Характеристическое уравнение (исчисление)

Алгебраическое уравнение, от которого зависит решение дифференциального уравнения

В математике, характеристическое уравнение (или вспомогательное уравнение ) является алгебраическим уравнением степени n, от которого зависит решение данного n-го - порядок дифференциальное уравнение или разностное уравнение. Характеристическое уравнение может быть сформировано только тогда, когда дифференциальное или разностное уравнение является линейным и однородным и имеет постоянные коэффициенты . Такое дифференциальное уравнение с y в качестве зависимой переменной, надстрочным индексом (n), обозначающим производную по n, и a n, a n - 1,..., a 1, a 0 as constants,

$any\; (n)\; +\; an\; -\; 1\; y\; (n\; -\; 1)\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; y\; \prime \; +\; a\; 0\; y\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; y\; ^\; \{(n)\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; y\; ^\; \{(n-1)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; y\; \text{'}+\; a\_\; \{0\}\; y\; =\; 0,\}$

будет иметь характеристическое уравнение вида

$anrn\; +\; an\; -\; 1\; rn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; r\; +\; a\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; r\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; r\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; r\; +\; a\_\; \{0\}\; =\; 0\}$

, решения которого r 1, r 2,..., r n - это корни, из которых может быть сформировано общее решение. Аналогично, линейное разностное уравнение вида

$yt\; +\; n\; =\; b\; 1\; yt\; +\; n\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; bnyt\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{t\; +\; n\}\; =\; b\_\; \{1\}\; y\_\; \{t\; +\; n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; b\_\; \{n\}\; y\_\; \{t\}\}$

имеет характеристическое уравнение

$rn\; -\; b\; 1\; rn\; -\; 1\; -\; \cdots \; -\; bn\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{n\}\; -b\_\; \{1\}\; r\; ^\; \{n-1\}\; -\; \backslash \; cdots\; -b\_\; \{n\}\; =\; 0,\}$

более подробно обсуждается в Линейное разностное уравнение # Решение однородного случая.

Характеристические корни (корни характеристического уравнения) также предоставить качественную информацию о поведении переменной, эволюция которой описывается динамическим уравнением. Для дифференциального уравнения, параметризованного по времени, эволюция переменной стабильна тогда и только тогда, когда действительная часть каждого корня отрицательна. Для разностных уравнений существует стабильность тогда и только тогда, когда модуль (абсолютное значение ) каждого корня меньше 1. Для обоих типов уравнений устойчивые флуктуации возникают, если имеется хотя бы одна пара сложные корни.

Метод интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был открыт Леонардом Эйлером, который обнаружил, что решения зависят от алгебраического «характеристического» уравнения. Свойства характеристического уравнения Эйлера позже были более подробно рассмотрены французскими математиками Огюстен-Луи Коши и Гаспар Монж.

• 1 Вывод
• 2 Формирование общего решения
  • 2.1 Пример
  • 2.2 Разные действительные корни
  • 2.3 Повторяющиеся действительные корни
  • 2.4 Комплексные корни
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Начиная с линейного однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами a n, a n - 1,..., a 1, a 0,

$any\; (n)\; +\; an\; -\; 1\; Y\; (N\; -\; 1)\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; Y\; \text{'}+\; a\; 0\; Y\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{n\}\; y\; ^\; \{(n)\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; y\; ^\; \{(n-1)\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; +\; a\_\; \{0\}\; y\; =\; 0\}$

видно, что если y (x) = e, каждый член будет постоянным кратным e. Это является результатом того факта, что производная экспоненциальной функции e является кратной самой себе. Следовательно, y ′ = re, y ″ = re и y = re кратны. Это говорит о том, что определенные значения r позволят суммировать кратные e нулю, тем самым решая однородное дифференциальное уравнение. Чтобы найти r, можно подставить y = e и его производные в дифференциальное уравнение, чтобы получить

$anrnerx\; +\; an\; -\; 1\; rn\; -\; 1\; erx\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; rerx\; +\; a\; 0\; erx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; r\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{rx\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; r\; ^\; \{n-1\}\; e\; ^\; \{rx\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; re\; ^\; \{rx\}\; +\; a\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{rx\}\; =\; 0\}$

Поскольку e никогда не может равняться нулю, его можно разделить, получив характеристическое уравнение

$anrn\; +\; an\; -\; 1\; rn\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; a\; 1\; r\; +\; a\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; r\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{n-1\}\; r\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{1\}\; r\; +\; a\_\; \{0\}\; =\; 0\}$

Решая для корней, r, в этом характеристическом уравнении, можно найти общее решение дифференциального уравнения. Например, если r имеет корни, равные {3, 11, 40}, то общее решение будет $y\; (x)\; =\; c\; 1\; e\; 3\; x\; +\; c\; 2\; e\; 11\; x\; +\; c\; 3\; e\; 40\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\; =\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{3x\}\; +\; c\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{11x\}\; +\; c\_\; \{3\}\; e\; ^\; \{40x\}\}$, где $c\; 1,\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\},\; c\_\; \{2\}\}$и $c\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{3\}\}$- произвольные константы которые должны определяться граничными и / или начальными условиями.

Решение характеристического уравнения для его корней, r 1,..., r n, позволяет найти общее решение дифференциального уравнения. Корни могут быть действительными или сложными, а также отдельными или повторяющимися. Если характеристическое уравнение имеет части с различными действительными корнями, h повторяющихся корней или k комплексных корней, соответствующих общим решениям y D (x), y R1(x),..., y Rh(x) и y C1(x),..., y Ck(x) соответственно, то общее решение дифференциального уравнения:

$y\; (x)\; =\; y\; D\; (x)\; +\; Y\; р\; 1\; (Икс)\; +\; \cdots \; +\; Y\; р\; час\; (Икс)\; +\; Y\; С\; 1\; (Икс)\; +\; \cdots \; +\; Y\; С\; К\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; (х)\; =\; Y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{D\}\}\; (\; x)\; +\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\; \_\; \{1\}\}\; (x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\; \_\; \{h\}\}\; (x)\; +\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{C\}\; \_\; \{1\}\}\; (x)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{C\}\; \_\; \{k\}\}\; (x)\}$

Пример

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

$y\; (5)\; +\; y\; (4)\; -\; 4\; y\; (3)\; -\; 16\; y\; ″\; -\; 20\; y\; \prime \; -\; 12\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{(5)\}\; +\; y\; ^\; \{(4)\}\; -\; 4y\; ^\; \{(3)\}\; -\; 16y\; \text{'}\text{'}\; -20y\text{'}-12y\; =\; 0\}$

имеет характеристическое уравнение

$r\; 5\; +\; r\; 4\; -\; 4\; r\; 3\; -\; 16\; r\; 2\; -\; 20\; r\; -\; 12\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{5\}\; +\; r\; ^\; \{4\}\; -4r\; ^\; \{3\}\; -16r\; ^\; \{2\}\; -20r-12\; =\; 0\}$

С помощью факторизации характеристического уравнения в

$(r\; -\; 3)\; (r\; 2\; +\; 2\; р\; +\; 2)\; 2\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; (г-3)\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; +\; 2r\; +\; 2\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

видно, что решения для r - это отдельный единственный корень r 1 = 3 и двойные комплексные корни r 2,3,4,5 = 1 ± i. Это соответствует действительнозначному общему решению

$y\; (x)\; =\; c\; 1\; e\; 3\; x\; +\; ex\; (c\; 2\; cos\; \; x\; +\; c\; 3\; sin\; \; x)\; +\; xex\; (c\; 4\; cos\; \; x\; +\; c\; 5\; sin\; \; х)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\; =\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{3x\}\; +\; e\; ^\; \{x\}\; (c\_\; \{2\}\; \backslash \; cos\; x\; +\; c\_\; \{3\}\; \backslash \; sin\; x)\; +\; xe\; ^\; \{x\}\; (c\_\; \{4\}\; \backslash \; cos\; x\; +\; c\_\; \{5\}\; \backslash \; sin\; x)\}$

с константами c 1,..., c 5.

Различными действительными корнями

принцип суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами гласит, что если u 1,..., u n являются n линейно независимыми решениями конкретное дифференциальное уравнение, тогда c 1u1+... + c nunтакже является решением для всех значений c 1,..., c n. Следовательно, если характеристическое уравнение имеет различные действительные корни r 1,..., r n, то общее решение будет иметь вид

$y\; D\; (x)\; знак\; равно\; c\; 1\; er\; 1\; x\; +\; c\; 2\; er\; 2\; x\; +\; \cdots \; +\; cnernx\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{D\}\}\; (x)\; =\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; +\; c\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{r\_\; \{2\}\; x\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; c\_\; \{n\}\; e\; ^\; \{r\_\; \{n\}\; x\}\}$

Повторяющиеся действительные корни

Если характеристическое уравнение имеет корень r 1, который повторяется k раз, тогда ясно, что y p (x) = c 1 e является по меньшей мере одним решением. Однако в этом решении отсутствуют линейно независимые решения от других k - 1 корней. Поскольку r 1 имеет кратность k, дифференциальное уравнение может быть разложено на

$(ddx\; -\; r\; 1)\; ky\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; y\; =\; 0\}$.

Тот факт, что y p (x) = c 1 e является одним из решений, позволяет предположить, что общее решение может иметь вид y (x) = u (x) e, где u (x) - функция, которую предстоит определить. Подстановка ue дает

$(ddx\; -\; r\; 1)\; uer\; 1\; x\; =\; ddx\; (uer\; 1\; x)\; -\; r\; 1\; uer\; 1\; x\; =\; ddx\; (u)\; er\; 1\; x\; +\; r\; 1\; uer\; 1\; x\; -\; r\; 1\; uer\; 1\; x\; =\; ddx\; (U)\; er\; 1\; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ue\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (ue\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; \backslash \; right)\; -r\_\; \{1\}\; ue\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (u)\; e\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; +\; r\_\; \{1\}\; ue\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; -r\_\; \{1\}\; ue\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (u)\; e\; ^\; \{r\_\; \{1\; \}\; x\}\}$

когда k = 1. Применяя этот факт k раз, получаем, что

$(ddx\; -\; r\; 1)\; kuer\; 1\; x\; =\; dkdxk\; (u)\; er\; 1\; x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; ue\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{k\}\}\; \{dx\; ^\; \{k\}\}\}\; (u)\; e\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; =\; 0\}$

Разделив e, можно увидеть, что

$dkdxk\; (u)\; =\; u\; (k)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{k\}\}\; \{dx\; ^\; \{k\}\}\}\; (u)\; =\; u\; ^\; \{(k)\}\; =\; 0\}$

Следовательно, общий случай для u (x) является многочленом степени k-1, поэтому что u (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x +... + c k x. Поскольку y (x) = ue, часть общего решения, соответствующая r 1, равна

$y\; R\; (x)\; =\; er\; 1\; x\; (c\; 1\; +\; c\; 2\; x\; +\; \cdots \; +\; ckxk\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}\; (x)\; =\; e\; ^\; \{r\_\; \{1\}\; x\}\; \backslash \; left\; (c\_\; \{1\}\; +\; c\_\; \{2\}\; x\; +\; \backslash \; cdots\; +\; c\_\; \{k\}\; x\; ^\; \{k-\; 1\}\; \backslash \; right)\}$

Комплексные корни

Если дифференциальное уравнение второго порядка имеет характеристическое уравнение с комплексным сопряженными корнями вида r 1 = a + bi и r 2 = a - bi, тогда общее решение, соответственно, y (x) = c 1 e + c 2 э. По формуле Эйлера, которая гласит, что e = cos θ + i sin θ, это решение можно переписать следующим образом:

$y\; (x)\; =\; c\; 1\; e\; (a\; +\; bi)\; x\; +\; c\; 2\; e\; (a\; -\; bi)\; x\; =\; c\; 1\; eax\; (cos\; \; bx\; +\; i\; sin\; \; bx)\; +\; c\; 2\; eax\; (cos\; \; bx\; -\; i\; sin\; \; bx)\; =\; (c\; 1\; +\; c\; 2)\; eax\; cos\; \; bx\; +\; i\; (\; c\; 1\; -\; c\; 2)\; eax\; sin\; \; bx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; y\; (x)\; =\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{(a\; +\; bi)\; x\}\; +\; c\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{(a-\; bi)\; x\}\; \backslash \backslash \; =\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{ax\}\; (\backslash \; cos\; bx\; +\; i\; \backslash \; sin\; bx)\; +\; c\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{ax\}\; (\backslash \; cos\; bx-i\; \backslash \; sin\; bx)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (c\_\; \{1\}\; +\; c\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{ax\}\; \backslash \; cos\; bx\; +\; i\; (c\_\; \{1\}\; -c\_\; \{2\})\; e\; ^\; \{ax\}\; \backslash \; sin\; bx\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\; \}\}$

где c 1 и c 2 - константы, которые могут быть нереальными и которые зависят от начальных условий. (Действительно, поскольку y (x) вещественно, c 1 - c 2 должно быть мнимым или нулевым, а c 1 + c 2 должен быть действительным, чтобы оба члена после последнего знака равенства были действительными.)

Например, если c 1 = c 2 = 1 / 2, то формируется частное решение y 1 (x) = e cos bx. Аналогично, если c 1 = 1 / 2i и c 2 = −1 / 2i, то сформированное независимое решение будет y 2 (x) = e sin bx. Таким образом, по принципу суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами дифференциальное уравнение второго порядка с комплексными корнями r = a ± bi приведет к следующему общему решению:

$y\; C\; (x)\; =\; eax\; (c\; 1\; cos\; \; bx\; +\; c\; 2\; грех\; \; bx)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{C\}\}\; (x)\; =\; e\; ^\; \{ax\}\; \backslash \; left\; (c\_\; \{1\}\; \backslash \; cos\; bx\; +\; c\_\; \{2\}\; \backslash \; sin\; bx\; \backslash \; right)\; \}$

Этот анализ также применяется к частям решений дифференциального уравнения высшего порядка, характеристическое уравнение которого включает невещественные комплексно сопряженные корни.

• Характеристический многочлен