w / t {\ displaystyle e ^ {- w / t}}$ $e^{-w/t}$ и интегрирование обеих сторон дает

∫ 0 ∞ e - wt 1 - wdw = ∑ n = 0 ∞ tn + 1 ∫ 0 ∞ е - uundu, {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- {\ frac {w} {t}}}} {1-w} } \, dw = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} u ^ {n} \, du,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- {\ frac {w} {t}}}} {1-w}} \, dw = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} t ^ {n + 1} \ int _ {0} ^ { \ infty} e ^ {- u} u ^ {n} \, du,}

после замены $u = w / t {\ displaystyle u = w / t}$ $u = w / t$ в правой части. Интеграл в левой части, понимаемый как главное значение Коши, может быть выражен через экспоненциальный интеграл . Интеграл в правой части можно распознать как гамма-функцию. Оценивая оба, получаем асимптотическое разложение

e - 1 t Ei ⁡ (1 t) = ∑ n = 0 ∞ n! т п + 1. {\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {t}}} \ operatorname {Ei} \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} n! t ^ {n + 1}.}

{\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {t}}} \ operatorname {Ei } \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} n! t ^ {n + 1}.}

Здесь правая часть явно не сходится ни при каком ненулевом значении t. Однако, усекая ряд справа до конечного числа членов, можно получить довольно хорошее приближение к значению $Ei ⁡ (1 t) {\ displaystyle \ operatorname {Ei} \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ ope ratorname {Ei} \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ right)}$ для достаточно малых t. Подставляя $x = - 1 t {\ displaystyle x = - {\ tfrac {1} {t}}}$ ${\ displaystyle x = - {\ tfrac {1} {t}}}$ и отмечая, что $Ei ⁡ (x) = - E 1 (- x) {\ displaystyle \ operatorname {Ei} (x) = - E_ {1} (- x)}$ $\ operatorname {Ei} (x) = -E_1 (-x)$ приводит к асимптотическому разложению, приведенному ранее в этой статье.

Свойства

Уникальность для заданного асимптотического масштаба

Для заданного асимптотического масштаба ${φ n (x)} {\ displaystyle \ {\ varphi _ {n } (x) \}}$ ${\ displaystyle \ {\ varphi _ {n} (x) \}}$ асимптотическое разложение функции $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f ( х)$ уникально. То есть коэффициенты ${an} {\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ однозначно определяются следующим образом:

a 0 = lim x → L f (x) φ 0 (x) a 1 = lim x → L f (x) - a 0 φ 0 (x) φ 1 (x) ⋮ a N = lim x → L f (x) - ∑ n = 0 N - 1 an φ N (Икс) φ N (Икс) {\ Displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x)} {\ varphi _ {0} (x)}} \\ a_ {1} = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x) -a_ {0} \ varphi _ {0} (x)} {\ varphi _ { 1} (x)}} \\ \ \ vdots \\ a_ {N} = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x) - \ sum _ {n = 0} ^ {N -1} a_ {n} \ varphi _ {n} (x)} {\ varphi _ {N} (x)}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {0} = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x)} {\ varphi _ {0} (x)} } \\ a_ {1} = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x) -a_ {0} \ varphi _ {0} (x)} {\ varphi _ {1} (x)}} \\ \ \ vdots \\ a_ {N} = \ lim _ {x \ to L} {\ frac {f (x) - \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} a_ {n} \ varphi _ {n} (x)} {\ varphi _ {N} (x)}} \ end {align}}}

где $L {\ displaystyle L}$ $L$ - предельная точка этого асимптотического разложения (может быть $± ∞ {\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ ).

Неединственность для данной функции

Данная функция $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f ( х)$ может иметь много асимптотических расширений (каждое с другой асимптотической шкалой).

Субдоминирование

Асимптотическое расширение может быть асимптотическим расширением для более чем одной функции.

См. также

Связанные поля

Асимптотические методы

Примечания

^Бойд, Джон П. (1999), «Изобретение дьявола: асимптотические, суперасимптотические и гиперасимптотические ряды» (PDF), Acta Applicandae Mathematicae, 56(1): 1–98, doi : 10.1023 / A: 1006145903624.
^ SJA Малхэм, "Введение в асимптотический анализ ", Университет Хериот-Ватт.

Ссылки

Абловиц, М. Дж., И Фокас, А. С. (2003). Комплексные переменные: введение и приложения. Издательство Кембриджского университета.
Бендер, К. М., и Орзаг, С. А. (2013). Передовые математические методы для ученых и инженеров I: Асимптотические методы и теория возмущений. Springer Science Business Media.
Блейстейн, Н., Хандельсман, Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов, Dover Publications.
Carrier, GF, Krook, M., Pearson, CE (2005). Функции комплексной переменной: теория и техника. Общество промышленной и прикладной математики.
Copson, ET (1965), Asymptotic Expansions, Cambridge University Press.
Dingle, RB (1973), Asymptotic Expansions: их вывод и интерпретация, Academic Press.
Erdélyi, A. (1955), Asymptotic Expansions, Dover Publications.
Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Composite Asymptotic Expansions, Springer.
Харди, GH (1949), Divergent Series, Oxford University Press.
Olver, F. (1997). Асимптотика и специальные функции. AK Peters / CRC Press.
Paris, RB, Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press.
Whittaker, ET, Watson, GN (1963), Курс современного анализа, четвертое издание, Cambridge University Press.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Wolfram Mathworld: Asymptotic Series